Este documento presenta 15 problemas de matemáticas básicas relacionados con funciones, dominios, rangos, costos de producción, ingresos, utilidades máximas y números óptimos de unidades a producir y vender para maximizar ganancias. Los problemas involucran el cálculo y graficado de funciones como cuadráticas, exponenciales y raíces cuadradas.

1. MATEMÁTICA BÁSICA
PROBLEMAS PROPUESTOS - SEMANA 2
PROBLEMA 1
Determine el dominio de la siguiente función 𝑓(𝑥) = √10𝑥 − 21 − 𝑥2 y 𝑔(𝑥) =
17𝑥
(𝑥−16)√𝑥−5

2. PROBLEMA 2
Determine el rango de las siguientes funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 6𝑥 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 − 3
PROBLEMA 3
Determine la intersección de los dominios de la siguiente función 𝑓(𝑥) =
𝑥−5
2𝑥−6
y 𝑔(𝑥) = √2𝑥 − 4

3. PROBLEMA 4
Determine el rango en los siguientes gráficos:
PROBLEMA 5
La demanda por mes de un producto es de 1000 unidades cuando el precio es de S/. 60 por unidad,
y de 500 a un precio de S/.40 cada una. Halle la función demanda suponiendo que es lineal en
términos al número de unidades 𝑥.

4. PROBLEMA 6
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función tal que 𝑓(4) = −5 y 𝑓(3) = 12, encuentre 𝑓(𝑥)
PROBLEMA 7
Se venden 70 unidades de un artículo cuando el precio es de 160 soles y se venden 60 artículos
cuando el precio sea de 220 soles. Encuentre la ecuación de oferta si suponemos que el precio "𝑝"
y la cantidad "𝑞" se relacionan linealmente.

5. PROBLEMA 8
Se sabe que el costo de producción de una empresa dedicada al rubro de las bebidas gaseosas,
está dado por 𝐶(𝑞) = 4𝑞2
− 24𝑞 + 50, donde “𝑞” representa el número de artículos producidos
(en miles). Calcule el nivel de producción que minimiza el costo y el costo mínimo.

6. PROBLEMA 9
Una empresa que produce calculadoras, tiene un costo fijo mensual de $ 5 000 y un costo variable
por unidad producida de $20. Además, se sabe que su ingreso está dado por la siguiente expresión
𝐼(𝑥) = 240𝑥 − 0,2𝑥2
, donde “𝑥” representa el número de calculadoras que produce y vende
mensualmente.
a) Determine el número de calculadoras que debe producir y vender para obtener la máxima
utilidad y la utilidad máxima.
b) Calcule la utilidad que obtendrá si produce y vende 300 calculadoras y grafique la función
𝑈(𝑥).

7. PROBLEMA 10
Una empresa dedicada a la venta de laptops de cierto modelo particular, tiene un precio 𝑝 en soles,
donde 𝑝 = 1000 − 5𝑞, y “𝑞” representa las unidades que produce y vende mensualmente.
a) Determine el número de laptops que debe producir y vender la empresa para obtener el
ingreso máximo e indique cuál es ese ingreso máximo. Luego, grafique dicha función.
b) Calcule el ingreso que obtendrá si produce y vende 80 laptops.
PROBLEMA 11
Una compañía de transportes aéreo ha comprobado que el número de viajeros diarios depende del
precio del pasaje, según la función 𝑛(𝑝) = 2000 − 5𝑝.
Determine:
a) La función que expresa los ingresos diarios de esta empresa en función del precio del pasaje.
b) El precio del pasaje que hace máximo dicho ingreso.
El ingreso máximo.

8. PROBLEMA 12
En una empresa los ingresos y los costos producidos por la venta de un producto vienen dados por
las siguientes expresiones: (𝑥: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠)
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠: 𝐼(𝑥) = −3𝑥2
+ 200𝑥 (𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠)
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠: 𝐶(𝑥) = 2𝑥2
− 150𝑥 + 5000 (𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠)
¿Cuántas unidades de dicho producto se debe vender para obtener la utilidad máxima?
PROBLEMA 13
Pedro es estudiante de administración, y tiene la tarea de realizar una investigación sobre
optimización, por lo cual realizó un estudio en la panadería “Dulce Pecado” para ayudar al dueño a
determinar cuántas tortas debe vender para alcanzar su costo mínimo unitario en la producción de
sus tortas 3 leches de tamaño mediano; además de saber cuál sería dicho costo mínimo, si se sabe
que la panadería tiene un costo unitario dado por 𝐶(𝑥) = 40 − 0.12𝑥 + 0.0004𝑥2
.

9. PROBLEMA 14
Una empresa dedicada a la producción y venta de cierto artículo, tiene un costo fijo mensual de S/.
5 000 y un costo variable por unidad producida de S/. 10. Además, se sabe que su ingreso está dado
por la siguiente expresión 𝐼(𝑥) = 120𝑥 − 0,1𝑥2
, donde “x” es el número de artículos producidos y
vendidos mensualmente.
a) Determine el número de artículos que se debe producir y vender para obtener la máxima
utilidad y calcule dicha utilidad máxima. Luego, grafique la función.
b) Calcule la utilidad que obtendrá la empresa si produce y vende 100 artículos.
PROBLEMA 15
Una empresa dedicada a la producción y venta de mochilas de cierto modelo, tiene un costo fijo
mensual de S/. 10 000 y un costo variable por unidad producida de S/. 20. Además, se sabe que su
ingreso está dado por la siguiente expresión 𝐼(𝑥) = 240𝑥 − 0,2𝑥2
, donde “x” es el número de
mochilas que produce y vende mensualmente.
a) Determine el número de mochilas que debe producir y vender para obtener la máxima
utilidad y calcule dicha utilidad máxima. Luego, grafique la función.
b) Calcule la utilidad que obtendrá si produce y vende 100 mochilas.