Sesion 2 analisis de decision valor esperado imformacion perfecta

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Profesor Jorge A Huarachi Chávez PhD.
j.huarachi@usat.edu.pe
markaslayku9@Gmail.com
Curso Herramientas para la
toma de decisiones
Sesión II

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Contenido de la Sesión
2
• 1.2 Modelos de decisión bajo riesgo
(probabilidades)
• Criterio del Valor Monetario Esperado (VME)
• Valor monetario esperado/ Pérdida de la
oportunidad esperada/ Valor esperado de la
información perfecta. Caso práctico.
• Toma de Decisiones con probabilidades: Valor
esperado de la información perfecta. Caso
práctico.
• Análisis de Sensibilidad usando Excel

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3
Variables aleatorias
Se dice que una variables es aleatoria cuando no se sabe
con certeza el valor que tomará, sino solo los valores que
puede tomar (o rango de valores en los que se puede
mover) y la probabilidad de que tome esos valores (o la
probabilidad de que tome un valor en un intervalo
definido).
Hay dos tipos de variables aleatorias: Discretas y Continuas
Se dice que una variable aleatoria es discreta cuando el
número de valores que puede tomar es finito.
Se dice que una variable aleatoria es continua, cuando esa
variable puede tomar un número infinito de valores.

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Una variable aleatoria es una descripción numérica de la
resultado de un experimento.
Una variable aleatoria discreta puede suponer que una
número finito de valores
Una variable aleatoria continua puede asumir cualquier
valor numérico o una secuencia infinita deValores en un
intervalo o colección de
Intervalos.

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Pregunta
Variable Aleatoria x
Tipo
Familia
Tamaño
x - Número de dependientes en
familia reportada en la declaración
de impuestos
Discreta
Distancia desde
casa hasta la tienda
x - Distancia en millas desde
hogar del sitio de la tienda
Continua
Perro propio
o gato
x - 1 si no posee ninguna mascota;
• 2 si solo son perros propios;
3 si solo son propios los gatos;
4 si es(n) propio(s) perro(s) y(s) gato(s)
Discreta
 Ejemplos de variables aleatorias


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6
Ejemplo (1):
x: nota obtenida en una determinado asignatura
La variable x tomará cualquier valor en el rango [0,10], puede tomar
un número infinito de valores.
Ejemplo (2):
x: ingreso anual per cápita en miles de euros en una
determinada población.
En un intervalo de números positivos, podría ser este: [mínimo
salario, infinito), esta variable puede tomar un número infinito de
valores.
(3) Multitud de variables económicas son continúas:
La inflación, los rendimientos de activos en bolsa, los cambios en
los tipos de interés, el duración de un determinado proceso
de producción, el valor de las ventas, .........
Ejemplos de variables aleatorias continuas

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7
Distribución de probabilidad.
Variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito de valores.
Al conjunto de valores que puede tomar una determinada variable aleatoria y
sus respectivas probabilidades se le denomina distribución de
probabilidad.
En el ejemplo (1), la distribución de probabilidad es la siguiente
Valores
posibles
Probabilidad
0 1/16 = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) Prob. Suceso 1(S1)
1 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S1, S2, S3, S4
2 6/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+... Prob. S6, S7, S8, S9, S10, S11
3 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S12, S13, S14, S15
4 1/16 = (1/16) Prob. Suceso 16(S16)

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8
La distribución de probabilidad de una variable nos permite conocer la
probabilidad asignada a los distintos valores que puede tomar una variable.
Además, la distribución de probabilidad nos permite conocer la probabilidad
de que una variable sea inferior a un determinado valor, o, que tome
valores en un determinado intervalo.
En el ejemplo (1), podemos conocer la probabilidad de que la variable x tome
un valor menor o igual que 3, , o la probabilidad de que teme un
valor entre 2 y 4, .
x
p(
)
3
( 
x
P
)
4
2
( 
 x
P
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
0
(
)
3
( 







 x
P
x
P
x
P
x
P
x
P
16
15
16
4
16
6
16
4
16
1
)
3
( 





x
P
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
4
2
( 






 x
P
x
P
x
P
x
P
16
11
16
1
16
4
16
6
)
4
2
( 




 x
P

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9
Momentos de la distribución de Probabilidad
• Esperanza Matemática ( media, o valor esperado)
• Varianza
• Desviación típica
• Coeficiente de variación
Esperanza matemática (E(x))
La esperanza matemática de una variable discreta, es una media ponderada
de los valores que puede tomar esa variable utilizando como coeficientes de
ponderación sus probabilidades.
Sea x una variable aleatoria discreta que toma los siguientes valores:
{ } y sus probabilidades son { }
La Esperanza matemática se calcula como:
n
n p
x
p
x
p
x
p
x
x
E 



 ...
)
( 3
3
2
2
1
1
n
x
x
x
x ,..
,
, 3
2
1 n
p
p
p
p ,..
,
, 3
2
1

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10
El valor esperado de una variable, es el valor alrededor del cuál la variable
toma distintos valores.. Se pude decir, que es el valor de referencia que
señala donde se encuentra centrada la distribución.
Ejemplo (3)
Sean x e y dos variables aleatorias cuyas distribuciones de probabilidad vienen
dadas en las tablas 1 y 2 respectivamente.
Valores
posibles
Probabilidad
3 3/10
4 4/10
5 3/10
Tabla 1
Valores
posibles
Probabilidad
2 3/10
3 2/10
4 1/10
5 2/10
6 2/10
Tabla 2

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11
Con los datos del ejemplo 3, calcular
1. La esperanza matemática de x e y
Esperanza matemática de x e y
4
)
10
/
5
(
5
)
10
/
4
(
4
)
10
/
3
(
3
)
( 






x
E
8
.
3
)
10
/
2
(
6
)
10
/
2
(
5
)
10
/
1
(
4
)
10
/
2
(
3
)
10
/
3
(
2
)
( 










y
E

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EJEMPLO DISPOSITIVOS JCL
• Variable aleatoria discreta con un número finito de
valores
• Sea X= numero de TVs vendidas en una tienda en un dia
donde X puede tomar 5 valores {0, 1, 2, 3, 4}
12

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Deje que x = número de clientes que llegan en un día,
donde x puede asumir los valores 0, 1, 2, . . .
Ejemplo: Dispositivos JSL
 Variable aleatoria discreta con una secuencia infinita
de valores

Podemos contar los clientes que llegan, pero no hay
límite superior finito en el número que podría llegar.

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Variables aleatorias continuas
 Algunos ejemplos de variables aleatorias continuas
son los siguientes:
 El número de onzas de sopa colocada en una lata
etiquetada "8 onzas"
 El tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a
Nueva York
 La vida útil del tubo de imagen en un nuevo televisor
 La profundidad de perforación necesaria para
alcanzar el petróleo en una operación de perforación
en alta mar


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Distribuciones de probabilidad continua
• Una variable aleatoria continua puede asumir
cualquier valor en un intervalo en la línea real o en una
colección de intervalos.
• No es posible hablar de la probabilidad de que la
variable aleatoria asuma un valor determinado.
• En su lugar, hablamos de la probabilidad de que la
variable aleatoria asuma un valor dentro de un
intervalo dado.
•

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Distribuciones de probabilidad continua
 La probabilidad de que la variable aleatoria asuma
un valor dentro de un intervalo dado de x1 a x2 se
define como el área bajo el gráfico de la función de
densidad de probabilidad entre x1 y x2.

f (x)
x
Uniforme
x1 x2
x
f (x)
Normal
x1 x2
x1 x2
Exponencial
x
f (x)
x1
x2

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Distribución de probabilidad normal
• La distribución de probabilidad normal es la
distribución más importante para describir una variable
aleatoria continua.
• Es ampliamente utilizado en la inferencia estadística.

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Alturas
de la gente
 Se ha utilizado en una amplia variedad de
aplicaciones:

Medidas
Científicas
Pruebas
Calificaciones
Cantidades
de lluvia

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Ejemplo: DiCarlo Motors, Inc.
 La distribución de probabilidad proporciona la
siguiente información.
 Hay una probabilidad de 0.18 de que no se vendan
coches durante un día.
 El volumen de ventas más probable es 1, con f(1) a
0,39.
 Hay una probabilidad de 0,05 de un día de ventas
excepcional con cuatro o cinco coches que se venden.


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Distribución de probabilidad uniforme discreta
La distribución de probabilidad uniforme discreta es
el ejemplo más simple de una probabilidad discreta
distribución dada por una fórmula.
La función de probabilidad uniforme discreta es
f(x) = 1/n
Dónde:
n = el número de valores al azar
variable puede asumir
los valores de la
variable aleatoria
son igualmente
probables

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Varianza de x
• El valor esperado proporciona una idea del valor
medio o central para la variable aleatoria, pero con
frecuencia queremos una medida de la dispersión, o
variabilidad, de los valores posibles de esta variable.
 = Media
 2 = Varianza
Dónde:
Var(x) = 𝜎2=√∑(x-µ)2 f (x)
f (x) = Funcion de X

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Desviación Estándar de X
22
D.S (x) = 𝜎 =√∑(x-µ)2 f (x)
• En este punto nuestra interpretación de la varianza y
la desviación estándar se limita a comparaciones de la
variabilidad de diferentes variables aleatorias. Para el
ejemplo podemos concluir que la cantidad de
automóviles vendidos por día (x) donde 𝝈𝟐 =1.25 y
𝝈 =1.118. automóviles vendidos por día

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Calculo de la Varianza para el ejemplo DiCarlo Motors
Inc.
23

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• Función de densidad de probabilidad normal
•
2 2
( ) /2
1
( )
2
x
f x e  
 
 

 = Media
 = desviacion estandar
 = 3.14159
e = 2.71828
Dónde:

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Las probabilidades para la variable aleatoria normal
son dadas por áreas bajo la curva. El área total bajo
la curva es 1 (.5 a la izquierda de la media y 0.5 a la
derecha).
 Características

.5 .5
x

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 Características

de los valores de una variable aleatoria normal
están dentro de su media.
68.26%
+/- 1 desviación estándar
95.44%
+/- 2 desviaciones estándar
99.72%
+/- 3 desviaciones estandar

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Toma de Decisiones con probabilidades:
Criterio del valor monetario esperado (VME)
• Supongamos que una persona que tiene que tomar una decision
tiene K acciones posibles, ai’ a2 , ... , aK y se enfrenta a H estados
de la naturaleza. Sea Mr el rendimiento correspondiente a la i-esima
accion y el j -esimo estado y P la probabilidad de que ocurra el j-
esimo estado de la H J naturaleza, cumpliéndose que I Pj = 1. EI
valor monetario esperado de la acci6n ai'
• VME(a), es
• EI criterio del valor monetario esperado adopta la accion que tiene el
mayor valor monetario esperado; es decir, dada una eleccion entre
acciones alternativas, el criterio del VME dicta la eleccion de la
accion cuyo VME es mayor
27

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Toma de decisiones con probabilidades
• Enfoque de valor esperado
- Si se dispone de información probabilística sobre
los estados de la naturaleza, se puede utilizar el
enfoque del valor esperado (EV).
- Aquí se calcula la rentabilidad prevista para cada
decisión sumando los productos de la recompensa en
cada estado de la naturaleza y la probabilidad de que
se produzca el estado respectivo de la naturaleza.
- Se elige la decisión de obtener el mejor rendimiento
esperado.

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• El valor esperado de una alternativa de decisión es la
suma de los pagos ponderados para la alternativa de
decisión.
• El valor esperado (EV) de la alternativa de decisión di
se define como:
•
donde: N = el número de estados de la naturaleza
P(sj ) = la probabilidad de estado de la
naturaleza
Vij = la recompensa correspondiente a la
decisión alternativa di y estado de la naturaleza sj
Valor esperado de una alternativa de decisión
EV( ) ( )
d P s V
i j ij
j
N



1
EV( ) ( )
d P s V
i j ij
j
N



1

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Valor esperado para cada decisión
Elija la alternativa de decisión con el EV más
grande. Construir el gran complejo.
3
d1
d2
d3
EMV = .8(8 mil) + .2(7 mil) = $7.8 mil
EMV = .8(14 mil) + .2(5 mil) = $12.2 mil
EMV = .8(20 mil) + .2(-9 mil) = $14.2 mil
Small
Medium
Grande
2
1
4

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Ejemplo 2 Calculo de la major alternativa de decision
teniendo en cuenta las ´probabilidades de los estados de
la naturaleza
35

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Ejemplo 2: Un árbol de decisión – Entrada de datos
tabular
• La estructura general de los árboles de decisión viene
dada por el número de ramales o el número de nodos en
el árbol. El número de ramales es siempre uno menos
que el número de nodos.
• Cada nodo tiene siempre una rama que va exactamente
en ella misma. El número de ramales que salen de
cualquier nodo puede ser 0, 1, 2, etc. Los nodos son de
tres tipos. Hay nodos de decisión, nodos de oportunidad,
y nodos finales.
• Normalmente, los nodos de decisión están
representados por rectángulos, y los nodos de
oportunidad están representados por círculos.
38

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39
Por convenio, a los nudos decisionales se les representa por cuadrados en
tanto que a los aleatorios se les representa con círculos.
Cada nudo tiene un valor asociado:
- El valor asociado a un nudo aleatorio es la esperanza matemática de los
valores situados al final de las ramas que parten de él.
- El valor asociado a un nudo decisional es el mejor de los valores en el que
tiene destino las ramas que parten de él.
La revisión de probabilidades mediante el análisis bayesiano resulta
particularmente útil en los árboles de decisión. En muchas ocasiones la
información a priori de la que se dispone resulta insuficiente para tomar
una decisión, y el decisor se plantea la posibilidad de incorporar más
información.
Para revisar las probabilidades hay que utilizar el teorema de Bayes y trabajar
con probabilidades a posteriori.

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Ejemplo 2:
• El siguiente ejemplo está dado por un típico diagrama de
árbol de decisión. La figura cuenta con 12 ramales. Las
utilidades están a la derecha de la terminación del nodo.
Observe que hay un costo de $ 100 (investigación de
mercado) en el centro de selección de un determinado
ramal.
40

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Ejercicios 2
• Para poder utilizar el módulo de árbol de decisión, dos
cosas deben ocurrir. En primer lugar, los nodos deben
añadirse a la derecha de la terminación del ramal.
• En segundo lugar, los nodos deben estar numerados. La
siguiente figura muestra la adición de nodos y el hecho
de que a todos los nodos se les han dado números. La
forma más conveniente para la numeración de los nodos
es de izquierda a derecha y de arriba a abajo.
41

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Árbol de Decision
42

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Ejemplo 5 Archivo POM:
• Start and end node (Nodo de inicio y nodo final). Las ramas se
caracterizan por tener un nodo de inicio y un nodo final. Otra rama
denominada "Inicio" aparece con el fin de representar el resultado
final. Los valores de los nodos se muestran en la columna de la
derecha. En este ejemplo, el valor del árbol de decisiones es de $
465.
• Branching probabilities (Probabilidades de ramificación). Estas se
producen en la columna 4 y representan la probabilidad de ir desde
el nodo de inicio de la rama hasta el nodo final. Las probabilidades
individuales de un ramal de oportunidad deben sumar 1.
• Profits or costs (Utilidades o costos). La utilidad (o costo) se indicará
al término de cada nodo final. Además, es posible introducir la
utilidad o costo de cualquier rama. Por ejemplo, observe que en la
rama 10 (nodo 6 al nodo 11) se ha ingresado un costo de $ 100
dólares colocando -100 (menos 100) en esa celda.
45

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Solución del árbol de decisiones
• Branch use (Uso de ramales). Para aquellos ramales que son
ramales de decisión y que siempre deben ser elegidos, un "Always"
aparece en la pantalla. En el ejemplo, elija (nodo 1 – nodo 3) en
lugar de (nodo 1 - nodo 2). Para aquellos ramales que son elegidos
si queremos llegar, un "Possibly‖ aparece en la pantalla. Por
ejemplo, si se obtiene el nodo 6, seleccionar (nodo 6 - nodo 9) en
lugar de (nodo 6 - nodo 8). Sin embargo, no hay garantía de que
llegará al nodo 6 debido a la naturaleza probabilística del árbol de
decisiones. El último tipo de ramal es uno de los que deben ser
seleccionados si llega allí, pero no debemos llegar. Estos son
marcados como un "Backwards" (hacia atrás). Mire la rama 7 (nodo
4 al nodo 8). Si se llega al nodo 8, debe usar este ramal. Sin
embargo, dado que del nodo 1 al nodo 3 han sido seleccionados al
principio, no debe terminar en el nodo 4.
46

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Solución del árbol de decisiones
• Ending node (Nodo final). El nodo final se repite para la salida más
fácil de leer.
• Ending node type (Tipo de nodo de finalización). Para poner fin a
cada nodo, el programa lo identifica como un nodo final, un nodo de
decisión, o un nodo de oportunidad.
• Expected value (Valor esperado). El valor esperado para cada nodo
es listado. Para los nodos finales, el valor esperado es idéntico al de
la entrada. Para los nodos de oportunidad, el valor esperado es la
combinación ponderada de los valores de los nodos que siguen.
Para los nodos de decisión, el valor esperado es el mejor valor
disponible a partir de ese ramal. Ambos nodos de oportunidad y
nodos de decisión no tendrán ningún costo sustraído de los valores
de nodo. Por ejemplo, el valor del nodo 11 es $ 550. Sin embargo, el
valor del nodo 6 es de $ 450 por el costo de $ 100 dólares al pasar
del nodo 6 al nodo 9.
47

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• Uno de los modelos permite el
ingreso de árboles de decisión
gráficamente en vez de en forma
de tabla como se hizo
anteriormente. Este modelo puede
ser usado para examinar el mismo
ejemplo que acaba de finalizar.
• Después de seleccionar el modelo,
la interfaz se visualiza de la
siguiente manera. Este es el único
modelo en el programa que posee
una interfaz de entrada que no es
la habitual interfaz de tabla de
datos
48
Interfaz gráfica de usuario

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Un árbol de decisiones - Interfaz gráfica de usuario
49

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Interfaz gráfica de usuario
50

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Introducción de datos de pago con las probabilidades
51

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53
Solución EMV 14.2

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Toma de decisiones con probabilidades
• Enfoque de Valor Monetario Esperado VME
- Si se dispone de información probabilística sobre
los estados de la naturaleza, se puede utilizar el
enfoque del Valor Monetario Esperado (VME).
- Aquí se calcula la rentabilidad prevista para cada
decisión sumando los productos de la recompensa en
cada estado de la naturaleza y la probabilidad de que
se produzca el estado respectivo de la naturaleza.
- Se elige la decisión de obtener el mejor rendimiento
esperado.

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• El valor esperado de una alternativa de decisión es la
suma de los pagos ponderados para la alternativa de
decisión.
• El valor esperado (VME) de la alternativa de decisión
di se define como:
•
donde: N = el número de estados de la naturaleza
P(sj ) = la probabilidad de estado de la
naturaleza
Vij = la recompensa correspondiente a la
decisión alternativa di y estado de la naturaleza sj
Valor esperado de una alternativa de decisión

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EJEMPLO 4 Constructor de Conglomerados
56

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DATOS INICIALES DEL ARBOL DE DECISIONES
1
.8
.2
.8
.2
.8
.2
d1
d2
d3
s1
s1
s1
s2
s2
s2
Payoffs
$8 mil
$7 mil
$14 mil
$5 mil
$20 mil
-$9 mil
2
3
4

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Valor Monetario esperado para cada decisión
Elija la alternativa de decisión con el EV más
grande. Construir el gran complejo.
3
d1
d2
d3
EMV = .8(8 mill) + .2(7 mill) = $7.8 mill
EMV = .8(14 mill) + .2(5 mill) = $12.2 mill
EMV = .8(20 mill) + .2(-9 mill) = $14.2 mill
Pequeño
Medio
 Grande
2
1
4

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Valor esperado de la información perfecta
• Con frecuencia se dispone de información que puede
mejorar las estimaciones de probabilidad para los
estados de naturaleza.
• El valor esperado de la información perfecta (EVPI)
es el aumento en la ganancia esperada que
resultaría si uno supiera con certeza qué estado de
naturaleza ocurriría.
• El EVPI proporciona un límite superior en el valor
esperado de cualquier información de muestra o
encuesta.

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• Cálculo de EVPI
• Paso 1:
• Determinar el rendimiento óptimo correspondiente a
cada estado de naturaleza.
• Paso 2:
Calcular el valor esperado de estos rendimientos
óptimos.
• Paso 3:
Reste el EV de la decisión óptima de la cantidad
determinada en el paso (2).

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 Valor esperado con información perfecta (EVwPI)

 Valor esperado sin información perfecta (EVwoPI)

 Valor esperado de la información perfecta (EVPI)

EVwPI = .8(20 mil) + .2(7 mil) = $17.4 mil
EVwoPI = .8(20 mil) + .2(-9 mil) = $14.2 mil
EVPI = |EVwPI – EVwoPI| = |17.4 – 14.2| = $3.2 mil

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62
• Es importante identificar el tipo de variable que intervienen en
la toma de decisiones distinguiendo las variables continuas y
discretas.
• Estas variables generan unos valores muestrales que adoptan
determinados tipos de distribución que describen los valores y
sus probabilidades existiendo distribución continuas
uniformes, Normal y Exponencial
• Cuando la toma de decisiones además de los estados de la
naturaleza cuenta con probabilidades la mejor decisión se
obtene aplicando el Valor Esperado EV.
• Es importante conocer la sensibilidad de la solución cuando las
entradas a la toma de decisiones se modifican en términos de
los valores de pagos y las probabilidades
Conclusiones

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63
• Anderson, D., Sweeney, D., & Williams, T. (2011). Métodos
cuantitativos para los negocios. México: Cengage Learning
Editores.
• Eppen, G., Gould, F., Schmidt, C., Moore, J., & Weatherford, L.
(2000). Investigación de operaciones en la ciencia
administrativa (Quinta Edición ed.). México: Prentice-Hall.
• Howard J. Weiss (2005) POM - QM FOR WINDOWS Versión 3
Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey,
07458.
Referencia : Autores de libros

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64
• Revisar el Cap. VI del Manual
POM-QM análisis de Decisión
con información perfecta con
probabilidades Ejemplo 1
Toma de decisión
• Resolver Ejercicios de Tarea II
Actividades para la siguiente sesión:

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REVISAR ESTE MATERIAL
• Revisar el link -
https://www.youtube.com/watch?v=vdOEDS22vXY
Como calcular el Punto de Equilibrio usando Excel
• Revisar el link
https://www.youtube.com/watch?v=33vWT3qoiZ4
Para calcular el punto de equilibrio usando POM-QM w
• Revisar el Link para usar el programa POM-QM para la
toma de decisiones bajo incertidumbre
https://www.youtube.com/watch?v=O0dVnM3PdbM
65

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