Este documento presenta un conjunto de ejercicios sobre estructuras discretas II. Incluye encontrar la matriz de adyacencia y matriz de incidencia de un grafo, determinar si es conexo, regular o completo, y encontrar un árbol generador, cadena y ciclo en el grafo. También incluye encontrar la matriz de conexión de un dígrafo, determinar si es simple, y encontrar una cadena y ciclo en el dígrafo.

1.  Estructura Discretas II
EJERCICIOS PROPUESTOS
Estudiante
Edwin Mogollon. C.I: 20499564
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE
VENEZUELA VICERRECTORADO
ACADÉMICO UNIVERSIDAD
FERMÍN TORO (UFT) FACULTAD
INGENIERÍA

2. DADO EL SIGUIENTE GRAFO,
ENCONTRAR:
a) Matriz de adyacencia
b) Matriz de incidencia
c) Es conexo?. Justifique su respuesta
d) Es simple?. Justifique su respuesta
e) Es regular?. Justifique su respuesta
f) Es completo? Justifique surespuesta
g) Una cadena simple no elemental de grado6
h) Un ciclo no simple de grado 5
i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor
j) Subgrafo parcial
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo deFleury
l) Demostrar si es hamiltoniano

3. V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 1 1 0 1 0
V2 1 0 1 0 0 1 1 1
V3 1 1 0 1 1 1 0 1
V4 1 0 1 0 1 1 0 0
V5 1 0 1 1 0 1 1 0
V6 0 1 1 1 1 0 1 1
V7 1 1 0 0 1 1 0 1
V8 0 1 1 0 0 1 1 0
A) MATRIZ DE
ADYACENCIA

4. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20
V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
V6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
V7 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
V8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
B) MATRIZ DE
INCIDENCIA

5. C) ES CONEXO?. JUSTIFIQUE SU RESPUESTA.
El grafo es conexo porque para cada par de vértice (V1, V8) el grafo se cumple que
entre V1 y V8 están conectado
d) Es simple?. Justifique su respuesta.
No es simple porque entre los vértices V3 y V4 existen más de una arista y por
teoría los grafos simples no pueden tener entre cada par de vértices distintas más
de una arista..
e) Es Regular? Justifique su respuesta.
No es regular porque es los vértices no hay un mismo número
de aristas y por lo tanto no tienen el mismo grado
f) Es Completo? Justifique su respuesta.
No es completo porque es un grafo simple.

6. G) UNA CADENA SIMPLE NO
ELEMENTAL DE GRADO 6.
Una cadena simple es una secuencia finita alternada de vértices y aristas, sin repetir aristas,
no elemental indica que puede repetirse los vértices. El grado nos indica la cantidad de
aristas que debe contener la cadena, en esta oportunidad son seis (6).
Ejemplo:
{V2,A3,V3,A7,V8,A16,V5,A19,V7,A18,V6}
h) Un ciclo no simple de grado 5.
Ciclo simple es: Es el ciclo que a su vez es una cadenasimple.
Ciclo no simple: Es un ciclo que no es una cadenasimple.
No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del grafo. No hay cadenas no simples de
ningún grado.
Ejemplo {V1,A1,V2,A3,V3,A12,V6,A15,V4,A4,V1}
I) Árbol generador aplicando el algoritmo
constructor.
1er paso: Seleccionar un vértice S1, hacerH1={S1}
2do paso: Seleccionamos una arista a1que tenga un extremo en H1y el otro extremo en un vértice S2
∉H1. Hacer H1 ∪ {S2}
3er paso: Seleccionamos una arista a2 que tenga un extremo en H2, y el otro extremo en un vértice S3

7. Seleccionamos el vértice v1 ⇒ H1={v1}
Seleccionamos la arista a4 ⇒ H2={v1,v4}
A15 ⇒ H3={v1,v4, v5}
A12 ⇒ H4={v1,v4, v5,v3}
A13 ⇒ H5={v1,v4, v5, v3, v6}
A8 ⇒ H6={v1,v4, v5, v3, v6, v2}
A10 ⇒ H7={v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8}
A20 ⇒ H8={v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7}
3er paso: Seleccionamos una arista a2 que tenga un extremo en H2, y el otro extremo
en un vértice S3 ∉H2. Hacer H2 ∪{S3}
v1
v4
a4
v1
v4
v5
v3
v6
v1
v4
v5
v3
v6
v2
v8

8. v1
v4
v3
v6
v2
v8
v5
v7
Por lo tanto se comprueba que en un árbol dos vértices cualesquiera estánunidos
Por un único camino, se demuestra con al poseer árbol generador que es un grafo
conexo, y que G es un árbol entonces el número de aristas es igual al número de
vértices menos 1.
A = {a4, a15, a12, a3, a8, a10,a20}
V = {v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7}
Numero de vértices = 8 - 1 =7
Numero de aristas = 7
j) Subgrafo Parcial.
Un subgrafo parcial se obtiene al conservar todos los nodos o vértices de G yse
suprimen algunas aristas.
Tenemos

9. v1
a2
v3
a3
v2
v4
a15
v5
a17
v6
a19
v7
a20
v8
k) Demostrar si es euleriano aplicando el
de Fleury
Si el grafo es euleriano a partir de un vértice cualquiera de G se puede construir una cadena
simple de manera que no se repitan las aristas y no se elijan aristas de corte a no ser que no
se encuentre otra alternativa, al haber agotado las aristas decimos que tenemos un tour euleriano.
Luego de experimentar en repetidas ocasiones el recorrido del grafo sin repetir aristas, no ha sido
posible encontrar un camino euleriano donde no se repitan aristas, por lo tanto no se cumple que el
Grafo sea Euleriano.

10. I) DEMOSTRAR SI ES HAMILTONIANO
Un grafo es hamiltoniano si contiene un ciclo hamiltoniano, en el cual se debecumplir
que atraviese cada vértice del grafo exactamente unavez.
el ciclo C=[v1, a3, v2, a10, v8, a20, v7, a19, v6, a17, v5, a15, v4, a11,v3, a2, v1]
Notamos que Vo = Vk
v1 a3 v2
a10
v8
a20
v7
a19v6
a17
v5
a15
v4
a11 v3
a2

11. DADO EL SIGUIENTE
DÍGRAFO
a)Encontrar matriz de conexión
b)Es simple?. Justifique su respuesta
c)Encontrar una cadena no simpleno
elemental de grado 5
d)Encontrar un ciclo simple
e)Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de
accesibilidad
f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizandoel
algoritmo de Dijkstra
Ponderación de las aristas
Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
Ponder. 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3

12. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
A) ENCONTRAR MATRIZ DE
CONEXIÓN

13. b) Es simple?. Justifique su respuesta
Se cumple que el Dígrafo es simple, ya que no tiene lazos y no existen arcos paralelos
que partan de un mismo vértice a otro.
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de gra
En las cadenas no simples se pueden repetir los arcos durante el recorrido y que sea no elemental, también
nos permite repetir vértices. El grado 5 nos indica el número de arcos que tendrá nuestra cadena.
T = [v4, 9, v1, 5, v3, 8, v4, 9, v1, 6, v5]
d)Encontrar un ciclo simple
El ciclo simple inicia y termina con el mismo vértice y en ella no se pueden repetir arcos.
C = [v6, 14, v5, 11, v4, 9, v1, 1, v2, 4, v6 ]
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
Para comprobar que un grafo es conexo podemos realizar los siguientes pasos:
1) Hallar la matriz de adyacencia y se eleva a la enésimapotencia.
2) Se calcula la suma de las potencias de A hastaAn.
3) Si todos sus elementos son distintos de cero, el grafo esconexo

14. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0
MATRIZ DE
ADYACENCIA
Ma(D)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 0 1 1 1 1
V2 1 0 0 1 1 1
V3 1 1 0 1 0 1
V4 0 1 1 0 1 0
V5 1 0 1 1 1 1
V6 0 1 0 1 0 1
Elevamos la matriz al cuadrado paraencontrar
los caminos de tamaño dos (02)
M 2
(D)=

15. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 0 1 1
V4 0 1 1 1 1 1
V5 0 1 1 1 1 1
V6 1 0 1 1 0 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 0 1 1 1 1
V3 0 1 1 1 1 1
V4 1 1 0 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
Elevamos la matriz a cuatro para encontrarlos
caminos de tamaño cuatro(04)
M 4
(D)=
Elevamos la matriz al cubo para encontrarlos
caminos de tamaño tres (03)
M 3
(D)=

16. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 0 1 1 1 1
V3 0 1 1 1 1 1
V4 1 1 0 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
Ahora calculamos la Matriz deAccesibilidad
Elevamos la matriz a la cinco para encontrarlos
caminos de tamaño cinco (05)
M 5
(D)=
Acc(D) = bin [I6 + M + M 2+ M 3+ M 4+ M 5]
Acc(D)= bin

17. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 1 1
Luego transformamos la matriz de la manerasiguiente:
a) Componente que sea igual a cero (0), permanece como cero(0)
b) Componente diferente de cero (0), convertirla a1.
Acc(D)= bin
Como la matrizAcc(D) no tiene componentes nula se dice entonces según el colorario 1.2 que el dígrafo
es fuertemente conexo.

18. F) Encontrar la distancia V2 a los de más vértices
UTILIZANDO EL ALGORITMO DE DIJKSTRA
Pasos:
1) Ubicar el vértice de inicio.
2) Luego ubicar los vértices mas cercanos al V2 para estudiarlo, lo que esté directamente aél.
3) Agregar etiquetas a cada vértice estudiado, la misma se realizaasí:
[3,Símbolo de la iteración
o estudio de distancia
Ponderación de la arista
+ lo que precede
Vértice estudiado
4)Luego colocar la ponderación de la arista + la ponderación de la etiqueta anterior que esta directamente
al vértice estudiado.
5)Colocara al lado de la etiqueta el numero de iteración que se esta realizando.
6)Luego se estudian las distancias y se escoge la menor, si hay 2 igual se escoge
cualquiera de la dos.
(1,1)# de la iteración

19. d v2 a v1: 2
d v2 a v3: 3
d v2 a v5: 3
d v2 a v4: 4
d v2 a v6: 3
[2,2](1)
[3,2](1)
[3,2](1)
[0,](0)
Ponderación de las aristas
Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
Ponder 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3