El documento presenta varios problemas relacionados con la cristalografía y la simetría de las redes cristalinas. Analiza la simetría puntual de diferentes figuras, establece las clases de sistemas cristalinos, determina los grupos de traslaciones y grupos espaciales de varias redes cristalinas, y describe las celdas unitarias de los empaquetamientos cúbico y hexagonal compactos.

1. Cristalografı́a
Introducción al Estado Sólido
March 2021
Problema 1
Elegir un punto, sobre el cual serı́a más sencillo establecer la simetrı́a puntual 2D de cada figura. Una vez selec-
cionado, identificar los elementos de simetrı́a.
Figure 1: Problema 1
A. Tiene un eje de rotación de orden 3 y 3 planos de reflexión.
B. Tiene un eje de rotación de orden 2.
C. Tiene un eje de rotación de orden 4 y 4 planos de reflexión.
D. Tiene un eje de rotación de orden 2.
E. Tiene un eje de rotación de orden 4 y 4 planos de reflexión.
F. Tiene un plano de reflexión.
Problema 2
Establecer la simetrı́a puntual de cada una de las siguientes figuras y clasificarlas según el sistema cristalográfico.
Figure 2: Problema 2
A. Tiene un eje de rotación de orden 2 no tiene planos de reflexión. Pertenece a la clase 2.
B. Tiene un eje de orden 2 no tiene planos de reflexión. Pertenece a la clase 2.
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2. C. No tiene ejes de rotación, no tiene planos de reflexión. Pertenece a la clase 1.
D. No tiene ejes de rotación, tiene un plano de reflexión. Pertenece a la clase m.
E. No tiene ejes de rotación, tiene un plano de reflexión. Pertenece a la clase m.
F. No tiene ejes de rotación, tiene un plano de reflexión. Pertenece a la clase m.
G. Tiene un eje de rotación de orden 2 no tiene planos de reflexión. Pertenece a la clase 2.
H. No tiene ejes de rotación, tiene un plano de reflexión. Pertenece a la clase m.
Problema 3
Establecer las formas, correspondientes a las clases m y 2mm.
Clase m: si se toma el plano de reflexión en el eje y, los puntos del plano (10) se generan por medio de la re-
flexión de los puntos del plano (10). Los puntos del plano (01) se reflejan en otros puntos del mismo plano, es decir
que no generan un nuevo plano (igualmente para el plano (01)).
Figure 3: Clase m, planos respecto a ejes.
En el caso de un plano oblicuo (h̄k) será producto de la reflexión de un plano (hk). Si k es negativo, (h̄k̄) se
obtendrá de (hk̄)).
Figure 4: Clase m, planos oblicuos.
Clase 2mm: (01) se obtendrá como reflexión de (01) y (10) se obtendrá como reflexión de (10). Para un plano
oblicuo (hk), la forma es el conjunto de planos generados por las reflexiones y por la rotación {(hk̄), (h̄k), (h̄k̄)}.
Figure 5: Clase 2mm, planos oblicuos y paralelos a los ejes principles.A. Rotación, B. Reflexión, C. Reflexión.
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3. Problema 4
Establecer el grupo de traslaciones T para una red rectangular centrada.
T = n1a1 + n2a2
los valores del vector n (1/2, 1/2), (1, 1), (0, 1), (1, 0)
Problema 5
Hallar la red reticular correspondiente a cada uno de los siguientes motivos estructurales.
Figure 6: Solución problema 5
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4. Problema 6
6.1
Figure 7: La celda contiene 4 motivos cuya distribución es como se muestra en (b) (red de Bravais), lo que resulta
en la red (c).
(d) celda unitaria, (e) base y (f) estructura cristalina.
Conclusión: Sistema cristalográfico de una red cuadrada. Grupo espacial p2mm (Rotación de orden 2, 2 reflexiones:
horizontal y vertical).
6.2
Figure 8: Lacelda contiene 2 motivos cuya distribución es como se muestra en (b) (red de Bravais), lo que resulta
en la red (c).
(d) celda unitaria, (e) base y (f) estructura cristalina.
Conclusión: sistema cristalográfico de una red rectangular. Grupo espacial pg (Reflexión horizontal con corrim-
iento).
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5. 6.3
Figure 9: La celda contine 1 motivo cuya distribución es como se muestra en (b) (red de Bravais), lo que resulta
en la red (c).
(d) celda unitaria, (e) base y (f) estructura cristalina.
Conclusión: sistema cristalográfico de una red rectangular. Grupo espacial p1 (No muestra ninguna simetrı́a salvo
consigo mismo, Identidad).
6.4
Figure 10: la celda contiene 4 motivos cuya distribución es como se muestra en (b) (red de Bravais), lo que resulta
en la red (c).
(d) celda unitaria, (e) base y (f) estructura cristalina.
Conclusión: sistema cristalográfico de una red rectangular. Grupo espacial p2gg (Rotación de orden 2, 2 ejes de
reflexión con corrimiento).
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6. 6.5
Figure 11: La celda contiene 2 motivos cuya distribución es como se muestra en (b) (red de Bravais), lo que resulta
en la red (c).
(d) celda unitaria, (e) base y (f) estructura cristalina.
Conclusión: sistema cristalográfico de una red rectangular. Grupo espacial pm (Eje de Reflexión en el medio).
6.6
Figure 12: La celda contiene 8 motivos cuya distribución es como se muestra en (b) (red de Bravais), lo que resulta
en la red (c).
(d) celda unitaria, (e) base y (f) estructura cristalina.
Conclusión: sistema cristalográfico de una red cuadrada. Grupo espacial p2mm (Rotación de orden 2, 2 reflex-
iones:horizontal y vertical).
Problema 7
Para las redes o motivos estructurales del problema 5, desarrollar los puntos del a) al f) del problema anterior.
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7. 7.1
Figure 13: La celda contiene 2 motivos pequeños y 1 motivo grande cuya distribución es como se muestra en (b)
(red de Bravais), lo que resulta en la red (c).
(d) celda unitaria, (e) base y (f) estructura cristalina.
Conclusión: sistema cristalográfico de una red cuadrada. Grupo espacial p4mm (Rotación de orden 4, y reflexiones
en el eje vertical como en el horizontal y en las diagonales).
7.2
Figure 14: La celda contiene 2 motivos cuya distribución es como se muestra en (b) (red de Bravais), lo que resulta
en la red (c).
(d) celda unitaria, (e) base y (f) estructura cristalina.
Conclusión: sistema cristalográfico de una red cuadrada. Grupo espacial p1 (No muestra ninguna simetrı́a salvo
consigo mismo, Identidad).
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8. Problema 8
¿Cuáles son las celdas unitarias correspondientes a los empaquetamientos compactos cúbico y hexagonal?
Empaquetamiento cúbico compacto
Celda unidad:
Cúbica (FCC): a = b = c, α = β = γ = 90◦
Z = 4, (0, 0, 0) (0, 1/2, 1/2) (1/2, 0, 1/2) (1/2, 1/2, 0)
Empaquetamiento hexagonal compacto
Celda unidad
Hexagonal: a = b, c = 1.63a, α = β = 90◦
, γ = 120◦
Z = 2, (0, 0, 0) (2/3, 1/3, 1/2)
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