Funciones

1. UNIDAD N° 2
LIMITES DE
FUNCIONES
Docente
Valentin Prieto Saucedo
Santa Cruz - Bolivia

2. Definición de Limites
En matemática, el límite es un
concepto que describe la
tendencia de una sucesión o
una función, a medida que los
parámetros de esa sucesión o
función se acercan a
determinado valor. En cálculo
(especialmente en análisis
real y matemático) este
concepto se utiliza para
definir los conceptos
fundamentales de convergencia,
continuidad, derivación,
integración, entre otros.

3. Definición de límite
Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0,
excepto posiblemente en x0. Decimos que f(x) tiende al límite
L cuando x tiende a x0 y escribimos
si, para cada número e > 0, existe un número correspondiente
d > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < d  | f(x) – L | < e

4. Proceso de Calculo de Limites
x0
L
L +1/10
L–1/10
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < e = 1/10
x0
L
L +1/10
L–1/10
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < d1/10 (un número)
x0+d1/10
x0+d1/10
x0
L
L +1/100
L–1/100
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < e = 1/100
x0
L
L +1/100
L–1/100
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < d1/100
x0+d1/100
x0+d1/100

5. Reglas para calcular límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M
(L y M son números reales)
1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M  0
6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n

6. Tipos de Indeterminación

7. Operaciones Conocidas

8. Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por
sustitución si el límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

9. Indeterminación 0/0
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero,
se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el
límite.
h
h
h
2
2
lim
0



x
x
x
x
x 


 2
2
1
2
lim
Ejemplo: Resolver los siguientes limites con indeterminación 0/0
Regla: Para resolver este tipo de indeterminación 0/0, se debe
Factorizar tanto denominador como denominador y simplificar luego
remplazar el limites.