Para las siguientes barras, todas de secciones circulares, de las figuras que a continuación se detallan, se pide analizar lo siguiente: a) Reacciones de vínculo externo. b) Diagrama de momentos torsores a lo largo de las barras. c) Diagrama de tensiones tangenciales a lo largo de las barras. d) Diagrama de tensiones tangenciales en la sección T-T que está ubicada a L/2. e) Diagrama de ángulos de torsión específicas. f) Diagrama de ángulos de torsión.

1. Solicitación por Torsión
Resolución del Ejercicio N° 2 de la
Guía de la Práctica – TP N° 5
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Para las siguientes barras, todas
de secciones circulares, de las
figuras que a continuación se
detallan, se pide analizar lo
siguiente:
Enunciado
Datos:
Mt = 11 tm
G = 0,85 E6 kg/cm2
D = 17,50 cm
L = 80 cm

3. 1. Reacciones de vínculo externo.
2. Diagrama de momentos torsores a lo
largo de las barras.
3. Diagrama de tensiones tangenciales a
lo largo de las barras.
4. Diagrama de tensiones tangenciales en
la sección T-T que está ubicada a L/2.
5. Diagrama de ángulos de torsión
específicas.
6. Diagrama de ángulos de torsión.
Consignas

4. Problema a)
Cálculo de las
reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria
de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser constante a lo largo de
toda la barra e igual al valor de la reacción de
vínculo.
t
B
B
t
T M
M
M
M
M 




 0
   
cm
kg
m
t
cte
M
M t
B 





 5
10
11
11
Datos:
Mt = 11 t.m
G = 0,85 x 106 kg/cm2
D = 17,5 cm
L = 80 cm

5. Problema a)
Cálculo de las tensiones
tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor
y al radio de la sección de la barra e inversamente
proporcional al momento de inercia polar de la
sección:
Al ser constante el momento torsor y la sección de la barra a lo largo de todo el eje, en la
sección T-T las tensiones tendrán el valor del punto anterior.
 
 
  


















 2
3
5
3
4
0
0
32
,
045
.
1
50
,
17
10
11
16
16
32
;
2
cm
kg
cm
cm
kg
D
M
D
J
J
D
M
t
t











 2
32
,
045
.
1
cm
kg


6. Problema a)
Cálculo del ángulo torsión y
de torsión específicas
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos
como sigue:
 
 
 































cm
cm
cm
kg
cm
kg
D
G
M
D
J
J
G
M
t
t
1
10
41
,
1
50
,
17
10
85
,
0
10
11
32
32
32
;
4
4
2
6
5
4
4
0
0





El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue:
    0112
,
0
80
1
10
41
,
1
32
32 4
4
0
4
0





















 

 cm
cm
L
D
G
M
dx
D
G
M
dx
x t
L
t
L





7. Problema a)
Veamos los
gráficos

8. Problema b)
Cálculo de las
reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria
de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser una función lineal a lo
largo de toda la barra por lo que:
L
m
M
M
L
m
M t
B
B
t
T 






 0
 
 
 
   
cm
kg
cm
t
kg
m
m
t
L
m
dx
m
M
x
m
dx
m
dx
m
x
M
L
t
t
B
x
t
t
x
t
t










 














5
0
0
0
10
36
,
9
120
1
1000
8
,
7
Datos:
mt = 7,8 t.m/m
G = 0,85 x 106 kg/cm2
D = 95 cm
L = 120 cm

9. Problema b)
Cálculo de las tensiones
tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor
y al radio de la sección de la barra e inversamente
proporcional al momento de inercia polar de la
sección:
En la sección T-T las tensiones tendrán el valor de la expresión del punto anterior en x = L/2:
 
 
  3
4
0
0
16
32
;
2
D
x
m
x
D
J
J
D
x
M
x t
t













 
 
 
  














 








 
 2
3
3
3
2
78
,
2
95
2
120
10
8
,
7
16
2
16
cm
kg
cm
cm
cm
cm
kg
D
L
mt
L
x
T
T




 
 
  













 









  2
3
3
3
max 56
,
5
95
120
10
8
,
7
16
16
cm
kg
cm
cm
cm
cm
kg
D
L
mt
B
L
x






10. Problema b)
Cálculo del ángulo torsión y
de torsión específicas
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos
como sigue:
 
4
4
0
0
32
32
;
D
G
x
m
D
J
J
G
x
M t
t














El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue:
  6
4
2
0
4
0
4
0
max 10
26
,
8
16
32
32




















 

 D
G
L
m
dx
x
D
G
M
dx
D
G
x
m
dx
x t
L
t
L
t
L





 
 
 
































 











 


cm
cm
cm
kg
cm
cm
cm
kg
D
G
L
mt
L
x
x
1
10
38
,
1
95
10
85
,
0
120
10
8
,
7
32
32
0
7
4
2
6
3
4
max
0
min







11. Problema b)
Veamos los
gráficos

12. Problema c)
Cálculo de las
reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria
de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser una función lineal a lo
largo de toda la barra por lo que:
L
m
M
M
M
L
m
M
M t
t
B
B
t
t
T 








 0
   
x
L
m
M
dx
m
L
m
M
x
M t
t
x
t
t
t
t 







 
0
Datos:
Mt = 11 t.m
mt = 7,8 t.m/m
G = 0,85 x 106 kg/cm2
D = 111 cm
L = 180 cm
 
   
 
   
cm
kg
cm
t
kg
m
m
t
cm
kg
M
L
m
M
x
M
M
B
t
t
x
t
B










 








 
5
5
0
10
04
,
25
180
1
1000
8
,
7
10
11
     
cm
kg
M
L
L
m
M
x
M
M t
t
t
L
x
t
A 






 
5
10
11

13. Problema c)
Cálculo de las tensiones
tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor
y al radio de la sección de la barra e inversamente
proporcional al momento de inercia polar de la
sección:
 
 
   
x
L
D
m
D
M
x
D
J
J
D
x
M
x t
t
t












 3
3
4
0
0
16
16
32
;
2





   
 
 
    




















 























 
2
3
5
3
max
3
3
3
0
max
32
,
9
180
10
8
,
7
10
11
111
16
16
16
16
cm
kg
cm
cm
cm
kg
cm
kg
cm
L
m
M
D
D
L
m
D
M
x t
t
t
t
B
x








   
 
  
















  2
3
5
3
min 096
,
4
111
10
11
16
16
cm
kg
cm
cm
kg
D
M
x t
A
L
x






14. Problema c)
Cálculo de las tensiones
tangenciales en T-T
En la sección T-T las tensiones tendrán el valor de
la expresión del punto anterior para x = L/2:
    3
3
3
2
2
16
2
16
16
D
L
m
M
L
L
D
m
D
M
x
x
t
t
t
t
L
x
T
T

























 






 
   
 
  



















 






  2
3
3
5
71
,
6
111
2
180
10
8
,
7
10
11
16
cm
kg
cm
cm
cm
cm
kg
cm
kg
x T
T



15. Problema c)
Cálculo del ángulo de torsión
específico
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos
como sigue:
   
 
4
0
32
D
G
x
L
m
M
J
G
x
M t
t
t













 
   
 
 































 
















cm
cm
cm
kg
cm
cm
cm
kg
cm
kg
D
G
L
m
M
B
t
t
x
B
1
10
8
,
19
111
10
85
,
0
180
10
8
,
7
10
11
32
32
8
max
4
2
6
3
5
4
0






Para la sección “B” resulta:

16. Problema c)
Cálculo del ángulo de torsión específica
para la sección A y el ángulo de torsión
Para la sección “A” resulta:
 
 
 
 
 






























cm
cm
cm
kg
cm
kg
D
G
M
A
t
L
x
A
1
10
68
,
8
111
10
85
,
0
10
11
32
32
8
4
2
6
5
4





El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue
   
   
   

























































 



2
32
2
32
32
32
32
32
4
2
4
4
0
4
0
4
0
4
0
x
L
m
M
D
G
x
x
D
G
m
x
D
G
L
m
M
x
dx
x
D
G
m
dx
D
G
L
m
M
dx
D
G
x
L
m
M
dx
x
t
t
t
t
t
L
t
L
t
t
L
t
t
L










17. Problema c)
Cálculo del ángulo de torsión para las
secciones A y B
El ángulo de torsión “” para la sección “B”
resulta:
    0
0

 
x
B
x
x 

El ángulo de torsión “” para la sección “A” resulta:
   
 
     
 
 
5
4
6
3
5
4
10
56
,
2
111
10
85
,
0
2
180
10
8
,
7
10
11
180
32
2
32

























 






















cm
cm
kg
cm
cm
cm
kg
cm
kg
cm
x
D
G
L
m
M
L
x
x
A
t
t
L
x
A






18. Problema c)
Veamos los
gráficos

19. Problema d)
Cálculo de las
reacciones de vínculo
Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria
de momento debe ser nula:
El momento torsor resulta ser constate por tramos, por lo
que:
2
1
2
1
0 t
t
C
C
t
t
T M
M
M
M
M
M
M 







    A
t
L
L
t
C
t
t
L
t M
M
x
M
M
M
M
x
M 




 1
2
2
1
2
0
Datos:
Mt1 = 12 t.m ; L1 = 95 cm
Mt2 = 8,5 t.m ; L2 = 120 cm
G = 0,85 x 106 kg/cm2
A1 = 17,5 cm2 ; A2 = 26,5 cm2
D1 = 4,72 cm ; D2 = 5,81 cm
 
     


















cm
kg
cm
kg
cm
kg
M
cm
kg
M
C
A
5
5
5
5
10
5
,
20
10
5
,
8
10
12
10
12

20. Problema d)
Cálculo de las tensiones
tangenciales
Serán directamente proporcional al momento torsor
y al radio de la sección de la barra e inversamente
proporcional al momento de inercia polar de la
sección:
 
 



0
2
J
D
x
M
x
t

En la sección T-T las tensiones tendrán el valor del punto anterior en x = L/2:
  







 2
0
8
,
53234
2
cm
kg
x
L
T
T


 
   
 
 
 
   
 
 
 







































2
3
5
3
1
2
3
5
3
2
0
58120
72
,
4
10
12
16
16
8
,
53234
81
,
5
10
5
,
20
16
16
1
2
2
1
2
cm
kg
cm
cm
kg
D
M
x
cm
kg
cm
cm
kg
D
M
M
x
t
L
L
t
t
L







21. Problema d)
Cálculo del ángulo de torsión
específico
El ángulo de torsión específica “” lo calculamos
como sigue:
    





 4
0
32
D
G
x
M
J
G
x
M t
t


 
   
 
 
 
 
   
 
 
 



























































cm
cm
cm
kg
cm
kg
D
G
M
x
cm
cm
cm
kg
cm
kg
D
G
M
M
x
t
L
L
t
t
L
1
029
,
0
72
,
4
10
85
,
0
10
12
32
32
1
0215
,
0
81
,
5
10
85
,
0
10
5
,
20
32
32
4
2
6
5
4
1
4
2
6
5
4
2
0
1
2
2
1
2







22. Problema d)
Cálculo del ángulo de torsión
El ángulo de torsión “” lo calculamos como
sigue
        dx
D
x
M
G
dx
J
G
x
M
dx
x
x
L
t
L
t
L








 

 0
4
0 0
0
32



   
   
   
 
 
 
 
   
     
   
 
 
 

























































rad
cm
cm
kg
cm
cm
kg
rad
D
G
L
M
x
x
x
rad
cm
cm
kg
cm
cm
kg
D
G
L
M
M
x
x
t
B
A
C
t
t
L
B
339
,
5
72
,
4
10
85
,
0
95
10
12
32
587
,
2
32
0
587
,
2
81
,
5
10
85
,
0
120
10
5
,
20
32
32
4
2
6
5
4
1
1
4
2
6
5
4
2
2
0
1
2
1
2










23. Problema d)
Veamos los
gráficos

24. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

25. Muchas Gracias