La división polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio entre otro de igual o menor grado. El algoritmo sigue los pasos de dividir el término de mayor grado del dividendo entre el divisor, multiplicar el divisor por el cociente y restar, repitiendo los pasos hasta obtener el cociente y el resto. La división es posible siempre que el coeficiente de mayor grado del divisor sea inversible en el anillo de coeficientes.

1. Alexis Covaruubias Oceguera
Alejandro Hernández Martínez
Luis Alberto Rodríguez Gonzales

2.  la división polinomial es un algoritmo que permite
dividir un polinomio por otro polinomio de igual o
menor grado.
 El algoritmo es una versión generalizada de la técnica
aritmética de división larga.

3. Encontrar:
 Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que
tal como se explicó previamente, se incluye
explicitamente el término x, aunque su coeficiente sea
cero):


4.  1. Dividir el primer término del dividendo por el
término de mayor grado del divisor. Poner el resultado
arriba de la línea horizontal (x3 ÷ x = x2).

5. 2. Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer término
del eventual cociente). Escribir el resultado debajo de los primeros dos términos del
dividendo (x2 * (x-3) = x3 - 3x2).

6.  3. Restar el producto obtenido en el paso previo de los términos
correspondientes del dividendo original, y escribir el resultado
debajo. Tener cuidado al realizar esta operación de colocar el signo
que corresponda. ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego,
"desplazar hacia abajo" el próximo término del dividendo.

7.  4. Repetir los tres pasos previos, excepto que esta vez
utilizar los dos términos que se acaban de escribir en el
dividendo.

8.  5. Repetir el paso 4. Esta vez, no hay nada para
"desplazar hacia abajo".

9. El polinomio arriba de la línea horizontal es el cociente, y el número que
queda (-123) es el resto.

10.  Ejemplo
 Sea P = 63X³ - 86X² + 3X + 20 un polinomio de grado 3,
y se quiere hallar todas sus raíces. Miremos primero si
0, 1 o -1 es raíz evidente. Por suerte (...) P(1) = 63 - 86 +
3 + 20 = 0. Como xo = 1 es raíz, podemos factorizar
por X - 1, lo que hacemos mediante una división
euclidiana:

12.  El resto es nulo, lo que confirma que 1 es raíz, y
tenemos: P = (X-1)·Q, con Q = 63X² - 23X - 20. Luego, las
raíces de Q se obtienen resolviendo la ecuación de
segundo grado Q(x) = 0 y se obtiene
y por último se puede completar (y arreglar) la
factorización de P: P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4).

13.  Si A es un anillo, la división euclidiana en A[X] no es
siempre posible. Por ejemplo, en Z[X], los polinomios
con coeficientes enteros, no es posible dividir X² por 2X
+ 3, porque el cociente (trabajando en R[X]) es: X/2, y
no pertenece a Z[X].
 La única condición para que sea posible es que
coeficiente dominante (el del monomio de mayor
grado) sea inversible. En el ejemplo detallado, la
división por X - 1 ( = 1X - 1) no causó problema alguno
porque el coeficiente dominante es 1, inversible en Z.

14. Fin