El documento presenta la resolución de varias inecuaciones de tercer grado o superior a través de la factorización. Se muestra cómo determinar los intervalos en los que la función es positiva o negativa mediante el análisis del signo en cada intervalo definido por los ceros de los factores.

1. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Aplicaciones
© Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com
023 x2
– 6x + 9 ≤ 0
RESOLUCIÓN método 1
Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
(x – 3)2
≤ 0
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 2 intervalos que determina este valor
3 ℜ
3 ℜ+ +
La inecuación se verifica para < 0 en…
3 ℜ
x = 3
ACTIVIDADES: Resuelve las siguientes inecuaciones, representa gráficamente las
soluciones y escribe algebraicamente la solución de dos maneras distintas.
004. x3
– 7x2
+ 7x + 15 ≥ 0
RESOLUCIÓN
Factorizamos por el método de Ruffini:
1 – 7 7 15
– 1 – 1 8 – 15
1 – 8 15 0
5 5 – 15
1 – 3 0
3 3
1 0
(x + 1) (x – 5) (x – 3) ≥ 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = – 1 ; x = 3 ; x = 5
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 4 intervalos que determinan estos tres valores
– 1 ℜ3 5
– 1 ℜ3 5
-·-·-
-
+·-·-
+
+·-·+
-
+·+·+
+
La inecuación se verifica para ≥ 0 en…
– 1 ℜ3 5
[– 1, 3] ∪ [5, + ∞)
{∀x∈ℜ/ – 1 ≤ x ≤ 3 ∨ x ≥ 5}
06 x3
– 5x2
+ 6x ≤ 0
RESOLUCIÓN
Se puede sacar factor común:
x·(x2
– 5x + 6)
Factorizamos por el método de Ruffini:
15 1 – 5 6
2 2 – 6
1 – 3 0
x·(x – 2) (x – 3) ≤ 0

2. Resolución de inecuaciones de grado 3 o superior
Teoría y problemas resueltos.
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 0 ; x = 2 ; x = 3
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 4 intervalos que determinan estos tres valores
0 ℜ2 3
0 ℜ2 3
-·-·-
-
+·-·-
+
+·+·-
-
+·+·+
+
La inecuación se verifica para ≤ 0 en…
0 ℜ2 3
(– ∞, 0] ; [2, 3]
x ≤ 0 , 2 ≤ x ≤ 3
07. x3
– x2
– 8x + 12 ≥ 0
RESOLUCIÓN
Factorizamos por el método de Ruffini:
1 – 1 – 8 12
– 3 – 3 12 –12
1 – 4 4 0
2 2 – 4
1 – 2 0
(x + 3) · (x – 2) · (x – 2) ≥ 0
(x + 3) · (x – 2)2
≥ 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = – 3 ; x = 2
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos
valores
- 3 ℜ2
- 3 ℜ2
-·+ +·++·+
- + +
La inecuación se verifica para ≥ 0 en…
–3 ℜ2
O lo que es lo mismo...
–3 ℜ2
[–3, + ∞)
{∀x∈ℜ / x ≥ – 3}
008. 2x3
+ 4x2
+ 2x ≥ 0
RESOLUCIÓN
Factorizar la expresión:
Como falta el término independiente…
1.– Se puede sacar factor común:
2x(x2
+ 2x + 1)
2.– Trinomio cuadrado perfecto:
2x (x + 1)2
≥ 0
Comprobamos los valores que hacen cero cada uno de los factores:

3. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Aplicaciones
© Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com
x = 0 ; x = – 1
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos
valores
- 1 ℜ0
- 1 ℜ0
-·+ +·+-·+
- - +
La inecuación se verifica para ≥ 0 en…
–1 ℜ0
[0, + ∞)
{∀x∈ℜ / x ≥ 0}
10 5x4
– 8x3
+ 3x2
≥ 0
RESOLUCIÓN
Factorizamos la expresión:
x2
(5x2
– 8x + 3) ≥ 0
Factorizamos con la ayuda de la fórmula de la ecuación de 2º grado
x =
52
35488 2
⋅
⋅⋅−±
=
10
60648 −±
=
10
28 ±
=






===
−
=
+
60
5
3
10
6
10
28
1
10
28
.
x2
(x – 1) (x – 0.6) ≥ 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 0 ; x = 1 ; x = 0.6
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 4 intervalos que determinan estos tres
valores:
0 ℜ0.6 1
0 ℜ0.6 1
+·-·-
+
+·-·-
+
+·-·+
-
+·+·+
+
La inecuación se verifica para ≤ 0 en…
0 ℜ0.6 1
O lo que es lo mismo:
0 ℜ0.6 1
(– ∞, 0.6] ∪ [1, + ∞)
{∀x∈ℜ/ x ≤ 0.6 ∨ x ≥ 1}
011 x3
– x2
– 8x + 12 > 0
RESOLUCIÓN
Factorizamos por el método de Ruffini:
1 – 1 – 8 12
2 2 2 –12
1 1 –6 0
2 2 6
1 3 0
–3 –3
1 0

4. Resolución de inecuaciones de grado 3 o superior
Teoría y problemas resueltos.
(x – 2) · (x – 2) · (x + 3)·> 0
(x + 3) · (x – 2)2
> 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = – 3 ; x = 2
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos
valores
- 3 ℜ2
-·+ +·++·+
- + +
La inecuación se verifica para ≥ 0 en…
–3 ℜ2
{∀x∈ℜ / x > – 3} – {2}
(– 3, 2) U (2, + ∞)
014 x3
– x2
– 4x + 2x < 0
x3
– x2
– 2x < 0
Factorizamos la expresión:
x (x2
– x – 2) < 0
Factorizamos con la ayuda de la fórmula de la ecuación de 2º grado
x =
12
21411 2
⋅
−⋅⋅−± )(
=
2
91±
=
2
31±
=






−=
−
=
+
1
2
31
2
2
31
x (x – 2) (x + 1) < 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 0, x = 2, x = – 1
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 4 intervalos que determinan estos tres
valores:
-1 ℜ0 2
-1 ℜ0 2
-·-·-
-
-·-·+
+
+·-·+
-
+·+·+
+
La inecuación se verifica para ≤ 0 en…
– 1 ℜ0 2
(–∞, – 1) ∪ (0, 2]
{∀x∈ℜ/ x ≤ – 1 ∨ 0 < x < 2}