UNEFM -TECNOLOGÍA-ING CIVIL-MATEMÁTICA I

1. Lcdo. Esp. Alberto Delgado Aprendizaje Dialógico Interactivo UNEFM
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
COORDINACIÓN APRENDIZAJE DIALÓGICO INTERACTIVO
PROGRAMAS: ING. CIVIL E ING. QUÍMICA
UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA I
Prof. Alberto Delgado
TALLER 4: LIMITES (1era Parte)
Objetivo: Determinar el límite de funciones aplicando correctamente sus teoremas y definición.
P1. Cuando se evalúa una función, por ejemplo ( ) = + 1 para = 3, sabemos que el resultado es ( ) = 10. En
este caso se evalúa cuando x es exactamente igual a 3. ¿Pero qué pasa si evalúas la función con valores que se
aproximen o acerquen mucho a 3 ya sean menores o mayores a 3? ¿A qué valor se va aproximando ( )? Atendiendo
a esto, completa las siguientes tablas:
x 2 2,5 2,7 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999 ¿A qué valor se
acerca f(x)?
( ) = +
x 4 3,5 3,2 3,1 3,01 3,001 3,0001 3,00001 ¿A qué valor se
acerca f(x)? (L)
( ) = +
P2. La siguiente gráfica corresponde a la función ( ) = + 1. ¿Observa e indica a qué valor de y (el cual
llamaremos L) se acerca o “tiende” la gráfica cuando x se acerca o “tiende” a 3? (Nota: puedes usar “Geogebra: Tu
Graficadora”)
P3. Completa la siguiente tabla:
| − | | ( ) − | | − | | ( ) − |
|3 − 2,9999| = __________ |10 − _________| = __________ |3 − 3,0001| = __________ |10 − _________| = __________
|3 − 2,99999| = __________ |10 − _________| = __________ |3 − 3,00001| = __________ |10 − _________| = __________
P4. Según lo anterior completa la siguiente:
Él límite (L) de la función ( ) = + 1 cuando x tiende a 3 es _____.
El cual se escribe de la siguiente manera:
lim
→
( + 1) = ______
Nombre:____________________
Apellido:____________________
Cédula:__________________
Firma: ___________________ Fecha: ___________________
f(x)
x

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P5. Partiendo de lo hecho en P1 a P4, expresa tu idea de lo qué es límite de una función:
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________.
P6. Escriba ahora la Definición formal de Límite de una función:
P7. Completa la siguiente tabla, describiendo las propiedades de los Límites.
Sean a y b números reales, sea n un número entero positivo y sean f y g funciones con los límites siguientes:
lim
→
( ) = lim
→
( ) =
1 Constante lim → =
2 Múltiplo escalar lim → [ ( )] =
3 Suma o diferencia lim → [ ( ) ± ( )] =
4 Producto lim → [ ( ) ( )] =
5 Cociente lim →
( )
( )
=
6 Potencia lim → [ ( )] =
P8. Evalúa, paso a paso, los siguientes límites de funciones algebraicas:
a) lim → 3 = b) lim → ( + − 1) =
c) lim → (5 ) = d) lim
→
=
e) lim → [ ( − 3)] = f) lim → √ + 7 =
P9. Evalúa, paso a paso, los siguientes límites de funciones trascendentes:
a) lim → ( ) = b) lim → tan (3 ) =
c) lim → (5cos ( )) =
d) lim
→
( − ) =
e) lim → = f) lim → cos (2 ) =

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Algunas funciones al evaluarlas no se les puede “determinar” inmediatamente el límite, pues resulta expresiones sin sentidos (por
ejemplo ). A estos se les conoce como límites “indeterminados”. Algunas técnicas para romper la indeterminación y obtener el
valor del límite son: factorización y racionalización.
Para resolver estos límites aplica los 4 pasos: 1) Evaluar. 2) Aplicar la técnica. 3) Simplificar y 4) Volver a evaluar. (ver esquema)
P10. Los siguientes límites indeterminados 0/0, se resuelven aplicando la técnica de factorización. Encuentre los
límites:
a)
25
5
lim 2
5 

 x
x
x
= b)
5
10
3
lim
2
5 



 x
x
x
x
=
c)
1
2
2
2
m
li
1 

 t
t
+
t
t
= d)
3
4
3
lim 2
3 



 x
x
x
x
=
e)
2
2
3
lim 2
2
1 




 t
t
t
t
t
= f)
x
x
x
x
x 


 2
2
1
2
lim =
g) 






 
 x
x
x
x
2
3
0
2
lim = h) 2
3
2 2
4
2
lim
x
x
x
x 




=

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P11. Los siguientes límites indeterminados 0/0, se resuelven aplicando la técnica de racionalización. Resuelva:
a)
4
16 


x
x
x
m
i
l
0
= b)
h
h
h
2
2
lim
0



=
c)
x
x
x
3
9 


m
i
l
0
= d)
2
3
1
lim
1




x
x
x =
e)
16
5
3
2
m
li
4 

 x
+
x
x
= f)
4
16
2
m
li
0



x
x
x
=

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P12. Para las siguientes funciones, determine primero ( + ∆ ). Luego evalúe el límite dado:
a) ( ) = 3 ; ( + ∆ ) =
x
x
f
x
x
f
x 





)
(
)
(
m
li
0
=
( ) = ; ( + ∆ ) =
x
x
f
x
x
f
x 





)
(
)
(
m
li
0
=
P13. Al agregar un bactericida a una colonia de bacterias, su población comienza a disminuir de acuerdo a la
siguiente función ( ) = −200 + 1000 + 200000. Donde “P” es la población de bacterias y “t” es el tiempo en
horas. Al despejar el tiempo (aplicando la resolvente) se obtiene la fórmula
=
1000 + 1.000.000 + 800(200.000 − )
400
Determine cuántas horas deben transcurrir desde que se agrega el bactericida hasta que la población de bacterias
tienda a cero (0).

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P14. USANDO EXCEL: Se deja caer una pelota desde un edificio de 150 metros. Su posición (en metros) por cada
segundo se puede observar en la siguiente tabla.
t (segundos) 0 1 2 3 4 5 5,53
s (metros) 150 145,1 130,4 105,9 71,6 27,5 0,1536
a) Usando Excel determine la función de posición ( ) .
b) Determine la altura de la pelota a los 3,7 segundos.
c) Determine la rapidez de la pelota a los 3 segundos, sabiendo que la rapidez viene dada por:
t
t
s
t
t
s
o
t 





)
(
)
(
m
li
( ) = (3 + ∆ ) =
t
t
s
t
s
o
t 





)
(
)
3
(
m
li =
P15. Conclusiones del taller. Expresa tu opinión sobre el taller y responde cuáles fueron las mayores dificultades
que notaste y qué estrategias utilizaste para superarla.
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