Este documento trata sobre series infinitas. Explica que una serie infinita es la suma de los términos de una sucesión infinita. Para que una serie sea convergente, la suma parcial debe converger a un valor límite cuando n tiende a infinito. Presenta diferentes tipos de series como la armónica y geométrica, y criterios para determinar si una serie es convergente o divergente como el del término general, integral y de la razón.

1. SERIES INFINITAS
R E A L I Z A D O P O R :
O L I V E R O S S Á N C H E Z
W E N D Y R O S A L Í A D E P A L E R M O
C . I : 1 6 . 3 2 1 . 4 5 1 .
Instituto Universitario Politécnico
"Santiago Mariño"
Extensión San Cristóbal
Matemáticas III

2. SUCESIONES
Se puede considerar que una sucesión es una lista de
números escritos en un orden definido:
𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑, 𝒂 𝟒, . . . , 𝒂 𝒏, . . .
El número 𝒂 𝟏, recibe el nombre de primer término, 𝒂 𝟐,es el
segundo término y, en general, 𝒂 𝒏 es el n-ésimo término.
Se trata exclusivamente con sucesiones infinitas, por lo que
cada término 𝒂 𝒏 tiene un sucesor 𝒂 𝒏+𝟏
Una sucesión se puede definir como una función cuyo
dominio es el conjunto de enteros positivos.

3. Por lo regular, se escribe 𝒂 𝒏 en lugar de la notación de función
f(n) para el valor de la función en el número n.
La sucesión {𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, 𝒂 𝟑. . .} también se denota mediante:
{𝒂 𝟏} 𝐨 {𝒂 𝒏}∞
𝒏 − 𝟏
Definición:
Una sucesión {𝒂 𝒏} 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐜𝐨𝐦𝐨 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞 𝐋 𝐲 𝐬𝐞 𝐞𝐬𝐜𝐫𝐢𝐛𝐞
lim
𝒏−∞
𝒂 𝒏=𝑳
Si existe lim 𝒂 𝒏
𝒏−∞
se dice que la sucesión converge (o que es
convergente). De lo contrario se dice que la sucesión diverge
(o es divergente).

4. SERIES INFINITAS
Si trata de sumar los términos de una sucesión infinita
{𝒂 𝒏}∞
𝒏 − 𝟏 obtiene una expresión de la forma
𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟑 + 𝒂 𝟒 + . . . 𝒂 𝒏 +. . .
que se denomina serie infinita, o sólo serie, y se denota con
el símbolo
𝒏−𝟏
∞
𝒂 𝒏 o 𝒂 𝒏

5. SUMA DE UNA SERIE INFINITA
Dada una serie 𝒏−𝟏
∞
𝒂 𝒏=𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟑 + ⋯ , denote con 𝑺 𝒏 a la n-
ésima suma parcial:
𝑺 𝒏 = 𝒊−𝟏
𝒏
𝒂𝒊=𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + … + 𝒂 𝒏
Si la sucesión 𝑺 𝒏 es convergente y lim
𝒏−∞
𝑺 𝒏= 𝑺 existe como un
número real, entonces la serie 𝒂 𝒏 se dice convergente y se
escribe
𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + … + 𝒂 𝒏 + ⋯ = 𝑺 o 𝒏−𝟏
∞
𝒂 𝒏=S
El número S se llama suma de la serie. Si no es así, la serie se dice
divergente.

6. TIPOS DE SERIES INFINITAS
• Serie Armónica : Es una serie infinita de la siguiente
forma:
La serie armónica es
Divergente

7. • Serie Geométrica: Es un serie infinita en la que cada
termino se obtiene multiplicando el termino anterior por
una constante. Donde a es un numero y r es la constante
o razón de cambio.
Es convergente si │r│<1 y su suma es:
𝒔 𝒏 =
𝒂
𝟏−𝒓
│r│<1
Si │r│≥1 , la serie geométrica es divergente.

8. EJEMPLOS:

10. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
• Criterio del termino general para la Divergencia:
Si la serie 𝒏−𝟏
∞
𝒂 𝒏 es convergente, entonces lim
𝒏−∞
𝒂 𝒏 = 0
La prueba de la divergencia:
si lim
𝒏−∞
𝒂 𝒏 NO existe o si el lim
𝒏−∞
𝒂 𝒏 ≠ 𝟎 entonces la serie es
divergente.
Ejemplos:
a) Para la serie 𝒏−𝒐
∞+
𝟐 𝒏
lim
𝒏−∞
𝟐 𝒏
=∞ ∴ 𝑫𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆

12. • Criterio Integral: La función debe ser:
-Continua
-Decreciente
-De valores positivos
Entonces la serie será convergente si existe:

13. • Criterio de la Razón o Cociente:
Sea 𝒂 𝒏 una serie con términos positivos y suponga que :

14. TABLA RESUMEN CRITERIOS DE CONVERGENCIA