El documento explica conceptos básicos de cálculo como la derivada, su definición y métodos para calcularla. Incluye ejemplos de derivación de funciones simples y compuestas usando reglas como producto notable y cadena. También cubre temas como números y puntos críticos, monotonía, extremos relativos, y puntos de inflexión.

1. Facilitador: Prof. Martha Moreno Universidad Nacional Experimental “ Francisco de Miranda” Área de Ciencias de la Salud Departamento de Física y Matemática U.C: Matemática I- II

3. Siendo uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto (solo si este límite existe). Pero vayamos por partes. La derivada se define como: A continuación se derivará una función por definición, es importante tener en cuenta conocimientos básicos del cálculo tales como: Productos notables al cuadrado , factorización por factor común y propiedad distributiva

4. La función a derivar será . Luego de aplicar el teorema obtenemos: Se puede observar en la ecuación dos términos elevados a la potencia (2) dos, aplicando producto notable se obtiene… Luego aplicamos la propiedad distributiva y simplificamos un poco… Para eliminar el denominador factorizamos por factor común obteniendo… Al aplicar límite se obtiene como resultado final lo siguiente:

5. FUNCIÓN DERIVADA OBSERVACIÓN C (constante) 0 “ C” es un N º real (+ ó -) x 1 n=N º Real (+) n=N º Real (-) “ C” es un N º real (+ ó -) F(x) y G(x) son funciones F(x) y G(x) son funciones F(x) y G(x) son funciones =Función exponencial es la variable a derivar es constante

6. Ahora que conocemos los principales teoremas de diferenciación, a continuación se demostrarán varios ejemplos… FUNCIÓN DERIVADA OBSERVACIÓN Todas son funciones Trigonométricas

7. Ejemplo 1. Ejemplo 2. ` Ejemplo 3. Ejemplo 4. Sumamente sencillo… Para desarrollar una excelente técnica de diferenciación es necesario practicar una gran variedad de ejercicios con más dificultad que estos ejemplos explicados anteriormente…

8. Existen funciones compuestas que al derivar es necesario aplicar un metodo especial, este es conocido como “Regla de la Cadena”. Si tenemos una función continua y esta es diferenciable en entonces la función compuesta …………… es diferente; es decir, Ejemplo 1. nótese que la función externa ( ) se multiplica por la ……………. función interna ( ) luego de haber sido derivadas las (2) dos Luego de derivar y multiplicar solo ordenamos un poco la ecuación ……………. aplicando la propiedad distributiva obteniendo el resultado final. …………… . A continuación se demostrará otro ejemplo un poco mas complejo Función externa Función interna

9. Ejemplo 2. Nótese que es una función compuesta por (3) tres, es decir, aplicando “regla de la cadena” se multiplicarán las funciones internas luego de haber sido derivadas, pero vayamos por partes. Separamos las funciones internas a derivar, observe como estas se multiplican por la mas interna sucesivamente. Al derivar obtenemos lo siguiente… Ya derivadas las funciones solo queda multiplicar y ordenar un poco la función obteniendo el resultado final…

10. Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = F(x) , esto es cuando se da ”y” despejada en términos de “x” , En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2 yx = cos3 y , existe una función tal que y = F(x) , se dice que ”y” es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita. En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita. Sin embargo es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita. Se supone y = F(x) Se diferencia ambos miembros de la igualdad con respecto a la variable independiente aplicando la operación Se despeja , o sea, despejar A continuación se demostrará por medio de un ejemplo la diferenciación de funciones implícitas

11. Ejemplo 1. Observando la función nos damos cuenta que está implícita ¿cierto?. Antes de comenzar a derivar despejemos de la siguiente manera… Ahora nos enfocaremos a derivar toda la función término a término… Nótese que todos los términos se derivarán pero detalle mas adelante que al derivar se dejará expresada de la forma … Para encontrar (despejar ) es necesario factorizar por factor común… Ya encontrada es recomendable dejarla explícita, como pueden observar, existe todavía del lado derecho del (=) igual. Al sustituir nos queda finalmente…

12. Número crítico de la función contínua en un intérvalo “ i ” que contiene a “C”. Si …… es diferenciable en el intérvalo “ i ” excepto quizás en “C”, puede denotar lo siguiente: Si cambia de negativo a positivo en “C”, es un mínimo relativo. Si cambia de positivo a negativo en “C”, es un máximo relativo. Si no cambia de signo, entonces no es ni mínimo ni máximo relativo. Números Críticos: Si un número (c) está en el dominio de una función se conoce como un número crítico (valor crítico) de si: a) y b) Criterio de la primera derivada : Para calcular de extremos relativos (valores máximos o mínimos).

13. Criterio de la primera derivada : Para calcular o definir intervalos de crecimiento . o decrecimiento: Teorema de la monotonía “intervalos de crecimiento y decrecimiento”: Se calcula la derivada de la función dada. Se hallan los números críticos Se toman estos puntos como extremos de los sub intervalos contenidos en el dominio de la función. En los sub intervalos hallados se estudió el signo de la derivada, si esta es positiva se obtiene un intervalo de crecimiento, si esta es negativa es decreciente. Sea una función derivable en un intervalo abierto (a , b) Si para todo en (a ,b), entonces “ i ” es creciente en (a ,b) Si para todo en (a ,b), entonces es decreciente en (a , b) Si para todo en “ i ”, la gráfica de es lineal A continuación se demostrará un ejemplo de aplicación de la derivada

14. Ejemplo 1. Determinar de la función lo siguiente: Números Críticos Puntos Críticos Para comenzar nuevamente procedemos a derivar la función dada… Nótese que es una ecuación de grado (2) dos, luego nos dedicamos a conseguir los (2) dos valores que hacen (0) cero la ecuación. Números Críticos: A través de la ecuación resolvente obtendremos los valores que hacen (0) a … En sustituiremos en “ “ el valor que acompaña a la variable de grado (2) dos, en “ “ el valor que acompaña a la variable de grado (1) uno y en “ “ el valor del término independiente. , luego de sustituir procedemos a resolver… ; ; , finalmente obteniendo los números críticos “ “ y “ “

15. Punto Crítico N° 1: ... Punto Crítico N° 2: Finalmente obtuvimos nuestros dos puntos críticos…. , … Ahora por medio de otros ejemplos profundizaremos un poco mas sobre la aplicación de la derivada… es decir en función de . Ahora prosigamos a conseguir los puntos críticos… Puntos Críticos: Para encontrar los puntos críticos, utilizamos los números críticos. Estos serán sustituidos cada uno en obteniendo dos resultados. Un punto crítico se denota por la forma donde es el número crítico a sustituir y será el resultado de

16. Ejemplo 2. Determinar de la función lo siguiente: Números Críticos Puntos Críticos Monotonía Gráfica Punto máx. y min. Punto de Inflexión Concavidad Para comenzar nuevamente procedemos a derivar la función dada… Observando a se nota que es una ecuación de grado (2) dos, luego nos dedicamos a conseguir los (2) dos valores que hacen (0) cero la ecuación. Números Críticos: Aplicamos factor común, luego factorizamos obteniendo… … Como pueden observar, los números que al sustituirlos en hacen la ecuación igual a (0) cero son “ -1 ” y “ 2 ”… Dichos números ( y ) serán nuestros números críticos, ahora prosigamos a encontrar los puntos críticos

17. Punto Crítico N° 1: … Véase que sabiendo que es un número crítico lo sustituimos en y resolvemos … Nuestro punto crítico N° 1 será Punto Crítico N° 2: Se realiza el mismo procedimiento pero con el otro número crítico ( )… … Nuestro punto crítico N° 2 será Monotonía: Puntos Críticos: Aplicando el mismo procedimiento realizado en el ejemplo 1. obtendremos nuestros dos puntos críticos

18. -1 . 0 1 2 Monotonía = Observe que los números críticos definen la monotonía de la función… Ahora nos dedicamos a encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento… Como pueden observar el resultado es > 0, es decir, la función crecerá hasta alcanzar “ -1 ” Como pueden observar el resultado es < 0, es decir, la función decrecerá hasta alcanzar “ 2 ” Ahora prosigamos a encontrar el ultimo intervalo…

19. Como pueden observar el resultado es > 0, es decir, la función crecerá a partir de “ 2 ” hasta el Punto de Inflexión: Para encontrar este punto es necesario encontrar la (2) segunda derivada de , es decir, . Encontramos el valor que hace (0) cero a , este valor será “ a ”. Luego de haber encontrado dicho valor sustituimos al mismo en , obteniendo otro valor el cual será “ b ”. El punto de inflexión se expresa de la forma Observe que el único número que hace (0) cero a la ecuación es Ahora prosigamos a sustituir en

20. Nuestro punto de inflexión es Ahora nos dedicamos a graficar en el plano la gráfica de la función, máximos, mínimos, punto de inflexión y denotar las concavidades…

21. Cóncava hacia  Cóncava hacia  Pto. Máximo Pto. Mínimo

22. Ejemplo 3. Determinar de la función lo siguiente: Números Críticos Puntos Críticos Monotonía Gráfica Punto máx. y min. Punto de Inflexión Concavidad Ya conseguidos los números y puntos críticos de dicha función en el ejemplo 1… Continuaremos buscando lo restante… . 0 1 2 3 4 Monotonía = Monotonía: continuemos a buscar los intervalos de crecimiento y decrecimiento

23. Como pueden observar el resultado es > 0, es decir, la función crecerá hasta alcanzar “ 0 ” Como pueden observar el resultado es < 0, es decir, la función decrecerá hasta alcanzar “ 4 ” Como pueden observar el resultado es > 0, es decir, la función crecerá hasta el “ ”

24. Punto de inflexión: Como se explicó en el ejemplo 2., es necesario para encontrar el punto de inflexión obtener la segunda derivada ( )… Al igual se explicó que el punto de inflexión se expresa de la forma , donde será el valor que hace (0) cero a y será , es decir, la función original en función de Luego de haber conseguido como “2” nos dedicamos a encontrar Finalmente nuestro punto de inflexión es Ahora nuevamente nos dedicamos a graficar en el plano la gráfica de la función, máximos, mínimos, punto de inflexión y denotar las concavidades…

25. Cóncava hacia  Cóncava hacia  Pto. Máximo Pto. Mínimo