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Tema I. Matrices
Las matrices son tablas de números ordenados en filas y columnas. Se pueden clasificar como matrices fila, columna, nula, cuadrada, triangular superior e inferior, diagonal, unidad. Las operaciones con matrices incluyen suma, resta, multiplicación por escalar, producto, potenciación, traspuesta. Matrices especiales son periódicas, idempotentes, nilpotentes e involutivas.
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- 1. MATRICES MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIASNATURALES DE MATRICES CUADRADAS
- 2. MATRIZ Toda distribución de elementos dispuestos en m filas y n columnas Las matrices con letras mayúsculas A, B, C,… y con minúsculas los elementos. Dado que los elementos están ordenados en filas y columnas, al elemento que en una matriz ocupa el lugar de la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denotará por aij. Es decir, con el primer subíndice i se indica la fila en la que está el elemento y con el segundo subíndice j , la columna.
- 3. Dos matrices delmismo orden y se dicen iguales si: Matriz fila: Matriz columna: Matriz nula: todos sus elementos son 0. Matriz opuesta de A Matriz cuadrada de orden n Mismo número de filas que de columnas diagonal principal
- 4. Matrices Cuadradas Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Ceros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principal Matriz diagonal Matriz unidad Ceros fuera de la diagonal principal, Ceros fuera de la diagonal principal unos en la diagonal principal
- 5. SUMA DE MATRICES Sean , A y B tienen que tener el mismo orden PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ Sean ,
- 6. PRODUCTO DE MATRICES Si es una matriz y es una matriz , se define la matriz producto , en este orden, como la matriz tal que: fila i de A columna j de B
- 7. NOTA.- Dos matricesse pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Ejemplo Propiedades del producto de matrices El producto de matrices no es necesariamente conmutativo se puede hacer este producto, pero no se puede hacer es una matriz es una matriz
- 8. OBSERVACIONES 1.- El productode matrices no es necesariamente conmutativo. 2.- Puede ser con y . 3.- 4.- no implica necesariamente TRASPUESTA DE UNA MATRIZ Cambiar filas por columnas PROPIEDADES
- 9. Las matrices cuadradassimétricas y antisimétricas se pueden caracterizar utilizando la relación que tienen con sus traspuestas. Sólo para matrices cuadradas A simétrica si y sólo si , es decir: A antisimétrica si y sólo si , es decir: son los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica? Sólo para matrices Cuadradas A periódica si . Si p es el menor número natural que satisface , entonces decimos que A es una matriz periódica de período p. A idempotente si . A nilpotente si . Si p es el menor número natural que satisface , decimos que A es una matriz nilpotente de índice p. A involutiva si .
- 10. Matriz fila Matriz columna Matriz nula Matriz cuadrada Matriz triangular superior MATRIZ Matriz triangular inferior Matriz diagonal Matriz escalar Matriz unidad Matrices Especiales Matriz periódica Matriz idempotente Matriz nilpotente Operaciones Matriz involutiva Igualdad Matriz simétrica Suma/Resta Matriz antisimétrica Multiplicación por un escalar Producto Potenciación entera Trasposición Determinante Inversa