Este documento describe la simetría en términos matemáticos y geométricos. Explica los elementos básicos de la simetría como el punto, la línea y el plano, y las operaciones de simetría como el centro, eje y plano de simetría. También describe los sistemas de notación de Schöenflies y Hermann-Mauguin y los 32 grupos puntuales de simetría formados por combinaciones de elementos de simetría.

1. Hans Kauffmann B.

2. ¿Que es la simetría?
Concepto de carácter
universal
En un sentido matemático
se presenta con caracteres
geométrico

3. Sentido geométrico
Se presentan tres elementos básicos
característico
 El punto
 La línea
 El plano

4. Operaciones de simetría
Conjunto de operaciones de simetría
 Centro de simetría
 Eje de simetría

5.  Plano de simetría
o reflexión

6.  Identidad
Operaciones que no tiene efecto neto
 Se presenta mas de 1 plano de simetría
h = horizontal
v = vertical
d = diedrico

7.  Plano diedrico
 Plano vertical
 Plano horizontal
Distribución de planos en una
molécula

8. Sistemas de notación
en simetría
Sistema de Schöenflies
Sistema de Hermann-Mauguin
Utilizado en estudios química molecular
Utilizado en estudios de cristaloquímica
y cristalografía

9. Nomenclatura de notación
Schöenflies Hermann-Mauguin
Rotación simple = C
Obedece a 2/n
C2 = 2/2
Rotación simple
representada por numero
entero (C2 = 2)
Reflexión (plano especular)
Se simboliza por 
Reflexión se simboliza
con m (mirror)

10. Rotación impropia
Se simboliza S = Sn
n = numero de giro
Rotación impropia
Se simboliza P

11. Combinaciones de los elementos
de simetría
Se tiene once operaciones
básica de simetría
1 360º
2 180º
3 120º
4 90º
6 60º





1
2
3
4
6
m = reflexión
Inversión i =1

12. Conjunto de combinaciones permitidas
Obedecen a la formula 180º 540º
2 2 2
X Y Z
  
   
Los ángulos  presentan la
siguiente relación
360 360 360
, ,
x y z
X Y Z
  
  

13. Si la relación se reemplaza en la
ecuación anterior y se divide por 180º
Se obtiene la siguiente ecuación
1 1 1
1 3
X Y Z
   

14. Las combinaciones permitidas
forman los 32 grupos puntuales
SÍMBOLO
COMBINACIÓN DE
SIMETRÍA
ELEMENTOS DE SIMETRÍA
1 Eje monario (giro de 360º)
2 Eje binario (giro de 180º)
3 Eje ternario (giro de 120º)
4 Eje cuaternario (giro de 90º)
6 Eje senario (giro de 60º)
1
Eje monario de inversión (giro de
360º+inversión) = centro de inversión
(2=i)
2
Eje binario de inversión (giro de
180º+inversión) = plano de simetría
(2=m)
3
Eje ternario de inversión (giro de
120º+inversión)
4
Eje cuaternario de inversión (giro de
90º+inversión)
6
Clases con un sólo
elemento de simetría
Eje senario de inversión (giro de
60º+inversión) = eje ternario + plano de
simetría perpendicular (6=3/m)

15. 222
Tres ejes binarios en planos
perpendiculares entre sí
32
Un eje ternario + tres ejes binarios en
planos perpendiculares
422
Un eje cuaternario + dos ejes binarios
en planos perpendiculares
622
Un eje senario + tres ejes binarios a
120º (plano perpendicular al senario)
23
Cuatro ejes ternarios + Tres ejes
binarios
432
Clases con
combinación de ejes
Tres ejes cuaternarios + cuatro ejes
ternarios + seis ejes binarios
2/m
Eje binario + plano de simetría
perpendicular a él
4/m
Eje cuaternario + plano de simetría
perpendicular a él
6/m
Clases con un eje
de orden par + un
centro de simetría
(Eje de orden par +
centro de
simetría=plano de
simetría
perpendicular al
eje)
Eje senario + plano de simetría
perpendicular a él

16. 2mm
Eje binario + dos planos de simetría que se cortan
en él
3m
Eje ternario + tres planos de simetría que se
cortan en él
4mm
Eje cuaternario + cuatro planos de simetría que se
cortan en él
6mm
Clases con un eje + un
plano de simetría que
contenga al eje
Eje senario + seis planos de simetría que se
cortan en él
42m
Eje cuaternario de inversión + dos ejes binarios +
dos planos de simetría
43m
Tres ejes cuaternarios de inversión + cuatro ejes
ternarios + seis planos de simetría
62m
Clases con un eje +
dos ejes impropios
Eje senario de inversión (=eje ternario + plano de
simetría perpendicular) + tres ejes binarios + tres
planos de simetría

17. 2/m2/m2/
m
(mmm)
Tres ejes binarios + tres planos de simetría
perpendiculares
32/m
(3m)
Un eje ternario + tres ejes binarios + tres
planos de simetría perpendiculares + un
centro de simetría
4/m2/m2/
m
(4/mmm)
Un eje cuaternario + un plano de simetría
perpendicular + cuatro ejes binarios +
cuatro planos de simetría perpendiculares +
centro de simetría
6/m2/m2/
m
(6/mmm)
Un eje senario + un plano de simetría
perpendicular + seis ejes binarios + seis
planos de simetría perpendiculares + un
centro de simetría
2/m3
(m3)
Cuatro ejes ternarios + tres ejes binarios +
tres planos de simetría perpendiculares +
un centro de simetría
4/m32/m
(m3m)
Clases con tres ejes
+ un centro de
simetría
Tres ejes cuaternarios + tres planos de
simetría perpendiculares + cuatro ejes
ternarios + seis ejes binarios + seis planos
de simetría perpendiculares + un centro de
simetría

18. Caracterización de un cristal
Tipo de simetría que se presenta en todos los cristales
Cristal: cuerpo ordenado periódicamente en 3D
Periodo de traslación
1 2 3
a a a a
  
Vector traslación no desplaza un punto
determinando, sino el modelo completo

19. El plano de la red
Se sitúan paralelos
unos a otros
A través de 3 puntos en
un sector determinado
se pude identificar

20. Coordenadas cristalogárficas
Existencia de un vector traslación a
Tres componentes a, b, c “Constantes de red”
Los ángulos entre ellos
se denominan
Angulos de red
, ,
   1 2 3
, ,
  

21. Sistemas cristalinos
Se pueden obtener siete sistemas cristalinos unitarios
Cubico
a b c
 
90º
  
  

22. Tetragonal
a b c
 
90º
  
  
Ortorrómbica
a b c
 
90º
  
  

23. Hexagonal
a b c d
  
60º
90º
  

  

Romboédrica
a b c
 
90º
  
  

24. Monoclínica
a b c
 
90º
90º
 

 

Triclínica
a b c
 
90º
  
  