1) El documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo cómo resolverlas mediante factorización, fórmula cuadrática y propiedades de las raíces como suma, producto y diferencia. 2) Se explican conceptos como discriminante, naturaleza de las raíces, y formación de ecuaciones cuadráticas a partir de las raíces. 3) El documento concluye con ejercicios resueltos sobre ecuaciones cuadráticas.

1. I.E. Jorge Basadre Grohman - Huaraz
I.E. JORGE BASADRE GROHMAN
6
x 42
40
18
x 36
1 1 1
n m p
a b c  a n .b m.n .c n.m.p
Tercer Trimestre 1 4to. de Secundaria

2. I.E. Jorge Basadre Grohman - Huaraz
Tercer Trimestre 2 4to. de Secundaria

3. I.E. Jorge Basadre Grohman - Huaraz
Capítulo 1
Tercer Trimestre 3 4to. de Secundaria

4. I.E. Jorge Basadre Grohman - Huaraz
Tercer Trimestre 4 4to. de Secundaria

5. I.E. Jorge Basadre Grohman - Huaraz
Forma General:
ax2  bx  c  0
a,b y c: Coeficientes. (a,b,c  R)
2
ax : Términos Cuadráticos
bx : Termino lineal
c : Termino Independiente
Resolución de la Ecuación de Segundo Grado
er
I. Por Factorización. Consiste en Factorizar el 1 .
Termino de la ecuación, empleando aspa simple o
complementando cuadrados enseguida se iguala a cero
cada uno de los factores obtenidos.
Ejemplo:
2
Resolver: 2x -5x-3 = 0
2
2x -5x -3 = 0
2
2x +1
1x -3
1
x1  
(2x+1)(x-3) = 0 2
x2  3
Tercer Trimestre 5 4to. de Secundaria

6. I.E. Jorge Basadre Grohman - Huaraz
2
II. Por Formula. Las raíces de la ecuación ax +bx+c = 0 se
obtiene mediante formula:
b  b2  4ac
x
2a
Las raíces x1 y x2 de la ecuación son:
b  b2  4ac
x1 
2a
b  b2  4ac
x2 
2a
O expresando de otro modo, la solución es:
 b  b2  4ac b  b2  4ac
 

 ; 

 2a 2a 

Ejemplo:
2
Resolver: x +x+3 = 0
Solución:
a=1 ; b=1 ; c=3
Remplazando en la formula:
1  (1)2  4(1)(3) 1  11i
x 
2(1) 2
1  11i 1  11i
x1  ; x2 
2 2
Tercer Trimestre 6 4to. de Secundaria

7. I.E. Jorge Basadre Grohman - Huaraz
Propiedad de las Raíces
1. Suma de Raíces. Se obtiene dividiendo el
coeficiente del termino lineal con el signo cambiando,
entre el coeficiente del termino cuadrático.
b
x1  x2  
a
2. Producto de Raíces. Se determina dividiendo el
término independiente entre el coeficiente del término
cuadrático.
c
x1.x 2 
a
3. Diferencia de Raíces. Se calcula con la siguiente
fórmula.
Donde:  = b -4ac
2

| x1  x2 |
a
Naturaleza de las Raíces
Para conocer la naturaleza de las raíces de la ecuación
cuadrática se analiza el valor que toma la siguiente relación:
 = b -4ac (discriminante)
2
Se presentan los siguientes casos:
1. >0 ; se obtiene 2 raíces reales y diferentes.
2. =0 ; se obtiene 2 raíces reales e iguales.
3. <0 ; se obtiene 2 raíces complejas conjugadas.
Tercer Trimestre 7 4to. de Secundaria

8. I.E. Jorge Basadre Grohman - Huaraz
Observaciones: Teorema:
  0 ; Raíces Reales Si las ecuaciones:
Propiedades Adicionales a1x2  b1x  c1  0
Raíces Simétricas a2 x2  b2c  c2  0
x1  x2  0 Son equivalentes:
Rices Reciprocas a1 b1 c1
  
a2 b2 c2
x1.x2  1
Formación de la Ecuación de Segundo Grado
Existen 2 procedimientos para formar una ecuación:
do
1. Se forma un producto de 2 . grado a partir de las
raíces de los binomios cuyo primer término es la
incógnita. Siendo los segundos las raíces con signos
cambiados; finalmente se iguala a cero dicho producto.
2. Consiste en calcular la suma “S” y el producto “P” de
las raíces; luego se remplaza estos dos valores en la
siguiente fórmula:
x2  Sx  P  0
Tercer Trimestre 8 4to. de Secundaria

9. CEP Santa María de la Providencia
PROBLEMAS
NIVEL I
01.- Resolver: x 2  9x  20  0 . Indicar una solución:
a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 7
02.- Resolver: x2  6x  9  n2
hallar un valor de “x”
a) n+1 b) n-1 c) n-3 d) n-2 e) 3-n
03.- Hallar “m” si las raíces de la ecuación:
x2  (m  7)x  25  0 ; m  0 , son iguales.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
04.- Hallar “n”, si la ecuación presenta raíz doble:
9x2  (n  2)x  1  0 ; n  0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10
05.- Hallar “n” , si la suma de raíces de la ecuación es 12.
(n  1)x2  3(n  5)x  10  0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10
06.- Hallar “m” , si la suma de raíces de la ecuación es 3.
(m  2)x2  (2m  5)x  4m  1  0
a) 10 b) 9 c) 11 d) 12 e) 16
07.- Hallar “m”, si el producto de raíces es 20.
(m  2)x2  (m  7)x  2(9m  1)  0
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
Tercer Periodo 9 5to. de Secundaria

10. CEP Santa María de la Providencia
08.- Hallar “m”, si la ecuación tiene por raiz a 2; “m” es impar;
5x 2  10x  m2  5m  6  0
a) 1 b) 21 c) 3 d) 5 e) 7
09.- Hallar “n”, si la ecuación tiene por raíz a 2; n<0
(n  2)x2  (2n  3)x  n2  27  0
a) -3 b) -2 c) -1 d) -5 e) -10
10.- Formar la ecuación de 2do grado sabiendo que sus raíces
son: x1 = 7  2 ; x2 = 7  2
2
a) x -14x + 49 = 0
2
b) b) x -14x + 45 = 0
2
c) x -14x + 47 = 0
2
d) x +14x-47 = 0
2
e) x -14x -47 = 0
NIVEL II
01.- Una raíz de la ecuación: abx2  (3a  2b)x  6  0
a) -2/b b) -2/a c) 3/b d) 4/b e) 6/b
2
02.- Si una raíz de la ecuación : ax +b+c = 0
b2
es el cuádruple de la otra. Calcular: E =
ac
a) 5/2 b) -5/2 c) 5/4 d) 25/4 e) 36/25
2
03.- Hallar “m”, si el trinomio: F(x) = 9x +2mx+m es cuadrado
perfecto; m > 0
a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 10
Tercer Periodo 10 5to. de Secundaria

11. CEP Santa María de la Providencia
04.- Hallar “m”, si las raíces de la ecuación son recíprocas.
(m  3)x2  (m  2)x  3m  15  0
a) 1 b) 2 c) 6 d) 7 e) 8
05.- Para que valor de “n”, las raíces de la ecuación:
x2  3x n  1

5x  2 n1
son simétricas.
a) 5 b) 4 d) 3 d) 2 e) 1
2
06.- Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x - 3x + 1 = 0
Calcular el valor de:
2 2
T  x1(x1  1)  x 2 (x 2  1)
a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 45
07.- Para que valor de “n” las raíces de la ecuación:
4x 2  nx  5  0
Verifican: 3x1 + x2 = - 8
x1 + 3x2 = -4
a) -12 b) 6 c) -6 d) 18 e) 12
08.- Calcular:
E = (5 - x1)(7+ x1)(5-x2)(7+ x2)
Sabiendo que: x1 y x2 son las raíces de la ecuación:
2
x –x+1=0
a) 1120 b) 1197 c) 1161 d) 2214 e) 1125
09.- Determinar el valor de “m” de tal manera que la ecuación
cuadrática en: x 2  2(m2  4m)x  m4  0 tenga sus dos raíces
con un mismo valor diferente de cero.
a) 1 b) 4 c) -2 d) -4 e) 2
Tercer Periodo 11 5to. de Secundaria

12. CEP Santa María de la Providencia
10.- Para que valor de “n”, el discriminante de la ecuación:
2
x – 8x + n = 0 es igual a 20.
a) 44 b) 11 c) 33 d) 22 e) 17
NIVEL III
01.- Indicar una raíz de la ecuación cuadrática:
n1
x x  4n  1  0
a) 6 b) 6 c) 3 d) 3 e) NA
02.- Determinar el menor valor de “m”, de tal manera que la
ecuación:
2
ax – (m+1)x + 1 – m = 0
de raíces: x1 y x2
1 1 3m  17
verifique:  
x1 x 2 m4
a) 7 b) 3,5 c) 3 d) 1,5 e) 4
2
03.- Dada la ecuación: x – x + 2 = 0
de raíces x1 y x2 , calcular:
2
x1 x2
2
E 
1  x1 1  x2
a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) -4
04.- Encontrar la mayor solución de la ecuación:
x 2  ( 3 4  23 2)x  1  0
a) 3 2 b) 3 2  1 c) 3 4  3 2  1
d) 3 2  1 e) 3 4  3 2  1
05.- Para que valor de “n”, el mínimo valor del trinomio:
2
P(x) = x – 2x + n es 4
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Tercer Periodo 12 5to. de Secundaria

13. CEP Santa María de la Providencia
06.- Formar la ecuación de 2do grado cuyas raíces sean 3 veces
las inversas al cuadrado de las raíces de:
2
x + x + 12 = 0
2
a) 48x +23x+1 = 0
2
b) 48x -23x+3 = 0
2
c) 48x +23x+3 = 0
2
d) x +23x+31 = 0
2
e) 16x -23x-3 = 0
07.- Indicar la mayor solución de la ecuación:
4  3  5x  4 3  1  5x  3 1  3  2x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 3 e) 5
08.- Si las ecuaciones:
2
(2m+1)x – (3m-1)x + 2 = 0
2
(n+2)x – (2n+1)x – 1 = 0
son equivalentes, calcular “m”.
a) -9 b) 6,5 c) 9 d) -6,5 e) 14
09.- Para valor de “m”, las raíces de la ecuación:
x(x  1)  (m  1) x

(x  1)(m  1) m
son iguales.
a) 1/6 b) 1/5 c) ¼ d) 1/3 e) 1/2
10.- Para que valor de “” la diferencia de las raíces de la
ecuación:
2
4x – 10(+1)x + 14 + 5 = 0
será mínima.
a) 11/50 b) 12/49 c) -12/49 d) -13/48 e) 3/25
Tercer Periodo 13 5to. de Secundaria

14. CEP Santa María de la Providencia
PROBLEMAS ADICIONALES
3 3 2
01.- Resolver: (x+3) – x – 9x = 54
a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2
02.- Hallar el valor de “x” en:
xa xb xc
 
ab ac bc
a2 b2 c2
a) b) c)
abc abc cab
b2 abc
d) e)
bca abc
03.- Luego de resolver:
x 1 2 x
3 indicar el valor de: x1  1
x 1 2 x
a) 4 b) 3,5 c) 3 d) 2,5 e) 2
04.- Hallar “x”:
a a b b
1   1   1
b x a x
a) a+b b) a-b c) a d) b e) ab
05.- Hallar “x” en:
x 1 1 x
 2
xab xab
2 2
a) a-b b) (a-b) c) a+b d) (a+b) e) ab
06.- Hallar “x” en:
3
a  x  3 a  x  3 5a
2 2 2 2 2
a) 5a /4 b) 4a /5 c) a /4 d) a /5 e) a
Tercer Periodo 14 5to. de Secundaria

15. CEP Santa María de la Providencia
2
07.- Resolver: 2x  9  2x  3 . Hallar “x”
a) -3 b) -2 c) -4 d) -5
e) incompatible
2
08.- Calcular “m” en la ecuación: 3x – 7x + m = 0
si una raíz es 6 veces la otra.
a) 3 b) -1 c) -2 d) 4 e) 2
09.- Dada la ecuación:
2
2x – 12x + p = -2
Calcular “p”, para que la diferencia de sus raíces sea 2.
a) -7 b) -1 c) -14 d) 14 e) 1
2
10.- Si: x1 y x2 son raíces de la ecuación: 5x + 4x – 2 = 0 ,
x x
calcular: E = 1  2
x 2 x1
a) -3,6 b) 4,8 c) 7,5 d) 4,5 e) 5,4
2
11.- Si una raíz de la ecuación: x + (m+6)x + 6m = 0
es 3, calcular “m”.
a) 1 b) 3 c) 0 d) -3 e) 2
2
12.- Hallar “a”, para que la ecuación: (a+2)x – 1 = (2a+2)x – a
tenga raíz de multiplicidad dos.
a) 4 b) 6 c) 1 d) -1 e) NA
2 2
13.- Hallar: (x + ax + a ) si:
x  a  x  a 4x  a

xa  xa 2a
2 2 2 2 2
a) a /16 b) 61a /16 c) 25a /16 d) 9a /16 e) a
2
14.- Calcular: (x1 – x2 ) si: x1 y x2 son raíces de:
2
x + 7x + 5 = 0
a) 19 b) 29 c) 16 d) 25 e) 4
Tercer Periodo 15 5to. de Secundaria

16. CEP Santa María de la Providencia
15.- Calcular el producto de los valores de “n” para que la
2
siguiente ecuación: (n+6)x + (n+3)x = 2 – n
tenga una raíz doble.
a) -5 b) 3 c) -3 d) -16 e) NA
2
16.- Si las raíces de la ecuación: x + px + q = 0 son: “p” y “q”
indicar una de tales raíces.
a) 4 b) -2 c) 3 d) -3 e) 2
2
17.- La ecuación: ax + bx + c = 0 tiene por conjunto solución a:
 n+1 n  2  b2  4ac
 ;  luego un valor de: E = es:
 n n  1 (a  b  c)2
a) n b) 1 c) n+1 d) n+2 e) 2
 p2  2 p2
18.- Si la ecuación: 1 q   x  p(1  q)x  q(q  1)  0
 2  2
 
p2
tiene una raíz de multiplicidad dos, calcular:
q
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 18
19.- Si las raíces de la ecuación: ax 2  b(b  2 a )x  b2  0
Están en la relación: p/q calcule:
p q b2
E  
q p a
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 18
20.- Si: “a” , “b” y “c” son nulos y diferentes entre si, que se puede
afirmar acerca de las raíces de:
a b c
  0
xa xb xc
a) son complejas conjugadas b) son reales
c) son reales e iguales d) son reales y diferentes
Tercer Periodo 16 5to. de Secundaria

17. CEP Santa María de la Providencia
Capítulo 2
Tercer Periodo 17 5to. de Secundaria

18. CEP Santa María de la Providencia
Tercer Periodo 18 5to. de Secundaria

19. CEP Santa María de la Providencia
Relación de Orden
a<b  b–a>0
Axioma de Tricotomía
 a Є R se cumple una y solamente una de las siguientes
relaciones:
a>0 a<0 a=0
Teoremas Básicos de la Desigualdad
01. a < b  a+c < b+c ,  a,b,c Є R
02. a < b  c > 0  ac < bc ;  a,b Є R
03. a < b  c < 0  ac > bc ;  a,b Є R
04. ab > 0  { (a>0  b>0)  (a<0  b<0)} signos iguales
05. ab < 0  { (a>0  b<0)  (a<0  b>0)} signos iguales
 a Є R – {0}: a y a presentan el mismo signo.
-1
06.
 1
a>0     0
a
 1
a<0   0
a
,nЄN
2n-1 2n-1
07. a<b  a <b
0<a<b  a <b ,nЄN
2n 2n
08.
a<b<0  a >b ,nЄN
2n 2n
09.
Si: a < x < b  ab < 0 entonces 0  x < Max(a , b )
2 2 2
10.
11. Si: a < b  c < d entonces a+c < b+d
12. Si: 0 < a < b  0 < c < d entonces ac < bd
Tercer Periodo 19 5to. de Secundaria

20. CEP Santa María de la Providencia
ab
13. Si: 0 < a < b entonces: a  b
2
14. Si: 0 < a < b entonces: a  ab  b
INECUACIONES DE 2DO GRADO
2
Forma: ax + bx + c = 0
 Resolución por el Método de los puntos críticos
1. Se factoriza el polinomio mediante una aspa simple.
2. Se hallan los puntos críticos, igualando cada factor a cero y
se ubican en la recta numérica o eje lineal de coordenadas.
3. De derecha a izquierda se ubican los signos (+) y menos (–)
en forma alternada en cada intervalo.
4. Luego, si P(x) 0 se tomarán los intervalos (+) y si P(x)0 se
tomarán los intervalos negativos.
Ejemplo:
x –x–6  0
2
Resolver:
Respuesta: x  [ –2 ; 3 ]
Tercer Periodo 20 5to. de Secundaria

21. CEP Santa María de la Providencia
PROBLEMAS
BLOQUE I
2
01.- Resolver: x – x – 6 = 0 . Dar un intervalo solución
a)  ;2]  3;  
b)  ;2]  [3;  
c) [2;3]
d)  3;  
e)  ;2 
2
02.- Resolver: 3x – 11x + 6 < 0 . Su intervalo solución será:
a) <2/3;3> b) <-∞;2/3> U<3;+∞>
c) [2/3;3] d) Ф e) 3;+ ∞>
03.- Resolver: x  9 . Dar su intervalo solución.
2
a) [-3;3] b) <-∞;-3] U [3;+∞> c) R
d) Ф e) <-3;3>
2
04.- Resolver: x > 3 . Dar un intervalo de su solución.
a) <-3;3> b) <-3;+ ∞> c) <3;+∞>
d) R e) Ф
2
05.- Resolver: x – 4x + 1 < 0 . Dar un intervalo solución
a) [0;2+ 3 > b) [2- 3 ;0> c) R
d) Hay 2 respuestas e) Ф
x – 2x – 1  0 . Dar un intervalo solución
2
06.- Resolver:
a) [1+ 2 ;+∞> b) [1- 2 ;1+ 2 ]
c) <-∞;1- 2 > d) R e) Ф
Tercer Periodo 21 5to. de Secundaria

22. CEP Santa María de la Providencia
2
07.- Resolver: 3x – 2x – 5 < 0 . Dar un intervalo solución
a) <-∞;-1> b) <5/3 ;+∞> c) <-1;5/3 > d) Ф e) R
2
08.- Resolver: x – 6x +25 < 11
a) <3;+∞> b) <-5;+∞>
+
c) Ф d) R e) R
(x-3)  0
2
09.- Resolver:
a) R b) [3;+ ∞> c) <-∞;3] d) 3 e) Ф
2
10.- Resolver: x – 8x + 8 > 4 – 4x
a) [2;+ ∞> b) <-∞;2> c) <2;+ ∞> d) R – {2} e) Ф
BLOQUE II
01.- Hallar los valores de “m”, para que la ecuación cuadrática:
2
(m+3)x – 2mx + 4 = 0
tenga soluciones reales.
a) <-∞;-2>U<6;+∞> b) <-2;6> c) <-6;2>
d) <-∞;-6>U<2;+∞> e) Ф
02.- Halle el mayor valor de “k”, si:
x – 12x + 40  k
2
satisface:  x  R
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
(x-2)  16
2
03.- Resolver:
a) <-∞;-2]U[6;+∞> b) <-2;6> c) [-2;6] d) R e) Ф
Tercer Periodo 22 5to. de Secundaria

23. CEP Santa María de la Providencia
04.- Si el intervalo solución de: 5(x  1)2  3(x  1)2  12x  8
es <-∞;a>U<b; +∞> . Hallar a – b
a) -5 b) 12 c) 8 d) -2 e) NA
05.- Sea la inecuación cuadrática: x – mx + p  0
2
cuya solución es: x  [2;4] , indique: (pm)/2
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3
06.- Resolver el sistema:
2
x – 11x + 24 < 0
2
x – 9x + 20 > 0
dar como respuesta el número de valores enteros que verifican.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
x + ab  (a+b)x
2
07.- Resolver: a<b<0
a) x  a b) x  b c) b  x  a d) a  x  b e) x  a+b
08.- Resolver:
3 3
x(x  5)   (x  4)(x  1) 
x6 x6
a) Ф b) R c) 6 d) x  R – {6}
e) <-3; +∞>
09.- Hallar el número “M”, con la propiedad que  x  R
1 + 6x – x  M
2
a) 8 b) 11 c) 9 d) 12 e) 10
10.- Sea la inecuación cuadrática: ax + (a+3)x + 4  0
2
si su conjunto solución es unitario, indique el menor valor de “a”.
a) 9 b) -1 c) 1 d) -9 e) 0
Tercer Periodo 23 5to. de Secundaria

24. CEP Santa María de la Providencia
BLOQUE III
01.- Sea el sistema de ecuaciones:
x – 8x – 9  0
2
x a
si su conjunto solución es unitario, indique el valor de “a”.
a) 8 b) 8,5 c) 9 d) -1 e) 7
2
02.- El conjunto solución de: ax + bx + c < 0 ; a>0 es:
3
 2;  . Hallar “a.b.c”. {a,b,c}  Z
5
a) -210 b) -180 c) -120 d) 180 e) 210
03.- Al resolver el sistema:
x + x + 1  x + 50 < x – 3x + 50
2 2
su solución es: [a;b>U<c;d] indique: M = ac – b – d
a) -28 b) -35 c) 0 d) 19 e) 21
2
04.- La inecuación cuadrática: x + ax + b > 0
{a,b}  Z , tiene como conjuto solución: R – [1- 5 ;1+ 5 ]
2 3
Hallar a – b
a) 4 b) 64 c) 68 d) 60 e) 65
05.- Hallar “a”, para que el sistema:
2
2x + 3x – 9 < 0
2
2x – 3x – 5 < 0
x>a
Tenga solución única en Z.
a) -0,3 b) 0,2 c) 1,2 d) -1,3 e) 2
Tercer Periodo 24 5to. de Secundaria

25. CEP Santa María de la Providencia
ax + bx  a + bx
2
06.- Resolver: ; b<a<0
a) <1;a/b>
b) <-∞;1>U<a/b;+∞>
c) <1;b/a>
d) <-∞;1>U<b/a;+∞>
e) <-∞;-a/b>U<1;+∞>
2
07.- Resolver: x + 18 < 9x
2
x > 2x
a) <3;6> b) <2;4> c) <-1;4> d) <6:9> e) R
08.- Sean los conjuntos:
A = { x  R / x – x – 2  0}
2
B = { x  R / x – 4x – 5  0}
2
Hallar A  B
a) [2;5]U{-1} b) [-1;2]U[5; +∞> c) <-∞;-1]U[2;5]
d) [2;5] e) NA
09.- Del problema anterior, hallar A  B
a) <-∞; +∞> b) <-∞;5] c) <-∞;-1]
d) <-∞;2] e) NA
10.- Del problema 8, hallar: (A’  B’)
a) {-1} b) <2;5> c) <-1;5> d) Ф e) NA
Tercer Periodo 25 5to. de Secundaria

26. CEP Santa María de la Providencia
Sistemas de Inecuaciones
01.- Resolver el sistema:
2x – 3 > x – 2
3x–7 < x – 1
a) 1<x<3 b) 1<x<2 c) –1<x<2 d) –1<x<3 e) NA
02.- Resolver el sistema:
2x + 3(x+1) < x +1
2(x+3) > x + 2
a) –2<x<1 b) –4<x<2 c) –4<x<1 d) –2<x<5 e) NA
03.- Resolver el sistema:
x x
 8
3 5
x 4x
 5
2 9
a) x>10 b) x>2 c) x<3 d) x<15 e) NA
04.- Resolver el sistema:
(x-1) – (x+3)  0
2 2
x – 3(x-1)  3
a) –2x0 b) –3x0 c) 1x0 d) –1x0 e) NA
Tercer Periodo 26 5to. de Secundaria

27. CEP Santa María de la Providencia
05.- Resolver: 5(x-2) – x > 2
1 – 3(-1) < -2
a) x  <3;> b) x  <-3;> c) x  <11;>
d) x  <2;> e) x  <1;>
06.- Resolver: 7x+3  5(x-4) + 1
4x+1  43 – 3(7+x)
a) [-11;3] b) [1;3] c) [3;11] d) [2;5] e) NA
07.- Resolver:
x 1 x 3
 2
2 3
3x  1
0
2
a) <1/3;7] b) <1/3;2] c) <1/4;9] d) <0;5] e) <1/3;9]
08.- Resolver:
x
 1 x
2
3x  1
 1
2
a) <-2;2] b) <1;2] c) <1;4] d) <-2;-1> e) <1/3;2>]
09.-Resolver:
5x  8
 x  2x
3
6  15x
1 x
4
a) [2/11;2] b) <1/3;2] c) <1/4;9] d) <0;5] e) <1/3;9]
Tercer Periodo 27 5to. de Secundaria

28. CEP Santa María de la Providencia
10.- Resolver:
x4  8
2x  5  15
3x  1
a) <-;0> b) <-;1> c) <-;2> d) <-;3> e) NA
11.- Dado el sistema:
2x  3 x  1
 1
2 3 ¿Cuántos valores enteros cumplen?
x
2  1
2
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7
Tercer Periodo 28 5to. de Secundaria

29. CEP Santa María de la Providencia
Capítulo 3
Tercer Periodo 29 5to. de Secundaria

30. CEP Santa María de la Providencia
Tercer Periodo 30 5to. de Secundaria

31. CEP Santa María de la Providencia
Son aquellas que presentan la siguiente forma general:
+ ........ + an > 0 ; ( < ;  ;  )
n n-1 n-2
a0x + a1x + a2x
n  Z  n3 ; a0 ; a1 ; a2 ; a3 ……. ; an
+
Procedimiento:
a) Se factoriza el polinomio teniendo en cuenta que todos
los factores primos tengan coeficiente principal positivo.
b) Se hallan a continuación los puntos críticos, igualando
cada factor a cero y estos se ubican en la recta numérica,
guardando su relación de orden.
c) Se forma así intervalos, los cuales de derecha a
izquierda, poseen un signo comenzando con el signo más
y alternando con el signo menos.
d) Si el P(x)  0 , se toman los intervalos positivos; si el P (x) 
0 , se toman los intervalos negativos, obteniendo así el
intervalo solución.
x – 6x + 11x – 6  0
3 2
Ejemplo: Resolver:
Respuesta: x  <–;1]U[2;3]
Tercer Periodo 31 5to. de Secundaria

32. CEP Santa María de la Providencia
2
Nota: a veces se encuentran trinomios y = ax + bx + c que no
son factorizables entonces se calcula su discriminante. Si: < 0 y
a>0, entonces el trinomio es (+)  xR, por ellos se descarta de
la inecuación o simplemente pasa a dividir, esto no altera el
sentido de la desigualdad.
2n +
1. Si encontramos factores de la forma (ax+b) ; nZ estos
pasan a dividir o se descartan pero su punto crítico queda
pendiente de si es solución o no.
2n+1 +
2. Si encontramos factores de la forma: (ax+b) ; nZ
quedará en la inecuación sólo (ax+b)
Ejemplo:
(x –2x+4) (x+3) (x–7) (x+1) (x-2)  0
2 2 3
Solución

2
El trinomio (x –2x+4) tiene = –12 negativo, coeficiente
principal positivo por lo tanto es (+)  x  R se descarta o
pasa a dividir sin alterar el sentido.

2
El factor (x+3) se descarta pero su punto crítico x=–3 cumple
con la desigualdad al final debe estar contenido en la
solución.

3
El factor (x–7) es reemplazado por (x–7)
Luego tendremos (x–7)(x+1)(x–2)  0
P.C. = { –1 ; 2 ; 7 }
Ubicando en la recta:
Luego P(x)  0 se toman los (+) más el punto crítico x=–3
 x  [–1;2] U [7;+> U {–3}
Tercer Periodo 32 5to. de Secundaria

33. CEP Santa María de la Providencia
PROBLEMAS
BLOQUE I
01.- Resolver: x3  5x2  6x  0
a) [0;2]U[3;+∞> b) <-∞;0]U[2;3] c) [2; +∞>
d) <-2;3] e) [0; +∞>
3
02.- Resolver: x < 9x
a) <-∞;-3>U<0;3>
b) <-3;0>U<3; +∞>
c) <-∞;9>
d) <-3;3>
e) <-∞;-3>U<3; +∞>
(x – x – 2)(x – 4)  0
2
03.- Resolver:
a) [-1;4]
b) [2;4]
c) [4; +∞>
d) <-∞;-1]U[2;4]
e) [-1;2]U[4; +∞>
04.- Resolver: x(x  1)2  0
a) <0; +∞>-{1}
b) x є R – {1}
c) {1}
d) <-∞;0>
e) <-1;1>
05.- Resolver: (x  1)(x  3)2 (x  7)5 (x  2)  0
a) [-1;2]U[7; +∞>U {-3} b) [1;2]U[7; +∞> - {-3} c) R
d) Ф e) NA
Tercer Periodo 33 5to. de Secundaria

34. CEP Santa María de la Providencia
06.- Resolver: (x  4)5 (x  1)4 (x  2)3 (x  5)2  0
indique la suma de los valores enteros que la verifican.
a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -7
07.- Resolver: x4  2x3  9x2  2x  8  0
Dar un intervalo de su solución.
a) <-∞;4> b) <-∞;-1>U<2; +∞> c) <-2; +∞>
d) <-1;1> e) <-4;-1>
08.- Resolver:
x2
0
x3
a) [-3; +∞> b) <-∞;-2]U<3; +∞> c) <-3;2]
d) [2; +∞> e) x є R
09.- Resolver:
(x  4)(x  2)
0
(x  1)(x  3)
a) [-4;1>U[2;3> b) <-∞;-4U[-1;2> c) R
d) [-4;4] e) Ф
10.- Resolver:
x 2  5x  6
0
x 2  12x  35
a) <-∞;3> U <5; +∞>
b) <-∞;2> U <5; +∞>
c) <-∞;5> U <7; +∞>
d) <-∞;2> U <3; +∞>
e) <-∞;2> U <3;5>U<7; +∞>
Tercer Periodo 34 5to. de Secundaria

35. CEP Santa María de la Providencia
BLOQUE II
01.- Resolver:
x4  4x3  3x2  14x  8  0
Dar un intervalo de solución.
a) <-∞;2] b) [-4; +∞> c) {1} d) <-∞;1] e) [1;4]
02.- Resolver: x5  5x4  2x3  14x2  3x  9  0
a) <-∞;1> - {1} b) <-∞;-1>U {1} c) <-1;1
d) <1; +∞> e) <3; +∞>
03.- Resolver: (x 2  1)(x 2  2)(x  3)  0
a) R b) Ф c) <1;2> d) <3; +∞>
e) <-∞;1U {3}
04.- Resolver: (x  2  x 2 )(x 2  2x  8)  0
Dar un intervalo solución
a) <1; +∞> b) <-∞;4> c) <-4;1> d) <-∞;1> e) NA
05.- Resolver: (x3  1)(x3  x 2  2x  2)(x  2)  0
Dar un intervalo de solución.
a) <-∞;2> b) <-∞;1> c) <2; +∞> d) <1; +∞> e) NA
06.- Resolver:
3x  2 4

x 1 x2
Dar un intervalo de la solución
a) <1;2> b) <2;4> c) <-1;2> d) <-2;1> e) NA
Tercer Periodo 35 5to. de Secundaria

36. CEP Santa María de la Providencia
07.- Hallar una inecuación entera de coeficientes racionales de
grado mínimo cuya solución es:
<-∞;-2> U <-2;2> U <3;+∞>
2
a) (x-3)(x-2)(x+2) > 0
3
b) (x+3)(x+2) > 0
2
c) (x-3)(x-2) (x+2) < 0
2
d) (x-3) (x-2)(x+2) > 0
(x+3)(x+2) (x-2)  0
2
e)
08.- Resolver: x5  3
a) [5; +∞> b) <-∞;14] c) [5;14> d) Ф e) R
09.- Resolver: x  5  3
a) [5; +∞> b) <14; +∞> c) <14 +∞> R) R e) Ф
10.- Resolver: x  5  3
a) R b) [5; +∞> c) <14; +∞> d) R – {5} e) Ф
BLOQUE III
01.- Resolver: (x 2  x)2  14(x 2  x)  24  0
a) [-3;-1] U [4; +∞>
b) [-3;-1] U [2;4]
c) <-∞;-3] U [4; +∞>
d) [-1;2] U [4; +∞>
e) xєФ
Tercer Periodo 36 5to. de Secundaria

37. CEP Santa María de la Providencia
02.- Resolver: x4  8x2  9  0
a) <8;9> b) <-∞;8> U <9; +∞> c) <-3;3> d) <-∞;3>
e) R
03.- Resolver: x3  3x  2  0
a) [2; +∞> b) [-2; +∞> - {1} c) [-2; +∞>
d) [2; +∞> U {1} e) [2; +∞> U {-1}
04.- Resolver: x3  18x2  77x  60  0
a) <1;5> U <12; +∞> d) <1;4> U <10; +∞>
b) <-1;5> U <12; +∞> e) <0;5> U <10; +∞>
c) <-12;-5> U <-1; +∞>
05.- Indicar el intervalo no solución
x2  4x  3  x2  7x  12
a) <0;1> b) <-1;1> c) <-∞;-1] d) <1; +∞> e) <-5;0>
06.- Resolver: (7  x)4 (5  x)3 (2  x)2 ( 1  x)5  0
a) 1 b) 2 c) 3 d) más de 3 e) NA
07.- Resolver: x2  x
a) [-2;2> b) [-2;2] c) [-2;8] d) <2;7> e) R
08.- Resolver:
x 1 x  2
 2
x 1 x  2
a) <-∞;-2> U <1;4> b) <-∞;-4> c) <-∞;1> U <4; +∞>
d) <-2;4> e) NA
Tercer Periodo 37 5to. de Secundaria

38. CEP Santa María de la Providencia
09.- Resolver:
x2  1
 x5
x2
a) [9/7 ; 2> b) R c) <-∞;2] d) [2; +∞> e) NA
10.- Resolver:
(x  2)(x 2  18)  3x(x  2)  0
a) -6  x < 2 b) -6 < x  2 U x 
c) x  4 d) -6  x 3 e) NA
11.- Resolver:
0
3 7 17 13
(x+1) (-1) (x+6) (x-2)
a) x<-6;-1>U<1;2>
b) x<-:-6>U<-1;1>>U<2;+>
c) x[-6;2>
d) x<-1;1>
e) x[-6;-1]U[1;2]
12.- Resolver:
4 6 8 11
(x+6) (x+2) (x-4) (x-3) >0
a) xR – {3}
b) x<3;+>
c) x<3;+> - {4}
d) x<3;+> U {-6;2}
e) xR
Tercer Periodo 38 5to. de Secundaria

39. CEP Santa María de la Providencia
PROBLEMAS DE COMPLEMENTO
2 2
01.- Resolver: (x – x + 1)(x + x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 1) < 0
a) x  <-; - 3>  <1;2> d) x  <-; 1>  <2; >
b) x  <-3; 1>  <2;> e) x  R
c) x  
3 2
02.- Resolver: x + 2x – 5x – 6 > 0
a) x  [-3; -1]  [2;> d) x  [-3; -1]  <2;>
b) x  <-; -3>  <-2;2> e) x  <-1; 2>  <2;>
c) x  R
(x - 1) (x - 3) (x – x + 1)  0
7 4 2
03.- Resolver:
a) x  <-; 1]  {3} d) x  <-; -1>
b) x  <-1; > e) x  [-1; > - {3}
c) x  [1; 3]
(x + 6) (x + 5) (x - 4)  0
2 2 3
04.- Resolver:
a) x  [4; >  {-5} d) x  <-5; 4]
b) x  [5; > e) x  <-; 4] - {-5}
c) x  R
05.- ¿cuántos valores enteros positivos verifican?.
x6
0
x(x  2)
a) 0 b) 2 c) 4 d) 5 e) 1
06.- Resolver: 25  x2  4
a) x  [-5; -3]  [3; 5] d) x  [-5; 5]
b) x  [-3; 3] e) x  R
c) x  
Tercer Periodo 39 5to. de Secundaria

40. CEP Santa María de la Providencia
4 2
07.- Resolver: x – 8x – 9 < 0
a) x  <8; 9>
b) x  <-; 8>  <9; >
c) x  <-3; 3>
d) x  <-; -3>
e) xR
08.- Resolver: x – 12x + 16  0
3
a) x  <-; 4]
b) x  <-; -4]  {2}
c) x  <-; 4] – {-2}
d) x  [4; >
e) x  [-4; 4]
09.- Resolver: x – 6x + 11x – 6  0
3 2
a) x  <-; 1]  {2;3}
b) x  [1; 2]  {3;>
c) x  R
d) x  
e) x  {1}
x – 16  0
4
10.- Resolver:
a) x  <-; -2]  {2;}
b) x  [-2;2]
c) x  <-; 1]  {4;>
d) x  <-; 4]
e) x  [4; ]
(x  1)5 (x  3)
11.- Resolver: 0
x7
a) <-, -7>  [-3,1] c) <-, -3>  [1,7]
b) [1,7] d) <-, 7] e) N.A.
Tercer Periodo 40 5to. de Secundaria

41. CEP Santa María de la Providencia
3 2
x  1(x 3  13x  12)
12.- Resolver:
(x  4)5 (x 3  8x 2  4x  48)
Dar un intervalo de la solución.
a) <6, 4> b) [-1; 2] c) [3, + > d) [-3,+> e) N.A.
(4x  2)2 (x2  3)3 (2x  8)9
13.- Resolver: 0
(x  1)2 (2x  5)13
5 1 5 1
a)   ,4  {1  }
, b)  ,  { }
2 2 2 2
5
c)  ,4  {1} d)  , 4  {1  }
,
2
e) N.A.
14.- Resolver:
x2  3x  2  2  x
a) [2,+> b) <-,2] c) <2, + > d) [-2,2] e) N.A.
15.- Resolver:
24  2x  x 2  x
a) <3,4] b) <-,3] c) [4+> d) <3,8> e) N.A.
16.- Resolver:
3
27  x x 2  14x  15(x  2)6 7 x  8(x  3)5
0
4
x  9(x 2  7x  8)(x  27)3 (x 3  27)
a) <1;11] b) <15,27> c) <-9,-7> d) <-,-1> e) N.A.
Tercer Periodo 41 5to. de Secundaria

42. CEP Santa María de la Providencia
17.- Resolver:
x2  6x  5  x2  7x  10  0
a) <-7> b) R c)  d) 5 e) <3,7>
18.- Resolver:
x 1
0
3 2
x  8x  14x  12
a) <-6,-1>
b) <-,-6>  <-1,+>
c) <-,-1>
d) <3,6>
e) N.A.
19.- Resolver:
1
0
(x  2)3
a) <-,2> b) <-,5> c)  d) R e) N.A.
20.- Resolver:
(x  4)8 (x  2)
0
(x  3)(x  7)
a) <7, + > b) <-3, 4> c) <6, + > d) <-7,> e) N.A.
Tercer Periodo 42 5to. de Secundaria

43. CEP Santa María de la Providencia
Capítulo 4
Tercer Periodo 43 5to. de Secundaria

44. CEP Santa María de la Providencia
Tercer Periodo 44 5to. de Secundaria

45. CEP Santa María de la Providencia
Defiiniiciión
Def n c ón
Una relación f de A en B denotada por f: A →B es una función si
y sólo si a cada elemento x  A, le corresponda un único
elemento yB a través de f.
Simbólicamente:
f : { (x;y)  AxB / y = f(x)
Dicho de otra manera, si f es una relación entre dos conjuntos A y
B, diremos que f es una función si se verifica las siguientes
condiciones:
1ra. f  AxB
2da. Si: (x;y)  f  (x;z)  f  y = z
Gráficamente una función debe guardar siempre un principio:
Tercer Periodo 45 5to. de Secundaria

46. CEP Santa María de la Providencia
Si una recta imaginaria paralela al eje “y”, corta a su gráfica en un
solo punto, entonces se podrá afirmar que es una función. De lo
contrario no será una función.
Ejemplo:
Dado los conjuntos:
A={2;4;6;8}
B={1;3;4; 5;6;7}
Hallar:
a) f = { (x;y)  AxB / y = x+1 }
b) Dom(f) y Ran(f)
c) Representar la función mediante un diagrama sagital.
Solución:
a) La función f es un conjunto de pares ordenados (x;y) donde
xA  yB que satisfacen la igualdad: y=x+1.
Hallamos dichos pares ordenados, tabulando:
x y = x+1 Pares ordenados
2 y=2+1=3B (2;3)  f
4 y=4+1=5B (4;5)  f
6 y=6+1=7B (6;7)  f
8 y=8+1=9B (8;9)  f
 f = { (2;3) , (4;5) , (6;7) }
Donde:
A: es el conjunto de partida
B: es el conjunto de llegada
Y = f(x) : es la regla de correspondencia
Tercer Periodo 46 5to. de Secundaria

47. CEP Santa María de la Providencia
Dom(f) : es el dominio de f
Ran(f) : es el rango de f
b) Dom(f) = { 2 ; 4 : 6 }
Ran(f) = { 3 ; 5 ; 7 }
c) Diagrama sagital:
Regla de Correspondencia
Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer
su dominio (Df) , y una regla que permita asignar para cualquier x
є Df , su imagen F(x).
Ejemplo:
Hallar el dominio en las siguientes funciones:
a) F = { (2;3) , (4;5) , (6;3) , (2;a) }
Df = { 2 ; 4 ; 6 ; -2 }
b) F(x) = x  2
Df : x – 2  0 ; x2  Df = [2;+>
Tercer Periodo 47 5to. de Secundaria

48. CEP Santa María de la Providencia
x2 3
c) F(x) = 
x5 x3
x-2
Df : 0 x3  0
x+5
Df : <-:-5> U [2;+> - {3}
Ejemplo:
Hallar el rango de las siguientes funciones:
a) F = { (2;3) , (4;6) , (5;7) , (7;6) , (-2;3) }
Rf = {3;6;7}
2
b) Sea: F(x) = x
x
y  x2  ; Df = < -;+ > ; Rf = [0;+>
y    3
Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las más
conocidas.
- Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta
rango, se despeja en función de “y”
- Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos
desigualdades.
c) Para la función definida por:
g(x) = 2x + 3x + 2 ; x є R
2
2 2
Solución: y = 2x + 3x + 2  2x + 3x + (2-y) = 0
3  9  4(2)(2  y)
x
2(2)
Si: “x” є R; luego “y” también є R
Pero:   0 ; 9 – 8(2-y)  0  y  7/8  Rg = [7/8;+∞>
Tercer Periodo 48 5to. de Secundaria

49. CEP Santa María de la Providencia
d) Para la función definida por: H(x) = x – 4x + 7 ; x є [2;3]
2
Solución:
2 2
y = x – 4x + 7  y = (x-2) + 3
2  x 3  0  x–2 1
Al cuadrado:
0  (x-2)  1
2
mas de tres:
3  (x-2) + 3  4
2
3  y  4
 Rh = [ 3 ; 4 ]
e) Para la función:
x2
F(x) 
x2  1
Solución:
x2
y  yx2  y  x 2  x 2 (y  1)   y
x2  1
y y y y
x2     0  0
1 y 1 y 1 y y 1
 y є [0;1>  Rf = [ 0 ; 1 >
Tercer Periodo 49 5to. de Secundaria

50. CEP Santa María de la Providencia
PROBLEMAS
BLOQUE I
01.- Si el conjunto:
F = { (1;7a+3b) , (-2 ; 3a+2b) , (-2 ; -2) , (1 ; -8) , (a+b ; 4) }
2 2
Es una función, hallar a + b
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
02.- Hallar el dominio de la función:
F(x) = x + 9
+
a) R – {9} b) R – {-9} c) R d) R – {0} e) R
03.- Hallar el dominio de la función:
2
F(x) = 3x + 2x + 1
-
a) R – {3} b) R – {2} c) R – {1} d) R e) R
04.- Hallar el dominio de la función:
2 2
F(x) = (x+1) + (x-1)
+ -
a) R – {1} b) R – {-1} c) R d) R e) R
05.- Hallar el rango en:
3x  2
N(x) 
x4
a) y є R – {4} b) y є R – {-4}
c) y є R – {3} d) y є R e) y є R – {-3}
06.- Hallar el rango en:
x2
M(x) 
x8
a) y є R – {8} b) y є R – {-8}
+ -
c) y є R – {1} d) R e) R
Tercer Periodo 50 5to. de Secundaria

51. CEP Santa María de la Providencia
07.- Calcular el rango de:
F(x) = x+5
a) [5; +∞> b) [-5; +∞> c) [0; +∞> d) [2; +∞> e) [-3+∞>
08.- Hallar el dominio de:
F(x) =x 4  2x 2  2
+ -
a) R b) R c) R – {2} d) R e) R – {-2}
09.- Hallar el dominio de:
F(x) = x+9  4
+ -
a) x є R b) x є R 1 c) x є R d) x є [9; +∞>
e) x є [-9; +∞>
10.- ¿Cuáles de las siguientes relaciones dadas son pares
ordenados, son funciones?
R1 = { (a;x) , (b;x) . (c;y) }
R2 = { (a;x) , (a;y) . (b;x) }
R3 = { (a;x) , (b;y) . (c;z) }
a) Sólo R1 b) Sólo R2 c) Sólo R3 d) R1 y R2 e) R1 y R3
BLOQUE II
01.- Hallar el dominio de la función “f” definida en R por:
x
F(x)    3
2
+ -
a) x є R b) x є R c) x є R d) R – {2} e) R – {-2}
02.- Hallar el rango de la función “f” definida en R por:
x
F(x)  3 
2
+ -
a) x є R b) x є R c) x є R d) R – {2} e) R – {-2}
Tercer Periodo 51 5to. de Secundaria

52. CEP Santa María de la Providencia
03.- Hallar el dominio de la función “f” definida por:
y  F(x)  x  5
en el conjunto N,
a) {0; 2; 3; 4;…..}
b) {0; 1; 2; 3;…..}
c) {2; 3; 4;…..}
d) {2; 4; 6;…..}
e) {3; 5; 7;…..}
04.- Hallar el dominio de la función “f” definida por:
y  F(x)  x  5
en el conjunto Z,
a) x є R b) Z c) R – {5} d) Z – {5}
e) Z – {-5}
05.- ¿Cuál es el rango de la función:
F = { (1;3) , (2;5) , (1;a-1) , (2;b+2) , (a;b) , (2b;a) } ?
Señale la suma de sus elementos.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
06.- Reconocer el rango de la función:
2
F = { (2;a) , (2;3a-4) , (3;a-1) , (4;a ) } ?
a) {3; 6; 9} b) {1; 2; 4} c) {0; 2; 4} d) {3; 5; 7} e) {2; 4; 6}
2
07.- El dominio de la función: F(x) = x
es [-1; 1]. Determinar el rango de “f”.
a) [-1;1] b) [-1; 0] c) [0;1] d) [1;2] e) [1;4]
08.- ¿Cuál es el valor mínimo del rango de la función:
2
g(x) = x + 3 ?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Tercer Periodo 52 5to. de Secundaria

53. CEP Santa María de la Providencia
09.- ¿Cuál es el valor máximo del rango de la función:
2
h(x) = 10 - x ?
a) 0 b) 3 c) ∞ d) 1 e) 10
10.- El dominio de la función:
x 1
F(x) =
x2  1
a) [-1;0] b) [0;1] c) [0;2] d) [-2;0] e) [-1;1]
BLOQUE III
01.- Determinar el rango de la función:
F(x) = |x-2| + |x+3|
a) [-5;5] b) [1; +∞> c) [5; +∞> d) <-5;5> e) [0; +∞>
02.- Si:
F(x) = x-2  x
Calcular el dominio de dicha función.
a) <2; +∞> b) [-2;2] c) [-2; +∞> d) [2; +∞> e) <-∞;2]
03.- Hallar el dominio de una función “f” cuya regla de
correspondencia es:
F(x) = 5-x  3 x  1
Indicar como respuesta la cantidad de valores que toma “x”.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Tercer Periodo 53 5to. de Secundaria

54. CEP Santa María de la Providencia
04.- Hallar el dominio de la siguiente función:
x 1
F(x) =
x2  1
+ -
a) x є R b) x є R c) x є R d) R – {1} e) R – {-1}
05.- Hallar el dominio, si:
1
F(x) =
1-x2
a) <-1;1> b) [-1;1> c) <-1;1] d) [-1;1] e) R
06.- Calcular el rango:
1
F(x) =
1-x2
+
a) [1; +∞> b) <1; +∞> c) [-1;1] d) <-1;1> e) R
2
07.- Si: F(x) = x – 4x + 2 y x є <-1;4> .Hallar el dominio.
+
a) R b) R c) [-1;4] d) <-1; +∞> e) <-1;4>
08.- Hallar el dominio de:
F(x) = x+ x
+
a) [0; +∞> b) R c) R d) R – {0} e) [0;1]
09.- Calcular su rango:
F(x) = x2  9
+ -
a) [0; +∞> b) <0; +∞> c) R d) R e) R
10.- Hallar el dominio
2x
F(x) =
2
x 9
+ -
a) R b) R c) [-3;0]U[3;+∞> d) <-3;0]U<3;+∞>
e) <-3;1]U[3;+∞>
Tercer Periodo 54 5to. de Secundaria