Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra y cálculo vectorial. Introduce las magnitudes escalares y vectoriales, y define un vector como un segmento orientado con magnitud, dirección y sentido. Explica cómo representar y sumar vectores, así como el producto de un vector por un escalar. También cubre sistemas de coordenadas cartesianas, componentes de vectores, producto escalar y vectorial entre vectores, y momento de un vector con respecto a un punto.
Álgebra Vectorial
1. Vectores en el plano y en el espacio
1.1. Simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos y tres dimensiones.
1.2. Vector dirigido
1.3. Componentes escalares de un vector dirigido sobre los ejes coordenados en el plano y en el espacio.
1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de números reales.
1.5. Definición de vector de posición
1.6. Módulo de un vector como conjunto ordenado de números reales.
2 Operaciones con vectores
2.1. Igualdad de vectores
2.2. Adición de vectores en dos, tres y n dimensiones
2.3. Sustracción de vectores
2.4. Multiplicación por un escalar
2.5. Propiedades de las operaciones
2.6. Vector nulo y vector unitario
2.7. Distancia entre dos puntos como el módulo de la diferencia de dos vectores
3. Producto escalar de dos vectores
3.1. Vectores unitarios i, j, k
3.2. Forma trinómica de un vector
3.3. Definición de producto escalar
3.4 Ortogonal
3.5. Angulo entre dos vectores
3.6. Definición de componente vectorial y proyección de componente escalar de un vector sobre otro
3.7. Cosenos directores
4. Producto vectorial de dos vectores
4.1. Interpretación geométrica y propiedades
4.2. Definición de paralelismo geométrico y propiedades
4.3. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de un paralelogramo
4.4. Definición de producto mixto
4.5. Calculo de volúmenes mediante el producto mixto.
5. Uso de software matemático como instrumento verificador de resultados y herramienta de visualización en conceptos.
Aplicaciones de espacios y subespacios vectoriales en la carrera de Electróni...MATEOESTEBANCALDERON
Los espacios y sub-espacios vectoriales están aplicados en muchos campos de la vida cotidiana, en ingeniería, es muy útil para todo sin embargo en este trabajo analizaremos su aplicación a un área específica de la ingeniería electrónica y automatización.
Álgebra Vectorial
1. Vectores en el plano y en el espacio
1.1. Simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos y tres dimensiones.
1.2. Vector dirigido
1.3. Componentes escalares de un vector dirigido sobre los ejes coordenados en el plano y en el espacio.
1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de números reales.
1.5. Definición de vector de posición
1.6. Módulo de un vector como conjunto ordenado de números reales.
2 Operaciones con vectores
2.1. Igualdad de vectores
2.2. Adición de vectores en dos, tres y n dimensiones
2.3. Sustracción de vectores
2.4. Multiplicación por un escalar
2.5. Propiedades de las operaciones
2.6. Vector nulo y vector unitario
2.7. Distancia entre dos puntos como el módulo de la diferencia de dos vectores
3. Producto escalar de dos vectores
3.1. Vectores unitarios i, j, k
3.2. Forma trinómica de un vector
3.3. Definición de producto escalar
3.4 Ortogonal
3.5. Angulo entre dos vectores
3.6. Definición de componente vectorial y proyección de componente escalar de un vector sobre otro
3.7. Cosenos directores
4. Producto vectorial de dos vectores
4.1. Interpretación geométrica y propiedades
4.2. Definición de paralelismo geométrico y propiedades
4.3. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de un paralelogramo
4.4. Definición de producto mixto
4.5. Calculo de volúmenes mediante el producto mixto.
5. Uso de software matemático como instrumento verificador de resultados y herramienta de visualización en conceptos.
Aplicaciones de espacios y subespacios vectoriales en la carrera de Electróni...MATEOESTEBANCALDERON
Los espacios y sub-espacios vectoriales están aplicados en muchos campos de la vida cotidiana, en ingeniería, es muy útil para todo sin embargo en este trabajo analizaremos su aplicación a un área específica de la ingeniería electrónica y automatización.
De la Universidad jorge Basadre Grohman, con el aporte del Licenciado Afredo Chacaltana y el Licenciado Luís Alfaro Herrera (Tacna-Perú año 2002). FÍSICA PRINCIPIOS Y APLICACIONES
Today is Pentecost. Who is it that is here in front of you? (Wang Omma.) Jesus Christ and the substantial Holy Spirit, the only Begotten Daughter, Wang Omma, are both here. I am here because of Jesus's hope. Having no recourse but to go to the cross, he promised to return. Christianity began with the apostles, with their resurrection through the Holy Spirit at Pentecost.
Hoy es Pentecostés. ¿Quién es el que está aquí frente a vosotros? (Wang Omma.) Jesucristo y el Espíritu Santo sustancial, la única Hija Unigénita, Wang Omma, están ambos aquí. Estoy aquí por la esperanza de Jesús. No teniendo más remedio que ir a la cruz, prometió regresar. El cristianismo comenzó con los apóstoles, con su resurrección por medio del Espíritu Santo en Pentecostés.
Las capacidades sociomotrices son las que hacen posible que el individuo se pueda desenvolver socialmente de acuerdo a la actuación motriz propias de cada edad evolutiva del individuo; Martha Castañer las clasifica en: Interacción y comunicación, introyección, emoción y expresión, creatividad e imaginación.
PRÁCTICAS PEDAGOGÍA.pdf_Educación Y Sociedad_AnaFernández
Algebra vectorial 5
1. Tema 1
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL
Fundamentos de Física
Facultad de Ciencias del Mar.
2. Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por
un número real y su unidad.
Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.
Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres
números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una
número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un
sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también
llamada vector.
Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Fundamentos de Física. FCM.
A
'A
a
dirección
sentido
módulo
3. Álgebra vectorial1.1.
A
'A
a
dirección
sentido
módulo
Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado
caracterizado por:
• Un origen o punto de aplicación. Punto A.
• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo
es siempre positivo e independiente de la dirección del vector.
• Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.
• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.
a
óa
aa
ó
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
4. Álgebra vectorial1.1.
Suma de vectores.
a
b
c
d
cbad
++=
a
b
c
Regla del polígono
Regla del paralelogramo
bac
+=
a
b
a
b
c
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
5. Álgebra vectorial1.1.
Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos
opuestos.
a
a
−
Diferencia de vectores.
( )bacbac
−+=⇒−=
b
a
a
b
−
c
b
Producto de un vector por un escalar.
a
a
λ
0
1
>
>
λ
λ a
λ
0
1
<
<
λ
λ
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
6. Álgebra vectorial1.1.
Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
000:nuloelementovii)
:vectoresdesumalaarespectoproductodelvadistributivi)
:escalaresdesumalaarespectoproductodelvadistributivi)
:productoelparaasociativav)
es,esto,0/,:sumalaparasimétricoelementoiv)
0:sumalaparaneutroelementoiii)
:sumalaparaaconmutativii)
:sumalaparaasociativai)
==
+=+
+=+
=
−==+=+∃∀
=+
+=+
++=++
a
baba
aaa
aa
ababbaba
aa
abba
cbacba
λ
λλλ
γλγλ
λγγλ
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
7. Álgebra vectorial1.1.
a
a
ua
=
Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección
de será:a
Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un
vector unitario en dicho sentido.
Proyección de un vector sobre un eje.
eu
a
α
( )aPe
( ) αα coscos aaaPe ==
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
8. Álgebra vectorial1.1.
Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto
denominado origen del triedro.
X
Y
Z
pulgar
índice
corazón
Levógiro (mano izquierda)
Y
X
Z
pulgar
corazón
índice
Dextrógiro (mano derecha)
i
j
k
dextrógiro
Triedro cartesiano
kji
,,vectores unitarios:
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
9. Coordenadas cartesianas
Y
X
Z
y
x
z
( )zyxP ,, ( )zrP ,,ϕ
Y
X
Z
ϕ r
z
Coordenadas cilíndricas
( )ϕθρ ,,P
Y
X
Z
ϕ
θ ρ
Coordenadas esféricas
Álgebra vectorial1.1.
Sistemas de coordenadas.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
10. Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
xa
Y
X
Z
a
ya
za
a
Y
X
Z
xα
k
j
yα
zα
i
zyx aaaa
++=
kaa
jaa
iaa
zz
yy
xx
=
=
= ( )
( )
( ) zZz
yYy
xXx
aaPa
aaPa
aaPa
α
α
α
cos
cos
cos
==
==
==
Componentes cartesianas Cosenos directores
aa
aa
aa
zz
yy
xx
/cos
/cos
/cos
=
=
=
α
α
α
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
11. Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
zzyyxx aaaaaa ααα coscoscos ===
kaajaaiaa zzyyxx
===
=++= zyx aaaa
=++ kajaia zyx
( )kjia zyx
ααα coscoscos ++
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
kji
a
a
u zyxa
ααα coscoscos ++==
),,( zyxzyx aaaaaaa =++=
12. Álgebra vectorial1.1.
Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.
kajaiaa zyx
++= kbjbibb zyx
++=
( ) ( ) ( )kbajbaibaba zzyyxx
+++++=+
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
( ) ( ) ( )kbajbaibababa zzyyxx
−+−+−=−+=− )(
13. Producto escalar de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
αcosb
a
α
b
αcosabba =⋅
Propiedades.
( )
( ) ( ) ( )
( ) kaajaaiaauaaP
aaaa
ikkjjikkjjii
bababa
baba
bcacbac
abba
zyxee
⋅=⋅=⋅=⋅=
⋅==
=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅
⊥⇔=⋅≠
⋅=⋅
⋅+⋅=+⋅
⋅=⋅
,,ia,consecuencEn.vii)
vi)
0,1v)
0y0,siiv)
:escalaresarespectoasociativaiii)
:vadistributiii)
:aconmutativi)
λγγλ
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
14. Producto escalar de dos vectores.
a
α
αcosb
b
αcosabba =⋅
Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.
zzyyxx babababa ++=⋅
Ángulo que forman dos vectores.
ab
bababa
ab
ba zzyyxx ++
=
⋅
=
αcos
Álgebra vectorial1.1.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
15. Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
a
b
α
bac
×=
• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
• Módulo dado por
ba
y
ba
sobre
αsenabbac =×=
Propiedades.
( ) ( )
( )
( )
bababa
bcacbac
bababa
cbacba
abba
||0y0,Siv)
:sumalaarespectovodistributiiv)
:escalarunporproductoelparaasociativoiii)
:asociativo-noii)
:ativoanticonmuti)
⇔=×≠
×+×=+×
×=×=×
××≠××
×−=×
λλλ
c
Producto vectorial de dos vectores.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
16. Producto vectorial de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.
( ) ( ) ( )kbabajbabaibaba
bbb
aaa
kji
ba zyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
−+−+−==×
Y
X
Z
a
b
α
bac
×=
• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar
• Módulo dado por
ba
y
ba
sobre
αsenabbac =×=
c
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
17. Producto mixto de tres vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
a
b
α
c
β
ba
×
( ) βα cosabcsenbac =×⋅
Volumen del paralelepípedo
formado por los tres vectores
Propiedades.
( ) ( ) ( )acbbaccba
×⋅=×⋅=×⋅:cíclicai)
Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.
( ) ( ) ( ) ( ) zzyyxyzxxzxyzzy
zyx
zyx
zyx
cbabacbabacbaba
bbb
aaa
ccc
bac −+−+−==×⋅
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
18. Momento de un vector con respecto a un punto.
r
a
αd
OM
O
P
( ) araMO
×=
adarMO == αsen
El momento de un vector con respecto
a un punto no varía al cambiar el punto
de aplicación del vector sobre la recta
soporte.
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
j
a
lími
a
lím
yx
λλ λλ ∆
∆
+
∆
∆
→∆→∆ 00
19. Cálculo vectorial1.2.
Función vectorial con respecto a un escalar.
( )1λa
( )2λa
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
( ) ( ) ( ) ( )kajaiaaa zyx
λλλλ ++==
( ) ( )12 λλ aaa
−=∆ a
∆
( ) ( )λλλ
λλλ
λλ
λλλ
aaa
−∆+=∆⇒
∆+=
=
−=∆
2
1
12
20. Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
( )λa
( )λλ ∆+a
a
∆
λ∆
∆a
λd
ad
λd
ad
λd
ad
λd
ad
( ) ( ) ( )
λ
λλλ
λλ
λ
λλ ∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
aa
lím
a
lím
d
ad
00
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
( ) ( )λλλ aaa
−∆+=∆ ( ) ( )
λ
λλλ
λ ∆
−∆+
=
∆
∆ aaa
21. Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
j
d
da
i
d
da
j
a
lími
a
lím
j
aa
lími
aa
lím
aa
lím
a
lím
d
ad
yxyx
yyxx
λ
λ
λ
λ
λλ
λ
λλλ
λ
λλλ
λ
λλλ
λλ
λ
λλ
λλ
λλ
+=
∆
∆
+
∆
∆
=
=
∆
−∆+
+
∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
→∆→∆
→∆→∆
00
00
00
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
22. Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.
dt
ad
dt
ad
dt
ad
( ) ( ) ( ) ( ) k
dt
tda
j
dt
tda
i
dt
tda
t
a
lím
dt
tad zyx
t
++=
∆
∆
=
→∆ 0
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
( ) ( ) ( ) ( ) k
dt
tda
j
dt
tda
i
dt
tda
t
a
lím
dt
tad zyx
t
++=
∆
∆
=
→∆ 0
23. Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Propiedades.
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
λ
λ
λλ
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
λλ
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λλλ
λ
λλ
d
bd
ab
d
ad
ba
d
d
d
bd
ab
d
ad
ba
d
d
d
df
a
d
ad
faf
d
d
d
λbd
d
λad
λbλa
dλ
d
×+×=×
+=
+=
+=+
:esvectorialfuncionesdosdevectorialproductodelDerivadaiv)
:esvectorialfuncionesdosdeescalarproductodelDerivadaiii)
:escalarunporctorialfunción veunadeproductodelDerivadaii)
:vectoresdesumaladeDerivadai)
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
24. Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
Algunas consecuencias.
( ) ( ) ( )λλλ auaa
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Siiii)
||Siii)
general,Eni)
a
a
aaa
a
a
u
d
ad
d
ud
a
d
ad
ctea
u
d
ad
u
d
da
d
ad
cteu
d
ud
au
d
da
d
ad
⊥⇔=⇒=
⇔=⇒=
+=
→
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
λ
Fundamentos de Física. FCM.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
