Este documento contiene 26 problemas de álgebra lineal y geometría en Rn relacionados con vectores, rectas, planos y curvas paramétricas. Los problemas incluyen verificar identidades con normas de vectores, determinar ángulos entre vectores, encontrar ecuaciones de rectas y planos, y calcular puntos tangentes y de mínima distancia para curvas dadas paramétricamente. El documento fue emitido por el Laboratorio 01 de Matemática III de la Universidad Nacional Santiago Antunez de Mayolo para el semestre 2006-I.

1. Universidad Nacional
"Santiago Antunez de Mayolo"
Laboratorio 01 de Matematica III
Docente : Lic. Angel Yglesias Jauregui.
Escuela : Ingeniera Civil.
Semestre : 2006-I.
Cuestionario
1. Sean W1 y W2 dos vectores de R3. Veri

2. -
que que:
(a). ∥w1 + w2∥2 = ∥w1∥2 + 2⟨w1;w2⟩ +
∥w2∥2.
(b). ∥w1 w2∥2 = ∥w1∥2 2⟨w1;w2⟩ +
∥w2∥2.
(c). w1 y w2 son ortogonales si y solo s ∥w1+
w2∥ = ∥w1 w2∥.
2. Sea fw1;w2;w3g un conjunto de vectores
unitarios de R3, y ortogonales entre si (se
dice que son ortonormales). Si w = 1w1+
2w2+3w3 es un vector unitario. Pruebe
que las constantes i, i = 1; 2; 3 son los
cosenos de los angulos i formados por w
y wi.
3. Considere el vector u = (1; 2;1). (a) Ob-
tenga dos vectores no nulos de R3 u1, u2,
ortogonales a u y ortogonales entre si. (b)
Sea v un vector ortogonal a u, pruebe que
v se escribe como una combinacion lineal
de los vectores u1, u2, obtenidos en (a).
4. Pruebe que si u, v son dos vectores no
nulos de R3 tal que u v = 0, entonces
u = rv, para algun numero real r no nulo.
5. Sean u1, u2 dos vectores no paralelos de
R3. Si u; u1 = 0 y u; u2 = 0, en-
tonces u = (u1 u2), para algun numero
real .
6. Cada pareja de los vectores u, v, w em
Rn forma un angulo de =3. Si ∥u∥ = 1,
∥v∥ = 2 y ∥w∥ = 3, calcule ∥u + v + w∥.
7. Sean u y v dos vectores no nulos de Rn
tales que ∥u∥ = ∥v∥ = ∥uv∥. Demuestre
que el angulo entre u y v es de =3. Cual
es el angulo entre u y u v?, y entre v y
uv? Discuta el contenido geometrico de
este ejercicio en el caso n = 2.
8. Como calcula usted la distancia de un
punto a una recta?, de un punto a un
plano? discuta varios casos.
9. Suponga que los vectores u, v forman en-
tre si un angulo de =4, demuestre que
u; v = ∥u v∥.
10. Suponga que los vectores u, v forman entre
s un angulo de =6. Si ∥u∥ = 6, ∥v∥ = 5,
calcule ∥u v∥.
11. Encuentre el angulo que forman los planos
P1 : x + y = 1 y P2 : y + z = 2.
12. Determine la normal al plano: (a) cuyas
ecuaciones parametricas son: x = 23t+s,
y = 8t+7s, z = 4+3s. (b) P = f(6; t; s
t)=t; s 2 Rg. (c) el plano que pasa por los
puntos (2;1; 3), (11;13; 6) y (5; 5; 5).
13. Determine la ecuacion del plano, si: (a) Pa-
sa por el punto (1;4; 3) y tiene normal
paralela a la recta que pasa por los puntos
(2;1; 3) y (4; 8; 0). (b) contiene a la recta
L = f(1; 2 + 3t; 2 + t)=t 2 Rg y el punto
(2;3; 8).
14. Encuentre la ecuacion de la recta que: (a)
Pasa por el punto (1; 2; 3) y es ortogonal al
plano f(2; 1;1)+u(1; 1; 1)+v(1; 1; 0)=u; v 2
Rg. (b) pasa por el punto (0; 2;2) y es or-
togonal al plano que pasa por los puntos
(2; 1;1), (3; 1; 0) y (4;6; 2).
15. Determine el punto donde la recta que pa-
sa por (1; 3; 1) es ortogonal al plano P :
3x 2y + 5z = 15, e intercepta a P.
16. Demuestre que los planos P1 = f(2; 0; 4)+
u(1; 7; 3) + v(3; 8; 0)=u; v 2 Rg y P2 =
f(3; 2; 3)+s(4;1; 3)+t(9; 5; 9)=u; v 2 Rg
son paralelos. Encuentre la distancia entre
P1 y P2.
17. Encuentre la ecuacion del plano que con-
tiene a la recta L = f(1; 1; 1)+t(5;2; 3)=t 2
Rg y al punto (1; 2;3).
18. Considere los planos de R3 determinados
por las ecuaciones p p0; u1 = 0 y
p p0; u2 = 0, donde u1, u2 no son
paralelos. Sea u = u1 u2. (a) Veri