Este documento presenta 6 ejercicios de aplicación de programación lineal resueltos utilizando el método de Solver de Excel. Cada ejercicio describe un problema de optimización con variables, restricciones y función objetivo formulados como un modelo de programación lineal, el cual es resuelto digitalizando la formulación en Excel y utilizando la herramienta Solver para encontrar la solución óptima.

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AUTORES
Msc. JORGE ACOSTA PISCOYA. Licenciado En Estadística
Msc. DEBORA MEJIA PACHECO. Licenciado En Estadística
DOCENTES ASCRITOS AL DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA
DE LA UNPRG – LAMBAYEQUE
2010
DOCENTES DE LA ASIGNATURA DE:
INVESTIGACION DE OPERACIONES I

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La opción Solver de EXCEL sirve para resolver problemas de
optimización lineal y no lineal; también se pueden indicar restricciones enteras
sobre las variables de decisión. Con Solver es posible resolver problemas que
tengan hasta 200 variables de decisión, 100 restricciones explícitas y 400
simples (cotas superior e inferior o restricciones enteras sobre las variables de
decisión). Para acceder a Solver, seleccione Tools en el menú principal y
luego Solver. La ventana con los parámetros de Solver aparecerá tal y como
se muestra a continuación:
1. ingresar al Excel.
2. Desplegar el menú herramientas, si no aparece el solver hay que activarlo
para lo cual hacemos clic en complementos, saldrá la siguiente ventana
activar solver y luego aceptar
3. Dado el siguiente modelo de programación lineal, resolver utilizando solver
Max.Z = x1 + 2x2 + 4x3
S.a:
3x1 + x2 + 5x3 ≤ 10
x1 + 4x2 + x3 ≤ 8
2x1 + 2x3 ≤ 7
Xj ≥ 0 donde j=1,2,3
4. Escribir el modelo de programación lineal, como se muestra:

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5. En la celda de la función objetivo (C2) hay que escribir la formula como se
muestra en la imagen:
6. una vez ingresada la formula dar enter y a parecerá la función objetivo con
valor cero como se muestra:

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7. En las restricciones también se debe escribir una formula, como se muestra
en la primera restricción (H6), luego dar enter y aparecerá cero haga lo
mismo con las siguientes restricciones. Para no escribir las formulas
ubíquese en la formula de la primera restricción y arrástrelo hasta la ultima
restricción, esto se puede dado de que no se fijo el coeficiente.
8. luego ubíquese en la celda de la función objetivo C2 ir al menú
herramienta, clic en solver y aparecerá la siguiente pantalla:
Clic
9. Ingrese los valores de la variable, como se muestra:
clic
10. Aparecerá la siguiente pantalla, luego deberá ingresar las, restricciones,
clic en agregar, como se muestra:

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Clic
11. Aparecerá la siguiente pantalla:
12. deben ingresarse las restricciones, como se muestra, una a una hasta la
última restricción, después de escribir la primera restricción no se olvide de
aceptar, para luego ingresar la otra y así sucesivamente:
13. Las restricciones de no negatividad se deben introducir manualmente como
se muestra:

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14.- Luego clic en aceptar y aparecerá la siguiente pantalla
15. Luego clic en resolver y aparecerá la siguiente pantalla, y dar clic en
aceptar:
16. y se obtiene la solución del modelo:
Donde el valor de la función objetivo es 9.89473684 y los valores de la variable: X1=0 ; X2=1.5789;
X3= 1.6842

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Ejercicio de Aplicación 1.- (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100
hectáreas en los cuales puede sembrar Maíz y Arroz . Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo
del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la
recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por hectárea:
CULTIVOS COSTO DE
PLANTAR
DEMANDA HORAS-
HOMBRE
UTILIDAD
MAIZ $20 5 $ 100
ARROZ $40 20 $ 300
Formule el modelo de Programación lineal que permita maximizar sus utilidades del granjero.
Solución:
CULTIVOS HECTAREAS COSTO DE
PLANTAR
DEMANDA
HORAS-HOMBRE
UTILIDAD
MAIZ 1 $20 5 $ 100
ARROZ 1 $40 20 $ 300
RECURSO
DISPONIBLE
100 $3000 1350
 Variable s de Decisión:
x1 = Producción de Maíz por hectárea.
x2 = Producción de Arroz por hectárea.
 Función Objetivo:
Maximizar sus utilidades
 Restricciones:
R1. x1 + x2 < 100
R.2. 5x1 + 20x2 < 1350
R.3. 20x1 + 40x2 < 3000
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = 100x1 + 300x2
Sujeto a:
x1 + x2 < 100
5x1 + 20x2 < 1350
20x1 + 40x2 < 3000
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
Utilizando Solver para su solución:
1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel

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2.- digitamos las formulas en los respectivos casilleros:
 Primero la formula de la función objetivo
 Luego las formulas de las restricciones:

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3.- luego seleccionamos herramientas y solver:
4. – Agregamos los valores de las variables.
5.- clic en resolver y se obtiene los siguientes resultados:

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INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para obtener una utilidad máxima de 21000 dólares, se debe cultivar 30 hectáreas de Maíz y 60
hectáreas de Arroz.
Ejercicio de Aplicación 2.- (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar la
combinación más barata de dos productos, A y B, que contienen:
 al menos 0.5 miligramos de tiamina
 al menos 600 calorías
PRODUCTO TIAMINA CALORIAS
A 0.2 mg 100
B 0.08 mg 150
Solución:
PRODUCTO TIAMINA CALORIAS
A 0.2 mg 100
B 0.08 mg 150
REQUERIMINETOS
MINIMOS
0.5 600
 Variable s de Decisión:
x1 = Cantidad mas Barata del producto A
x2 = Cantidad mas Barata del Producto B
 Función Objetivo:
Minimizar Recursos
 Restricciones:
R1. 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5
R.2. 100x1 + 150x2 > 600
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

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 Modelo de Programación Lineal:
Min Z = x1 + x2
Sujeto a:
0.2x1 + 0.08x2 > 0.5
100x1 + 150x2 > 600
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
Utilizando Solver para su solución:
1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel
2.- digitamos las formulas en los respectivos casilleros:

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3.- luego seleccionamos herramientas y luego solver ingresamos los valores de la variable y
seleccionamos la opción minimizar, dado a que se trata de un modelo de programación lineal cuya
función objetivo es minimizar:
:
4.- clic en resolver:
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para Minimizar los costos a $4.4091 se deben Adquirir 1.2273 mg. Del producto A, y 3.1818
mg. Del producto B.
Ejercicio de Aplicación 3.- Un granjero tiene 200 cerdos que consumen 120 libras de comida
especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las
siguientes composiciones: Libras por Libra de Alimento
Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/lb)
Maíz 0.001 0.09 0.02 0.2
Harina de
Soya
0.002 0.6 0.06 0.6
Los requisitos de alimento de los cerdos son:
1. Cuando menos 1% de calcio
2. Por lo menos 30% de proteína
3. Máximo 5% de fibra

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Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día
Solución:
 Variable s de Decisión:
x1 = Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento
x2 = Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento
 Función Objetivo:
Minimizar el costo de alimento por día.
 Restricciones:
R1. 0.001x1 + 0.002x2 > (120)(0.01)
R.2. 0.09x1 + 0.6x2 > (120)(0.3)
R.3. 0.02x1 + 0.06x2 < (120)(0.05)
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Min Z = 0.2x1 + 0.6x2
Sujetos a:
0.001x1 + 0.002x2 > 1.2
0.09 x1 + 0.6 x2 > 36
0.02 x1 + 0.06 x2 < 6
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
Utilizando Solver para su solución:
1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel
2.- digitamos las formulas en los respectivos casilleros:

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3.- luego seleccionamos herramientas y luego solver ingresamos los valores de la variable y
seleccionamos la opción minimizar, dado a que se trata de un modelo de programación lineal cuya
función objetivo es minimizar:
4.- clic en resolver:

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INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para Minimizar los costos de alimento en $60, se debe comprar solamente 218.182 libras de
harina de soya y 27.27 libras de Maíz
Ejercicio de Aplicación 4.- Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres
máquinas. El tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. El
tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son: Minutos Por Unidad
Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia
1 10 6 8 $2
2 5 20 15 $3
Determine cuantas unidades de cada productos se deben producir por día, que permita
maximizar las Ganancias.
Solución:
 Variable s de Decisión:
x1 = Cantidad de Unidades del Producto 1, a producir por día.
x2 = Cantidad de Unidades del Producto 2, a producir por día.
 Función Objetivo:
Maximizar las Ganancias.
 Restricciones:
R1. 10x1 + 5x2 < 10(60)
R.2. 6x1 + 20x2 < 10(60)
R.3. 8x1 + 15x2 < 10(60)
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = 2x1 + 3x2
Sujetos a:
10x1 + 5x2 < 600
6x1 + 20x2 < 600
8x1 + 15x2 < 600
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
.

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Utilizando Solver para su solución:
1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel
2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes
3.- Ingresamos los valores de las variables

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4.- clic en resolver
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para tener una ganancia máxima de $141,8182 dólares diarios se deben producir por día 55
unidades del producto 1 y 11 unidades del producto 2, por día.
Ejercicio de Aplicación 5.- Las restricciones pesqueras impuestas por el ministerio obligan a
cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de jurel,
además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el
precio de la merluza es de $1000 por kg y el precio del jurel es de $1500 por kg, ¿ Qué
cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?.
Solución:
TIPO DE
PESCADO
PEZCA EN TONELADAS PEZCA PRECIO $
MERLUZA 1 0 1 1000
JUREL 0 1 1 1500
RECURSO
MAXIMO
2000 2000 3000

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 Variable s de Decisión:
x1 = Tonelada de Merluza a pescar.
x2 = Tonelada de Jurel a pescar.
 Función Objetivo:
Maximizar los Beneficios.
 Restricciones:
R1. x1 < 2000
R.2. x2 < 2000
R.3 x1 + x2 < 3000
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Max Z = 1000x1 + 1500x2
Sujeto a:
x1 < 2000
x2 < 2000
x1 + x2 < 3000
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
Utilizando Solver para su solución:
1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel
2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes.

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3.- Ingresamos los valores de la variable
4.- clic en resolver

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INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para tener una ganancia máxima de 4000000 dólares se debe pescar 1000 toneladas de Merluza y
2000 toneladas de Jurel.
Ejercicio de Aplicación 6.- Se desea contratar movilidad para trasladar a 400 personas y se
dispone de las siguientes alternativas. Hay 8 buses con capacidad para 40 personas y cada una
cuesta $12000 y 10 buses con capacidad 50 personas, con un valor de $16000 cada uno. Si se
dispone sólo de 9 conductores para esa oportunidad. ¿Cuántos buses de cada tipo convendría
arrendar para que el viaje resulte lo más económico posible?
SOLUCION
 Variables de Decisión:
x1 = cantidad de buses que se deben arrendar con capacidad para 40 personas.
x2 = cantidad de buses que se deben arrendar con capacidad para 50 personas.
 Función Objetivo:
Minimizar los costos.
 Restricciones:
R1. 40x1 + 50x2 ≥ 400
R.2. x1 + x2 = 9
R.3 x1 < 8
R.4. x2 < 10
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Min Z = 12000 x1 + 16000 x2
Sujeto a:
40x1 + 50x2 ≥ 400
x1 + x2 = 9
x1 < 8
x2 < 10
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
Utilizando Solver para su solución:
1.- Digitamos el modelo de programación lineal en una hoja de cálculo de Excel

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2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes.
3.- Ingresamos los valores de las variables.

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4.- clic en aceptar
INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para tener un gasto mínimo de $124000, se debe arrendar 5 buses de capacidad de 40
personas y 4 buses de capacidad para 50 personas.
Ejercicio de Aplicación 7.- Se aplica un examen que contiene preguntas del tipo A que
valen 4 puntos y del tipo B que valen 7 puntos. Se debe responder al menos 5 del tipo A y
al menos 3 del tipo B, pero las restricciones de tiempo impiden responder más de 10 de cada
tipo. En total, no se puede responder más de 18 preguntas. Suponiendo que las respuestas de
un alumno sean correctas:
a) ¿cuántas preguntas de cada tipo debe responder el alumno para maximizar su
Puntuación?
b) ¿cuál es la calificación máxima?
SOLUCION
 Variables de Decisión:
x1 = Número de preguntas tipo A resueltas de 4 puntos.
x2 = Número de preguntas tipo B resueltas de 7 puntos.
.
 Función Objetivo:
Maximizar los puntajes.
 Restricciones:
R1. x1 ≥ 5
R.2. x2 ≥ 3
R.3 x1 < 10
R.4. x2 < 10
R.5. x1 + x2 < 18
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

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 Modelo de Programación Lineal:
Máx. Z = 4 x + 7 x2
Sujeto a:
x1 ≥ 5
x2 ≥ 3
x1 < 10
x2 < 10
x1 + x2 < 18
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Digitamos el modelo de programación lineal en la hoja de cálculo de Exel.
2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes.

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3.- Ingresamos los valores de las variables.
4.- clic en resolver:
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS:
(a) Para maximizar su puntuación debe responder 8 preguntas tipo A y 10 preguntas tipo B.
(b) La calificación máxima es de 102 puntos

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Ejercicio de Aplicación 8.- En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de
tipo normal valen $ 450 y las de halógenos $ 600. La producción está limitada por el hecho de
que no se pueden fabricar al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total.
Si se vende toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la
máxima ganancia?
SOLUCION:
 Variables de Decisión:
x1 = Número de Bombillas Normales a producir.
x2 = Número de Bombillas de Halógeno a producir.
.
 Función Objetivo:
Maximizar las ganancias.
 Restricciones:
R1. x1 < 400
R.2. x2 < 300
R.3. x1 + x2 < 500
 Condición de No negatividad:
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
 Modelo de Programación Lineal:
Máx. Z = 4 x + 7 x2
Sujeto a:
x1 < 400
x2 < 300
x1 + x2 < 500
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
1.- Digitamos el modelo de programación lineal en la hoja de cálculo de Exel.
2.- Digitalizamos las formulas en los casilleros correspondientes.

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3.- Ingresamos los valores de las variables.
4.- clic en resolver:

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INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
Para tener una utilidad máxima de 270000 dólares se debe producir 200 bombillas
Normales y 300 bombillas de halógeno.