Sucesiones y progresiones

PROGRAMA DE SEMILLEROS Y REFUERZOS ACADÉMICOS
Convenio Municipio de Medellín-Universidad de Antioquia
Contrato Nº 4600048822 de 2013.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
AREA: MATEMÁTICAS GRADO: 9º y 10º FECHA: 14-09-13 SESIÓN # : 5
NOMBRE DEL(A) DOCENTE:
NOMBRE DEL(A) ESTUDIANTE:
TEMA: Sucesiones y Progresiones
INSTITUCIÓN SEDE:
TIPO DE PROGRAMA ACADÉMICO:
SEMILLERO___X___ REFUERZO_____
ELABORADO POR: Tatiana Pérez Arenas, Nancy Henao Loaiza. Docentes de Cátedra Universidad de Antioquia.
PROPÓSITO: Comprender los conceptos de sucesión, progresión aritmética y progresión geométrica.
COMPETENCIAS: Razonamiento, Resolución de problemas y Comunicación.
COMPONENTES: Numérico-Variacional, Geométrico-Métrico.
SUCESIONES Y PROGRESIONES
RESEÑA HISTÓRICA
Leonardo de Pisa, (c. 1170 - 1250 aprox.), también llamado Fibonacci. Realizó un
importante trabajo en la introducción del sistema de numeración posicional que
actualmente utilizamos. Es reconocido por la famosa sucesión que lleva su nombre, la
cual surgió como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos.
Su formación matemática estuvo a cargo de maestros musulmanes y aprendió así el
manejo del sistema de numeración indo arábiga. Convencido de la importancia los
números árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar
con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo. En 1202, publica el Libro del ábaco. En sus
páginas describe el cero, el sistema posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de
divisibilidad, y muestra las ventajas del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad
comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas
aplicaciones. Su talento como matemático se extendió por la Corte, siendo invitado por el Emperador
Federico II a participar en un torneo organizado por el emperador. Leonardo resolvió con éxito todos los
problemas que le fueron propuestos por Juan de Palermo, filósofo de la corte.
CONCEPTUALIZACIÓN.
En nuestra cotidianidad nos encontramos con diversas situaciones que están estrechamente relacionadas
con la matemática. Nos gusta ordenar las cosas que tenemos amontonadas para manejarlas mejor; por
ejemplo, los días de la semana los ordenamos uno a uno y asi mismo semana tras semana hasta ordenar
todos los días del año. También nos gusta contar, por ejemplo el dinero, y sin darnos cuenta estamos
utilizando un importante concepto de matemáticas, sucesión.

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SUCESIÒN.
Una sucesión numérica es un conjunto de números ordenados, cada uno de ellos lo llamamos termino o
elemento de la sucesión.
Para nombrar las sucesiones se utiliza la siguiente notación:
,...,...,, 321 naaaa
, en donde los ia
se llaman
términos de la sucesión y na
término general o n- ésimo de la misma.
Así en la sucesión ,...19,15,11,7,3,1
541511731 54321 naaaaaa n
Ya que
5455415
544115-34752435141
5
4321
naa
aaaa
n
Ejemplo:
Hallar los cinco primeros términos de la sucesión infinita evaluando el término general para 1n dado que
42 2
nan .
4645045.2284-321-4.2
144-184-3.244-84-2.2-24-1.2
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
aa
aaa
Entonces la sucesión se denota así ,...46,28,14,4,2
En las sucesiones numéricas es importante comparar sus términos, analizar su crecimiento, encontrar si
existen relaciones entre ellos, para intentar hacer predicciones sobre sus nuevos términos y encontrar
expresiones que permitan hallar el término según su posición.
Al observar secuencias ordenadas de números, figuras u objetos geométricos, es divertido averiguar el
criterio por el cual han sido formadas y así poder predecir cuales elementos siguen.
Actividad:
Para las siguientes secuencias de números:
 Escribe los siguientes tres números.’
 Como crees que se construye cada uno de los números que conforman la secuencia?
Puedes decir que numero está en la posición cien de estas sucesiones.

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Actividad
Hallar los cinco primeros términos de cada sucesión infinita evaluando el término general para 1n
3
1
)3
1
2
)2
4
1
)1
n
a
n
n
a
n
a
n
nn
Hallar el término n-ésimo de las siguientes sucesiones
,....9,7,5,3)3,...2,2,2,2)2....15,10,5)1
Actividad:
Observa las siguientes figuras:
 Cuantos puntos tiene cada cuadrado?
 Puedes dibujar el siguiente cuadrado, y decir cuántos puntos tiene?
 Puedes decir cuántos puntos tendrá el siguiente del que has hecho, sin hacer la grafica?
 Podrías darle un nombre a la secuencia de números, formada por la cantidad de puntos de los
cuadrados.?
Con las siguientes figuras, contesta las mismas preguntas del ítem anterior.
Sucesión de Fibonacci.
Tenemos una pareja de conejos, si, en cada parto obtenemos una nueva pareja y cada nueva pareja tarda
un mes en madurar sexualmente y el embarazo dura un mes, ¿Cuantas parejas tendremos en 12 meses,
admitiendo que no se muriera ninguno de los conejos?

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PROGRESIONES
Las progresiones son sucesiones que tienen una regla se formación para su n-esimo término.
Un tipo de sucesiones muy utilizadas en la vida cotidiana son las llamadas progresiones aritméticas. Por
ejemplo, cuando tomamos una carrera de taxi, después del costo fijo inicial (banderazo), la tarifa se
incrementa dependiendo de la distancia recorrida.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Se denomina progresión aritmética a una sucesión de números en la que la diferencia entre dos términos
consecutivos es siempre constante. Por lo tanto, cada término se obtiene sumando una misma cantidad (la
diferencia) al término anterior.
La sucesión 2, 6, 10, 14, 18,.... es aritmética porque la diferencia entre dos términos consecutivos es
siempre 4.
A la cantidad fija se la llama diferencia nn aad 1 . Así en la sucesión anterior 4d .
Si en una progresión aritmética se conoce el primer término y la diferencia, es posible encontrar el término
general y la suma de los n primeros términos.
dnaa
dadaa
daaa
daa
aa
n )1(
3
21
1
134
123
12
11


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Ejemplos:
1. Si el primer término de una progresión aritmética es 5 y la diferencia es 3, entonces el término general es
233)1(5)1(1 nandnaa nn .
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es
2
1 n
n
aan
S
2. Los primeros tres términos de una sucesión aritmética son 4,7 y 10. Encontrar, el término general y la
suma de los 10 primeros términos.
1074 321 aaa Entonces 347d , luego 133)1(4 nnan .
Para hallar la suma de los 10 primeros términos se utiliza
2
10 101
10
aa
S
Se debe establecer antes cual es 10a .
313949110 daa luego 175
2
350
2
31410
10S .
Ejemplo:
¿Cuántos palitos de fósforos se necesitan para llegar a formar la figura 23 en esta sucesión?
Para saber cuántos fósforos necesitamos para formar la figura 23 podríamos recurrir al siguiente cuadro:
Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . 100 . . . n
Fósforos usados 3 5 7
Y completarlo, sumando 2 fósforos cada vez, hasta llegar al espacio Figura 23.
Pero no es necesario completar el cuadro para saber cuántos fósforos necesitamos para armar la figura 23.
Para ello debemos determinar la fórmula general que nos dará la respuesta de inmediato.
Analicemos:
Para armar la figura 1 se necesitan 3 fósforos, pero 3 = 2 • 1 + 1

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Como vemos, el término general es 2 n+1 donde el 2 indica el número de fósforos que debe agregarse cada
vez que se avanza en la construcción de las figuras y la n indica el número de la figura, todo eso más 1; por
lo tanto, la fórmula o patrón está dada por 2n+1
Conocida esta fórmula 2n+1 reemplazamos simplemente la n por el 23 y sabemos de inmediato que
(2 • 23) +1 nos da 46 + 1 = 47
Por lo tanto, para la figura 23 se necesitarán 47 fósforos.
Actividad.
Determina la fórmula que genera la serie numérica de la cantidad de fósforos utilizados para construir la
figura formada por un número dado de cuadrados, como se muestra en las figuras.
Con palillos, palitos de madera o pitillos de gaseosa o bombones (reciclados en el descanso), formar otras
series con figuras geométricas diferentes, por ejemplo triángulos u otros cuadriláteros.
¿qué pasa con los triángulos?. Con 3 palillos tenemos un triángulo de lado 1. Con 9 palillos tenemos __
triángulos de lado 1 y 1 triángulo de lado 2. Con 18 palillos tenemos…
Te puede resultar útil completar la siguiente tabla:
Lado Perímetro Palillos Tri1 Tri2 Tri3 Tri4 Tri5 Tri6 Tri7
1 3 3 1 - - - - - -
2 6 9 4 1 - - - - -
3 9 18 9 3 1 - - - -
4 12 30 16 6 3 1 - - -
5 - -
6 -
7
Tabla tomada de http://i-matematicas.com
¿Observas alguna regularidad?. ¿Qué similitudes y qué diferencias con la anterior?

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Sabemos que un triángulo equilátero tiene 3 lados iguales y que lo podemos formar con 3 palillos de dientes.
Para formar dos triángulos equiláteros unidos en una línea ¿cuántos palillos necesitamos?: 5 o 6 palillos,
salvo que preguntemos por el menor número posible. ¿Y para formar tres, cuatro, cinco…?
Te puede resultar útil completar la siguiente tabla:
Nº de Triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Palillos 3 5 7
para poder responder a las siguientes preguntas:
1. ¿Cuántos palillos necesitarías para formar 207 triángulos?
2. Con 2633 palillos, ¿ cuántos triángulos en fila pueden formarse?.
3. ¿Puedes escribir una ecuación que relacione p y T?. Te doy la solución: p = 2T+1
Puedes comprobar que para construir 11 triángulos necesitamos p = 2*11+1 = 23 palillos
Formar la figura con los palillos, luego mover tres palitos de las fronteras y formar tres triángulos.
Actividad:
El alquiler de botes en un lago tiene un costo de cinco mil pesos la primera hora y después mil quinientos
pesos por cada hora adicional. ¿Cuál es el valor del alquiler por 1, 2 3,…,x horas? Puedes ayudarte de la
siguiente tabla.

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Número de horas Valor total
1 5000 5000
2
3
.
.
.
X
Actividad: El niño Gauss
Cierto día un maestro alemán buscaba obtener algo de descanso en su clase, propuso a sus alumnos de
nueve años a que calcularan la suma de los números del uno al cien, pasado poco tiempo el niño Gauss dio
la respuesta de 5050, la cual es cierta.¿ cómo crees que resolvió Gauss este ejercicio de manera rápida?
Actividad
Observa las siguientes figuras:
 Cuantos cuadrados negros y blancos tiene cada figura?
 Cuantos cuadrados blancos y negros tendra la figura en la posicion 20?
 Cuantos cuadrados blancos y negros tendra la figura en la posicion n?
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Se denomina progresión geométrica a una sucesión de números en la que el cociente (o la razón) entre dos
términos consecutivos es siempre constante. Por lo tanto, cada término se obtiene multiplicando por una
misma cantidad (la razón) al término anterior.
Ejemplo:
La sucesión es geométrica porque el cociente entre dos términos consecutivos es siempre
½.
A la cantidad fija se la llama razón nn aar /1 . Así en la sucesión anterior 2r .
Si en una progresión geométrica se conoce el primer término y la razón, es posible encontrar el término
general y la suma de los n primeros términos.

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1
1
3
134
2
123
12
11
n
n raa
raraa
raraa
raa
aa

Ejemplo:
1. Si el primer término de una progresión geométrica es 3 y la razón es 2, entonces el término general es
1
23
n
na
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es
1;
1
1
1 rcon
r
r
aS
n
n
Ejemplo
Los primeros tres términos de una sucesión geométrica son 3,3/5 y 3/25. Encontrar el término general y la
suma de los 10 primeros términos.
25/35/33 321 aaa Entonces
5
1
3
5
3
r luego 1
1
5
3
5
1
3 n
n
na .
Para hallar la suma de los 10 primeros términos se utiliza
25.1
5
4
1
5
1
5
1
5
1
1
5
1
3
10
10
10S .
Actividad: Me guardas el secreto?
Cristina le cuenta un secreto muuuy importante a sus dos mejores amigos, Maria y Pedro, a las siete de la
mañana antes de iniciar clases en el colegio, con la advertencia de que no se lo cuenten a nadie. Cada uno
de ellos, a los veinte minutos se lo han contado solamente a tres amigos; veinte minutos despues, cada uno
se lo ha contado a otros tres amigos y asi sucesivamente. Al medio dia terminaron su jornada escolar,

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cuantas personas conocian el secreto a esta hora?
Actividad:
Un atleta quiere conocer una ciudad que tiene 25 km de largo, el primer dia recorre 2km, y cada dia
siguiente recorre 2/3 de lo que recorre el dia anterior, teniendo en cuenta que siempre hace el recorrido en
linea recta.
 ¿Cuántos kilometros recorre el dia 2, 3 y 4?
 ¿Cuántos dias se demora en conocer la ciudad?
REFERENCIAS:
http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/fibonacci.htm
http://cmapspublic2.ihmc.us/rid=1228838815496_547447458_10643/Sucesiones.pdf
http://www.colombiaaprende.edu.co/html/docentes/1596/propertyvalue-31648.html
http://sucesionesbachillerato.blogspot.com/p/sucesion.html
http://i-matematicas.com

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