Este documento explica cómo integrar funciones mediante sustitución trigonométrica. Presenta una tabla con sustituciones trigonométricas comunes y ejemplos resueltos de cómo aplicarlas para transformar una integral en una forma integrable. Luego muestra cómo convertir el resultado de vuelta a los términos de la variable original usando triángulos rectángulos y definiciones trigonométricas.

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FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E
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ÁREA: MATEMÁTICA CURSO: MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA II CICLO: II
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ contacto@migueltarazonagiraldo.com 999685938
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TEMA: Integrales por sustitución trigonométrica SEMANA: 7
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 502 SEMESTRE: 2018 - I
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
En esta sección vamos a estudiar el primer método para integrar funciones que no son inmediatamente
integrables a partir de la tabla de integrales que tenemos. Las siguientes sustituciones sirven para
simplificar el integrando a una forma inmediatamente integrable:
Para Sustituir Para obtener
Debes recordar siempre sustituir dx a partir del cálculo correspondiente para que la diferencial quede en
términos de dz .
Ejemplo: Calcula la siguiente integral:
Empezamos observando que 2
9,a  lo cual implica que 2
3 4a y b  es decir, 2.b  Entonces
hacemos:
Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos:
Ahora podemos simplificar dentro del signo de raíz:

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Ahora podemos integrar:
Hasta aquí hemos obtenido un resultado parcial. Recuerda que inicialmente la integral estaba dada en
términos de x, no de z. Por lo que nosotros debemos dar el resultado en términos de x. Para lograr eso,
vamos a representar geométricamente la sustitución inicial:
En el triángulo rectángulo tenemos para calcular el cateto adyancente al ángulo z hemos utilizado el teorema
de Pitágoras.
Por la forma como se definen las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo tenemos:
Entonces, podemos reescribir la solución como:

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Observa que hemos utilizado un artificio: como la integral no se puede integrar de manera inmediata debido
a la forma que tiene, sabiendo que puede transformarse a una forma inmediatamente integrable usando una
sustitución trigonométrica, vamos a utilizar la transformación sugerida en la tabla dada al principio de esta
lección. Después de hacer la sustitución obtenemos una integral en términos de funciones trigonométricas
que se puede integrar usando la variable z.
Para regresar este resultado a términos de x, utilizamos la sustitución que tomamos de la tabla para
representarla geométricamente usando un triángulo rectángulo y las definiciones de las funciones
trigonométricas en él.
Ejemplo: Calcula la siguiente integral:
Se puede resolver a través de la regla de integración (iv). Utiliza sustitución trigonométrica para calcularla
y después la regla (iv) para verificar el resultado.
De acuerdo a la tabla de sustituciones para este tipo de integrales, haremos:
Ahora sustituimos estos valores en la integral para transformarla:

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Ahora vamos a reescribir el resultado en términos de x. El triángulo rectángulo que representa la sustitución
que hicimos al principio del problema es el siguiente:
Entonces, de acuerdo a este triángulo, tenemos:
Y al sustituir este valor en el resultado de la integral obtenemos:
Ahora vamos a verificar el resultado usando la regla (iv). Para este fin, definimos:
Y terminamos.
Ejemplo: Calcula la integral:
Usaremos la sustitución:
Esto transforma la integral a:

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Para hacer el cambio a la variable usamos el siguiente triángulo rectángulo:
Entonces, haciendo las sustituciones de acuerdo a la definición de las funciones trigonométricas en el
triángulo rectángulo obtenemos:
Ejemplo: Calcula la siguiente integral:
Usaremos la sustitución:
Al sustituir estos valores en la integral obtenemos:

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Ahora calculamos los valores de z y cotz en términos de x a partir del triángulo rectángulo correspondiente:
Ahora sustituimos estos valores en el valor de la integral:

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Es importante recordarte que la integral inicial estaba dada en términos de la variable x. Si entregas un
resultado en términos de z, en realidad tu resultado no es incorrecto, pero tampoco es correcto. Simplemente
está incompleto. Debes expresar el resultado en términos de la variable que aparezca la integral inicial. Por
eso se requiere hacer el cambio de variable dos veces: la primera para poder hacer la integral, la segunda
para entender el resultado.
Ejemplo: Calcula la siguiente integral:
Hacemos:
Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos:
Referencias:
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/integracion-sustitucion-trigonometrica/