Este documento presenta los conceptos fundamentales del sistema acotado para la representación de terrenos. Explica cómo representar puntos, rectas y planos mediante el uso de proyecciones ortogonales y cotas. También describe operaciones básicas como determinar la intersección entre rectas y planos, y representar la pendiente, paralelismo y perpendicularidad en este sistema de planos acotados. El documento proporciona los aspectos clave de este método geométrico utilizado comúnmente en topografía e ingeniería civil.
La perspectiva caballera utiliza cuatro planos de proyección: tres auxiliares que forman un triedro trirrectángulo y uno principal. Para fijar una perspectiva caballera se necesitan conocer dos ángulos: el ángulo alfa entre la dirección de proyección y el plano del cuadro, y el ángulo beta entre la dirección de proyección y el plano XOY. Los segmentos paralelos a X y Z se proyectan sin deformación, mientras que a los paralelos a Y se les aplica un coeficiente de reducción
Este documento presenta conceptos básicos de geometría descriptiva. Explica el sistema tridimensional compuesto por tres planos que intersectan en tres ejes perpendiculares. Define qué es un punto en este sistema y cómo se puede identificar si un punto pertenece a un eje, plano u otra ubicación. También describe cómo se proyectan objetos en los diferentes planos y cómo dibujar las proyecciones ortogonales de puntos, rectas, planos y volúmenes. Finalmente, contrasta el sistema tridimensional con el sistema bidimensional y da un ejemplo
Este documento describe los diferentes tipos de proyecciones utilizadas para representar objetos en dibujo técnico. Explica las proyecciones ortográficas, que proyectan perpendiculares al plano de proyección y se usan comúnmente en diseño mecánico. También cubre las proyecciones axonométricas como la isométrica, dimétrica y trimétrica, así como las vistas múltiples y las proyecciones en el primer y séptimo octante.
Este documento explica los principios básicos del sistema axonométrico de representación gráfica en 3D. Describe los cuatro planos de proyección utilizados (tres planos auxiliares y un plano principal), y cómo los objetos se proyectan en estos planos para crear una representación tridimensional. También cubre conceptos como la proyección cilíndrica ortogonal y oblicua, los coeficientes de reducción, y los diferentes tipos de axonométricas como isométrica, dimétrica y trimétrica.
El documento explica cómo determinar la pendiente verdadera y el rumbo de un plano. La pendiente verdadera es el ángulo entre la vista de filo de un plano y un plano de referencia horizontal en la vista de elevación. El rumbo de un plano es el ángulo de una línea horizontal en ese plano medido en la vista de planta.
Este documento presenta un resumen del tema de geometría descriptiva aplicada. Explica brevemente la historia de esta rama de la geometría y define los principales conceptos como puntos, rectas, planos y sus proyecciones. También describe cómo ubicar puntos y rectas en el espacio tridimensional y las relaciones entre rectas y planos.
La topografía describe físicamente la superficie terrestre y sus características. Es fundamental para la construcción civil ya que el 80% de los trabajos son replanteos. Los levantamientos topográficos preliminares son importantes para obtener las dimensiones del terreno y ubicación de servicios. La topografía también provee niveles de referencia y controla posibles rotaciones o traslaciones del edificio durante la construcción.
1. sistema axonometrico- fundamentos y coeficiente de reducciónelenaos
Este documento explica los fundamentos de la axonometría ortogonal y los métodos para calcular las escalas gráficas. Describe los tres tipos de axonometría (isométrica, dimetrica y trimetrica) y cómo se determinan los coeficientes de reducción según la posición del plano de proyección. También explica el uso del triángulo de trazas para obtener las escalas gráficas mediante el abatimiento de los ejes sobre el plano de proyección.
La perspectiva caballera utiliza cuatro planos de proyección: tres auxiliares que forman un triedro trirrectángulo y uno principal. Para fijar una perspectiva caballera se necesitan conocer dos ángulos: el ángulo alfa entre la dirección de proyección y el plano del cuadro, y el ángulo beta entre la dirección de proyección y el plano XOY. Los segmentos paralelos a X y Z se proyectan sin deformación, mientras que a los paralelos a Y se les aplica un coeficiente de reducción
Este documento presenta conceptos básicos de geometría descriptiva. Explica el sistema tridimensional compuesto por tres planos que intersectan en tres ejes perpendiculares. Define qué es un punto en este sistema y cómo se puede identificar si un punto pertenece a un eje, plano u otra ubicación. También describe cómo se proyectan objetos en los diferentes planos y cómo dibujar las proyecciones ortogonales de puntos, rectas, planos y volúmenes. Finalmente, contrasta el sistema tridimensional con el sistema bidimensional y da un ejemplo
Este documento describe los diferentes tipos de proyecciones utilizadas para representar objetos en dibujo técnico. Explica las proyecciones ortográficas, que proyectan perpendiculares al plano de proyección y se usan comúnmente en diseño mecánico. También cubre las proyecciones axonométricas como la isométrica, dimétrica y trimétrica, así como las vistas múltiples y las proyecciones en el primer y séptimo octante.
Este documento explica los principios básicos del sistema axonométrico de representación gráfica en 3D. Describe los cuatro planos de proyección utilizados (tres planos auxiliares y un plano principal), y cómo los objetos se proyectan en estos planos para crear una representación tridimensional. También cubre conceptos como la proyección cilíndrica ortogonal y oblicua, los coeficientes de reducción, y los diferentes tipos de axonométricas como isométrica, dimétrica y trimétrica.
El documento explica cómo determinar la pendiente verdadera y el rumbo de un plano. La pendiente verdadera es el ángulo entre la vista de filo de un plano y un plano de referencia horizontal en la vista de elevación. El rumbo de un plano es el ángulo de una línea horizontal en ese plano medido en la vista de planta.
Este documento presenta un resumen del tema de geometría descriptiva aplicada. Explica brevemente la historia de esta rama de la geometría y define los principales conceptos como puntos, rectas, planos y sus proyecciones. También describe cómo ubicar puntos y rectas en el espacio tridimensional y las relaciones entre rectas y planos.
La topografía describe físicamente la superficie terrestre y sus características. Es fundamental para la construcción civil ya que el 80% de los trabajos son replanteos. Los levantamientos topográficos preliminares son importantes para obtener las dimensiones del terreno y ubicación de servicios. La topografía también provee niveles de referencia y controla posibles rotaciones o traslaciones del edificio durante la construcción.
1. sistema axonometrico- fundamentos y coeficiente de reducciónelenaos
Este documento explica los fundamentos de la axonometría ortogonal y los métodos para calcular las escalas gráficas. Describe los tres tipos de axonometría (isométrica, dimetrica y trimetrica) y cómo se determinan los coeficientes de reducción según la posición del plano de proyección. También explica el uso del triángulo de trazas para obtener las escalas gráficas mediante el abatimiento de los ejes sobre el plano de proyección.
El documento describe los sistemas de representación geométrica, enfocándose en el sistema diédrico. Explica que este sistema utiliza proyecciones cilíndricas ortogonales para proyectar objetos tridimensionales sobre planos. Detalla los elementos del sistema diédrico como los planos de proyección y cómo representar puntos, líneas y figuras planas a través de sus proyecciones. Incluye ejemplos de cómo representar estas entidades geométricas.
Este documento presenta las soluciones a las actividades planteadas en el libro de texto "Dibujo Técnico I" para los temas de construcción de formas poligonales, incluyendo triángulos y cuadriláteros. Explica paso a paso cómo construir diferentes tipos de triángulos utilizando ángulos, lados, alturas y semejanza. También introduce los poligonos regulares pero no incluye soluciones para esas actividades.
Este documento proporciona información sobre conceptos básicos de proyecciones, incluyendo definiciones de términos como proyección, objeto proyectado, plano de proyección, foco de proyección, entre otros. Explica las clasificaciones de proyecciones cónicas y cilíndricas, y los sistemas de proyección americano y europeo. También describe los principales planos de proyección y conceptos como abatimiento, depurado, línea de pliegue y línea de referencia.
El documento describe los diferentes tipos de líneas y elementos de acotación que se utilizan en los dibujos técnicos de acuerdo con la norma UNE, incluyendo líneas auxiliares de cota, líneas de cota, extremos de cota, cifras de cota, y diferentes sistemas de acotación como la acotación en serie, en paralelo y combinada. Explica aspectos como la forma de representar radios, diámetros, ángulos y distancias, así como la colocación correcta de las líneas, cifras y sí
Este documento describe los objetivos y procedimientos de una práctica de topografía sobre el uso del teodolito. Los objetivos incluyen aprender las partes del teodolito, establecerlo correctamente, y medir ángulos horizontales y verticales. Explica cómo establecer el teodolito en un punto, nivelarlo, y tomar lecturas de ángulos.
Las normas básicas de acotación establecen que se incluirán las cotas necesarias para definir la pieza, expresadas en la misma unidad y leídas de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda. Las líneas de cota no deben cruzarse ni coincidir con aristas u otros ejes, y se colocarán de forma ordenada. Existen reglas específicas para acotar diámetros, radios y otras características.
La geometría descriptiva permite representar objetos tridimensionales en un plano bidimensional mediante proyecciones. Se utiliza para resolver problemas espaciales de forma reversible y proporciona las bases del dibujo técnico. Sus principales elementos son el objeto, punto de observación, superficie de proyección y proyectantes. Existen varios tipos de proyecciones como las azimutales, cilíndricas, cónicas y de Mercator.
El documento explica los conceptos básicos de la geometría descriptiva, incluyendo definiciones, tipos de proyecciones, sistemas de representación y elementos geométricos como puntos y rectas. Describe la teoría de la proyección ortogonal, los sistemas diédrico y acotado, y cómo representar puntos y rectas tridimensionales usando doble proyección.
La estadimetría es un método para medir distancias y diferencias de elevación de forma indirecta y rápida, aunque con poca precisión. Se usa principalmente para levantamientos de detalle y nivelaciones trigonométricas cuando no se requiere alta precisión o el terreno dificulta el uso de cintas. El equipo necesario incluye una estadia graduada y un teodolito o nivel con hilos estadimétricos para tomar lecturas y calcular distancias horizontales multiplicando la diferencia de lecturas por una constante.
Este documento describe métodos para trazar perpendiculares y paralelas utilizando únicamente una cinta métrica. Explica cómo trazar una perpendicular desde un punto de una línea usando un triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5 metros, y cómo trazar paralelas midiendo distancias iguales desde un punto de referencia. También cubre cómo prolongar un alineamiento cuando los extremos no son visibles.
Este documento proporciona instrucciones para realizar mediciones topográficas con cinta. Explica cómo usar y manejar la cinta, medir distancias en terreno llano y escarpado, y realizar un levantamiento topográfico de un polígono. Describe los pasos para alinear, tensar y marcar puntos, así como llevar registros de mediciones. El objetivo es enseñar estudiantes habilidades para mediciones topográficas precisas usando una cinta métrica.
El documento describe los métodos para obtener perfiles longitudinales y transversales del terreno. Explica que un perfil longitudinal muestra el cambio en la elevación a lo largo de una línea, mientras que las secciones transversales muestran cómo varía el terreno en direcciones perpendiculares. Además, detalla cómo trazar estos perfiles a partir de mediciones topográficas o de mapas existentes, utilizando escalas apropiadas.
El documento trata sobre la fotogrametría. Define la fotogrametría como la ciencia de obtener medidas precisas mediante fotografía. Explica que la fotogrametría puede ser terrestre, aérea, espacial o tecnológica. También describe elementos clave de las fotografías aéreas como la escala, altura de vuelo, línea de vuelo y puntos homólogos.
1. El documento presenta información sobre topografía plana y sus aplicaciones en ingeniería civil. Incluye tópicos como elementos de geometría y trigonometría, instrumentos topográficos, medición de distancias y ángulos, procedimientos topográficos, nivelación, levantamientos topográficos y representación de planos.
2. Se describen conceptos como sistemas de coordenadas, cálculo de áreas y volúmenes, instrumentos como teodolitos y estaciones totales, y métodos como poligonales
Este documento presenta 9 ejercicios de geometría descriptiva. Los ejercicios incluyen determinar la visibilidad de extremos de rectas representadas por tubos, completar proyecciones de rectas que se cortan, determinar la orientación y magnitud verdadera de una recta, ubicar un punto a una distancia dada de un extremo de una recta, hallar la pendiente y vista de punto de una recta, y trazar un segmento con datos de longitud, pendiente y orientación.
El documento describe conceptos básicos de sistemas de representación gráfica, incluyendo puntos de vista, planos de proyección, vistas ortogonales y sus aplicaciones. Explica las diferencias entre los sistemas de proyección europeo y americano y cómo se usan para desarrollar vistas múltiples de un objeto en un solo plano. También cubre técnicas como proyecciones auxiliares, vistas interrumpidas y recomendaciones para la presentación de dibujos técnicos.
El sistema diédrico es un sistema de representación geométrica que utiliza la proyección cilíndrica ortogonal para definir objetos tridimensionales en un plano. Consta de tres planos de proyección - horizontal, vertical y de perfil - que se combinan en un solo plano mediante proyecciones. Los puntos se representan con letras mayúsculas y subíndices que indican su proyección en cada plano, y su posición se define por la cota, alejamiento y desviación.
Este documento describe los elementos básicos de una proyección ortogonal. Explica que una proyección ortogonal utiliza líneas de miras paralelas perpendiculares a un plano de imagen. El plano de imagen es perpendicular a las líneas de miras y está entre el observador y el objeto. También describe los tres planos principales de proyección - horizontal, frontal y de perfil - y cómo se obtienen las vistas proyectando un objeto en cada plano.
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones isométricas, que son transformaciones que mantienen la forma y el tamaño de una figura. Define isometría, simetría axial, simetría central, traslación, y rotación o giro, explicando los elementos clave de cada una.
La topografía es una ciencia que permite representar gráficamente las formas naturales y artificiales de una parte de la superficie terrestre y determinar la posición relativa de puntos a través de levantamientos topográficos y planos. Los egipcios y romanos desarrollaron tempranamente la topografía para medir tierras y aplicar impuestos, utilizando instrumentos como el cordel y el triángulo sagrado. A través de los siglos, topógrafos griegos, árabes y europeos mejoraron los métodos y crearon nuevos
Este documento presenta los conceptos básicos del sistema acotado de planos, incluyendo la representación de puntos, rectas, planos, y sus relaciones geométricas. Explica cómo representar y analizar la intersección de rectas, la paralelidad, la perpendicularidad, distancias, abatimientos, y aplicaciones técnicas del sistema acotado. El documento contiene 13 secciones con definiciones, figuras ilustrativas y ejemplos para explicar completamente el sistema acotado de planos.
Este documento describe los fundamentos del sistema diédrico de representación, incluyendo la división del espacio en planos de proyección y la notación utilizada. Explica cómo representar puntos, rectas y planos mediante sus proyecciones en los planos horizontal y vertical. También cubre conceptos como paralelismo, perpendicularidad, distancias e intersecciones entre elementos geométricos en el sistema diédrico.
El documento describe los sistemas de representación geométrica, enfocándose en el sistema diédrico. Explica que este sistema utiliza proyecciones cilíndricas ortogonales para proyectar objetos tridimensionales sobre planos. Detalla los elementos del sistema diédrico como los planos de proyección y cómo representar puntos, líneas y figuras planas a través de sus proyecciones. Incluye ejemplos de cómo representar estas entidades geométricas.
Este documento presenta las soluciones a las actividades planteadas en el libro de texto "Dibujo Técnico I" para los temas de construcción de formas poligonales, incluyendo triángulos y cuadriláteros. Explica paso a paso cómo construir diferentes tipos de triángulos utilizando ángulos, lados, alturas y semejanza. También introduce los poligonos regulares pero no incluye soluciones para esas actividades.
Este documento proporciona información sobre conceptos básicos de proyecciones, incluyendo definiciones de términos como proyección, objeto proyectado, plano de proyección, foco de proyección, entre otros. Explica las clasificaciones de proyecciones cónicas y cilíndricas, y los sistemas de proyección americano y europeo. También describe los principales planos de proyección y conceptos como abatimiento, depurado, línea de pliegue y línea de referencia.
El documento describe los diferentes tipos de líneas y elementos de acotación que se utilizan en los dibujos técnicos de acuerdo con la norma UNE, incluyendo líneas auxiliares de cota, líneas de cota, extremos de cota, cifras de cota, y diferentes sistemas de acotación como la acotación en serie, en paralelo y combinada. Explica aspectos como la forma de representar radios, diámetros, ángulos y distancias, así como la colocación correcta de las líneas, cifras y sí
Este documento describe los objetivos y procedimientos de una práctica de topografía sobre el uso del teodolito. Los objetivos incluyen aprender las partes del teodolito, establecerlo correctamente, y medir ángulos horizontales y verticales. Explica cómo establecer el teodolito en un punto, nivelarlo, y tomar lecturas de ángulos.
Las normas básicas de acotación establecen que se incluirán las cotas necesarias para definir la pieza, expresadas en la misma unidad y leídas de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda. Las líneas de cota no deben cruzarse ni coincidir con aristas u otros ejes, y se colocarán de forma ordenada. Existen reglas específicas para acotar diámetros, radios y otras características.
La geometría descriptiva permite representar objetos tridimensionales en un plano bidimensional mediante proyecciones. Se utiliza para resolver problemas espaciales de forma reversible y proporciona las bases del dibujo técnico. Sus principales elementos son el objeto, punto de observación, superficie de proyección y proyectantes. Existen varios tipos de proyecciones como las azimutales, cilíndricas, cónicas y de Mercator.
El documento explica los conceptos básicos de la geometría descriptiva, incluyendo definiciones, tipos de proyecciones, sistemas de representación y elementos geométricos como puntos y rectas. Describe la teoría de la proyección ortogonal, los sistemas diédrico y acotado, y cómo representar puntos y rectas tridimensionales usando doble proyección.
La estadimetría es un método para medir distancias y diferencias de elevación de forma indirecta y rápida, aunque con poca precisión. Se usa principalmente para levantamientos de detalle y nivelaciones trigonométricas cuando no se requiere alta precisión o el terreno dificulta el uso de cintas. El equipo necesario incluye una estadia graduada y un teodolito o nivel con hilos estadimétricos para tomar lecturas y calcular distancias horizontales multiplicando la diferencia de lecturas por una constante.
Este documento describe métodos para trazar perpendiculares y paralelas utilizando únicamente una cinta métrica. Explica cómo trazar una perpendicular desde un punto de una línea usando un triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5 metros, y cómo trazar paralelas midiendo distancias iguales desde un punto de referencia. También cubre cómo prolongar un alineamiento cuando los extremos no son visibles.
Este documento proporciona instrucciones para realizar mediciones topográficas con cinta. Explica cómo usar y manejar la cinta, medir distancias en terreno llano y escarpado, y realizar un levantamiento topográfico de un polígono. Describe los pasos para alinear, tensar y marcar puntos, así como llevar registros de mediciones. El objetivo es enseñar estudiantes habilidades para mediciones topográficas precisas usando una cinta métrica.
El documento describe los métodos para obtener perfiles longitudinales y transversales del terreno. Explica que un perfil longitudinal muestra el cambio en la elevación a lo largo de una línea, mientras que las secciones transversales muestran cómo varía el terreno en direcciones perpendiculares. Además, detalla cómo trazar estos perfiles a partir de mediciones topográficas o de mapas existentes, utilizando escalas apropiadas.
El documento trata sobre la fotogrametría. Define la fotogrametría como la ciencia de obtener medidas precisas mediante fotografía. Explica que la fotogrametría puede ser terrestre, aérea, espacial o tecnológica. También describe elementos clave de las fotografías aéreas como la escala, altura de vuelo, línea de vuelo y puntos homólogos.
1. El documento presenta información sobre topografía plana y sus aplicaciones en ingeniería civil. Incluye tópicos como elementos de geometría y trigonometría, instrumentos topográficos, medición de distancias y ángulos, procedimientos topográficos, nivelación, levantamientos topográficos y representación de planos.
2. Se describen conceptos como sistemas de coordenadas, cálculo de áreas y volúmenes, instrumentos como teodolitos y estaciones totales, y métodos como poligonales
Este documento presenta 9 ejercicios de geometría descriptiva. Los ejercicios incluyen determinar la visibilidad de extremos de rectas representadas por tubos, completar proyecciones de rectas que se cortan, determinar la orientación y magnitud verdadera de una recta, ubicar un punto a una distancia dada de un extremo de una recta, hallar la pendiente y vista de punto de una recta, y trazar un segmento con datos de longitud, pendiente y orientación.
El documento describe conceptos básicos de sistemas de representación gráfica, incluyendo puntos de vista, planos de proyección, vistas ortogonales y sus aplicaciones. Explica las diferencias entre los sistemas de proyección europeo y americano y cómo se usan para desarrollar vistas múltiples de un objeto en un solo plano. También cubre técnicas como proyecciones auxiliares, vistas interrumpidas y recomendaciones para la presentación de dibujos técnicos.
El sistema diédrico es un sistema de representación geométrica que utiliza la proyección cilíndrica ortogonal para definir objetos tridimensionales en un plano. Consta de tres planos de proyección - horizontal, vertical y de perfil - que se combinan en un solo plano mediante proyecciones. Los puntos se representan con letras mayúsculas y subíndices que indican su proyección en cada plano, y su posición se define por la cota, alejamiento y desviación.
Este documento describe los elementos básicos de una proyección ortogonal. Explica que una proyección ortogonal utiliza líneas de miras paralelas perpendiculares a un plano de imagen. El plano de imagen es perpendicular a las líneas de miras y está entre el observador y el objeto. También describe los tres planos principales de proyección - horizontal, frontal y de perfil - y cómo se obtienen las vistas proyectando un objeto en cada plano.
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones isométricas, que son transformaciones que mantienen la forma y el tamaño de una figura. Define isometría, simetría axial, simetría central, traslación, y rotación o giro, explicando los elementos clave de cada una.
La topografía es una ciencia que permite representar gráficamente las formas naturales y artificiales de una parte de la superficie terrestre y determinar la posición relativa de puntos a través de levantamientos topográficos y planos. Los egipcios y romanos desarrollaron tempranamente la topografía para medir tierras y aplicar impuestos, utilizando instrumentos como el cordel y el triángulo sagrado. A través de los siglos, topógrafos griegos, árabes y europeos mejoraron los métodos y crearon nuevos
Este documento presenta los conceptos básicos del sistema acotado de planos, incluyendo la representación de puntos, rectas, planos, y sus relaciones geométricas. Explica cómo representar y analizar la intersección de rectas, la paralelidad, la perpendicularidad, distancias, abatimientos, y aplicaciones técnicas del sistema acotado. El documento contiene 13 secciones con definiciones, figuras ilustrativas y ejemplos para explicar completamente el sistema acotado de planos.
Este documento describe los fundamentos del sistema diédrico de representación, incluyendo la división del espacio en planos de proyección y la notación utilizada. Explica cómo representar puntos, rectas y planos mediante sus proyecciones en los planos horizontal y vertical. También cubre conceptos como paralelismo, perpendicularidad, distancias e intersecciones entre elementos geométricos en el sistema diédrico.
Este documento explica los diferentes tipos de planos en un sistema diédrico de dibujo técnico y cómo se representan. Describe las trazas de los planos y cómo se determinan, incluyendo por dos rectas, tres puntos o un punto y una recta. Explica los planos proyectantes, paralelos a los de proyección, la línea de tierra y los bisectores.
Este documento describe los diferentes tipos de rectas en el sistema diédrico ortogonal y cómo se representan y determinan sus características. Explica que una recta se define como una sucesión de puntos y que dos puntos determinan una recta. Luego detalla los diferentes tipos de rectas según si son paralelas o perpendiculares a los planos de proyección, y cómo se representan y calculan sus trazas y ángulo con los planos de proyección. Finalmente, explica cómo determinar la longitud verdadera de una recta.
El documento describe los elementos básicos de la geometría descriptiva como puntos, rectas y planos, y cómo se representan en un sistema diédrico de proyección. Define la nomenclatura y posiciones de estos elementos, incluyendo sus proyecciones y trazas en los planos de proyección horizontal y vertical. Explica cómo determinar un plano a partir de rectas y puntos que contiene, y describe las rectas particulares de un plano como la recta horizontal, frontal, y de máxima pendiente.
1) El documento resume los conceptos básicos de la geometría diédrica, incluyendo los tipos de entes geométricos como puntos, líneas, planos y volúmenes. 2) Describe cómo se definen y representan estos entes mediante proyecciones y trazas en los planos de proyección. 3) Explica las relaciones espaciales entre los entes como pertenencia, intersección, paralelismo y perpendicularidad analizadas a través de las proyecciones y trazas.
Este documento presenta los principios básicos para construir perspectivas paralelas y cónicas. Explica cómo representar objetos tridimensionales en estas perspectivas, incluyendo cómo medir la profundidad y dibujar formas como cubos y círculos. Describe métodos para encontrar puntos clave en estas formas usando líneas de fuga, medidores y trazados auxiliares, tanto en perspectivas paralelas como cónicas con uno o dos puntos de fuga.
El documento trata sobre los fundamentos de la representación gráfica en ingeniería. Explica los sistemas de representación para proyectar objetos tridimensionales en el plano, incluyendo proyección central, paralela oblicua, paralela ortogonal y diédrica. También cubre conceptos como la cota y apartamiento de puntos, representación de segmentos de recta, figuras planas, determinación de rectas, planos e intersecciones.
El documento describe los diferentes sistemas de representación utilizados en geometría descriptiva para proyectar objetos tridimensionales en un plano bidimensional. Explica los conceptos de proyección, centro de proyección y plano de proyección. Luego detalla los principales sistemas de representación como el sistema diédrico, de planos acotados, axonométricos y cónico, describiendo sus características y usos.
El documento describe los fundamentos del sistema diédrico de proyección utilizado en dibujo técnico. Explica conceptos como centro de radiación, objeto, plano de proyección, sistemas de proyección, planos de proyección horizontal y vertical, puntos en el espacio y sus proyecciones, rectas y sus características, planos y sus elementos, y métodos para cambiar los planos de proyección.
Este documento describe los fundamentos del sistema diédrico de representación. Explica las clases de proyección cónica y cilíndrica y define los elementos del sistema diédrico como el plano horizontal, plano vertical y línea de tierra. También describe cómo representar puntos, rectas y planos mediante proyecciones y trazas en el sistema diédrico.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría en una, dos y tres dimensiones. Explica puntos, rectas, semirrectas y segmentos en una dimensión, y ángulos, polígonos y círculos en dos dimensiones. También cubre cuerpos geométricos tridimensionales como poliedros y figuras de revolución.
El documento describe curvas de nivel y conceptos topográficos relacionados. Explica que una curva de nivel une puntos de igual cota y representa una línea imaginaria en la superficie terrestre. También describe cómo se pueden usar curvas de nivel para construir perfiles gráficos que muestran la elevación a lo largo de una ruta.
Este documento describe los sistemas de coordenadas polares, los cuales definen la posición de un punto en un plano mediante un ángulo y una distancia respecto a un origen. Explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área de regiones usando coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas. También cubre la conversión entre sistemas de coordenadas y la intersección de gráficas polares.
Este documento describe los sistemas de coordenadas polares, los cuales definen la posición de un punto en un plano mediante un ángulo y una distancia respecto a un origen. Explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área de regiones usando coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas. También cubre la conversión entre sistemas de coordenadas y la intersección de gráficas polares.
Este documento describe los sistemas de coordenadas polares, los cuales definen la posición de un punto en un plano mediante un ángulo y una distancia en lugar de coordenadas cartesianas. Explica cómo graficar ecuaciones y calcular el área de una región usando coordenadas polares. También cubre la conversión entre sistemas de coordenadas polares y cartesianas.
Este documento describe diferentes casos de intersección entre rectas y planos en el sistema diédrico. Explica que la intersección entre una recta y un plano da como resultado un punto, mientras que la intersección entre dos planos produce una recta. También cubre casos particulares como la intersección entre un plano proyectante y otro plano, o cuando las trazas de los planos no se cortan dentro de los límites del papel.
El documento habla sobre conceptos geométricos como intersecciones, paralelismo y perpendicularidad en el sistema diédrico. Explica cómo determinar la intersección de dos planos, una recta y un plano, y tres planos. También define las condiciones para que elementos sean paralelos o perpendiculares entre sí en el sistema diédrico.
El documento describe los fundamentos del sistema diédrico de proyección geométrica, incluyendo conceptos como puntos, rectas, planos y sus proyecciones ortogonales sobre los planos de proyección horizontal y vertical. También explica métodos para cambiar los planos de proyección a fin de simplificar la representación de figuras en el espacio.
Este documento describe las curvas cónicas, en particular la elipse. Explica que una elipse es la intersección de un plano oblicuo con una superficie cónica de revolución. Detalla los elementos de una elipse como los focos, ejes, y diámetros, y presenta varios métodos geométricos para construir una elipse, trazar tangentes, y encontrar puntos de intersección. El documento también cubre brevemente la hipérbola y la parábola.
El documento describe diferentes tipos de curvas técnicas y cónicas, incluyendo rectificaciones, cicloides, epicicloides, hipocicloides y curvas cónicas como elipses, hipérbolas y parábolas. También incluye instrucciones para construir estas curvas y trazar rectas tangentes, así como ejemplos detallados de cómo dibujar una hipocicloide y una epicicloide siguiendo los pasos dados.
El documento proporciona información sobre curvas técnicas y cónicas. Explica conceptos como rectificaciones, cicloide, epicicloide, hipocicloide y curvas cónicas como elipse, hipérbola y parábola. También incluye instrucciones para construir estas curvas y trazar rectas tangentes. Por último, presenta dos ejercicios de dibujo de hipocicloide y epicicloide resolviendo los pasos para trazar estas curvas.
Here is a 3 sentence summary of the document in English:
[SUMMARY] The document discusses Euclid's Elements, a famous Greek mathematics textbook written around 300 BC. It details the organization and content of the 13-book work, which covers plane and solid geometry as well as number theory. Euclid introduced concepts through definitions and proved them as propositions, with the whole presenting the fundamental principles of mathematics in a logical and systematic way.
1) La historia de la geometría no euclidiana comenzó con intentos fallidos de probar el quinto postulado de Euclides a partir de los otros cuatro. 2) Saccheri, Lambert, Bolyai y Lobachevsky crearon geometrías basadas en negar el quinto postulado. 3) Riemann reformuló la geometría como un espacio métrico, y Beltrami y Klein proporcionaron modelos de geometrías no euclidianas dentro de la geometría euclidiana, estableciendo su consistencia.
Este documento resume la astronomía de los caldeos y los griegos antiguos. Los caldeos persiguieron la observación astronómica durante 2000 años y lograron un alto grado de éxito a pesar de carecer de instrumentos ópticos o teorías físicas. Fueron científicos genuinos que introdujeron ideas como la medición angular y fracciones sexagesimales. Los griegos carecían de una mentalidad distintivamente científica y desconfiaban de la inducción. La astronomía caldea sentó las bases para la ciencia moderna.
1. CDU 744
SISTEMA ACOTADO
ó
DE PLANOS ACOTADOS
(apuntes)
A. Rodríguez Alvarez
2. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
INDICE.
pag.
1. Generalidades. ------------------------------------------------ 3
2. Representación del punto. ------------------------------------ 4
3. Representación de la recta. ----------------------------------- 5
4. Alfabeto de la recta. ------------------------------------------ 7
5. Representación del plano. ------------------------------------ 9
6. Alfabeto del plano. ------------------------------------------ 12
7. Intersección de planos. --------------------------------------- 18
8. Intersección de recta y plano. ----------------------------- 21
9. Paralelismo. -------------------------------------------------- 24
10. Perpendicularidad. ----------------------------------------- 30
11. Distancias. -------------------------------------------------- 36
12. Abatimientos. ------------------------------------------------ 44
13. Aplicaciones técnicas. -------------------------------------- 52
-Cubiertas de edificios.
-Representación de la corteza terrestre.
2
3. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
1. GENERALIDADES.
El Sistema Acotado ó de planos acotados es un sistema de proyección cilíndrica ortogonal;
es el más apropiado para la representación de terrenos y, en general, de aquellas figuras cuyas
dimensiones verticales son mucho menores que las horizontales.
Como plano de referencia ó de proyección se adopta, únicamente, un plano horizontal sobre
el que se proyectan los puntos de la figura que se quiere representar.
Se denomina "cota del punto" a la altura de un punto sobre el plano de referencia π; puede ser
positiva ó negativa según que el punto esté situado por encima ó por debajo de dicho plano.
(fig. 1)
Fig. 1. Cota del punto.
Se evita el empleo de cotas negativas eligiendo el plano de referencia de modo que quede si-
tuado por debajo de todos los puntos a representar.
3
4. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
2. REPRESENTACION DEL PUNTO.
Como plano de referencia se toma el plano de dibujo (π); un punto queda determinado por su
proyección ortogonal sobre dicho plano π y su altura ó cota sobre el mismo situada entre
parénte-sis. (fig. 2)
Fig. 2. Representación del punto.
En la fig. 2 aparecen representados los puntos A, B, C y D del espacio por sus proyecciones y
sus cotas: a(ha); b(hb); c(0); d(-hd).
Las posiciones de un punto pueden estar:
-por encima del plano de referencia: cota positiva. a(ha); b(hb).
-sobre el plano de referencia: cota cero. c(0).
-por debajo del plano de referencia: cota negativa. d(-hd).
4
5. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
3. REPRESENTACION DE LA RECTA.
Una recta queda definida por dos puntos; bastará, por tanto, unir las proyecciones de los pun-
tos para obtener la proyección de la recta. (fig. 3)
Fig. 3. Representación de la recta.
Se denomina traza de la recta (t) al punto de cota cero de la misma, esto es, la intersección de
la recta con el plano de referencia.
Pendiente de la recta. (fig.4)
Se entiende por pendiente de la recta:
-la tangente trigonométrica del ángulo α que forma la recta con el plano π de
refe-rencia ó proyección. p= tg α= h/d.
-la relación entre las distancias vertical y horizontal de dos de sus puntos. p=h/d.
Fig. 4. Pendiente de la recta.
Se denomina distancia vertical h, entre dos puntos, a la diferencia de sus cotas.
Se denomina distancia horizontal d, entre dos puntos, a la distancia entre las proyecciones de
los puntos.
Para los puntos A y B de la fig. 4 la pendiente sería:
p= tg α = (hb - ha)/d
5
6. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Intervalo de una recta. (fig. 5)
Es la distancia en proyección ó distancia horizontal entre dos puntos de la recta cuyas cotas
difieren en una unidad; se representa por " i ".
Intervalo y pendiente de una recta son inversos: p= tgα = 1/i
Fig. 5. Intervalo de una recta.
Graduación de una recta. (fig.6)
Graduar una recta consiste en señalar sobre su proyección una serie de puntos de cota entera.
Para ello, será suficiente con determinar dos puntos de cota entera lo que permitirá deducir el
intervalo y una vez conocido éste será posible situar, con toda exactitud, cualquier punto de cota
entera de la recta.
Fig. 6. Graduación de una recta.
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7. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
4. ALFABETO DE LA RECTA.
Recta perpendicular al plano de proyección. (fig.7)
Por ser esta recta proyectante coincide la proyección de todos sus puntos..
Este tipo de recta vendrá representada por una letra sin afectarle ninguna cota; su intervalo es
cero y su pendiente infinita.
Fig. 7. Recta perpendicular al plano de proyección.
Recta horizontal ó paralela al plano de proyección. (fig. 8)
Todos sus puntos tendrán la misma cota; su pendiente es cero y su intervalo infinito.
Fig. 8. Recta horizontal.
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8. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Rectas que se cortan. (fig. 9)
Dos rectas se cortan si el punto de corte de sus proyecciones tiene la misma cota en ambas
rec-tas.
Fig. 9. Rectas que se cortan.
Rectas que se cruzan. (fig. 10)
Dos rectas se cruzan si el punto de corte de sus proyecciones no tiene la misma cota en ambas
rectas.
Fig. 10. Rectas que se cruzan.
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9. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
5. REPRESENTACION DEL PLANO.
Fig. 11. Representación del plano.
Un plano queda determinado por:
-tres puntos no alineados. (fig. 12)
Fig. 12. Plano definido por tres puntos ABC no alineados.
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10. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
-un punto y una recta que no pase por dicho punto. (fig. 13)
Fig. 13. Plano definido por un punto A y una recta R.
-dos rectas, concurrentes ó paralelas. (fig. 14)
Fig. 14. Plano definido por dos rectas R y S que se cortan.
Horizontales del plano. (fig. 12)
Se denominan así las rectas del plano cuyos puntos tienen la misma cota.
Para determinarlas bastará unir los puntos del plano que tengan la misma cota.
Como todas las horizontales del plano son paralelas entre sí sus proyecciones tambien lo se-
rán.
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11. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Traza del plano. (fig. 12)
Se denomina así a la horizontal de cota cero del plano ó, lo que es lo mismo, la intersección
de ese plano con el de proyección (π).
Recta de máxima pendiente. (fig. 12)
Se denomina así a la recta del plano que forma el mayor ángulo con el plano de proyección π.
Como la rectas horizontales del plano son paralelas al plano de proyección la recta de máxima
pendiente será perpendicular a dichas horizontales.
Si bien la perpendicularidad no es una propiedad proyectiva, la proyección de la recta de má-
xima pendiente será perpendicular a las proyecciones de las rectas horizontales del plano.
( vid. teorema de las tres perpendiculares)
En el Sistema Acotado los planos se representan, en general, por la proyección graduada de
su recta de máxima pendiente.
-La pendiente de un plano se mide por la de su línea de máxima pendiente.
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12. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
6. ALFABETO DEL PLANO.
Respecto al plano π de proyección todo plano puede ocupar dos posiciones particulares:
Plano horizontal. (fig. 15)
Todos sus puntos tienen la misma cota.
Se representa por su cota ó por la proyección acotada de uno de sus puntos.
Fig. 15 Plano horizontal.
Plano vertical ó proyectante. (fig. 16)
Es perpendicular al plano de proyección; su línea de máxima pendiente es vertical.
Se representa por su traza con dos líneas finas paralelas.
Fig 16. Plano proyectante.
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13. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
OPERACIONES BASICAS EN EL PLANO.
Cota de un punto situado sobre un plano. (fig. 17)
Procedimiento general:
-trazar por el punto una horizontal del plano.
-determinar la cota de dicha horizontal: ésa será la cota del punto.
Situar un punto sobre un plano. (fig. 17)
Procedimiento general:
-trazar una horizontal del plano.
-situar sobre esa horizontal la proyección del punto.
Determinar si un punto pertenece ó no a un plano. (fig. 17)
Procedimiento general:
-trazar, por la proyección del punto, una horizontal del plano.
-si la cota del punto coincide con la cota de esa horizontal el punto pertenece al
plano; en caso contrario, no pertenece.
Fig. 17. Pertenencia de un punto a un plano.
Situar una recta sobre un plano. (fig. 18)
Una recta está situada sobre un plano si dos de sus puntos pertenecen al plano.
Procedimiento general:
-trazar dos horizontales cualesquiera del plano.
-tomar un punto en cada una de ellas.
-por dichos puntos hacer pasar una recta.
Fig. 18 Recta situada sobre un plano.
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14. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Sobre un plano dado situar una recta de pendiente dada. (fig. 19)
Procedimiento general:
-se determina el intervalo de la recta: "i".
-se trazan dos horizontales del plano cuya diferencia de cotas sea una unidad.
-con centro en la línea de máxima pendiente se traza un arco de circunferencia de
radio igual al intervalo "i".
-las rectas buscadas pasarán por el centro del arco de circunferencia y por los
puntos de corte de ese arco con las horizontales trazadas.
El problema tendrá dos soluciones, una ó ninguna según que el intervalo de la recta buscada
sea, respectivamente, mayor, igual ó menor que el de la línea de máxima pendiente del plano.
Fig. 19. Situar una recta de pendiente dada sobre un plano dado Q.
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15. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Por una recta dada hacer pasar un plano de pendiente dada. (fig. 20)
Procedimiento general:
-se determina el intervalo "i" de la recta de máxima pendiente del plano buscado.
-por un punto, de cota entera, de la recta dada se traza un arco de circunferencia
de radio igual al intervalo "i".
-las tangentes al arco de circunferencia trazadas desde un punto de cota entera,
anterior ó posterior al centro del arco, son rectas horizontales del plano buscado.
El problema tendrá dos soluciones, una ó ninguna según que el intervalo de la línea de máxi-
ma pendiente del plano buscado sea, respectivamente, menor, igual ó mayor que el de la recta
dada.
Fig. 20. Por una recta dada R hacer pasar un plano de pendiente dada.
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16. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio.
Un depósito situado en D(75)
-Se alimenta, por gravedad, desde la tubería TA mediante un tubo con pendiente
25%.
-Desagua en la tubería TD mediante un tubo con pendiente 40%.
Determinar la posición de los tubos de alimentación y desagüe.
E- 1:100.
Solución:
-Alimentación.
1. Determinar el plano formado por el punto D y la recta TA.
2. Situar en dicho plano una recta de pendiente 25%.
3. De las dos soluciones posibles se elige la que corte a la recta TA en un punto de mayor
cota que la del punto D.
-Desagüe.
1. Determinar el plano formado por el punto D y la recta TD.
2. Situar en dicho plano una recta de pendiente 40%.
3. De las dos soluciones posibles se elige la que corte a la recta TD en un punto de menor
cota que la del punto D.
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18. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
7. INTERSECCION DE PLANOS.
Caso general.
El procedimiento general (fig. 21) consiste en cortar los planos dados, P y Q, por otros dos pla-
nos π y π1; las rectas de intersección de π con P y Q y de π1 con P y Q permitirán determinar la
recta de intersección de P y Q.
Fig. 21. Intersección de dos planos P y Q.
P ∩ π=r1 P ∩ π1=s1 Q ∩ π= r2 Q ∩ π1=s2
s1 ∩ s2=B r1 ∩ r2=A I=AB
En la práctica del Sistema (fig. 22) se tomarán planos horizontales como planos auxiliares (de
modo que las rectas de intersección de estos planos con los planos dados P y Q sean rectas hori-
zontales de éstos).
Fig. 22. Intersección de planos.
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19. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Casos particulares.
Las proyecciones de las líneas de máxima pendiente son paralelas. (fig. 23)
La intersección buscada será paralela a cualquiera de las horizontales de los planos dados.
Procedimiento a utilizar:
-Se toma un plano auxiliar cualquiera π1.
-El punto de corte de las rectas de intersección de este plano π1 con los planos
da-dos P y Q dará un punto A.
-La recta de intersección buscada I se obtendrá trazando por el punto A una para-
lela a cualquier horizontal de P ó Q.
Fig. 23. Proyecciones de las líneas de máxima pendiente paralelas.
Uno de los planos dados es horizontal. (fig. 24)
La recta intersección buscada será una recta horizontal de cota igual a la del plano horizontal
dado.
Fig. 24. Plano dado horizontal.
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20. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Uno de los planos dados es vertical ó proyectante. (fig. 25)
El problema se reduce a graduar una recta de la que se conocen su proyección y la cota de dos
de sus puntos.
Fig. 25. Plano dado vertical.
Intersección de tres planos. (fig. 26)
Para determinar el punto de intersección de tres planos se hallarán las rectas de intersección
de uno cualquiera de los planos dados con los otros dos; el punto de intersección de las dos rec-
tas obtenidas será el punto buscado.
Fig. 26. Intersección de tres planos.
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21. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
8. INTERSECCION DE RECTA Y PLANO.
Caso general.
Procedimiento general. (fig. 27):
-Se hace pasar por la recta dada R un plano cualquiera α.
-La intersección de este plano α con el plano dado Q será la recta N.
-El punto de corte de la recta obtenida N con la recta dada R será el punto de in-
tersección buscado: I.
Fig. 27. Intersección de la recta R y el plano Q.
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22. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Casos particulares.
La recta dada es vertical. (fig. 28)
Procedimiento a seguir:
-Se hace pasar por R un plano cualquiera α.
-Se determina la intersección de α y Q: recta N.
-El punto de intersección de N y R será el punto de intersección buscado: I.
Fig. 28. Recta dada vertical.
La recta dada es horizontal. (fig. 29)
Procedimiento a seguir:
-Trazar la horizontal del plano dado de cota igual a la de la recta.
-El punto de corte de ambas rectas será el punto de intersección buscado: I.
Fig. 29. Recta dada horizontal.
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23. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
El plano dado es vertical.
El problema se reduce, en este caso, a determinar la cota del punto de corte de la recta dada
con la traza del plano vertical.
Fig. 30. Plano dado vertical.
El plano dado es horizontal.
En este caso el problema se reduce a determinar el punto de la recta cuya cota sea igual a la
cota del plano dado.
Fig. 31. Plano dado horizontal.
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24. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
9. PARALELISMO.
Entre rectas.
Si dos rectas son paralelas en el espacio sus proyecciones ortogonales sobre el plano de pro-
yección serán paralelas.
Inversamente: Si las proyecciones ortogonales de dos rectas son paralelas dichas rectas son
pa-ralelas en el espacio.
Se podrán trazar:
-sin condiciones: infinitas rectas.
-por un punto: una recta.
En el Sistema Acotado para que dos rectas sean paralelas han de cumplir las siguientes condi-
ciones (fig.32)
-Que sus proyecciones sean paralelas.
-Que tengan la misma pendiente ó intervalo.
-Que el sentido de crecimiento de sus cotas sea el mismo.
Fig. 32. Rectas paralelas.
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25. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Entre recta y plano.
Una recta será paralela a un plano si lo es a una recta cualquiera de dicho plano.
Se podrán trazar
-sin condiciones: infinitas rectas.
-por un punto:
sin condiciones: infinitas rectas.
de dirección conocida: una sola recta.
Fig. 32.1. Paralelismo de recta y plano.
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26. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Plano paralelo a una recta dada.
Un plano será paralelo a una recta R dada si contiene una recta S paralela a aquella.
Se podrán trazar
-por un punto: infinitos planos.
-que pase por una recta dada: un solo plano.
Cualquier plano (Q1, Q2, …) que contenga a una recta r1 paralela a la recta dada r será
paralelo a ésta. (fig. 33)
Fig. 33. Plano Q1, Q2, … paralelo a una recta dada r.
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27. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Trazar un plano paralelo a una recta dada r y que contenga a otra recta dada t. (fig. 33.1)
El plano buscado será el formado por la recta dada T y una recta R1 que corte a ésta y sea pa-
ralela a la recta dada R.
Fig. 33.1.
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28. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Entre planos.
Dos ó más planos son paralelos si las rectas de intersección con otro plano cualquiera son pa-
ralelas.
Se podrán trazar
-sin condiciones: infinitos planos.
-por un punto: un solo plano.
Condición para que dos ó más planos sean paralelos: que sus líneas de máxima pendiente
sean paralelas; éstas deberán cumplir las condiciones enunciadas anteriormente en el paralelismo
de rectas. (fig. 34)
Fig. 34. Planos paralelos.
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29. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio.
Dadas las rectas R y S y el plano P trazar, por el punto A de R, una recta que corte a S y sea
para-lela a P.
Solución.
1. Por A se traza un plano paralelo a P: plano Q.
2. Se determina la intersección de la recta S y el plano Q: punto B.
3. Los puntos A y B determinan la recta solución T.
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30. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
10. PERPENDICULARIDAD.
-Teorema de las tres perpendiculares.
Si dos rectas R y S son perpendiculares en el espacio sus proyecciones ortogonales sobre un
plano dado π serán perpendiculares si una de las rectas es paralela a dicho plano.
Perpendicularidad entre rectas.
En este Sistema de Representación, de acuerdo con el teorema de las tres perpendiculares,
sólo se podrá trazar, por un punto y de forma inmediata, una perpendicular a una recta dada ya
que sólo se dispone de un plano de proyección. (fig.35)
Fig. 35. Recta perpendicular a una dada.
Para hallar, por un punto dado A, otra perpendicular a una recta dada R se parte del siguiente
planteamiento (fig. 36):
-Se traza el plano Q proyectante de la recta dada R.
-Se traza por el punto dado A una recta R1 paralela a la recta dada R.
-Se traza el plano P proyectante de la recta R1.
-Se proyecta el punto dado A sobre el plano Q: punto A1.
-Por A1 se traza una recta N1 perpendicular a la recta dada R; N1 será paralela a
la recta N trazada por el punto dado A y contenida en el plano P.
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31. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Fig. 36. Por un punto dado A trazar una recta perpendicular a una recta dada R.
Se tiene que:
tg α = 1/ir tg β = 1/in
como β = 90-α tg β =cotg α
de ahí: tg β = pr = i/in = cotg α = ir luego 1/in = ir
De lo anterior se deduce que: (fig. 37)
-las proyecciones de las rectas serán paralelas.
-los intervalos serán inversos.
-el sentido de las cotas crecientes, en ambas rectas, debe ser contrario.
Fig. 37. Por un punto dado A trazar una recta perpendicular a una recta dada R.
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32. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Perpendicularidad entre recta y plano.
-Una recta será perpendicular a un plano si lo es a dos rectas, no paralelas, de dicho plano.
-Si una recta es perpendicular a un plano lo es tambien a todas las rectas de ese plano.
-Dos rectas son perpendiculares si una de ellas está contenida en un plano perpendicular a la
otra.
Fig. 38. Por un punto dado A trazar una recta perpendicular a un plano dado P.
La recta solución será paralela a la línea de máxima pendiente del plano; sus intervalos serán
inversos; las cotas crecientes de ambas rectas lo serán en sentido contrario. (fig. 38)
Perpendicularidad entre plano y recta. (Fig. 39)
Un plano será perpendicular a una recta dada si contiene a dos rectas perpendiculares a esa
recta.
Fig. 39. Por un punto dado A trazar un plano perpendicular a una recta dada R.
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33. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Perpendicularidad entre planos.
-Un plano será perpendicular a otro plano cuando contenga a una recta perpendicular a éste.
(fig. 40)
Fig. 40. Trazar un plano Q que pase por una recta dada R y sea perpendicular a un plano dado P.
-Un plano será perpendicular a otros dos si es perpendicular a la recta intersección de ambos.
(fig. 40.1)
Fig. 40.1. Trazar un plano S1, S2, … perpendicular a otros dos dados P y Q.
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34. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio.
Por el punto dado A trazar una recta S que corte y sea perpendicular a la recta dada R.
Solución.
1. Por el punto dado A se traza un plano perpendicular a la recta dada R: plano P.
2. Se determina la intersección de la recta R y el plano P: punto B.
3. La recta determinada por los puntos A y B será la recta buscada S.
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35. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio.
Por el punto A de la recta R trazar una recta de pendiente 2/3 que sea perpendicular a la dada.
Solución.
1. Por el punto A se traza un plano perpendicular a la recta R: plano P.
2. Se determina la recta del plano P de pendiente 2/3. (habrá dos soluciones S1 y S2)
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36. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
11. DISTANCIAS.
En todos los casos, el problema se reduce a determinar la distancia entre dos puntos ó, lo que
es lo mismo, a determinar la medida del segmento AB.
Distancia entre dos puntos. (fig. 41)
Se construye un triángulo rectángulo; uno de los catetos será la proyección ab y el otro la
dife-rencia de cota (hA-hB) de los puntos dados. La hipotenusa D será la distancia buscada.
Fig. 41. Distancia entre dos puntos.
Del mismo modo se procederá si se trata de llevar sobre una recta dada un segmento de longi-
tud conocida.
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37. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Distancia de un punto a un plano. (fig. 42)
Procedimiento a seguir:
-Por el punto dado A se traza una recta N perpendicular al plano dado Q.
-Se determina la intersección de N y Q: punto B.
-La distancia buscada será el segmento AB.
Fig. 42. Distancia de un punto A a un plano Q.
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38. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Distancia de un punto a una recta. (fig. 43)
Procedimiento a seguir:
-Por el punto dado A se traza un plano Q perpendicular a la recta dada R.
-Se determina la intersección de la recta R con el plano Q: punto B.
-La distancia buscada será el segmento AB.
Fig. 43. Distancia de un punto A a una recta R.
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39. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Distancia entre dos rectas paralelas. (fig. 44)
Procedimiento a seguir:
-Se traza un plano Q perpendicular a las rectas dadas R y S.
-Se determina la intersección de ambas rectas con el plano Q: puntos A y B.
-La distancia buscada será el segmento AB.
Fig. 44. Distancia entre dos rectas paralelas R y S.
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40. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Distancia entre dos planos paralelos. (fig. 45)
Procedimiento a seguir:
-Se traza la recta N perpendicular a ambos planos.
-Se determina la intersección de ambos planos con la recta N: puntos A y B.
-La distancia buscada será el segmento AB.
(El alumno deberá resolver este caso)
Fig. 45. Distancia entre dos planos paralelos P y Q.
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41. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan.
Se denomina mínima distancia ó distancia entre dos rectas R y S que se cruzan al segmento
interceptado por ambas rectas sobre su perpendicular común.
Para determinar dicho segmento (3-4) se procederá de la siguiente manera:
-Por un punto A de la recta S se traza una recta R1 paralela a la recta dada R.
-Se determina el plano P formado por la recta dada S y la recta R1.
-Por un punto 1 de la recta dada R se traza la recta R2 perpendicular al plano P.
-Se determina el punto 2 intersección de la recta R2 y el plano P.
-Por el punto 2 se traza la recta R3 paralela a la recta R.
-Por el punto 3 se traza la recta R4 paralela a la recta R2.
-El segmento 3-4, situado sobre la recta R4, será la distancia buscada.
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42. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio. (enunciado y solución por cortesía del Prof. I. González)
La recta definida por los puntos A(15,10,0) y B(19,32,4) lo es de un terreno plano de
pendiente 100% que aumenta hacia la derecha de la lámina.
Apoyada en ese terreno está una tubería que pasando por B tiene pendiente ½ aumentando
hacia la parte inferior de la lámina.
Otra tubería que pasa por A es horizontal y su proyección es paralela al borde inferior de la
lá-mina.
Se quiere unir las dos tuberías mediante otra de longitud mínima.
Determinar los puntos de entronque con dichas tuberías y la verdadera magnitud de la tubería
de unión.
E- 1:125. Cotas en metros. Origen de coordenadas en el vértice inferior de la lámina.
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44. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
12. ABATIMIENTOS.
Generalidades.
Abatir un plano Q, sobre otro plano π, es girarlo alrededor de la recta de intersección de
ambos hasta hacerlo coincidir con el plano π.
La recta de giro se denomina charnela y el plano π plano de abatimiento.
Se trata, por tanto, de un artificio más de los usados en G. Descriptiva; como plano de abati-
miento se toma el de proyección ó uno paralelo al mismo. De esta manera se podrá trabajar, en
verdadera magnitud, con todos los elementos que contenga el plano que se abate.
Hay que hacer notar que lo que se abate es un plano, esto es, cualquier punto ó recta conteni-
dos en ese plano.
En el abatimiento (fig. 46) hay que especificar
-qué plano se abate.
-alrededor de qué recta (charnela) se gira.
-qué sentido de giro se toma.
Fig. 46. Abatimiento de un plano P sobre un plano π.
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45. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Abatimiento de un punto. (fig. 47)
Se procederá como se indica en la fig. 46:
-Por la proyección del punto se traza una perpendicular y una paralela a la
charne-la, esto es, a la traza del plano ó a una horizontal del mismo.
-Sobre la paralela trazada y a partir de la proyección del punto se toma un seg-
mento de longitud igual a la cota del punto respecto del plano de abatimiento.
-Con centro en el pie de la perpendicular y radio igual a Oa1 se traza un arco de
circunferencia hasta su intersección con la perpendicular a la charnela.
-(a) será el abatimiento buscado.
Fig. 47. Abatimiento de un punto.
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46. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Abatimiento de una recta. (fig. 48)
Para abatir una recta bastará con abatir dos puntos cualesquiera de ella.
Fig. 48. Abatimiento de una recta.
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47. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Abatimiento de una figura plana. (fig. 49)
Se podrá obtener el abatimiento de la figura dada ABCD abatiendo todos los puntos de la
mis-ma.
De forma más rápida y elegante se podrá obtener la figura abatida mediante la homología
afín.
(Recordamos:
-el eje será la charnela.
-la dirección será perpendicular a la charnela.)
Fig. 49. Abatimiento de una forma plana.
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48. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio.
Se desea unir el punto C(12) con la tubería T mediante un tubo con inclinación 30º y que
tenga la menor longitud posible.
Determinar:
-El punto de unión de ambas tuberías.
-La longitud del tubo de unión.
-El ángulo que forman ambas tuberías.
E-1:1.
Solución.
1. Determinar el plano formado por la recta T y el punto C: plano Q.
2. Situar en dicho plano una recta de inclinación 30º. (de las dos soluciones posibles se
toma la de menor longitud).
3. Abatir el plano Q y determinar la longitud del segmento S1 y el ángulo que forma con la
recta T.
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50. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio.
Los puntos A(50,100,160) y B(x,y,200) de una recta de pendiente ¾ son los vértices de un
cu-bo del que AB es arista.
El vértice H opuesto al A tiene cota 180.
(medidas en mm.)
Determinar las proyecciones del cubo.
Solución:
1. Graduar la recta AB.
2. Determinar la diagonal BH y el lado AB del cubo.
3. Por el punto B trazar un plano perpendicular a la recta AB: plano Q.
4. Abatir el plano Q: punto B y la horizontal de cota 180.
5. Trazar la cara ACDH del cubo.
6. Desabatir la cara ACDH y trazar por A la cara paralela a aquella.
7. Unir los vértices de las caras para completar la proyección del cubo.
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52. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
13. APLICACIONES TECNICAS.
13.1. CUBIERTAS DE EDIFICIOS.
Se trata de una aplicación práctica de la intersección de planos.
Algunos términos de uso habitual:
Alero: Se denomina así a la parte más alta de las paredes del edificio.
Vertientes: Son los diferentes planos de la cubierta.
Caballete: Arista de intersección de dos vertientes opuestas.
Limatesa ó limahoya: Arista de intersección de dos vertientes contiguas.
Fig. 50. Cubiertas de edificios.
Solución del problema.
Procedimiento a seguir:
1. Se designan los lados del contorno exterior del edificio y patio interior si lo hubiera.
Cada número ó letra representa un plano ó vertiente de la cubierta.
2. Se gradúan todos los planos designados; se determina la intersección de los diferen-
tes planos de la cubierta: se obtendrán así limatesas y limahoyas.
5. Hay que comprobar que cada extremo del caballete ó cumbrera y de las limatesas ó
limahoyas está determinado por la intersección de tres planos.
Si alguno de los vértices de la cubierta es el punto de corte de sólo dos segmentos ello será debido a que
falta por determinar la intersección de algunos planos.
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54. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio.
Resolver la cubierta, cuyos datos se citan, indicando la cota de cada uno de sus vértices.
El vértice a de los aleros tiene cota +5 y el resto tiene cota -1. (en metros)
Las vertientes de los aleros ab y ah tienen pendiente p=1/4 y el resto p=1/2.5
Longitudes de los aleros (en metros): ab=36; de=20; fg=15; ah=40.
Solución:
-Por los aleros ab y ah se hace pasar un plano de pendiente p=1/4.
-El resto de los aleros son rectas horizontales de los planos de sus vertientes.
-Se termina de resolver el problema como en el ejemplo anterior.
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56. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
13.2. REPRESENTACION DE LA CORTEZA TERRESTRE.
Generalidades.
La representación exacta de la superficie terrestre resulta imposible por tratarse de una super-
ficie absolutamente irregular (superficie gráfica).
No obstante, dada la importancia que el terreno adquiere en gran número de actividades de
todo tipo se hace necesario disponer de un Sistema de Representación que permita, aunque sea
aproximadamente,
-representar la forma y accidentes del terreno.
-determinar la cota de cualquier punto del terreno.
-determinar las pendientes del terreno.
Todas estas condiciones se cumplen en el Sistema Acotado ó de Planos Acotados.
Curvas de nivel. (fig. 51)
La representación de un terreno mediante el procedimiento de curvas de nivel consiste en cor-
tar, de forma imaginaria, la superficie del terreno por una serie de planos horizontales y equidis-
tantes, entre sí, una distancia determinada.
Cada plano cortará al terreno según una curva llamada de nivel ya que todos sus puntos tienen
la misma cota ó altitud.
Proyectando estas curvas de nivel sobre el plano de proyección π y anotando al lado de cada
una de ellas su cota respectiva se obtendrá una representación del terreno tanto más exacta
cuanto menor sea la separación entre los planos secantes.
Fig. 51. Curvas de nivel.
(Para facilitar la lectura de los planos todas las curvas de nivel se dibujan con trazo fino; cada
cuatro ó cinco curvas se dibuja una con trazo más grueso que se denomina "curva directora").
En España como plano de proyección ó comparación se toma el de la superficie del mar, en
calma, en Alicante; de ahí que las cotas positivas se denominen cotas sobre el nivel del mar.
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57. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Equidistancia.
Se denomina así a la distancia vertical que existe entre dos curvas de nivel consecutivas ó, lo
que es lo mismo, la distancia entre dos planos secantes consecutivos.
En los planos topográficos la equidistancia es constante lo que permite determinar la cota ó
altitud de todas las curvas de nivel conocida la de una de ellas.
Plano topográfico.
Se denomina así a la representación gráfica de una parte del terreno de extensión apropiada
para ser dibujada sobre una superficie plana.
Este tipo de planos pueden ser:
-planimétrico: sólo contiene la proyección del terreno sin indicar cotas ó
altitudes. (fig. 51.1)
-altimétrico: además de la proyección del terreno se indican las cotas de cada uno
de sus puntos. (fig. 51.2)
Fig. 51.1. Planimétrico. Fig. 51.2. Altimétrico.
Línea de máxima pendiente.
Se denomina así a la mínima distancia entre dos curvas de nivel consecutivas; sería la
trayectoria del agua ó la de un móvil que cayera libremente por la ladera.
Se toma un punto A situado sobre una curva de nivel y se trazan por dicho punto varias rectas
que corten a la curva de nivel inmediata. (fig.52)
Fig. 52. Línea de máxima pendiente.
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58. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
La distancia vertical entre los extremos de los segmentos AB, AC, AD es igual a la
equidistan-cia por lo que la pendiente entre A y cada uno de los puntos B, C y D dependerá de
sus proyec-ciones horizontales.
La línea AB se denomina línea de máxima pendiente y puede considerarse que es normal a
ambas curvas de nivel ó, al menos, a una de ellas; de ello se deduce que el trazado de la línea de
máxima pendiente no puede hacerse de un modo exacto sino que en la mayoría de los casos se
hará de forma aproximada.
La pendiente de un terreno en un punto P, situado entre dos curvas de nivel, será la de la línea
de máxima pendiente que pasa por dicho punto.
Punto situado entre dos curvas de nivel.
Se admite que la pendiente entre dos curvas de nivel consecutivas es constante.
Si se quiere hallar la cota de un punto P situado entre dos curvas de nivel será suficiente con
trazar la línea de máxima pendiente AB que pasa por dicho punto P. (fig. 53)
Fig. 53. Punto situado entre dos curvas de nivel.
Como las cotas de los puntos A y B son conocidas el problema se reduce a determinar la cota
del punto P de una recta.
Perfil del terreno.
Se denomina así a la sección que produce en un terreno un plano vertical ó una superficie
cilíndrica de generatrices verticales.
Tipos de perfiles.
-Naturales: Cuando la escala de las longitudes horizontales y verticales es la
misma del plano.
En este tipo de perfiles se pueden medir las diferentes pendientes del terreno.
-Realzados: La escala de las longitudes horizontales es la misma del plano pero
la de las verticales es mayor.
-Ampliados: Las escalas horizontal y vertical son iguales pero ambas mayores
que la del plano.
Trazado. (fig. 53.1)
Para levantar un perfil se procede de la siguiente manera:
-Se señalan los puntos de intersección de la traza t del plano sección con las cur-
vas de nivel.
-Por cada uno de los puntos de intersección hallados se trazan perpendiculares a
la traza t del plano y sobre cada una de ellas se lleva la cota correspondiente.
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59. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
-Los puntos obtenidos se pueden unir a sentimiento con el fin de dar una idea
más aproximada de la forma del terreno.
En la práctica los perfiles no se dibujan directamente sobre el plano sino aparte.
Fig. 53.1. Perfil de un terreno.
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60. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
TRAZADO DE ITINERARIOS DE PENDIENTE CONSTANTE. (fig. 54)
Este tipo de problemas tiene varias soluciones; para resolverlo se procede de la siguiente ma-
nera:
-Se determina la longitud, en proyección horizontal, de cada tramo del itinerario
comprendido entre dos curvas de nivel consecutivas.
(Sea p= 10% la pendiente del itinerario.
Equidistancia entre curvas de nivel e=10 metros.
La longitud de cada tramo será
Ab = e/p = 10/0,1 = 100 m.
ya que p = (cota de A - cota de B)/ AB
Si la escala del plano es E-1: 5000 se tendrá 100/ 5000 = 0,02 = 20 mm.)
Conocida la longitud, reducida a escala, se trazará desde el punto A un arco de
circunferencia de radio AB = 20 mm. Este arco cortará a la curva de nivel si-
guiente en dos, uno ó ningún punto.
Se tendrán, por tanto, dos, una ó ninguna solución.
-Se repite el procedimiento anterior, trazado de arcos, hasta alcanzar el punto final.
(fig. 54)
Fig. 54. Itinerarios de pendiente constante.
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61. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
TRAZADO DE DESMONTES Y TERRAPLENES.
Las operaciones de excavación y relleno, necesarias para realizar una explanación del terreno,
reciben el nombre de desmontes y terraplenes respectivamente.
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62. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
El trazado consiste en determinar la intersección de los planos de los taludes con el terreno; para
ello es necesario conocer el ángulo ó pendiente de talud de éste. Se denomina ángulo de talud de
un terreno al máximo ángulo que, sin desmoronarse, puede formar con el plano horizontal.
La línea de desmonte ó terraplén se obtendrá uniendo los diferentes puntos de intersección de
las horizontales de los citados taludes con las curvas de nivel que tengan la misma cota
Fig. 55. Trazado de desmontes y terraplenes.
La fig. 55 permite estudiar el trazado de terraplenes y desmontes:
Se trata de la explanación de un terreno por la cota 75; se han representado los desmontes y
terraplenes necesarios para una pendiente de talud del terreno diferente para el desmonte y el
terraplén.
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63. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio.
La línea de punto y trazo es el eje de un camino horizontal, por la cota 15, de 8 m. de anchura.
-Determinar los desmontes y terraplenes necesarios para su construcción.
-Representar el perfil del terreno, una vez situado el camino, por un plano vertical
de dirección EW que pasa por el punto medio de AB.
Pendiente de desmonte p=5/4.
Pendiente de terraplén p=2.
Solución.
1. Se determinan los intervalos de los planos de desmonte y de terraplén.
2. La línea de máxima pendiente de esos planos será perpendicular a los laterales
del camino por ser éste horizontal.
3. Se determinan los puntos de intersección de las horizontales de los planos de
desmonte y de terraplén con las curvas de nivel de la misma cota.
4. Uniendo los puntos anteriormente hallados se determinan las líneas de desmonte
y de terraplén buscadas.
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67. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio.
ABCD son los vértices de una plataforma horizontal situada en la cota 740.
E es el punto de partida del vial de acceso a dicha plataforma. (anchura del vial 10 m.)
pendiente de desmonte p=2.
pendiente de terraplén p=1.
-Determinar las líneas de los desmontes y terraplenes necesarios.
Solución:
1. Por los laterales del vial y de la plataforma se hacen pasar planos cuya pendiente
sea la de desmonte y terraplén.
2. Una vez situados dichos planos se determina su intersección con el terreno lo que
permite obtener las líneas de desmonte y terraplén buscadas.
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70. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio.
La línea de punto y trazo es el eje de una plataforma horizontal, de 40 m. de anchura,
por la cota 280.
-pendiente de talud de desmonte p=1/2.
-pendiente de talud de terraplén p=1/3.
Determinar la línea de desmontes y terraplenes.
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72. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
Ejercicio.
La recta ipq es la intersección de un plano P (pendiente 100%) que asciende hacia la parte supe-
rior derecha del papel y de un plano Q (pendiente 4/3) que asciende hacia la parte izquierda del
papel.
En el terreno determinado por los planos P y Q se quiere situar una plataforma abcd horizontal
de cota 80.
Determinar los desmontes y terraplenes necesarios.
(pendiente de talud del terreno p=2 para desmontes y terraplenes)
cotas en metros. E-1:500
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74. Sistema Acotado (apuntes) A. Rodríguez
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.
Arana Ibarra, L. Geometría Descriptiva.
González, M. et alt. Geometría Descriptiva.
Izquierdo Asensi, F. Geometría Descriptiva. Ed. Dossat.
Leighton Wellman, B. Geometría Descriptiva. Ed. Reverté.
Taibo, A. Geometría Descriptiva y sus aplicaciones. Ed. Tebar Flores.
Zubiaurre, E. Dibujo Técnico y Geometría Descriptiva.
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