I. Este documento presenta los teoremas de proporcionalidad en geometría, incluyendo el teorema de Tales, el teorema de la bisectriz interior y el teorema de la bisectriz exterior. II. Se proporcionan ejemplos y problemas de práctica dirigida relacionados con estos teoremas para que los estudiantes puedan aplicar los conceptos. III. El documento concluye con una tarea de dos problemas para que los estudiantes continúen practicando el uso de los teoremas de proporcionalidad en la resolución

1. I.E “10214” LA RAMADA Geometría – 4º Secundaria
PROPORCIONALIDAD
I. Teorema de Thales: Si: MN // AC
B
Tres o más rectas paralelas determinan sobre
dos o más rectas secantes a ellas, segmentos
de longitudes proporcionales. M N
Si: L1 // L2 // L3
A C
A D
L1
BM BN

MA NC
B E
L2
II. Teorema de la Bisectriz Interior:
C F B
L3
 
AB DE

BC EF
A D C
Observación:
AB AD

BC DC
Si: L1 // L2 // L3
L1 A D
III. Teorema de la Bisectriz Exterior:
B
L2 Si: BD es bisectriz Exterior
B


.
L3
E C
AB DB
A C D
 C
BC BE
AB AD

BC DC
-1- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruíz

2. I.E “10214” LA RAMADA Geometría – 4º Secundaria
Observación:
3. Calcular: MA, MN // AC .
Si: BR es bisectriz Interior. Si: AB = 12, BC = 16, BN = 7.
BQ es bisectriz Exterior B
B a) 3/4

b) 1/4
  M N
 c) 25/4
d) 27/4
e) 13/4
A C
A R C Q
C
AR AQ 4. Hallar: “”, MN // AC B

RC CQ
 4
a) 8
M N
b) 1,5
c) 3,5
+4 -2
d) 2,5
Práctica dirigida Nº 01
e) 2
A C
1. Si: L1 // L2 // L3. Calcular: “x”
L1
a) 0 5. En la figura: AB = 8, BC = 6 y AC = 7.
4 16
b) 1 Calcular: AM
L2 B
c) 2 a) 1
d) 3 x 4 b) 2  
e) 4
L3 c) 3
d) 4
e) 5
A M C
2. L1 // L2 // L3. Calcular EF, Si: AC = 12,
AB = 3 y DF = 48.
C D 6. Calcular: BR. Si: BC = 12.
L1
a) 10 B
b) 8 a) 4
E R
c) 12 L2 b) 6
B
d) 6 c) 8
e) 3 d) 10 
e) 12
L3 
A F A C
b b
-2- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruíz

3. I.E “10214” LA RAMADA Geometría – 4º Secundaria
7. En la figura. Calcular: CE. Si: AB = 8, BC = 6,
AC = 7.
Tarea Nº 01
B 
1. L1 // L2 // L3. Calcular: “x”
a) 28

b) 24
a) 3 L1
c) 23
b) 7 15 3
d) 22
c) 21 L2
e) 21
A C E d) 35
x 7
e) 45
L3
8. En la figura, Hallar AB. Si: BC = 2, AD = 9 y
CD = 6. 2. L1 // L2 // L3. Calcular AC, Si: DF = 10,
B 
DE = 5 y AB = 20.
a) 1 
b) 2 C
L1 D
c) 3
a) 10
d) 0
A C D b) 15 E
e) -1 L2
c) 40 B
d) 30
9. Calcular: QR. Si: AB = 8, BC = 6 y AC = 7. e) 20
B L3
a) 12  A F
b) 6  
c) 24 3. Hallar: AB. Si: BC = 15,
d) 48 BN = 3 y BM = 4.
B
e) 9
A R C Q a) 20
b) 24 M N
c) 16
10.Calcular: CF. Si: AE = 5, EC = 3 y
d) 18
^
m EBF = 90º. e) 25
B
a) 9 A C
b) 10  4. En la figura: AB = 3, BC = 4 y AC = 21.
c) 12 Hallar: MC. B
d) 18
e) 8
A a) 12  
E C F
b) 9
c) 7
11.En un triángulo ABC de lados AB = 12, d) 3
BC = 5 y AC = 3,5, se traza la bisectriz BS. e) Absurdo
Calcular: (SC - AS). A C
M
a) 1,5 b) 1,4 c) 2,5
d) 3,1 e) 0,8
-3- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruíz

4. I.E “10214” LA RAMADA Geometría – 4º Secundaria
5. Calcular: BM, Si BC = 24.
9. Hallar: Z + , L1 // L2 // L3 L1
B
a) 12 a) 8
Z 2k 4
b) 8 M b) 10 L2
c) 6 c) 12
d) 5 d) 9 3k
15 
e) 3 
e) 16 L3

A C
b 2b
10. Del problema anterior, calcular Z - .
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8
6. En la figura, calcular CE, Si: AB = 4,
BC = 3 y AC = 2.
En la figura L // L // L , Hallar “x”:
11. 1 2 3
a) 2 B

b) 4 a) 12
 b) 13 L
c) 6 1
c) 14 x-2 x+1
d) 3 d) 15 L
e) 11 2
e) 12 3 4
A C D L
3
7. Hallar: MC, Si: PC = 3AB y BQ = QP, En la figura L // L // L , Hallar “x”:
12. 1 2 3
además BC = 30.
B
a) 6 L
a) 12 1
b) 12 M x+1 x-2
c) 24 Q b) 3 L
2
d) 30 c) 4 x-3 x-4

e) 36 d) 5 L
 3
A C
P e) 1
En la figura L // L // L , Hallar “x”:
13. 1 2 3
8. Hallar “x”. Si: BF = 2ED. L L L
1 2 3
B a) 14,5
b) 13 6x+7
a) 60º 5x-2
F c) 14
b) 37
d) 15
c) 30 e) 12,5
E
d) 53
30
e) 45  40
A  x C
D
-4- Prof. Edwin Ronald Cruz Ruíz