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Trigonometría
                    SEMANA 16                                         3.     En un triángulo ABC, la expresión:
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS                                                          b sen B  C 
                                                                             W
     OBLICUÁNGULOS                                                                 c  b cos A
                                                                             es equivalente a:
1.       En un triángulo ABC, si: A = 60°;
         b  4 7; c  6 7 .                                                  A) tg B       B) ctg B           C) 1
         Halle el lado “a”                                                   D) 2          E) 1/2

         A) 7                   B) 10           C) 13                        RESOLUCIÓN
         D) 14                  E) 20                                 *  ABC  A  B  C  180  B  C  180  A
                                                                      *      Ley de proyecciones:
         RESOLUCIÓN                                                   c  a cosB  b cos A  c  b cos A  a cosB
         De la ley de cosenos:
         a2  b2  c2  2bc cos A                                                 b sen 180  A        b sen A
                                                                            W                       
                                                                                    a cosB                a cosB
               6 7                       
              2             2
a2  4 7                        2 4 7 6 7           cos600
                                                                                2RsenB senA
                                                                            W              tgB
         a2  196                                                               2RsenA cosB
        a  14
                                               RPTA.: D                                                    RPTA.: A
2.       Los lados de un triángulo son                                4.     En un triángulo ABC, se conoce
         proporcionales a los números 3;5
                                                                             que: B = 45°; b = 2 y c  6 .
         y 7. Siendo “  ” la medida de su
         menor ángulo        interno; halle                                  Indicar la medida del ángulo C.
         "s ec  " .
                                                                             A) sólo 30°           B) sólo 45º
                                                                             C) sólo 60°           D) 30° ó 150°
             7                      6                  13                    E) 60° ó 120°
         A)                     B)              C)
            13                     13                   7
            14                     13                                        RESOLUCIÓN
         D)                     E)
            13                     14                                                       B

                                                                                           45º
         RESOLUCIÓN                                                                    6

                                                         1
          3                 5            sec   ? 
                                                       cos                      A                        C
                                                                                             2
                  menor   ángulo  
                     7

         Ley de cosenos:                                                        2      6
                                                                                    
         32  52  72  2 5 7 cos                                       sen 45 senC
                  13                                                                   3
        c os                                                              senC 
                  14                                                                   2
                  14
        s ec  
                                                                            C = 60º ó 120º
                  13
                                               RPTA.: D                                                    RPTA.: E
                                                               Página 1
Trigonometría
5.      En un triángulo ABC, se conoce                                        7.       Halle la medida del ángulo B de
        que: A = 120°, b = 7 cm y                                                      un triangulo ABC cuyos lados a, b,
        c = 8 cm. Halle la longitud del                                                y    c    cumplen         la   relación:
        lado a.                                                                        b  a  c  c  a  b  3ac
        A) 13 m                                      B) 130 m                          A) 30°                     B) 45°       C) 60°
        C) 1,3 m                                     D) 0,13 m                         D) 120°                    E) 150°
        E) 0,013 m
                                                                                       RESOLUCIÓN
        RESOLUCIÓN
                                                                                        b   a  c   b   a  c    3ac
                                                                                                                     
                                                       B
                                                                                       b2   a  c   3ac
                                                                                                          2


                                  a
                                                 8                                      a2
                                                                                                                      
                                                                                               c2  2ac cosB  a2  2ac  c2  2ac 
                                                                                                      1
                              120º                                                      cosB  
             C                        A                                                               2
                          7
                                                                                      B  120
        a  7  8  2 7  8 cos 120
         2            2       2                                                                                               RPTA.: D
        a  13cm  0,13m
                                                                              8.       En un triangulo ABC de lados
                                                                                       BC = a, AC = b, AB = c Se
                                                           RPTA.: D
                                                                                                                  7 ab
                                                                                       cumple: (a+b+c)(a+ b - c)=
                                                                                                                   3
6.      En un triángulo ABC de lados
                                                                                       Calcule: M = 3sen 2C senC
        AB=c; AC = b; BC =a Determine:
        M  ab senC ctg A  ctgB
                                    
                                                                                              35                              35
                                                                                       A)                                B)
        A) c2                         B) b2                 C) a2                             36                              6
                 a2                         c2                                         C) 35                             D) 2 35
        D)                            E)                                               E) 18
                 2                          2

        RESOLUCIÓN                                                                     RESOLUCIÓN
                                                                                                     7ab                    7ab
        M  ab senC ctg A  ctgB                                             a  b  c  a  b  c  
                                                                                                           a  b   c2 
                                                                                                                    2
                                
                                                                                                      3                      3
                                          sen  A  B                                                  ab                 1
        M  ab senC                                         ,                          a2  b2  c2       cos C 
                                       sen A senB                                                       3                  6
                                                                                        2ab cos C
                                      a = 2Rsen A                                                                        6
                                                                                                                               35
     Ley de senos                     b = 2Rsen B
                                      c = 2Rsen C                                                                    c
                                                          sen C                      Luego:                 1
                                                                              M  3 2senC  cosC  senC  6 sen2C cosC
                                                       sen  A  B 
M  4R2senA senB senC                                                                                         2
                                                      sen A senB                             35   1  35
                                                                                      M  6           
                                                                                             6   6  36
                                                                                                   
        M   2R senC   c 2
                                      2
                                                                                                

                                                           RPTA.: A                                                           RPTA.: A

                                                                       Página 2
Trigonometría
9.    Siendo P el semiperimetro de un                      B  C  180  A
      triangulo     ABC,      indicar   el                  Condición:
      equivalente reducido de:                              sen  A  B  cos B  C 
      (b+c)cos A + (a+c) cosB + (a+b)cosC                                
                                                                  c              a
                                                            sen 180  C  cos 180  A 
                                       p                                     
      A) p         B) 2 p         C)                                c               a
                                       2
                                                              senC       cos A
           p                                                          
      D)           E) 4p                                    2RsenC 2Rsen A
           4
                                                            1   ctgA
      RESOLUCIÓN                                            1  ctgA  A  135º
E  b cos A  c cos A  acosB  c cosB                                                   RPTA.: D
        acosC  b cosC
                                                   12.      En un triángulo uno de sus lados
      Si: c  b cos A  acosB
                                                            mide 20 cm y los ángulos internos
       E  ab c
                                                            adyacentes con él miden 16° y
      E=2p
                                                            37°. Halle su perímetro.
                                 RPTA.: B
                                                            A) 22 cm     B) 24 cm            C) 42 cm
10.   En un triangulo ABC, reduce:                          D) 44 cm     E) 50 cm
          (b cos C  a) tgB
      E
               b senC                                       RESOLUCIÓN
      A) 1         B) -1          C) -2
                        1                                              180º-53º    y
      D) 2         E) -                                           x
                        2
                                                                16º                    37º
      RESOLUCIÓN                                                        20 cm.
   b cos C  b cos C  c cosB   tgB
E                               
                                                            Aplicando “Ley de senos”
                 b senC
                                                          x              20              y
          c cosB senB                                                              
     E                                               sen37     sen 180  53    sen16
          bsenD cosB
                                                                      sen 53º
     E = -1
                                 RPTA.: B
                                                            x      2   y        x  15cm
                                                                       
                                                            3     4    7         y = 7cm
11.   En un triangulo ABC se cumple:                                 
                                                            5    20 25
      sen  A  B  cos B  C 
                                                          Perímetro   x  y  20  42cm
            c            a
                                                                                         RPTA.: C
      Luego su ángulo “A” mide:
                                                   13.      En un triángulo ABC, simplifique
      A) 120°      B) 127°        C) 143°
                                                            la expresión:
      D) 135°      E) 150°
                                                               E  b cos B  c cos C
      RESOLUCIÓN
                                                            A) b cos (B-C)        B) a cos (B-C)
*      ABC : A  B  C  180
                                                            C) c cos (B-C)        D) a sen (B-C)
     A  B  180  C
                                                            E) b sen (B-C)
                                            Página 3
Trigonometría
                                                                                             
                                                                                    c cos C a2  b2    
      RESOLUCIÓN
                                                                                   M  ab cos A  ac2 cos A  a2bcosB 
                                                                                            2
      E  2RsenB cosB  2R senC cosC
                                                                                    bc2 cosB  a2c cosC  b2c cosC
      E  R sen2B  R sen2C
                                                                            M  ab b cos A  a cosB  ac  c cos A  a cosC  
      E  R 2 sen B  C  cos B  C  
                                                                                          “c”                      “b”
      E  acos B  C                                                               bc  c cosB  b cosC
                                                      RPTA.: B
                                                                                                    “a”
14.   Halle “x” en la figura:                                                      M  3abc
                                                                                                                     RPTA.:E

                                                x                           16.     En un triángulo ABC, simplifique la
                                                                                    expresión:
                                                                                         a      B b        A
                                                                                    E  cos2  cos2
                                                                                        2       2 2        2
                            5                         3                             Siendo p el semiperimetro de
                                                                                    dicho triángulo
      A) 6                        B) 7                    C) 8
      D) 9                        E) 10
                                                                                                                           p
                                                                                    A) p             B) 2p            C)
                                                                                                                           2
      RESOLUCIÓN                                                                    D) p/4           E) 4p

                        60º                                                         RESOLUCIÓN
                5                              x=?                                                 B               A
                                                                                    4 E  a 2 cos2     b 2 cos2
                                                                                                   2               2
          60º                        60º
                                               120º                                 4E  a 1  cosB  b 1  cos A 
                            5                         3                             4E  a  acosB  b  b cos A
                                                                                    4 E  ab c
      Aplicando ”Ley de cosenos”                                                        P
                                                                                    E
      x2  32  52  2  3 5 cos120                                                 2
     x=7                                                                                                            RPTA.: C
                                                      RPTA.: B
                                                                            17.     En un triángulo ABC, determine el
15.  En un triángulo ABC reduce:                                                    valor de x para que verifique la
                       
M  a b2  c2 cos A  b a2  c2 cosB                                              siguiente expresión:

      c a b      2       2
                                 cos C                                                B  C
                                                                                    tg 
                                                                                                     B  C  2c x
                                                                                               tg  2   b  c
                                                                                        2                
      A) 3                                 B) a + b + c
      C) 3 (a + b + c)                     D) abc                                         A                           A
                                                                                    A) tg                     B) 4tg
      E) 3abc                                                                             2                           2
                                                                                           A                          A
                                                                                    C) ctg                    D) 2 tg
      RESOLUCIÓN                                                                           2                          2
                                    
      M  acos A b2  c2  b cosB a2  c2                                        E) 2 ctg
                                                                                             A
                                                                                             2
                                                                     Página 4
Trigonometría
                                                        19.   En      un      triángulo  ABC
       RESOLUCIÓN                                             (AB = c, AC = b, BC = a), si
                       B  C                                b = 3a, m ACB = 60° , calcule el
                   tg                                       valor de:
           bc         2 
       Si:                                                          M  5tgA  ctgA
            bc       B  C
                   tg       
                       2 
                   B  C         B  C                         3                                5 3
                tg                                           A)              B)    3         C)
         2c                   tg  2                            3                                 3
                   2                   
       bc                 B  C                                                 8 3
                        tg                                   D) 2 3          E)
                                                                                   3
                            2 
       como:
       A BC                    B  C       A               RESOLUCIÓN
                  90º  tg           ctg 2               Si: C = 60  A+B = 120°, b = 3a
        2    2                   2 
                                                              Ley de tangente:
                 A                                                       B  A         B  A
                                                                      tg            tg      
      x  ctg                                                ba         2   2a      2 
                 2                                                  
                                   RPTA.: C                   ba        B  A 4a     tg60
                                                                      tg      
                                                                          2 
18.    En un triángulo ABC, BC = a,
       AC = b, AB = c                                            B  A   3      B  A
       Simplifique:                                          tg        2  tg  2   3
                                                                  2                  
M  a cos 2A  2C  b2 cos 2B  2C  b2
     2


                                                                                              3  3
                                                                                         3
          a 2
                                b  2                                  B  A B  A
                                                              tgA  tg                    2  2  3
       A)                    B)                                         2      2         3    5   5
           2                    2                                                        1
                                                                                            2    2
       C) a2                 D) b2                            Luego:
       E) 2 a2                                                       3    5   8   8 3
                                                              M  5            
                                                                     5 
                                                                           3   3    3
                                                                       
       RESOLUCIÓN
                                                                                              RPTA.: E
       Como: 2A  2B  2C  360
c os 2A  2C  cos2B  cos 2B  2C  cos2A
                                                        20.   En    un   triángulo ABC,               si:
      M  a2 cos2B  b2 cos2A  b2                           A + B = 72°  A - B =36°
                                                                         ab
                                                              Halle: W 
                                                                         ab
       M  a2 cos2B  b2 1  cos2A 
             1  2 sen2 B 2 sen2 A                                                 5
                                                              A)     5        B)              C)1
       Ley de senos:                                                              5
       a  2R sen A  b  2R senB                                                1
                                                              D) 5            E)
       M  a2  2a2 sen2 B  2b2 sen2A  a2                                      5


                                   RPTA.: C                   RESOLUCIÓN
                                                              En triángulo ABC, de la Ley de
                                                              tangentes:


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Trigonometría
                           A  B                                       a2  b2  2 2 R2
                       tg        
           ab               2     ?                                  Calcule: M  tg2A  3tg2B
       W           
           ab             A  B
                       tg        
                             2                                      A) -1             B) -2           C) 0
              72             sen36                                D) 1              E) 2
          tg 
               2    tg36
       W                      cos 36
              36     tg18   sen18                                RESOLUCIÓN
          tg      
              2               cos18                                a2  b2  2 2 R2 …………………………*
                                                                      Ley    de   senos:   a  2R sen A ,
            2sen36 cos18 sen54  sen18                            b  2R senB
 W                       
            2 cos36 sen18 sen54  sen18
                                                                                                   
                                                                      En (*) 4R2 sen2 A  sen2 B  2 2 R2

                       5  1  5  1                                                              2
                                                                   sen  A  B  sen  A  B   ,
     cos36  sen18  4   4                                                                      2
W                                 5
                                                                         Pero: C = 45°  (1)A  B  135
     cos36  sen18  5  1   5  1 
                       4  4 
                                    
                                                                                       2
                                            RPTA.: A          sen135 : sen  A  B         sen  A  B   1
                                                                                           2
                                                                     2
21.  En un triángulo ABC, BC = a,
     AB = c, AB = c si                                               2
 4
                     
c  2 a2  b2 c2  a4  a2b2  b4  0
                                                                        (2) A  B  90
       Halle la medida del ángulo agudo
       C.                                                             (1) + (2): 2A = 225°   (1)-(2)
                                                                      = 2B = 45°
       A) 90°                   B) 60°       C) 45°                   Luego:
       D) 30°                   E) 15°                                M  tg 225  3tg45  1  3(1)  2

       RESOLUCIÓN                                                                                   RPTA.: B
                     
c4  2 a2  b2 c2  a4  a2b2  b4  0
a4  b4  c4  2a2 c2  2b2 c2  2a2 b2  a2 b2


       a   2
                 b2  c2   
                            2
                                  a 2 b2
 2ab cos c   a2 b2  4a2 b2 cos2 c  a2 b2 
                  2


              1
       cos2 c 
              4
              1
      cos C   C  60 (Agudo)
              2
                                            RPTA.: B

22.    En un triángulo ABC (BC = a;
       AC = b, AB = c) inscrito en una
       circunferencia de radio R, se
       cumple m C= 45º , además
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Trigonometria 16

  • 1. Trigonometría SEMANA 16 3. En un triángulo ABC, la expresión: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS b sen B  C  W OBLICUÁNGULOS c  b cos A es equivalente a: 1. En un triángulo ABC, si: A = 60°; b  4 7; c  6 7 . A) tg B B) ctg B C) 1 Halle el lado “a” D) 2 E) 1/2 A) 7 B) 10 C) 13 RESOLUCIÓN D) 14 E) 20 *  ABC  A  B  C  180  B  C  180  A * Ley de proyecciones: RESOLUCIÓN c  a cosB  b cos A  c  b cos A  a cosB De la ley de cosenos: a2  b2  c2  2bc cos A b sen 180  A  b sen A  W  a cosB a cosB    6 7     2 2 a2  4 7 2 4 7 6 7 cos600 2RsenB senA  W  tgB a2  196 2RsenA cosB  a  14 RPTA.: D RPTA.: A 2. Los lados de un triángulo son 4. En un triángulo ABC, se conoce proporcionales a los números 3;5 que: B = 45°; b = 2 y c  6 . y 7. Siendo “  ” la medida de su menor ángulo interno; halle Indicar la medida del ángulo C. "s ec  " . A) sólo 30° B) sólo 45º C) sólo 60° D) 30° ó 150° 7 6 13 E) 60° ó 120° A) B) C) 13 13 7 14 13 RESOLUCIÓN D) E) 13 14 B 45º RESOLUCIÓN 6 1 3 5 sec   ?  cos  A C 2 menor ángulo   7 Ley de cosenos: 2 6  32  52  72  2 5 7 cos  sen 45 senC 13 3  c os   senC  14 2 14  s ec    C = 60º ó 120º 13 RPTA.: D RPTA.: E Página 1
  • 2. Trigonometría 5. En un triángulo ABC, se conoce 7. Halle la medida del ángulo B de que: A = 120°, b = 7 cm y un triangulo ABC cuyos lados a, b, c = 8 cm. Halle la longitud del y c cumplen la relación: lado a. b  a  c  c  a  b  3ac A) 13 m B) 130 m A) 30° B) 45° C) 60° C) 1,3 m D) 0,13 m D) 120° E) 150° E) 0,013 m RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN b   a  c   b   a  c    3ac    B b2   a  c   3ac 2 a 8 a2    c2  2ac cosB  a2  2ac  c2  2ac  1 120º cosB   C A 2 7  B  120 a  7  8  2 7  8 cos 120 2 2 2 RPTA.: D a  13cm  0,13m 8. En un triangulo ABC de lados BC = a, AC = b, AB = c Se RPTA.: D 7 ab cumple: (a+b+c)(a+ b - c)= 3 6. En un triángulo ABC de lados Calcule: M = 3sen 2C senC AB=c; AC = b; BC =a Determine: M  ab senC ctg A  ctgB   35 35 A) B) A) c2 B) b2 C) a2 36 6 a2 c2 C) 35 D) 2 35 D) E) E) 18 2 2 RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN 7ab 7ab M  ab senC ctg A  ctgB  a  b  c  a  b  c     a  b   c2  2   3 3 sen  A  B  ab 1 M  ab senC ,  a2  b2  c2   cos C  sen A senB 3 6 2ab cos C a = 2Rsen A 6 35 Ley de senos b = 2Rsen B c = 2Rsen C c sen C Luego: 1 M  3 2senC  cosC  senC  6 sen2C cosC sen  A  B  M  4R2senA senB senC 2 sen A senB  35   1  35  M  6   6   6  36    M   2R senC   c 2 2   RPTA.: A RPTA.: A Página 2
  • 3. Trigonometría 9. Siendo P el semiperimetro de un  B  C  180  A triangulo ABC, indicar el Condición: equivalente reducido de: sen  A  B  cos B  C  (b+c)cos A + (a+c) cosB + (a+b)cosC  c a sen 180  C  cos 180  A  p  A) p B) 2 p C) c a 2  senC  cos A p  D) E) 4p 2RsenC 2Rsen A 4 1   ctgA RESOLUCIÓN 1  ctgA  A  135º E  b cos A  c cos A  acosB  c cosB RPTA.: D  acosC  b cosC 12. En un triángulo uno de sus lados Si: c  b cos A  acosB mide 20 cm y los ángulos internos E  ab c adyacentes con él miden 16° y E=2p 37°. Halle su perímetro. RPTA.: B A) 22 cm B) 24 cm C) 42 cm 10. En un triangulo ABC, reduce: D) 44 cm E) 50 cm (b cos C  a) tgB E b senC RESOLUCIÓN A) 1 B) -1 C) -2 1 180º-53º y D) 2 E) - x 2 16º 37º RESOLUCIÓN 20 cm. b cos C  b cos C  c cosB   tgB E   Aplicando “Ley de senos” b senC x 20 y c cosB senB   E sen37 sen 180  53  sen16 bsenD cosB sen 53º E = -1 RPTA.: B x 2 y x  15cm    3 4 7 y = 7cm 11. En un triangulo ABC se cumple:  5 20 25 sen  A  B  cos B  C    Perímetro   x  y  20  42cm c a RPTA.: C Luego su ángulo “A” mide: 13. En un triángulo ABC, simplifique A) 120° B) 127° C) 143° la expresión: D) 135° E) 150° E  b cos B  c cos C RESOLUCIÓN A) b cos (B-C) B) a cos (B-C) *  ABC : A  B  C  180 C) c cos (B-C) D) a sen (B-C)  A  B  180  C E) b sen (B-C) Página 3
  • 4. Trigonometría  c cos C a2  b2  RESOLUCIÓN  M  ab cos A  ac2 cos A  a2bcosB  2 E  2RsenB cosB  2R senC cosC bc2 cosB  a2c cosC  b2c cosC E  R sen2B  R sen2C M  ab b cos A  a cosB  ac  c cos A  a cosC   E  R 2 sen B  C  cos B  C     “c” “b” E  acos B  C  bc  c cosB  b cosC RPTA.: B “a” 14. Halle “x” en la figura:  M  3abc RPTA.:E x 16. En un triángulo ABC, simplifique la expresión: a B b A E  cos2  cos2 2 2 2 2 5 3 Siendo p el semiperimetro de dicho triángulo A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 p A) p B) 2p C) 2 RESOLUCIÓN D) p/4 E) 4p 60º RESOLUCIÓN 5 x=? B A 4 E  a 2 cos2  b 2 cos2 2 2 60º 60º 120º 4E  a 1  cosB  b 1  cos A  5 3 4E  a  acosB  b  b cos A 4 E  ab c Aplicando ”Ley de cosenos” P E x2  32  52  2  3 5 cos120 2  x=7 RPTA.: C RPTA.: B 17. En un triángulo ABC, determine el 15. En un triángulo ABC reduce: valor de x para que verifique la   M  a b2  c2 cos A  b a2  c2 cosB   siguiente expresión: c a b  2 2  cos C B  C tg   B  C  2c x   tg  2   b  c  2    A) 3 B) a + b + c C) 3 (a + b + c) D) abc A A A) tg B) 4tg E) 3abc 2 2 A A C) ctg D) 2 tg RESOLUCIÓN 2 2    M  acos A b2  c2  b cosB a2  c2    E) 2 ctg A 2 Página 4
  • 5. Trigonometría 19. En un triángulo ABC RESOLUCIÓN (AB = c, AC = b, BC = a), si  B  C b = 3a, m ACB = 60° , calcule el tg   valor de: bc  2  Si:  M  5tgA  ctgA bc B  C tg    2  B  C B  C 3 5 3 tg  A) B) 3 C) 2c   tg  2  3 3   2    bc B  C 8 3 tg  D) 2 3 E)  3  2  como: A BC B  C A RESOLUCIÓN   90º  tg    ctg 2 Si: C = 60  A+B = 120°, b = 3a 2 2  2  Ley de tangente: A B  A B  A tg   tg    x  ctg ba  2   2a   2  2  RPTA.: C ba B  A 4a tg60 tg    2  18. En un triángulo ABC, BC = a, AC = b, AB = c B  A 3 B  A Simplifique:  tg    2  tg  2   3  2    M  a cos 2A  2C  b2 cos 2B  2C  b2 2 3 3 3 a 2 b 2  B  A B  A tgA  tg    2  2  3 A) B)  2 2  3 5 5 2 2 1 2 2 C) a2 D) b2 Luego: E) 2 a2  3 5 8 8 3 M  5     5   3 3 3   RESOLUCIÓN RPTA.: E Como: 2A  2B  2C  360 c os 2A  2C  cos2B  cos 2B  2C  cos2A 20. En un triángulo ABC, si:  M  a2 cos2B  b2 cos2A  b2 A + B = 72°  A - B =36° ab Halle: W  ab M  a2 cos2B  b2 1  cos2A  1  2 sen2 B 2 sen2 A 5 A) 5 B) C)1 Ley de senos: 5 a  2R sen A  b  2R senB 1 D) 5 E) M  a2  2a2 sen2 B  2b2 sen2A  a2 5 RPTA.: C RESOLUCIÓN En triángulo ABC, de la Ley de tangentes: Página 5
  • 6. Trigonometría  A  B a2  b2  2 2 R2 tg   ab  2   ? Calcule: M  tg2A  3tg2B W   ab  A  B tg    2  A) -1 B) -2 C) 0  72  sen36 D) 1 E) 2 tg   2   tg36 W  cos 36  36  tg18 sen18 RESOLUCIÓN tg    2  cos18 a2  b2  2 2 R2 …………………………* Ley de senos: a  2R sen A , 2sen36 cos18 sen54  sen18 b  2R senB  W  2 cos36 sen18 sen54  sen18   En (*) 4R2 sen2 A  sen2 B  2 2 R2  5  1  5  1 2     sen  A  B  sen  A  B   , cos36  sen18  4   4  2 W       5 Pero: C = 45°  (1)A  B  135 cos36  sen18  5  1   5  1   4  4          2 RPTA.: A  sen135 : sen  A  B    sen  A  B   1 2 2 21. En un triángulo ABC, BC = a, AB = c, AB = c si 2 4   c  2 a2  b2 c2  a4  a2b2  b4  0  (2) A  B  90 Halle la medida del ángulo agudo C. (1) + (2): 2A = 225°   (1)-(2) = 2B = 45° A) 90° B) 60° C) 45° Luego: D) 30° E) 15° M  tg 225  3tg45  1  3(1)  2 RESOLUCIÓN RPTA.: B   c4  2 a2  b2 c2  a4  a2b2  b4  0 a4  b4  c4  2a2 c2  2b2 c2  2a2 b2  a2 b2 a 2  b2  c2  2  a 2 b2  2ab cos c   a2 b2  4a2 b2 cos2 c  a2 b2  2 1 cos2 c  4 1  cos C   C  60 (Agudo) 2 RPTA.: B 22. En un triángulo ABC (BC = a; AC = b, AB = c) inscrito en una circunferencia de radio R, se cumple m C= 45º , además Página 6