Este documento describe diferentes tipos de magnitudes y vectores. Explica que algunas magnitudes solo requieren un número y una unidad, como la temperatura, mientras que otras también necesitan una dirección, como la velocidad. Estas últimas se conocen como magnitudes vectoriales. También describe los elementos de un vector como su módulo, dirección y sentido, y diferentes tipos de vectores como colineales, concurrentes y paralelos. Finalmente, explica conceptos como la suma y multiplicación de vectores.

1. MAGNITUDES VECTORIALES:
Algunasdelas magnitudesqueutilizamospara
describir los fenómenos sólo requieren un
número y una unidad para quedar definidas.
Por ejemplo:
Paraindicar latemperaturadel cuerpohumano
basta con escribir 37 °C.
En este caso, se requiere el número 37 y la
unidad °C; a esta magnitud se le llama
magnitud escalar.
Otras magnitudes no se pueden representar
solamente con un número seguido de una
unidad.
Por ejemplo:
Para indicar la velocidad promedio del tren
eléctrico delimase debeconocer larapidezcon
que se mueve (40km/h), la cual se describe
mediante un número y una unidad, pero
también se necesita la dirección del
movimiento (de sur a norte).
A estas magnitudesquetienen número,unidad
y dirección se les conoce como magnitudes
vectoriales.
DIFERENCIA DE DOS VECTORES:
VECTOR:
Un vector es un segmento dirigido cuya longitud es proporcional al valor
numérico de la medida que representa. Las magnitudes vectoriales se
representan por medio de vectores
Módulo o Magnitud: se refiere a la longitud del segmento, por lo que siempre
va a ser positivo.
Dirección: es la recta directriz sobre la que se apoya el vector. Representa la
inclinación del vector.
Sentido: está determinada por la orientación de la flecha situada al final del
segmento.
OPERACIONES CON VECTORES:
Debemostener presenteque pararealizar operacionescon vectores,estosdeben ser
de lamisma naturaleza.
SUMA DE VECTORES:
I. Para dos vectores con el mismo sentido; la resultante se obtiene
sumando los módulos de los vectores.
II. Para dos vectores con sentidos opuestos; la resultante se obtiene
restando los módulos de los vectores.
III. Para dos vectores perpendiculares; la resultante se obtiene
aplicando el teorema de Pitágoras.
IV. Para dos vectores que forman un ángulo cualquiera, la resultante
se obtiene aplicando el método del paralelogramo.
 Conoce y diferencia entre magnitudes
derivadas y fundamentales.
 Aplicaelprincipio de homogeneidad en la
resolución de problemas.
 Establece si una ecuación es
dimensionalmente homogénea.
Lic. Manuel Manay Fernández

2. MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR
POR UN ESCALAR:
| 𝑨⃗⃗ | = 𝟔 | 𝟐𝑨⃗⃗ | = 𝟏𝟐 | 𝑨⃗⃗
𝟐
| = 𝟑
TIPOS DE VECTORES:
Vectores Coplanares: Son aquellos que se
encuentran contenidos en un mismo plano.
Vectores Colineales: Si se encuentran sobre la
misma línea de acción.
Vectores Concurrentes: Si sus líneas de
acción concurren en un mismo punto.
VectoresParalelos Cuando laslíneasdeacción
son paralelas
Vectores Opuesto: Son iguales en tamaño
(Módulo) pero sentidos opuestos
VectoresIguales: Si sus3 elementossoniguales
(módulo, dirección y sentido).
Vector Nulo: Es aquel que tiene como módulo
al cero. Si 𝑨⃗⃗ es nulo, entonces | 𝑨⃗⃗ | = 𝟎
MÉTODO DEL POLÍGONO:
Nos permite determinar la resultante de varios vectores.
Procedimiento:
 Trasladamos los vectores y los colocamos uno a continuación de otro
(extremo de un vector en el origen del otro vector).
 El vector resultante (𝑹⃗⃗ ) se obtiene uniendo el origen del primer vector
con el extremo del último vector.
Sean los vectores Aplicando el método del polígono:
DESCOMPOSICIÓN RECTÁNGULAR DE UN VECTOR:
Es la representación de un vector en función de otros vectores (llamados
componentes) ubicados sobre dos direcciones mutuamente perpendiculares.
POLÍGONO CERRADO:
Este es un caso en donde el origen del primer vector coincide con el extremo del
último vector.
 Recuerda que el módulo de un vector es siempre positivo.
 Recuerda que los vectores se suman geométrica-mente y no
algebraicamente.
Método parahallar la resultante usando descomposición
Paso 1: Los vectores que se sumarán se disponen
partiendo del origen de coordenadas.
Paso 2: Los vectores inclinados respecto a los ejes se
reemplazan por sus componentes rectangulares.
Paso 3: Se calcula la resultante en el eje X, así como la
resultante parcial en el eje Y, para esto se suman
algebraicamente las componentes en cada eje.
Paso 4: Se calcula finalmenteel módulo y dirección de la
resultante, así:
Lic. Manuel Manay Fernández

3. PRACTICANDO EN CLASE:
Problema 1:
Determina la resultante de los vectores mostrados:
a) 17 b) 11 c) 7 d) 5 e) 1
Problema 2:
Halla CBAR 
Si: 5|C|,3|B|4|A| 
a) 2 b) 6 c) 12 d) 8 e) 4
Problema 3:
Determina:
BA2R  ; si: 5|B|3|A| 
a) 13 b) 8 c) 11 d) 6 e) 5
Problema 4:
Determina la resultante:
a) 13 b) 12 c) 10 d) 5 e) 0
Problema 5:
Si la Rmáx de 2 vectores es 17 y la resultante mínima 7. Hallar
el módulo de dichos vectores.
a) 2 y 5 b) 10 y 7 c) 5 y 12
d) 8 y 9 e) 13 y 4
Problema 6:
En el sistema siguiente, halla : “x”, si la resultante es
horizontal
a) 9 b) 12 c) 18 d) 7 e) 2
Problema 7:
Determinar el vector resultante:
a) d2 b) a c) a2 d) b2 e) c
Problema 8:
Hallar el módulo del vector resultante:
a) 8 b) 15 c) 14 d) 7 e) 2
Problema 9:
Hallar la magnitud de la resultante.
a) 40cm b) 50 c) 55 d) 60 e) 75
Problema 10:
Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados:
a) 10√6 b) 10√19 c) 10√13
d) 10√29 e) 50
Lic. Manuel Manay Fernández

4. PRACTICANDO EN CASA
Problema 1:
Determina la resultante:
a) 20 b) 6 c) 2 d) 8 e) 14
Problema 2:
Halla: CBAR 
Si: 6|C|4|B|7|A| 
a) 5 b) 13 c) 9 d) 3 e) 17
Problema 3:
Determina la resultante:
CB3A2R 
Si : 6|C|3|B|4|A| 
a) 12 b) 17 c) 5 d) 11 e) 7
Problema 4:
La mínima resultante de dos vectores es 3u. Cuando forman
60º entre sí su resultante es 93 . Calcula el valor de los
vectores
a) 12 y 9 b) 8 y 5 c) 7 y 4
d) 6 y 3 e) 3 y 4
Problema 5:
Determinala resultante:
a) 10 b) 8 c) 15 d) 3 e) 4
Problema 6:
Determinar el vector resultante:
a) d3 b) f3 c) a2 d) b2 e) c3
Problema 7:
Calcular la magnitud de la resultante.
a) 1 b) 2 c) √2 d) 2√2 e) 3
Problema 8:
En el sistema de vectores que se muestra se sabe que el
vector resultante del sistema, está ubicado en el eje Y.
Determine el módulo del vector resultante.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Problema 9:
Determinar la medida del ángulo "θ" para que el vector
resultante del conjunto de vectores mostrados sea
horizontal.
A) 30° B) 45° C) 37° D) 60° E) 53°

5. NIVEL II
Problema 1:
Determine | 𝐴̅ + 𝐵̅|.
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
Problema 2:
En la figura se muestran un sistema de vectores.
Determine las relaciones correctas:
A) Solo I B) I y II
C) II y III D) Ninguno
E) Todos
Problema 3:
Dados los vectores mostrados, determine | 𝑃̅ + 𝑄̅|. Se
sabe que P = 5 y Q = 3
a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9
Problema 4:
La resultante de los dos vectores mostrados en la figura es.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
NIVEL III
Problema 5:
Se muestran los vectores 𝐴, 𝐵⃗ , 𝐶 𝑌 𝐷⃗⃗ . Si D = 8 y C = 3,
halle el módulo de la resultante.
a) 14 b) 18 c) 20 d) 24 e) 30
Problema 6:
Si la resultante de los vectores dados se encuentran en el
eje x y la magnitud de A = 10, entonces el módulo de B
es:
a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16
Problema 7:
Determine el módulo del vector resultante:
Problema 8:
En el siguiente sistemade vectores, se pideexpresar x en función de A
y Bm y n son puntos medios de 𝑐𝑛̅̅̅ y 𝑎𝑏̅̅̅ respectivamente. 

8. Indicadores de logro:
 Explica cómo se define una circunferencia, y cuáles son sus
elementos.
 Resuelve problemas, utilizando los teoremas fundamentales.

9. ELEMENTOS
 Centro O: Es el punto interior que equidista
de la circunferencia.
 Radio OA = R: Segmento que va del centro a
cualquier punto de la circunferencia.
 Diámetro BC = 2R: Segmento que pasa por
el centro y cuyos extremos están en la circunferencia.
Es la cuerda máxima, divide a la circunferencia en dos
partes iguales llamadas semicircunferencia.
 Arco AC : Es la parte que esta delimitada por dos puntos de la circunferencia.
 Cuerda PQ : Es un segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.
 Recta Secante L: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
 Recta Tangente L1: Recta que toca a la circunferencia en un solo punto.
 Flecha o Sagita MN : Porción del radio.
 Punto de Tangencia: Punto de intersección entre la recta tangente y la circunferencia.
Teoremas Fundamentales:
Teorema1:Siendo Luna
recta tangentey A el punto
de tangencia se tiene que
L  OA .
Teorema 2: Si se traza dos
cuerdas paralelas AD y BC, los
arcos AB y CD son de igual
medida. Si : AD//BC
Teorema 3:Si un radio es
perpendicular aunacuerda,el
radio pasapor el punto medio de
la cuerday del arco
correspondientealacuerda.
Teorema4:Lossegmentos
tangentes trazadosdesdedeun
punto Bexterior auna
circunferenciason iguales.
Si: OA esradio.
Entonces
Entonces: Si : BCOA 
Entonces: Si: A y C son
puntos de tangencia
Entonces:
Longitud de una circunferencia.
Esa relación numérica entre circunferencia y diámetro fue descubierta
por griegos y babilónicos y se le denomina con la letra griega (pi).
CIRCUNFERENCIA
Es el conjunto delospuntospertenecientesaun
mismo plano quese encuentran alamisma
distanciade un punto fijo llamado centro,ubicado
en el mismo plano
CÍRCULO
Superficie determinada por la unión de una
circunferencia y su región interior
LONGITUD DE LA
CIRCUNFRERENCIA
ÁREA DEL CÍRCULO
OTRAS FIGURAS
CIRCULARES
R R
C
A
Q
L1
R
R
A
L
O
R
CB
A D A
C
B
O
F
C
A
B
PosicionesRelativasde unacircunferenciay
unarecta:
Barras de herramientas

10. Entonces, conociendo el diámetro o el radio podemos calcular la
longitud de la circunferencia.
A través de la historia se ha buscado una aproximación decimal cada vez
más cercana de ese número, manejándose actualmente hasta un millón
de cifras. Comúnmente utilizamos el 3,14 truncando el resto de las cifras
Dibujando unacircunferenciaydeterminando su perímetroy eláreadelcírculo.
 Ingrese al programa, podemos dibujar una circunferencia, de la siguiente manera:
Haciendo clic,en el botón circunferenciadado su centro y uno de sus puntos.
Hacer clic y arrastrar en la hoja de vista gráfica.
Haciendo clic,en el botón circunferenciadado su centro y
radio. Hacemos clicen vista gráfica y escribimos la longitud del radio.
 Ahoracalculamosel perímetro y áreadeunacircunferencia:
 Clic en el botón distanciao longitud (clicen la circunferencia)
 Clic en el botón área(el áreadel circulo).
 Clic en el botón vector entredospuntos(dibujar el radio deA haciaB)
 Luego Clic en el botón distanciao longitud (luego clicen el radio).
Ejercicios Resueltos 1. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula
“n”.
A
P
2n -20
CONSTRUYENDO CIRCUNFERENCIAS CON GEOGEBRA:
PRACTICA CON GEOGEBRA:
 Traza rectas tangentes y secantes a la circunferencia.
 Comprueba los teoremasfundamentales.
 ¿Quése obtieneal dividir lalongitud entreel dobledel radio?

11. Resolución:
por el teorema 4. Las dos rectas tangentes son de igual
longitud:
2n -20 = n + 15
 n = 35
2. Calcular : “x”
Resolución:
Del gráfico
 x = 4 + 5
3. Calcular “OP”, si AB = 6 y r = 5
Resolución:
Aplicamos Teorema de
Pitágoras en del triángulo OPA
41635 22
OP
 OP = 4
4. Calculael ángulo TOA,si AT es tangente.
Resolución:
Por propiedad el radio con latangenteforman un ángulo de90°.
5. Calcular : “x”
Resolución:
Del gráfico:
 x = 5
PRACTICANDO EN CLASE:
1. Identifica: Considera la circunferencia de centro O y
completa la siguiente tabla.
 mTOA =70°
A
20°
O
T
A
20°
O
T
70°5
x
4
O
x
12
O
B
P
A
r
5
x
4
5
4
3
3
O
B
P
A
5
O
7 x
12
7
7
7

12. 2. Determina si las siguientes expresiones son
verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.
a) Las cuerdasquecontienen al centro de la circunferencia
se denominan arcos.
b) El diámetro deunacircunferenciamidela mitad del radio.
c) Todarecta secante a unacircunferenciadeterminados
arcos.
d) Todarecta tangente a unacircunferenciaintersecaal
menosen un punto alacircunferencia.
e) El diámetro deunacircunferenciadeterminadosarcosde
igual medida
3. Se quiere fabricar una tapa cuadrada para
almacenar un CD que tiene 6cm de radio. ¿cuál
debe ser la medida más pequeña de ese lado?
4. Calcula la longitud de cada circunferencia,
sabiendo la medida del radio (r) . Considere  =
3,14
i) r = 4cm ii) r = 0,5cm iii) r = 7/2 cm
5. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula
“x”.
6. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula
“n”.
7. Calcular : “x”
8. Calcular : “x”
9. Calcular “x”, AB // CD
10. Calcular : “x”
11. Si: r = 3; calcula “x”.
A P
B
Or
x
5
x
4
C
A B
D
9
x
4
O
3 x
15
A
B
P
60
6x
A
P
2n -20
n +15
3
9
x

13. 12. Calcular “OP”, si AB = 6 y r = 5
18. Calcular “AB”; si: AP = 5; PC = 4; PD = 8
Sugerencia: reemplazando APPB = CPPD
19. Hallar “PC”, si: AB = 5 y BC = 4
𝑆𝑢𝑔𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝑃𝐶2 = 𝐵𝐶 𝐴𝐶
20. Hallar “PC”, si: AB = 9 y BC = 16
PRACTICANDO EN CASA
1. Vea la posición de los jugadores y responda en su
cuaderno:
i) ¿Cuál de los jugadores, está más cerca a la
pelota, y cual está más lejos?
Màs cerca està Javier
Màs lejos està Juan.
ii) ¿Cuáles de los jugadores está a la misma
distancia del balón?
Luis y Segundo
2. Calcula la longitud de cada circunferencia,
sabiendo la medida del radio (r) .
𝐿 𝑜 = 2(  )(𝑟)
I) r = 9cm 𝐿 𝑜 = 2(3,14)(9) = 56,52𝑐𝑚
ii) r = 1,7 cm 𝐿 𝑜 = 2(3,14)(1,7) = 10,676𝑐𝑚
iii) r = 100 cm 𝐿 𝑜 = 2(3,14)(100) = 628 𝑐𝑚
Considere  = 3,14
3. calcula el radio de cada circunferencia,
sabiendo la medida de la longitud (l) es:
O
B
P
A
r
Autoevaluación:marca con una X
Identificas los elementos de una
circunferencia.
Comparas entre una circunferenciay
círculo.
Utilizas correctamente los teoremas
fundamentales de la circunferencia.
Resuelves ejercicios y problemas,
interpretandolos enunciados

14. 𝑅 =
𝐿 𝑜
2𝜋
i) l = 28,26cm 𝑅 =
28,26
6,28
= 4,5𝑐𝑚
ii) l = 6,28cm 𝑅 =
6,28
6,28
= 1𝑐𝑚
ii) l = 31,4 cm 𝑅 =
31,4
6,28
= 5𝑐𝑚
Considere  = 3,14
4. Resuelve: Una pista de baile circular tiene un
área de 50,24 m2 ¿qué distancia tendría que
recorre una persona que cruza la pista desde un
extremo a otro pasando por el centro de ella?
Considere  = 3,14
Por dato:
𝐴 𝑜 = 𝜋𝑅2
= 50,24𝑐𝑚2
de donde: 𝑅 = 4cm
nos piden el diàmetro: 𝐷 = 2𝑅 = 𝟖cm
5. Calcular : “x”
a) 50
b) 40
c) 30
d) 60
e) 70
6. Calcular : “x”
a) 5
b) 4
c) 3
d) 6
e) 7
7. Calcular : “x”
a) 160
b) 80
c) 100
d) 90
e) 70
8. Calcular “x”
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 10
9. Si: r = 10, OP = 6. Calcular AB
a) 15
b) 7,5
c) 30
d) 16
e) 8
10. Calcular AB, si BC = 3 , r = 8
a) 5
b) 10
c) 6
d) 7
e) 9
11. Calcular : “x”
a) 40
b) 70
c) 50
d) 60
e) 80
12. Calcular : “x”
a) 140
b) 100
140
O
x
15
8
x
C
A B
D
120
x
80
O
x
160
r
O P
B
A
r
A B C
B
A
x P
110
x
70
O

15. c) 110
d) 120
e) 130
13. Calcular : “x”
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
14. Calcular : “BP”
a) 15
b) 12
c) 16
d) 11
e) 14
15. En la figura, calcular x - y, si: AB = 20, BC = 18
a) 2
b) 3
c) 4
d) 7
e) 10
16. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula “n”.
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
17. Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula “x”.
a) 3 b) 6 c) 8
d) 9 e) 12
18. En la figura, calcular x , si: y = 8, AB = 12
a) 2
b) 3
c) 4
d) 7
e) 8
19. Calcular “AB”; si: AP = 3; PC = 2; PD = 6
Sugerencia: reemplazando APPB = CPPD
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
20. Hallar “PC”, si: AB = 7 y BC = 9
Sugerencia: PC2 = BCAC
a) 9 b) 12 c) 15
d) 16 e) 63
O
x
6
15
A
B
P
8
9
A
B
P
3n -22
n +8
A
B
P
X2 - 2
7

16. Metacognición:
 ¿En cuál de los temastuve mayordificultad.¿Por qué?
 ___________________________________________
 ¿Qué tiposde ejercicioso problemasteresultan difíciles
de entender?
 ___________________________________________
 ¿En qué situacionesde mientorno aplicaré lo aprendido?
 ___________________________________________
 ¿Qué estrategiasutilicé parasuperar misdificultades?
 ___________________________________________