Este documento describe la semejanza y la congruencia en geometría. Explica que las figuras semejantes tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, y que una homotecia es una transformación que multiplica todas las distancias por el mismo factor. También define la razón de semejanza como la razón de la homotecia correspondiente, y proporciona ejemplos de cómo calcular medidas en figuras semejantes usando razones y proporciones.

1. Unidad 4. Geometría
I. Semejanza y Congruencia
4. Calcular medidas de figuras semejantes (razón)
Semejanza: En geometría a las figuras se les llama semejantes si tienen
la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.
Las dos vacas que se muestran a continuación son semejantes.
Homotecia: Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir
de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor.
Es una amplificación.
Relación entre semejanza y homotecia:
La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer un
movimiento y una homotecia. Llamaremos razón de semejanza a la razón de la
homotecia correspondiente.
Razón: Comparación de dos cantidades mediante una división.
Proporción: Ecuación que establece que dos o mas razones son iguales.

2. Ejemplos de ejercicios que envuelven razón:
r=5
3
r=
2
4
r=
5
Como una proporción es una ecuación, las propiedades sobre la multiplicación y
la suma de la igualdad las puedes utilizar para cambiar la proporción a una
forma más útil.
Observa la siguiente forma standard para explicarte lo que acabas de leer:
a c
Para los números positivos a, b, c, y d, si  , entonces:
b d
ad  bc Propiedad multiplicativa de la igualdad
a b
 Propiedad multiplicativa de la igualdad
c d
b d
 Propiedad multiplicativa de la igualdad
a c
ab cd
 Propiedad aditiva de la igualdad
b d
ab cd
 Propiedad aditiva de la igualdad
b d

3. Figuras semejantes que envuelven razón en sus medidas
14 D
A
7 H
E
10 12 10
5 6
F G
C 6
B
12
Los polígonos ABCD y EFGH son semejantes porque sus ángulos
correspondientes son congruentes y cada lado del polígono ABCD tiene el doble
de la longitud del lado correspondiente del polígono EFGH.
La razón de las longitudes de los lados correspondientes es 2:1.
Esta relación puede expresarse mediante la proporción:
AB BC CD DA 2
    .
EF FG GH HE 1
En los polígonos semejantes, las longitudes de los lados correspondientes
son proporcionales.
Los siguientes polígonos son semejantes, tienen la misma forma pero no el mismo
tamaño. Las longitudes de sus lados forman las proporciones.
3.5
3 6 7
4
8
Longitudes de sus lados:
1
Razón de proporcionalidad =
3 4 3 3.5 3.5 4 2
  
6 8 6 7 7 8

4. Trapecios semejantes
12 cm
1
49 cm 12.25 cm
Los trapecios ABCD y A’B’C’D’ son trapecios semejantes
Calcularemos la razón de semejanza
AB BC DC AD
  
A' B' B' C ' D' C ' ' A' D'
15 49 20 24
   4
3.75 12.25 5 6
r4
¿Cuanto medirá la altura D' H ' ?
Calcularemos la altura de los trapecios siguiendo el siguiente procedimiento
1. Establece una proporción DC DH

D' C ' D' H '
2. Sustituir 20 12

3. Despeja para D’H’ 5 D' H '
20 D' H '  60
y halla la medida
20 D' H ' 60

de la altura. 20 20
D' H '  3

5. ¿Cómo hallar el valor que falta en este par de triángulos semejantes?
30 42 35
25
45
n
25 45
1. Establece una proporción. 
30 n
2. Haz la multiplicación cruzada aplicando la propiedad que se muestra en la
página 2 (Propiedad multiplicativa de la igualdad).
25n  1350
3. Despeja para la variable y halla el valor de n.
n  54
¿Recuerdas uno de los teoremas de la semejanza de triángulos estudiados
en la lección 2, específicamente el de la recta paralela?
Observa el siguiente diagrama y la aplicación de razón y proporción en los triángulos
semejantes.