Matematica

35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do Año Secundaria MATEMÁTICA 2do Año
Secundaria
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
1. Comprender la definición y propiedades del M.C.D Y M.C.M. de dos o más expresiones
algebraicas.
2. Emplear los conocimientos adquiridos en la factorización de polinomios, para determinar el M.C.D
y el M.C.M de dos o mas expresiones algebraicas.
PROCEDIMIENTOS
A MOTIVACIÓN:
Así como en la aritmética hemos podido determinar el máximo común divisor y el Mínimo común
múltiplo de dos o mas cantidades, es también posible determinar, aplicando los mismos principios
el Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo de dos o mas expresiones algebraicas.
Para determinar el M.C.D y el M.C.M de dos expresiones algebraicas, vamos a utilizar nuestros
conocimientos adquiridos en la factorización de polinomios, tal como podremos observar en los
ejemplos planteados.
B. CONTENIDO TEÓRICO :
1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( M. C .D )
Antes de dar la definición es necesario enfatizar lo siguiente:
* El Factor o Divisor de una expresión algebraica entera es otra expresión algebraica entera que la
divide exactamente.
* El divisor común de dos o mas expresiones algebraicas enteras es otra expresión algebraica
entera que divide exactamente a cada una de ellas.
DEFINICIÓN :
El máximo común divisor de dos o mas expresiones algebraicas es la expresión algebraica entera de
mayor grado que divide exactamente a cada una de ellas
Ejemplo :
Divisores Algebraicos
x4
– 1 → ( x2
+1) ; ( x+1) ; (x – 1) ( x2
+1) ( x+1); ( x2
+1) (x – 1) ; ( x+1) (x – 1); (x4
– 1)
x3
– 1 → ( x – 1) ; ( x2
+ x + 1) ; ( x3
– 1)
(x – 1)2 → (x – 1) ; ( x – 1)2
El M.C.D. es : ( x – 1)
2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ( M. C. M )
* El múltiplo de una expresión algebraica entera, es otra expresión algebraica que se divisible entre
la expresión dada inicialmente
* Se llama Múltiplo Común de dos o más expresiones algebraicas, a toda expresión algebraica es
divisible entre cada una de las expresiones dadas inicialmente
Definición: El mínimo común múltiplo de dos o mas expresiones algebraicas enteras, es la
expresión algebraicas entera de menor grado que es divisible entre cada una de las expresiones
dadas.
Ejemplo:
Múltiplos Algebraicos
x4
– 1 → (x4
– 1) ; (x4
– 1) (x – 1) ; (x4
– 1) (x – 1) ( x2
+ x + 1) ...
x3
– 1 → (x3
– 1); (x3
– 1) (x + 1); (x3
– 1) (x + 1) (x – 1); (x3
– 1) (x + 1) (x – 1) (x2
+1) .....
(x – 1)2 → (x –1)2
; (x – 1)2
(x+1); (x – 1)2
(x+1) (x2
+1); (x – 1)2
(x+1) (x2
+1) (x2
+x+1) ....
El M.C.M es : (x – 1)2
(x + 1) (x2
+1) (x2
+ x + 1)
PROPIEDADES :
Si dos o mas expresiones algebraicas son primos entre si, entonces su M.C.D es la unidad y su
M.C.M. es el producto de ellos.
Sean A y B dos expresiones algebraicas primas entre si :
M.C.D.( A ; B ) = 1
M.C.M.( A ; B ) = A . B
Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras ,se cumple :
M.C.D.( A ; B ) . M.C.M.( A ; B ) = A . B
4. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL M.C.D. Y EL M.C.M. POR DESCOMPOSICION DE
FACTORES
Para calcular el M.C.D. y el M.C.M. de expresiones algebraicas enteras por el método de la
descomposición en factores, es importante que se utilice correctamente las definiciones expuestas
anteriormente y según el siguiente procedimiento:
S2MA33B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S2MA33B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN
MÚLTIPLO DE EXPRESIONES
III

Secundaria
a) Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos (se factorizan)
b) El M.C.D. se determina multiplicando los factores comunes afectados con su menor
exponente.
c) El M.C.M. se determina multiplicando los factores comunes y no comunes, afectados con su
mayor exponente.
Ejemplo 1.- Sean los monomios :
A = 24x2
y z5
de donde: 24 = 23
. 3
B = 216x3
y z7
216 = 23
. 33
C = 480x4
y2
480 = 25
. 3 . 5
Entonces: M.C.D. = (23
) (3) x2
y = 24x2
y
M.C.M. = (25
) (33
) (5) x4
y2
z7
= 4320x4
y2
z7
Ejemplo 2.- Dadas las expresiones algebraicas
P(x) = (x+2)3
(x – 5) (x – 3)3
de donde:
Q(x) = (x+4) (x – 5) (x – 3)2
Factores Comunes (x – 3); (x – 5)
R(x) = (x+2) (x – 5) (x – 3)2
Factores no Comunes (x + 2); (x + 4)
Entonces: M.C.D. = (x – 3)2
(x – 5)
M.C.M = (x – 3)3
(x – 5)3
(x + 2)3
(x + 4)
Ejemplo 3.- Calcular el M.C.D. y el M.C.M. de los polinomios
P(x) = 32 x2
– 64 x – 256
Q(x) = 48 x2
– 48 x – 576
R(x) = 24 x3
– 216 x2
+ 480 x
RESOLUCION
Se factorizan los polinomios aplicando el método de factorizacion que estime conveniente de acuerdo a
la forma de la expresión.
P(x) = 32 x2
– 64 x – 256 = 32 (x2
- 2x – 8) =32 (x – 4) (x+2)
Q(x) = 48 x2
– 48 x – 576 = 48 (x2
– x – 12) = 48 (x – 4) (x+3)
R(x) = 24 x3
– 216 x2
+ 480 x = 24x (x2
– 9x + 20) =24x (x – 4) (x – 5)
Donde: 32 = 25
Para los coeficientes
48 = 24
. 3 M.C.D. = 23
= 8
24 = 23
. 3 M.C.M. = 25
. 3 = 96
Entonces: M.C.D. = 8 (x-4)
M.C.M.. = 96 (x-4) (x-5) (x+2) (x+3)
5. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL M.C.D. DE DOS O MAS POLINOMIOS POR EL
METODO DE LA DIVISION SUCESIVAS.
Cuando en la factorización polinomios se presentan dificultades, se utiliza como alternativa el
método o algoritmo de las divisiones sucesivas.
Teniendo dos polinomios únicamente, se procede así:
Se divide los polinomios.
Si la división resultante es exacta, M.C.D. es el polinomio que hace de divisor.
Si la división no es exacta, se divide el primer divisor entre el primer residuo; se continuara
sucesivamente hasta llegar a una división exacta siendo el ultimo divisor el M.C.D. de los dos
polinomios dados en el inicio.
IMPORTANTE: Recuerdes el esquema adjunto para A y B Polinomios enteros:
Q1 Q2 Q3 Qn Qn+1
A B R1 R2 Rn-2 Rn-1 Rn
R1 R2 R3 Rn 0
Ejemplo 1.- Hallar el M.C.D y M.C.M. de los polinomios
A (x,y) = 16x3
+36x2
y – 12xy2
– 18y3
B (x,y) = 8x2
- 2xy – 3y2
Ejemplo: Hallar el M.C.M. y M.C.D. de los polinomios:
8
2
3
16 36
4
−12 −18
6
10 15
4 −32 5
A B
R1 Q1
1°)
Q = 2x + 5y R = 4x y - 3y
1 1
2 3
B R
R Q2 2
2°) 1 8x -2xy -3y
2 2 4xy - 3y 3
Multiplicando por y tendremos2
8x y - 2xy - 3y
2 2 3 4
4xy - 3y
2x + y- 8x y + 6xy
4xy - 3y
- 4xy + 3y
0
2 2 3
3 4
3 4
32
Luego: 4xy - 3y = y ( 4x -3y )
Entonces el M.C.D. sera : 4x - 3y
2 3 2
2

Secundaria
PRÁCTICA DE CLASE
Hallar el MCD y el mcm de los siguientes polinomios:
1) x; y
2) (x + 1); (x – 1)
3) (x – y); (x + y)
4) xy; xz; xz
5) x (x + y); x (2x – y)
6) x2
– 4x – 12; x2
– 5x – 6
7) a2
+ a – 2 ; a2
– a – 6 ; a2
+ 9a + 14
8) x2
– 2x – 3 ; x – 3 ; x3
– 7x2
+ 15x – 9
9) y2
+ 7y ; y2
– y – 56 ; y2
+ 14y + 49
10) x3
– 2x2
– 39x – 72 ; x3
+ 2x2
– 5x – 6
11) x2
+ 5x + 6 ; x2
+ 6x + 8
12) c3
– c2
– 8c + 12 ; c3
+ 2c2
– 5c – 6
PROBLEMAS PROPUESTOS N° 01
En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, resuelva cada uno de los
siguientes ejercicios.
01.Indicar el M.C.D. de los polinomios
P (x,y) = x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ 2y3
Q (x,y) = 2x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
a) x2
+ xy + y2
b) x2
– y2
c) x2
- xy + y2
d) x2
+ y2
e) x + y
02.¿Cuantos factores primos tiene el M.C.M. de los polinomios?
A (x) = x7
– x B (x) = x5
– x C (x) = x4
– x
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
03.Hallar el numero de factores primos en que se descompone el M.C.M. de los polinomios:
P (x) = x2
– 3x + 2 Q (x) = x2
– 5x +6 R (x) = x2
– 4x +3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
04.El M.C.D. de: x4
+ 2x3
– Px2
+ Qx +R y x3
+ 7x2
– Qx + 20 es: x2
+ 3x +5
Hallar P. Q . R .
a) –340 b) 340 c) 680 d) –680 e) 170
05.Hallar la suma de los coeficientes del M.C.M. de :
x3
– 9x2
+ 26x – 24 y x3
+ 2x2
– 13x +10
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
06.El M.C.D de P (x) = 2x4
+ 4x3
+mx2
+nx + p
y Q (x) = x3
+ 9x2
– mx – 21 es x2
+2x – 3
Hallar n . p
a) –150 b) 120 c) -180 d) 140 e) –100
07.El término independiente del mcm de: x2
– 5x + 6; 4x2
– 12x – 16; 3x – 2k es 96. Hallar "k"
a) 2b) 1/3 c) 1/4 d) 1/2 e) 1
08.Al multiplicar el MCD y el mcm de dos polinomios P(x) y Q(x) resulta:
3x5
+ 3x4
– 3x3
– 8x2
– 8x + 8
Hallar el polinomio P (x), sabiendo que Q (x) es x2
+ x – 1
a) 3x3
– 6 b) 3x2
+ 8 c) 3x2
– 6 d) 3x3
+ 8 e) 3x3
– 8
09.Hallar ab, si se sabe que el MCD factorizado de P y Q es: (x – a) (x – b)
P = x3
– 7x + 6 Q = x3
– 2x2
– x + 2
a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
10.El MCD de P y Q es de la forma ax2
+ bx + x, según esto, calcular el valor de a + b + c, si se sabe
que:
P = x3
+ 5x2
+ 3x – 9 Q = x3
– 3x + 2
a) 1b) 5 c) –3 d) 0 e) 4
TAREA DOMICILIARIA
01.a3
– 2a2
– 4a – 16 ; a3
+ a2
– 14a – 24
02.p2
– 7p + 10 ; 2p3
– 5p2
– 4p + 12
03.m2
+ ; mp2
; m2
+p2
04.a2
(a + c)2
; a (a + c)3
; (a + c) b2
FRACCIONES

Secundaria
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Aprender a manejar correctamente las operaciones entre fracciones algebraicas, esto es; simplificar
y efectuar operaciones combinadas con dichas fracciones.
PROCEDIMIENTOS
A. MOTIVACIÓN:
Antes de iniciar el desarrollo del presente módulo, es necesario recordar el campo numérico que
sirve como referencia.
Cuando hablamos de fracciones algebraicas, los términos que lo constituyen (numerador y
denominador) deben ser racionales.
Además, las variables que participan deben admitir solo valores adecuados de tal forma que la
fracción no tenga denominador nulo y tenga sentido en el conjunto de los números reales. Por
ejemplo:
2x3
x4
x5
7
)x(P
2
+
+
+
−
=
Para que la expresión tenga sentido, la variable “x” puede admitir cualquier número real excepto
x=5 ; x =–2/3, es decir:
}/;{Rx 325=∈
B. CONTENIDO TEÓRICO:
1. Definición.
Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas racionales, de los
cuales el denominador no debe ser una constante.
Ejemplo
3
5
−x
;
yx
x
+
3
;
253
75
2
2
+−
+−
xx
xx
;
1
1
13
10
2 −
+
−
−
+
x
x
x
xx
Ahora identificamos los términos de una fracción:
Numerador
D
N
F =
Denominador
2. Clases de Fracciones.
2.1 Fracción Algebraica Propia. Es la fracción que se caracteriza por que el numerador es de
menor grado que el denominador. Ejemplo:
1
72
2 +−
−
xx
x
2.2 Fracción Algebraica Simple. Es la fracción que se caracteriza por que el numerador es de
mayor grado que el denominador. Ejemplo:
253
772
2
23
+−
++−
xx
xxx
2.3 Fracción Algebraica Compleja. Se caracteriza por que el numerador y el denominador,
son expresiones racionales fraccionarias. Ejemplo:
2
2
1
3
3
5
+
−
+
−
+
xx
x
x
x
;
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
+
−
−
−
+
+
−
+
−
+
3. Signos de una Fracción Algebraica.
Observación: El signo de una fracción afecta a toda ella, y su tratamiento es análogo al de un
signo de colección. Ejemplo:
x
b
x
a
x
ba
−−=
+
−
D
N
D
N
D
N
D
N
F
+
−
−=
+
+
+=
−
−
+=
−
+
−=
Por lo expuesto podemos ampliar:
a) Cuando se cambia de signo a un número impar de factores, el signo de la fracción cambia.
Esto es:
)a()w(
)z)(y()x(
a.w
xyz
−
−−
=
b) Cuando se cambia de signo a un número par de factores, el signo no cambia. Esto es:

Secundaria
)x()x(
)yz()yx(
)x)(x(
)zy)(yx(
−+
−−
=
−+
−−
1313
4. Simplificación de Fracciones Algebraicas.
Simplificar una fracción algebraica es transformarla a otra fracción equivalente e irreductible.
Observaciones:
* Para simplificar una fracción, lo primero que se hace es factorizar el numerador y el
denominador, después de lo cual se eliminan (simplifican) los factores comunes.
* Los factores comunes a simplificarse nos muestran el M.C.D. de los términos de la fracción.
* Dos fracciones son equivalentes por que presentan el mismo valor numérico, para un conjunto
de valores admitidos por la(s) variable(s)
* Una fracción se considera irreductible cuando sus términos son expresiones algebraicas
primas entre sí.
Ejemplo. Simplificar:
)xx)(xx)(x(
)x)(xx)(xx(
4473081
699220
222
22
−−−+−
+−−−−
Solución
Factoricemos todas las expresiones posibles:
)x)(x)(x)(x)(x)(x(
)x)(x)(x)(x)(x(
4115699
691145
+−−+−+
++−+−
Efectuamos las simplificaciones: M.C.D. = (x-5) (x-11) (x+4) (x+9) (x+6)
Por tanto la fracción original es equivalente a :
9
1
4473081
699220
222
22
−
≡
−−−+−
+−−−−
x)xx)(xx)(x(
)x)(xx)(xx(
¡Importante!. Las Fracciones equivalentes tienen el mismo valor sí:
x ∈ R = {5 ; 11 ; -4 ; -9 ; -6 ; 9}
5. Operaciones con Fracciones Algebraicas.
Adición y Sustracción
a) Fracciones homogéneas.
D
CBA
D
C
D
B
D
A ±±
=±±
b) Fracciones Heterogéneas.
BDF
EBDCBFADF
F
E
D
C
B
A ±±
=±±
• Para sumar y/o restar fracciones heterogéneas se procede así:
– Se factorizan los denominadores de cada una de las fracciones.
– Se halla el M.C.M. de los denominadores, es decir, se da un común denominador a las
fracciones.
– Se efectúan operaciones y luego se simplifican.
Multiplicación
Para multiplicar fracciones se procede así:
FDB
ECA
F
E
D
C
B
A
××
××
=××
– Verificar si existen factores comunes en los términos de la fracción
– Realizadas las simplificaciones se multiplican lo que queda del numerador y denominador.
División
Para dividir fracciones se procede así:
CB
DA
C
D
B
A
D
C
B
A
×
×
=×=÷
– Se invierte la fracción que hace de divisor y el operador de la división es cambiado por el
operador de la multiplicación.
– Luego se procede como en el caso anterior.
Ejemplo 1.
Efectuar.
22
22
22 yx
y
)yx(
yx
)yx(
yx
−
+
+
−
−
−
+
Solución. Factorizando los denominadores tenemos:
22
22
22 yx
y
)yx(
yx
)yx(
yx
−
+
+
−
−
−
+
Dando común denominador tenemos:
)yx)(yx(
y)yx()yx(
−+
+−−+
2
4 222

Secundaria
yx
y
)yx)(yx(
)yx(y
)yx)(yx(
yxy
+
=
−+
−
=
−+
+ 2
2
4
2
44
Ejemplo 2:
Simplificar
x
x
x
x
x
1
1
2
1
1
1
1
1
1
−
−
+
÷
+
−
−
Solución. Trabajemos primero en los denominadores
1x
x
2
1x
x
1x
1
1
1x
−
−
+
÷
+
−
−
)x(
)x)(x(
)xx(
)x)(x(
2
11
1
11
−
+−
÷
−+
+−
1
22
1
1
1
1
−
−−
+
÷
+
−
−
x
xx
x
x
x
x
)x)(x(
)x()x)(x(
11
2
1
11
+−
−
×
+−
1x
2x
1x
1x
x1x
1x
−
−
+
÷
+
−+
−
Repuesta
PRÁCTICA DE CLASE
I. Simplificar las siguientes fracciones considerado sólo cambios de signos en sus términos:
1)
a1
1a
−
−
2)
)x8(
)8x(
2
2
−
−−
− 3)
m1m7
1m7m
2
2
−−
+−
−
4)
1x3x
1xx3
2
2
+−
−−
− 5)
)x2(
)2x(3
−−
−
6)
)y10(
)10y(
−−
−−
−
7)
1x
x1
x1
1x
−
−
+
−
−
8)
)a2b()1b5(
)cb3()ba2(
−−
−−
9)
)1y()x1(
)y1()1x(
−−
−−
10)
)x3()x3(
)3x()3x(
3
3
−−
−−
II. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
1)
1x2x
xx
2
2
++
+
2)
c5bc
ab5ab 2
−
− 3)
1017x8x
2x3x
23
2
−+−
+−
4)
6xx5x2
3xx2
23
2
+−−
−−
5)
1x2x
1x
2
2
+−
−
6)
yzz2
xy2xy 2
−
−
−
7)
aax2ax
yxy
2 +−
−
8)
9mn10nm
amna
22 +−
−
9)
10x9x
1yxxy
2 −+
+−−
10)
4x4x
2x3x
2
2
++
++
En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, resuelva cada una de las
siguientes ejercicios.
01.Simplificar:
)xx)(xx(
)xx)(x(
3412
321
22
22
++−−
−+−
a) x + 1 b) x – 1 c) 1 d) –1 e) 1 – x
x - 2

Secundaria
02.Efectuar:
65
6
6
2
4
1
222 +−
+
+
−−
−
+
−
−
xx
x
xx
x
x
x
Indicar su numerador:
a) 13 2 +x b) 193 2 +x c) 13 2 −x d) 53 2 −x e) 23 2 +x
03.Efectuar:
1
3
1
1
1
4
23
2
+−
+
+
+
+
−
xxxx
x
y señalar el numerador
a) x+1 b) x-1 c) 2x-3 d) 2x e) x+3
04.Efectuar: 322
3112
xx
x
xxxx −
−
−
−
−
+
a) x / (x+1) b) x / (x-1) c) 1 / (x+1) d) 1 / (x-1) e) 0
05.Simplificar:
)xx)(xx)(x(
)xx)(xx)(x(
111
111
222
24244
+++−−
+++−−
a) 134 +− xx b) 16 −x c) 16 +x d) 133 ++ xx e) 1
06.Luego de simplificar la fracción:
13
12
24
24
+−
−+−
xx
xxx
Indique la diferencia del numerador menos el denominador.
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
07.Efectuar:
x
x
xx +
−
−
−
− 11
2
1
1
2
a) x b) –x c) 1 d) –1 e) 2x
08.Efectuar:
xxxxx −
−
+
+−
− 3
2
1
12
1
1
a) x b) –x c) 1 d) –1 e) 0
09.Simplificar:
xx
x
xx
x
x
+
+
+
−
−
+
−−
−
11
2
11
1
2
a) x + 1 b) x – 1 c) x d) 12 +x e) 12 −x
10.Reducir :
x
x
x
1
1
1
1
1
1
3
4
−
−
+
−
+
a) 1 b) x c) 2x d) 3x e) 12 +x
TAREA DOMICILIARIA
Simplificar:
1)
7y
)y7(
−
−−
2)
1mm
1mm
2
2
−−
+−
3)
a3
)3a(
a2
2a
−
−−
+
−
−
− 4)
bbybx
1yx
++
++

Secundaria
5)
22
2
amax
mnmxnxx
−
+−−
6) 44
3223
yx
yxyyxx
−
+++
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado, resolverlos aplicando correctamente las propiedades
que corresponden
PROCEDIMIENTOS
A MOTIVACIÓN:
Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático Joseph Luis
Lagrange (1736 - 1813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época. Su mayor
aportación al algebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones numéricas”,
escrita en 1767.
La interpretación de los fenómenos físicos de la naturaleza se realiza en general mediante modelos
matemáticos, los cuales se expresan por ecuaciones algebraicas. De ahí la gran importancia del
estudio de la teoría de ecuaciones.
B CONTENIDO TEORICO:
1. Igualdad
Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se
denota por el signo = que se lee igual.
BA =
2. Ecuación
Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina
mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto
solución)
Observación
Enunciado Abierto; es toda expresión que contiene por lo menos una variable que para
determinados valores se convierte en un enunciado verdadero o falso.
Variable; Es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera de un determinado conjunto
llamado dominio.
El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores que permiten que la ecuación sea
una proposición verdadera.
Ejemplo. La ecuación 3x – 5 = 0 , tiene como raíz o solución a : x = 5/3.
Luego, su conjunto solución es:






=
3
5
.S.C
3. Clasificación de las Ecuaciones.
Cuando se plantea una ecuación, nos interesa saber si dicha ecuación tiene solución o no, si
tiene solución se debe conocer si existe un número finito de soluciones o existen infinitas
soluciones.
Considerando lo antes mencionado, la siguiente clasificación está dada en función de las
soluciones.
Ecuaciones Consistentes o Compatibles. Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos
una solución. A su vez se dividen en:
– Determinadas. Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones.
– Indeterminadas. Son aquellas que tienen un número ilimitado de soluciones.
Ecuaciones Inconsistentes o Incompatibles. Son aquellas que no tienen solución también se
les denomina absurdas o imposibles.
4. Ecuaciones de Primer Grado o Lineales en una Variable.
Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:
0=+ bax
Donde a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita.
Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la incógnita, así
tendremos: x = - b/a
Discusión de la raíz x= -b/a
ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Secundaria
Si a ≠ 0 la ecuación es determinada.
Si a = 0, b=0 la ecuación es indeterminada.
Si a = 0, b ≠ 0 la ecuación es incompatible.
Para resolver una ecuación de primer grado es fácil, bastará con aplicar algunas propiedades
básicas de los números reales hasta determinar el valor de la incógnita.
Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece en el denominador o, cuando se presenta un
término radical, es justamente en estos casos que aparece una raíz extraña en algunas ecuaciones.
Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en
cuenta lo siguiente.
a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la
incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto se puede evitar si la expresión que se divide
(simplifica) se iguala a cero.
Ejemplo. Resolver:
(x+3) (x-2) = 4(x-2)
Solución:
Simplificando: (x-2) → x – 2 = 0
Para no perder solución x = 2
Luego, tendremos : x + 3 = 4 → x = 1
La ecuación tiene 2 soluciones x=2 y x=1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la
solución x=2).
b) Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la
incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas.
Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación.
Ejemplo. Resolver .
4
2
23
=
−
−+
x
)x)(x(
Solución
Primero simplificamos (x-2) y tendremos x+3=4 → x =1
Observación.
Si hubiésemos trasladado (x-2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería x=2 que es una
solución extraña, pues no verifica la igualdad.
c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden
introducir soluciones extrañas.
Ejemplo: Resolver
772 −=+ xx
Solución
Elevando al cuadrado:
( )2
2
2 77 −=





+ xx
49147 22 +−=+ xxx
14x = 42 → x=3
Pero si reemplazamos; x=3 en la ecuación dada tendremos .
4441673732 −=→−=→−=+
(No cumple), luego : x=3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene
solución.
Observación.
Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores obtenidos
para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser solucionados
verdaderos.
PRACTICA DE CLASE
01.Resolver:
6x
4
x7
6x
4
5x
−
+−=
−
+−
a) 6 b) –6 c) 6y – 6 d) Indeterminado e) Incompatible
02.Resolver:
xxxx 4208524 −+−=−+−
a) 6 b) –6 c) 6y – 6 d) Indeterminado e) Incompatible
03.Resolver:
2
9
2
3
2
2
−+
−
=
+
−
xx
x
x
x
Marca lo correcto:
a) Tiene una raíz b) Tiene dos raíces c) Tiene tres raíces
d) Indeterminado e) Incompatible
04.Resolver:

Secundaria
3xx2
16x
1x
4x
2
2
−−
−
=
+
−
Indique el número de sus raíces.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Incompatible
05.Resolver:
x)x( −=− 91 2
a) Incompatible b) 0 c) 5 d) 5; – 5 e) Indeterminado
06.Resolver:
116513 +=+− xx
Indique la suma de sus raíces.
a) 0b) 5 c) 6 d) 7 e) 9
07.Resolver:
011276 =+++− x...xx
a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
08.Resolver:
6
10
1
3
3
7
2
6
+
+
+
−
+
=
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
Indique x)x( −+ 327
a) 4b) 2 c) –27 d) 3
3 e) 3
09.Resolver:
xxxx +−+=++− 73421
a) 0b) 3 c) 4 d) 2 e) 5
10.Resolver:
41414
33
=−++ xx
a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 14
11.Dada la ecuación en x:
6
75
3
2
2
1 +
=
+
+
+ xxx
Dar el valor de verdad:
I. La ecuación dada es lineal.
II. La ecuación tiene infinitas soluciones
III. La ecuación tiene una solución única.
IV. 32 +=x es solución de la ecuación
V. La ecuación dada es ecuación polinomial.
a) FVFVV b)FVFVF c) VVVFF d) FFVVV e) VFVFV
TAREA DOMICILIARIA
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
01.
ba
b
ba
ax
ba
a
ba
ax
+
−
−
+=
−
−
+
1 02. 4365 −=− xx
03.
1
1
5
2
1 −
=+
− xx
x
04.
1247325 −+−=−++ xxxx
Encierra en una circunferencia cada una de las respuestas correctas.
05.Resolver. xx −=− 198
a) 10/9 b) 10/9 ; -10/9 c) 0 d) Indeterminado e) Incompatible
06.Una ecuación compatible:
a) Tiene 2 incógnitas b) No tiene solución
c) Tiene un número finito de soluciones d) Tiene un número infinito de soluciones
e) c y d.

Secundaria
07.Toda ecuación lineal presenta.
a) 1 solución b) 2 soluciones c) 3 soluciones 4) 4 soluciones e) N.a.
08.Se llama ecuación polinomial a la:
a) Ecuación algebraica racional entera b) Ecuación algebraica racional fraccionaria
c) Ecuación trascendente d) Ecuación irracional
e) N.a.
09.Una ecuación se llama incompatible si:
a) Tiene infinitas soluciones b) Tiene 3 incógnitas
c) Tiene un número finito de soluciones d) Es irracional e) No admite solución.
10.Resolver:
20
3
3512
1
283
1
222 −+
=
++
−
−+ xxxxxx
a) 4 b) –3 c) 3 d) 1 e) –4
Son las que se satisfacen para iguales valores de las incógnitas
Ejm:



=−
=+
1yx
5yx
RESOLUCION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES.
Existen 4 métodos. El de Sustitución, el de Igualación, el de Reducción y por Determinantes.
A. METODO DE SUSTITUCIÓN.- Consiste en despejar una de las variables en cualquiera de las
ecuaciones del sistema (de preferencia la que tenga el menor coeficiente), luego sustituir su valor en
la otra ecuación y por último resolver la ecuación de 1er grado con una variable que resulta. Así.
Ejm : Resolver :



=+
=+
)2....(32y3x2
)1....(41yx5
Solución.- Despejando ¨y ¨ en la ecuación ( 1 ) y = 41 – 5 x
Reemplazando este valor en la ecuación ( 2 ) 2 x + 3 ( 41 – 5x ) = 32 .... Luego x = 7
Sustituyendo x = 7 en la ecuación ( 1 ) 5x + y = 41 ⇒ 5 ( 7 ) + y = 41 .... Luego y = 6
CS = { 7, 6 } Rpta
B. METODO DE IGUALACION.- Consiste en despejar la misma variable en cada una de las 2
ecuaciones e igualar, luego las 2 expresiones que representan el valor de la variable despejaba.
Ejm : Resolver :



=+
=−
)2....(2838
)1.....(6513
yx
yx
Solución.-
Despejando x en cada uno de las ecuaciones dadas.
Igualando estos valores:
8
y328
13
y56 −
=
+
8 ( 6 + 5y ) = 13 ( 28 – 3y ) → 48 + 40 y = 364 – 39 y
40 y + 39 y = 364 – 48
4y =
Reemplazando y = 4 en la ecuación ( 2 )
8 x + 3 ( 4 ) = 28 → 8 x = 28 - 12 → x = 2
CS = { 2, 4 } Rpta.
C. METODO DE REDUCCION.- Consiste en igualar el valor absoluto de los coeficientes de la misma
variable en las 2 ecuaciones, por medio de la multiplicación, y luego sumar o restar miembro a
miembro las ecuaciones obtenidas, para de esa manera eliminar dicha variable.
Son sistema de ecuaciones porque con los valores de:
x = 3 y y = 2, se satisfacen ambas ecuaciones
SISTEMAS DE ECUACIONES DE
PRIMER GRADO 8
y328
x
13
y56
x
−
=
+
=

Secundaria
Ejm. Resolver :



=−
=+
)2.....(1226
)1.....(3434
yx
yx
Solución.-
Eliminaremos a ¨y ¨ y multiplicamos a la ecuación ( 1 ) por 2 y a la ecuación ( 2 ) por 3. Así:
2 ( 4 x + 3 y ) = ( 3 4 ) 2 → 8 x + 6y = 68
3 ( 6 x – 2 y ) = ( 12 ) 3 → 18 x – 6y = 36
26 x = 104
4x =
Sustituyendo x = 4 en ( 1 )
4 ( 4 ) + 3 y = 34 → 16 + 3 y = 34
3 y = 34 - 16
3 y = 18
6y =
CS = { 4, 6 } Rpta.
EXISTE UN CUARTO METODO LLAMADO:
D. METODO POR DETERMINANTES.- Consiste en aplicar el concepto de MATRIZ
Ejm. Resolver:



=−
=+
1325
63
yx
yx
Solución.-
a) Hallamos el determinante del sistema ¨D¨, usamos la matriz ¨2 x 2¨, colocamos los coeficientes
de x y de y.
17D152)5)(3()2)(1(
25
31
−=⇒−−=−−=
−
+
b) Hallando el determinante de x: D ( x ), reemplazamos los coeficientes de x por los términos
independientes, respetándose los coeficientes de y. Así :
51)x(D3912)x(D)13)(3()2)(6(
213
36
−=⇒−−=⇒−−=
−
+
c) Hallando D ( y ), así :reemplazamos los coeficientes de y por los términos idependientes,
respetándose los coeficientes de x. Así:
17)(3013)5)(6(13)(
135
61
=⇒−=−== yDyD
Sumando miembro a miembro
(SI) (NO)
(SI) (NO)
(SI) (NO)

Secundaria
Para hallar 3x3
17
51
D
)x(D
x =⇒=
−
−
==
Para hallar 11
17
17)(
−=⇒−=
−
== y
D
yD
y
PRÁCTICA DE CLASE
Por el Método de Sustitución, Resolver:
01.



=−
=+
1325
63
yx
yx
a) ( - 3, -1 ) b) ( 1, 3 ) c) ( -1, 3 ) d) ( 3, 1 ) e) N.a.
02.



=+−
=−
2587
85
yx
yx
a) ( - 7, - 3 ) b) ( 3, 7 ) c) ( -3, - 7 ) d) ( -3, 7 ) e) N.a.
03.



−=−−
=+
7410
554
xy
yx
a) ( 4/3, - 5/2 ) b) ( 3/4, 2/5 ) c) ( - 3/4, 5 ) d) ( - 3, - 5 ) e) N.a.
04.



=−
=+
897
321115
xy
yx
a) ( - 2/3, - 3 ) b) ( 2/3, 4 ) c) ( 2/3, 2 ) d) ( 3, - 2 ) e) N.a.
05.



−=−
−=+
5916
111810
yx
yx
a) ( 1/3, 1/2) b) ( 1/2, 1/3 ) c) ( 2,- 3 ) d) ( - 1/2, - 1/3 ) e) N.a.
Por el Método de Igualación, Resolver :
06.



=−
=+
937
276
yx
yx
a) ( 3, 4 ) b) ( -3, 4 ) c) ( 3, - 4 ) d) ( - 3, 4 ) e) N.a.
07.



=+
=−
1389
547
yx
yx
a) ( 1/2, 1 ) b) ( 2, 1/3 ) c) ( 1, 1/2 ) d) ( 3, 1/4 ) e) N.a.
08.



−=−−
−=−
27512
871115
yx
yx
CS= {3, -1} Rpta

Secundaria
a) ( 2/3, 8 ) b) (– 2/3, 9 ) c) (– 2/3, 1 ) d) (– 2/3, 7 ) e) N.a.
09.



−=+
−=−
6085
223
yx
yx
a) (– 4, – 5 ) b) (–5, – 4 ) c) ( 4, 5 ) d) ( 5, 4 ) e) N.a.
10.



−=+
=+
41012
4297
yx
yx
a) ( 12, 14 ) b) ( 14, 12 ) c) (–12, 14) d) (–14, 12 ) e) N.a.
Por el Método de Reducción, Resolver:
11.



=+
−=−
1334
956
yx
yx
a) (3, 1 ) b) ( 1, 3 ) c) (–1, 3 ) d) (– 3, 1 ) e) N.a.
12.



=+
−=+
311112
11518
yx
yx
a) (–2, 5 ) b) ( 5, 2 ) c) (–2, 3 ) d) (–2, –6 ) e) N.a.
13.



=+
=−
236819
4015
yx
yx
a) (– 4 , – 20) b) ( 4, – 18 ) c) ( 4, 4 ) d) ( 4, 20 ) e) N.a.
14.



=−−
=−
86
1157
yx
yx
a) (–2, –1 ) b) (–1, –2 ) c) ( 2, 1 ) d) ( 0, 3 ) e) N.a.
15.



−=−
−=−
101724
141136
yx
yx
a) (1, 2 ) b) (–1, –2) c) ( 2, 1 ) d) (–2, –3 ) e) N.a.
01.Luego de resolver el sistema:
3 (x + y) + 2 (x – y) = 17
5 (x + y) + 4 (x – y) = 29
Señale el valor de: 3x + 4y – xy
a) 11 b) 9 c) 31 d) 7 e) 41
02.Resolver el sistema:
4 (2x + y) + 5 (2x – y) = 17
3 (2x + y) – ("x – y) = 8
Indicar luego el valor de x2
– y2
a) 2b) 1 c) 0 d) 3 e) 9
03.Resolver el sistema literal:
ax + by = 2ab ................. (1)
bx + ay = a2
+ b2
........... (2)
Señale luego el valor de:
2
a
y2
b
x3






+
a) 25 b) 9 c) 49 d) 1 e) N.a.
04.Luego de resolver el sistema:

Secundaria
(a + b) x + by = a2
x + y = a
Señale el valor de: ab – xy
a) bb) b2
c) a2
d) ab e) 1
05.Después de resolver el sistema:
a
by
b
ax +
+
−
= 2; x + y = 2a
tendremos que: M = x2
+ y2
+ 2 (a2
– b2
), resulta:
a) 3a2
b) 4a2
c) a2
d) 2a2
e) N.a.
06.La tercera parte de la edad de Juan excede a la quinta parte de la edad de Pedro en 2; además dentro
de 4 años la relación de ambas edades será de 8 a 7. ¿Cuál es la edad de Juan?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) N.a.
07.Quique le dice a José: "la relación de nuestras edades hace 3 años era de 3 a 2 y dentro de 13 años
será de 7 a 6". ¿Cuál es la suma de las edades actuales?
a) 20 b) 30 c) 18 e) 26 e) 19
08.Si sumamos 5 a ambos términos de una fracción obtenemos 4/5, y si en cambio restamos 2 a ambos
miembros, resulta 5/8. Indicar la suma de los términos de la fracción original.
a) 16 b) 17 c) 21 d) 13 e) 6
09.Miguel puede hacer una obra en 12 días, mientras que junto con Oscar pueden hacer la obra en 8
días. ¿En cuánto tiempo haría Oscar solo la obra?
a) 24 b) 20 c) 16 d) 32 e) N.a.
10.Si la relación: ax + by + cz = d, está sujeta a la tabla de valores:
a b c d
1 1 0 7
1 0 1 8
0 1 1 9
Calcule: 2x + 3y – 5z
a) 7b) –7 c) 2 d) –2 e) 6
11.Se da la relación: mx + ny = p y la tabla siguiente:
m n p
a + b a – b 2(a2
– b2
)
2a 2b 2(a2
+ b2
)
Calcule "x"
a) a + b b) a – b c) 2a d) 2b e) ab
12.Del problema anterior calcular y:
a) a + b b) a – b c) 2a d) 2b e) ab
13.Calcular m sabiendo que el sistema:
(m – 2) x + 2y = 3
(m + 3) x + 4y = m – 1
es compatible indeterminado.
a) 6b) 7 c) 9 d) 1 e) 2
14.¿Para qué valor de m el sistema mostrado a continuación;
mx + (m – 2) y = 6 (m + 3) x + my = 12
es compatible determinado?
a) Para m = 6 solamente b) Para todo valor
c) Para cualquier valor diferente de 6 d) Para todo valor mayor que 6
e) Para todo valor menor que 6
15.Indique la suma de valores de m que hacen que el sistema:
(m + 1) x + 4y = 7 (m + 2) x + 6my = 9
sea compatible.
a) –1/2 b) –1/4 c) –1/5 d) –1/6 e) –1/3
16.Si la siguientes tabla de valores satisface a y = 5x + a + b; calcular x, cuando y = 12
x b –1
y 2 2a
a) 13 b) 1/3 c) 6 d) 3 e) 9
17.Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
3x + 5y + z = 28
4x – 2y – 3z = 7
x + 3y + 4z = 11
Hallar: x + y + z
a) 4b) 5 c) 7 d) 3 e) 6

Secundaria
18.Hallar el valor de x para que el determinante sea igual a – 20
12
53x
−
+
a) 2b) 7 c) 11 d) 13 e) 17
19.Calcular x en:
33
201
31x0
105
=−
−
a) 1b) 8 c) 10 d) 12 e) 4
20.Hallar el valor de y en el siguiente sistema:
yx
2y5
1x7
000
2
2 +=
x – y = 3
a) –1/2 b) –3/2 c) 1/2 d) 3/2 e) 1
TAREA DOMICILIARIA
Resolver:
16.






=+
=+
7
2
11
2
3
y
x
y
x
a) ( 6, 2) b) ( 2, 2 ) c) ( 6, 6 ) d) ( 0, 0 ) e) N.a.
17.




−=−
=
+
832
45
12
yx
yx
a) ( 0, 3 ) b) ( 4, 0 ) c) (–2, –4 ) d) ( 2, 4 ) e) N.a.
18.






=−
=+
7
4
3
7
1
0
87
yx
yx
a) ( 1, –2 ) b) (– 6, – 8 ) c) ( 7, - 8 ) d) ( 8, 7 ) e) N.a.
19.






=−
=−
2
6
5
8
1
1
4
3
3
2
xy
yx
a) ( 3, 4 ) b) (– 3, – 4 ) c) ( 2, 4 ) d) (– 3, 0 ) e) N.a.
20.




−=−
=
+
832
45
12
yx
yx
a) ( 2, 2 ) b) ( 3, 3 ) c) ( 4, 4) d) ( 5, 5 ) e) (2; 4)
Ecuaciones de 2do Grado: Llamadas ecuaciones cuadráticas, porque tienen como máximo exponente
el número 2.
ECUACIONES DE

Secundaria
MÉTODOS DE SOLUCIÓN:
A) Por Factorización:
Ejm: Factorizar: 04x5x 2
=+−
x -4
x -1
(x-4) (x-1) = 0
x – 4 = 0 ⇒ x´= 4
x – 1 = 0 ⇒ x´´= 1
Cs = { 4, 1}
B) Por la Fórmula General:
a2
ac4bb
x
2 −±−
= La expresión ac4bD 2
−= se llama DISCRIMINANTE
Ejm: Resolver: 4x5x 2
+−
Solución: a = 1 ; b = -5 ; c = 4
Reemplazando:
a2
ac4bb
x
2 −±−
= ⇒
2
95
)1(2
)4)(1(4255
x
±
=
−±
=
1
2
35
´´x4
2
35
´x
2
35
x =
−
==
+
=⇒
±
=
NATURALEZA DE LAS RAÍCES: Se presentan 3 casos del valor del DISCRIMINANTE:
1°) Si D > 0 Discriminante positivo.
Entonces las raíces son reales y diferentes.
2°) Si D = 0 Discriminante nulo.
Entonces las raíces son iguales y reales.
3°) Si D < 0 Discriminante negativo.
Entonces las raíces no son reales (Imaginarias y Conjugadas)
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Dada la ecuación cuadrática 0cbxax 2
=++ , podemos hallar la suma, diferencia, producto y suma
de inversas de las raíces SIN RESOLVER dicha ecuación empleando las siguientes propiedades:
1° 2°
a
D
xx 21 =−
3°
a
c
xx 21 =• 4°
c
b
x
1
x
1
21
−=+
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Dadas las soluciones X1 y X2 , para formar una ecuación cuadrática aplicamos la fórmula siguiente:
0PSxx2 =+− donde S = suma y P = producto
Ejm: Dadas las raíces 7 y –3, hallar la ecuación cuadrática.
Solución:
S = 7 – 3 = 4 Luego:
P = (7) (-3) = 21 021x4x2
=−− es la ecuación cuadrática
ECUACIONES BICUADRÁTICAS: Son aquellas que se pueden transformar a ecuaciones de la forma:
0cbxax2
=++ , y tienen la siguiente forma general:
0cbxax 24 =++
Para resolverlas sólo se hace el siguiente cambio de variable: yx 2
= , con lo cual la ecuación queda
convertida en una ecuación cuadrática.
Ejm: RESOLVER:
036x13x 24 =+− Escribimos 224 )x(x =
Solución:
Cambiamos a 036)x(13)x( 222 =+−
Luego: yx 2
= ENTONCES: 036y13y2 =+−
y´= 9 y´´ = 4
Luego: x2
= 9 ⇒ x1 = 3 ; x2 = – 3
x2
= 4 ⇒ x3 = 2 ; x4 = – 2
PRATICA DE CLASE
I. ¿Cuáles de los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes, o sea que tienen el mismo valor?
a
b
xx 21 −=+

Secundaria
1) 291x5;8
2
x
1x2 =−+=− 11) x
x13
40
);15x(2x1510x2
=
−
+−=+
2) x
2
1xx
;2x71x4 =
+
−=+ 12)
3x
1
x9
3x
1
)1x(x;09x2
+
+−=
+
+−=−
3) 01
4x
1
;
8
1x5
2
1x
=+
−
+
=
+
13) 0)x2)(x2x(;0)4x(x 22
=−+=−
4)
9
1
2x
2x
;0
5
1x4
4
1x5
=
−
+
=
+
+
+
14) 0)2x)(1x(;
2
5
1x
x
x
1x
=+−=
+
+
+
5)
7
3
2x
2x
;9
4x
4x
=
+
−
=
−
+
15)
1x
5
3x
4
2x
3
1x
;4
1x
x
1x
x3
+=
+
+
+
+
+
=
−
+
+
6) 9x;x3x3 22
== 16)
2222
x2)1x(x)1x(x;)1x)(3x()1x( ++=+−+=+
7)
x1
4
5
x
;20xx2
+
==+ 17)
1x
1
1
1x
1
x;
x
1
1
x
1
x 33
−
+=
−
++=+
8) xx;0)1x(x 2
−==+ 18) 02)1x(x;x2x =−−=+
9) 2
1x
1x
1x
1x
;2
1x
x
x
1x
=
+
−
+
−
+
=
+
+
+
19) x816x;5x5x 2
=+=++
10) 8)5x3(x;
3
4
x
2x
x
=+=+
+
20)
4
5
51x14;
2
5
2x
1x2
1x2
2x
=+=
+
−
+
−
+
II. Resolver las siguientes ecuaciones:
1) 0xx2
=− 14) 09x4 2
=− 27) 0x3x5 2
=+
2) 016x2
=− 15) 0x9x4 2
=− 28) 09x25 2
=−
3) 16x2
= 16) 050x2 2
=+ 29) x100x300x3 2
=+
4) 0x5x2
=− 17) 0x50x2 2
=+ 30) 4050x20 2
=−
5) 24x1x2 22
+=− 18) 0x24x3 2
= 31) 22
x241x33 =−
6) xx5x8x3 22
−= 19) 024x3 2
=+ 32) 49x24x49 22
+=
7) )1x(5x2x 22
+=+ 20) 5)2x)(2x( =−+ 33)
222
x9)1x(x2x −+=+
8) )xx(7x5x3 22
+=+ 21) 2
x)1x3)(1x3( =+− 34)
)x1)(x1()1x5( 2
−+=+
9) )3x(39x2 22
+=+ 22) 2xx)1x5( +=+ 35)
)x22)(x22()2x3( 2
−+=+
10) )2x(5)1x(2 22
−=+ 23) )x9()3x2( 2
+=+ 36)
0)3x()1x3( 22
=+−+
11) )1x4(3)1x2(5 22
+=+ 24) )1x2()1x3( 2
+=+ 37)
0)1ax()ax( 22
=+−+
12) )x4x3(2)xx(7 22
+=+ 25) )1x5(4)2x5( 2
+=+
38) 0)bax()abx( 22
=−++
13) )xx(5)1x(x6 2
+=+ 26) x125)2x3( 2
−=− 39)
222
)x5()x51()x5( =+++
TAREA DOMICILIARIA
I. Dadas las siguientes ecuaciones, calcular el discriminante de cada una de ellas y resolverlas
empleando la FÓRMULA GENERAL.
1) 02x5x2
=++ 11) 01x2x3 2
=−+ 21) 02x10x25 2
=+−
2) 05x7x2
=++ 12) 01x3x2 2
=++ 22) 036x36x36 2
=++
3) 01x4x2
=−+ 13) 01x3x2 2
=−+ 23) 09x9x9 2
=+−
4) 09x8x2
=++ 14) 05x7x3 2
=++ 24) 0100x200x100 2
=++
5) 02xx2
=−+ 15) 09x12x4 2
=++ 25) 02x7x5 2
=+−
6) 02x6x2
=++ 16) 016x8x2
=+− 26) 027x28x3 2
=+−
7) 01x9x2 2
=++ 17) 03x6x3 2
=+− 27) 015x10x5 2
=−+

Secundaria
8) 02x7x3 2
=++ 18) 025x20x4 2
=+− 28) 01x)1a(ax2
=+++
9) 05xx2
=++ 19) 025x10x2
=++ 29)
0)1a(x)a2(x)1a( 2
=+++−
10) 07x5x2
=++ 20) 020x20x5 2
=+−
30) 0c)ba(x)cba(x)ba( 22222
=+++−+−
PRÁCTICA DE CLASE II
I. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones.
1) 02x3x2
=++ 19) 06xx5 2
=−+
2) 04xx3 2
=−+ 20) 04xx5 2
=−+
3) 09x8x2
=−− 21) 16x8x7 2
=+
4) 02x5x2 2
=+− 22) 18xx4 2
=+
5) 01x4x5 2
=−+ 23) 24x2x5 2
=+
6) 01x6x9 2
=++ 24) 212x3 2
=−
7) 01x10x25 2
=+− 25) 2x5x7 2
=−
8) 09x12x4 2
=+− 26) x256x4 2
=+
9) 01xx30 2
=−+ 27) x1314x3 2
=+
10) 01xx20 2
=−− 28) x109x2
=+
11) 01x8x15 2
=++ 29) x61x5 2
=+
12) 01x2x15 2
=−+ 30) 8xx9 2
+=
13) 04x12x5 2
=+− 31) 14x5x6 2
+=
14) 06x13x6 2
=++ 32) 3x8x3 2
+=
15) 021x17x2 2
=++ 33) 1x10x25 2
−=
16) 021x17x2 2
=+− 34) 25x60x36 2
−−=
17) 06x19x3 2
=++ 35) 21x20x2
+−=
18) 05x21x4 2
=+− 36) 7x50x7 2
−=
II. Completar el siguiente cuadro:
N° ECUACIÓN
SUMA
DE
RAÍCES
21 xx +
DIFERENCIA
DE RAÍCES
21 xx −
PRODUCTO
DE RAÍCES
21xx
SUMA DE
INVERSAS DE
RAÍCES
21 x
1
x
1
+
1 02x3x2
=++
2 08x9x2
=++
3 06x5x2
=+−
4 06x5x2
=−+
5 01x4x3 2
=++
6 02xx6 2
=−+
7 01x4x4 2
=++
8 01x2x15 2
=−+
9 01x5x2 2
=++
10 01x2x7 2
=−+
11 022xx5 2
=−+
12 03x5x3 2
=++
13 03x18x9 2
=++
14 0x81x7 2
=++
15 08x3x5 2
=−+
16 0x5x12 2
=−+

Secundaria
17 0)1a(x)1a2(ax2
=−+−+
18 0)ba(ax2x)ba( 2
=−+++
01.Calcular la suma de raíces reales en la siguiente ecuación:
3x2
= – 2 (x + 4)
a) 5b) –3 c) –1/3 d) /∃ e) 1/3
02.Calcular el discriminante correspondiente a la siguiente ecuación:
7x (x + 5) = 3
a) 89 b) –89 c) 1 309 d) –109 e) 106
03.Con el solo cálculo del discriminante en el problema anterior. ¿Qué puedes afirmar acerca de las
raíces de dicha ecuación?
a) Son reales e iguales b) Son reales y diferentes c) Son complejas
d) Son complejas e iguales e) No se puede afirmar nada.
04.Hallar el valor de m para el cual la ecuación siguiente tiene raíces de la ecuación:
x2
+ 8x + m = 0
a) 2b) 16 c) –2 d) 8 e) 6
05.Hallar el valor de P para el cual la diferencia de las raíces de la ecuación:
4x2
+ 8x + P = 1 es nula.
a) 5b) 3/2 c) 1/2 d) 1/5 e) –5
06.Si se cumple que: x ∆ y = x2
+ 2y2
– 4xy + 4x + 4
¿Cuál es la naturaleza de las raíces de la ecuación: z ∆ (2z) = 0?
a) Raíces reales e iguales b) raíces reales y diferentes c) raíces no reales
d) Raíces complejas e iguales e) La ecuación no tiene raíces
07.Hallar la suma de raíces de la siguiente ecuación (sin resolverla)
6
x
5
x3 =+
a) –2 b) 1/2 c) – 1/2 d) 5/3 e) 2
08.¿Cuál es el producto de las raíces de la siguiente ecuación (encontrar la respuesta sin resolver la
ecuación)?
2
x
3
x7 =





+
a) – 2/7 b) 2/7 c) – 3 d) 3 e) 0
09.¿Qué valor debe tener m para que una raíz sea la inversa de la otra en:
2
7
x2
m
x =+
a) – 1 b) 2 c) – 2 d) 6 e) 4
10.Si b es una raíz de la ecuación: x2
+ bx – 2 = 0
Hallar la suma de las raíces de: b2
x2
+ 7x – 8 = 0
a) – 7 b) 7 c) – 8 d) 8 e) 1
11.Hallar q, sabiendo que el producto de raíces de la ecuación 2x2
+ 3x + q = 0, es igual a la suma de
las raíces de la ecuación: 3x2
– 6x + 7 = 0
a) 6b) 4 c) – 4 d) 5 e) – 5
12.En la siguiente ecuación: 5x2
= x + 1, calcular la suma de las inversas de sus raíces.
a) 1b) 0 c) – 1 d) 1/2 e) – 2
13.x2
+ 12x – 3k = 0. Si la ecuación anterior, tiene raíces iguales, K es igual a:
a) 6b) 9 c) 12 d) 18 e) N.a.
14.Dada la ecuación: 3x2
+ 23x – 36 = 0, hallar el producto de sus raíces.
a) 12 b) – 12 c) 15 d) – 15 e) 20
15.Se debía repartir 1 800 soles entre cierto número de personas; cuatro de ellas renunciaron a su parte
con lo cual a cada una de las restantes le tocó 15 soles más. ¿Cuántas personas eran originalmente?
a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 36
16.Resolver en x: x2
– 7ax + 12a2
– ab – b2
= 0 y encontrar la diferencia de las raíces.
a) a – 2b b) 2a + b c) a + 2b d) 2a – b e) a + b

Secundaria
17.Hallar m de tal modo que en la ecuación: 2 x2
– 3 (m – 2) x + 1 = 0 la suma de inversas de las
raíces es 24.
a) 12 b) – 6 c) 8 d) 10 e) – 8
18.Formar la ecuación cuyas raíces sean las inversas de las raíces de la ecuación: 3x2
+ 8 = – 5x
a) 6x2
+ 8x + 5 = 0 b) 8x2
+ 5x + 3 = 0 c) x2
+ 5x + 3 = 0
d) x2
– 5x – 3 = 0 e) 8x2
– 5x – 3 = 0
19.¿Qué valor debe tomar m para que una raíz de 2x2
+ mx + 2 = 0 sea igual a – 2.
a) 3b) 4 c) 5 d) – 5 e) 6
20.Hallar la ecuación cuyas raíces sean:
)3223(y)3223( −+
a) x2
– 6 2 x + 6 = 0 b) x2
+ 6x + 6 = 0 c) x2
+ 6 2 x + 6 = 0
d) x2
+ 6 2 x – 6 = 0 e) x2
– 6 2 x – 6 = 0
TAREA DOMICILIARIA
1x 2x ECUACIÓN
1x 2x ECUACIÓN
2 3 5 1/2
-2 -3 35 + 35 −
5 -1 71− 71+
1/3 2 1/3 1/4
1/4 1/3 6 -8
-1/7 -2/3 0,2 0,3
2 3 3 3−
12 + 12 − 10 -6
3
1
3
1
−
2m 5m – n
a + 1 a - 1 2a + 3b a – 4b
ba
1
+ ba
1
−
56 + 56 −
Es una desigualdad formada por 2 miembros unidos por el signo > ó <
Así: 
miembrodomiembroer
xxx
.2.1
)1(375 +−<−
Signo Desigual
Solución.- Para resolver inecuaciones de 1er. grado se procede así:
1°.- Se suprimen los signos de colección.
2°.- Se reducen los términos semejantes
3°.- Transposición de términos
4°.- Volvemos a reducir los T.S y despejamos la incógnita.
Ejm. Resolver: 5x – 7 < 3x –( x + 1 )
Solución .-
Suprimimos los signos de colección → 5x – 7 < 3 x – x – 1
Se reducen T.S. en cada miembro → 5x – 7 < 2 x – 1
Transponemos los términos → 5x – 2x < - 1 + 7
Se reducen T.S. nuevamente → 3x < 6
Despejando la incógnita → x < 6/3
↑
x < 2 ] -∞, 2 [
INECUACIONES DE

Secundaria
- 2 - 1 0 1 2
− ∞
Observación: Cuando la variable cambia de signo, la inecuación cambia de sentido
Así: - 3 x < 18
x >
3
18
−
PRÁCTICA DE CLASE
01.Hallar el conjunto solución que satisface a la siguiente inecuación: 8x < x + 56
02.Resolver: x + (x + 5) ≤ (x + 7)
03.¿Cuántos números enteros y positivos satisfacen la siguiente inecuación?
1 ≥ (x + 5) (x – 2) – (x – 1) (x + 3)
04.Resolver: (x + 2) (x2
– 2x + 4) < 11x + x3
+ 1
05.Hallar el conjunto solución que satisface a la siguiente inecuación:
0 < x + (2x + 1) – (3x + 2)
06.¿Cuál es el conjunto de valores de x que permiten que la siguiente desigualdad sea cierta?
1 > 7x2
– (3x2
+ 1) – 4x (x + 1) + 4x
07.Resolver:
2
5x
3
x +
>
08.Hallar la suma de números enteros y positivos que satisfacen a la siguiente desigualdad:
1
2
x
5
3
2x
<+
−
09.Resolver la siguiente inecuación:
7
1x
3
7x
3
1
7
4x +
−
+
<+
−
10.Resolver la siguiente inecuación:
2
x
3
2x
4
)1x(5
<
+
+
+
11.Dados los intervalos:
A = ] –2; 9] ; B = [ 2; 12[ ;
C = [0; 7] ; D = ] 3 ; 9 [
Calcular:
• (A ∪ B) – C • (D ∩ A) – B • (B ∪ C) – D
• (A ∪ C) – D • (C ∪ D) – A • (B ∪ D) – C
Calcular también los intervalos equivalentes a:
• (A ∩ B) – (A – B) • (A ∩ D) – (B ∩ C) • (B ∩ C) – (B – C)
• (A ∩ D) – (B ∪ C) • (B ∩ D) – (C ∩ D) • (A ∩ C) – (A ∩ D)
01.¿Cuántos números enteros y positivos menores que 5, satisfacen a la siguiente inecuación?
3
x
5/1
1x
3
1
+
−
<
a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
02.¿Para cuántos valore enteros de x, menores de 7, se cumple que en la siguiente fracción, el
numerador es mayor que el denominador?
7x
1x5
+
−
a) 4b) 3 c) 5 d) 2 e) Ninguno
03.¿Cuántos números enteros permiten que en la fracción ,
3x5
5x3
−
+
el numerador sea menor que el
denominador, si x ∈ [2; 7] ?
a) 1b) 3 c) 5 d) 4 e) 2
x > - 6 ] – 6, +∞ [
- 2 - 1 0 1 2
+ ∞
- 5 - 4 - 3- 6

Secundaria
04.¿Cuántos valores de x enteros no negativos, hacen que en la siguiente fracción ,
1x7
2x
+
+
el
denominador sea menor que el numerador?
a) 0b) 3 c) 1 d) 2 e) 4
05.El triple de la cantidad de manzanas disminuido en uno que compró Fernando, es menor que dicha
cantidad de manzanas aumentadas en 3, ¿cuántas manzanas compró Fernando?
a) 2b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
06.Encontrar el conjunto de valores de x, que satisfacen a la siguiente desigualdad?
5x – 1 < 6x + 7
a) x > – 4 b) x < 4 c) x < – 7 d) x > – 8 e) x < – 8
07.Hallar la suma de números enteros positivos que satisfacen a la siguiente inecuación:
2
1
5
2x
4
1x
<
−
+
−
a) 4b) 7 c) – 2 d) 6 e) 3
08.Hallar el conjunto de valores de x, que reemplazados en la fracción:
3x3
1x7
+
−
permiten que el
numerador sea mayor que el denominador.
a) x > 1 b) x ≤ 2 c) x > – 1 d) x < – 2 e) x < 4
09.Hallar la suma de los valores enteros de x que satisfacen: – (x + 3) < 3x + 5 < x + 13
a) 4b) – 5 c) 5 d) 3 e) 1
10.Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación: 4x2
+ 4x – 11 < 0
a) x ∈ [


++−
2
1
3;
2
1
3 b) x ∈ 





−+
2
1
3;
2
1
3
c) x ∈ 





−−−
2
1
3;
2
1
3 d) x ∈






−−−
2
1
3;
2
1
3
e) x ∈ 





+−−
2
1
3;
2
1
3
11.Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones: x – 3 < 2x + 2 < x + 5
a) ] 0; 1[ b) ] –2 ; 5 [ c) ] – 5; 3 [ d) ] – 4; 2 [ e) ] – 1; 1 [
12.¿Cuántos números enteros satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones?
11 – 6x ≤ 1 – x < 7 – 2x
a) 1b) 4 c) 5 d) 3 e) 6
13.Hallar la suma de valores enteros de x que satisfagan el siguiente sistema de inecuaciones:
– 17 – x ≤ 7 x – 1 ≤ x + 11
a) 4b) – 5 c) 5 d) 0 e) – 3
14.¿Cuál es el conjunto solución de la siguiente inecuación? 12x – 11 < 7
a) ] – 3; 4 [ b) [–3; 4] c) [– 3; 4 [ d) ] – 3; 4 ] e) [– 1; 5 ]
15.Calcular la suma de los números enteros que satisfacen a la siguiente inecuación:
1
3
5
x ≤+
a) – 1 b) – 6 c) – 3 d) – 4 e) – 5
16.Resolver la inecuación: x2
+ 2x – 15 < 0
a) x ∈ 〈–5 ; 3 〉 b) x ∈ 〈 – 1; 3 〉 c) x ∈ 〈 –3; 5 〉 d) x ∈ 〈 – 3; ∞〉 e) N.a.
17.Si x es un número real tal que – 1 < x < 3, entonces x2
satisface la relación:
a) 0 ≤ x2
< 1 b) 1 ≤ x2
< 9 c) 0 ≤ x2
< 9 d) 1 < x2
< 9 e) 0 < x2
< 9
18.Resolver: 1
4
1x2
2
3x5
>
+
+
+
a) ] – 4; + ∞ [ b) ] – 1/4 ; + ∞ [ c) ] – 1; 4 [ d) 





−∞−
4
1
; e) ] – ∞ ; – 4 [
19.Determinar el conjunto solución de:
3
1x
x
2
3x +
<<
−
a) ] 3 ; + ∞ [ b) ] –3 ; – 1/2[ c) ] –3; 1/2 [ d) ] 1/2 ; 3 [ e) ] –1/2 ; 3 [
20.Hallar la suma de valores de x (x ∈ Z) tales que: 10
6
3x
2
1x
4
1x
≤
+
+
−
+
+
y
2
8
1x3
5
1x2
≥
−
+
−
a) 57 b) 52 c) 58 d) 59 e) 55

Secundaria
TAREA DOMICILIARIA
01.Luego de resolver la inecuación: x
9
1x4
5
1x3
>
+
+
−
Indicar el mínimo valor entero que
la verifica.
02.Luego de resolver la inecuación: 2
6
11x
2
1x5
3
1x2
+
+
≤
+
+
+
Señalar el mayor valor
que puede tomar x.
03.Resolviendo la inecuación:
7
1x4
5
1x3
9
1x5 −
−
−
+
−
≤ 1
¿Cuál es el mínimo valor para x?, ¿cuál es el máximo valor de x?
04.Dar el intervalo que cumple simultáneamente las inecuaciones mostradas:
2 (x – 4) + 3 (x – 5) ≤ 2 3 (x – 2) + 2 (x – 1) ≥ 2
05.Resolver el sistema de inecuaciones:
5 (x + 1) + 3 < 4 (x + 3) + 5 7 (x – 2) + 1 ≤ 9 (x – 6) + 1
06.¿Cuántos valores enteros cumplen simultáneamente las inecuaciones:
3
6
3x
2
1x
4
1x
≥
+
+
−
+
+
x
8
1x3
4
1x2
≥
−
+
−
SOLUCIONARIO
N°
Ejercicios Propuestos
01 02 03 04 05
01. A D A D C
02. D B C C A
03. C D A C B
04. B E B B C
05. E C B A B
06. A B C A D
07. D D D E E
08. E E B D A
09. B A A B C
10. D B B A C
11. B B C
12. A C B
13. B E D
14. C B A
15. E B C
16. D C A
17. E D B
18. B B C
19. E C C
20. B A A
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

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