Tema IIb - Sistemas de Control I vd vest.pptx

Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Sistemas de Control I
Modelamiento
Jean Carlos Malca Fernández
jmalcaf@unmsm.edu.pe

31/05/2022
2
Modelamiento Sistemas
Mecánicos
2

Sistemas Mecánicos
3
• Un sistema mecánico es aquel formado por cuerpos que varían su
posición ante la acción de una serie de fuerzas.
• Cada elemento que forma un sistema mecánico se modelará por una
serie de ecuaciones que determinan el movimiento descrito por el
cuerpo en función de las fuerzas que actúan sobre él. Las ecuaciones
de balance surgen de la aplicación de las leyes de Newton sobre cada
uno de los elementos.
• Dos tipos:
• Sistemas mecánicos traslacionales
• Sistemas mecánicos rotacionales.

Sistemas mecánicos traslacionales
4
• Sistema en el que el movimiento de los cuerpo que los
forman se reduce a traslaciones en una misma dirección. Por
lo tanto sus movimientos describen trayectorias rectas .
• Elementos más comunes : Masa móvil, Resorte o muelle y
Amortiguador.
• Para modelar el sistema hay que aplicar las Leyes de Newton.
La segunda Ley de Newton:
෍ 𝐹𝑖 = 𝑚𝑎
𝑖

• Masa móvil
• Resorte o muelle
• Amortiguador
𝑑𝑣 𝑑2𝑥
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑𝑡
= m
𝑑𝑡2
𝐹 = 𝐾𝑥
5
𝐹 = 𝑏𝑣 = 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡

• Ejemplo 1. Para el sistema masa-resorte amortiguador de la figura,
obtenga la función de transferencia que exprese la relación de
desplazamiento de x(t) ante la aplicación de una fuerza F(t)
X(t)
6

• Ejemplo 1.
• Suponemos que al aplicar una fuerza F(t) el sistema se desplaza x(t) a
la derecha.
• Tanto el resorte como el amortiguador se estirarán x(t)
X(t)
7

• Ejemplo 1.
• Si hacemos un análisis de fuerzas
X(t)
8
𝑓𝐾
𝑓𝐾
𝑓𝑏
𝑓𝑏

• Ejemplo 1.
• Aplicamos la 2da ley de Newton
X(t)
𝑓𝐾
𝑓𝑏
𝑖
𝐹 − 𝑓𝑘 − 𝑓𝑏 = 𝑚𝑎
𝑑𝑥 𝑑2𝑥
𝐹 − 𝑘(𝑥) − 𝑏
𝑑𝑡
= 𝑚
𝑑𝑡2
𝐹 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
9
+ 𝑘𝑥

• Ejemplo 1.
• Ecuación dinámica :
X(t)
𝑓𝐾
𝑓𝑏
𝐹 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥
• Aplicamos la transformada de Laplace
𝐹 𝑠 = 𝑚𝑠2𝑋 𝑠 + 𝑏𝑠𝑋 𝑠 + 𝑘𝑥(𝑠)
• Hallando la función de transferencia H(s)
𝑋(𝑠) 1
𝐻 𝑠 = =
𝐹(𝑠) 𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘
10

• Ejemplo 2. Hay 2 cuerpos conectados por un resorte, con un fuerza
externa F(t) aplicada al cuerpo de la izquierda tal como se muestra en
la figura. Obtenga la función de transferencia que exprese la relación
de desplazamiento de 𝑋1(𝑡) , 𝑋2(𝑡) ante la aplicación de una fuerza
F(t)
𝑋1(𝑡)
11
𝑋2(𝑡)

• Ejemplo 2. Suponemos que la aplicación dela
desplazamiento a la derecha.
• El amortiguador b1 se estirará X1
fuerza externa F(t) crea un
• El resorte K , se comprimirá (X1-X2) suponiendo un 𝑋1(𝑡) > 𝑋2(𝑡)
• El amortiguador b2 se contraerá (X2)
𝑋1(𝑡)
12
𝑋2(𝑡)

• Ejemplo 2.
• Realizando un diagrama de fuerzas.
𝑋1(𝑡)
𝑓𝐾
𝑓𝐾
𝑓𝑏
13
1
𝑓𝑏1
𝑋2(𝑡)
𝑓𝑏2 𝑓𝑏2

• Ejemplo 2.
• Analizando para m1.
𝑋1(𝑡)
𝑓𝐾
𝑓𝑏1
𝑖
𝐹 − 𝑓𝑘 − 𝑓𝑏1 = 𝑚1𝑎
𝑖
෍ 𝐹 = 𝑚𝑎
𝑑𝑥1
𝐹 − 𝑘(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑏
𝑑𝑡
= 𝑚1
𝑑2𝑥1
𝑑𝑡2
𝑑2𝑥1 𝑑𝑥1
𝐹 = 𝑚1
𝑑𝑡2 + 𝑏
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2
14

• Ejemplo 2.
• Analizando para m2 .
𝑖
𝑓𝑘 − 𝑓𝑏2 = 𝑚2𝑎
𝑑𝑥2
𝑘(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑏
𝑑𝑡
= 𝑚2
𝑑2𝑥2
𝑑𝑡2
0 = 𝑚2
𝑑𝑡2 + 𝑏
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1
𝑋2(𝑡)
𝑓𝐾
𝑓𝑏2
15

• Ejemplo 2.
• Ecuación dinámica.
𝑋1(𝑡) 2
𝑋 (𝑡)
𝑓𝐾
𝑓𝐾
𝑓𝑏1
𝑓𝑏1
𝑓𝑏2 𝑓𝑏2
𝑑2𝑥1
𝐹 = 𝑚1
𝑑𝑡2
𝑑𝑥1
+ 𝑏
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2
0 = 𝑚2
𝑑𝑡2 + 𝑏
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1
𝐹(𝑠) = 𝑚1𝑠2𝑥1(𝑠) + 𝑏𝑠𝑥1(𝑠) + 𝑘𝑥1(𝑠) − 𝑘𝑥2(𝑠)
𝐹 𝑠 = (𝑚1𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘)𝑥1(𝑠) − 𝑘𝑥2(𝑠)
16
0 = 𝑚2𝑠2𝑥2(𝑠) + 𝑏𝑠𝑥2(𝑠) + 𝑘𝑥2(𝑠) − 𝑘𝑥1(𝑠)
𝑘𝑥1(𝑠) = (𝑚2𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘)𝑥2(𝑠)

• Ejemplo 2.
𝑋1(𝑡)
𝑓𝐾
𝑓𝐾
𝑓𝑏1
𝑓𝑏1
𝑓
𝑋2(𝑡)
𝑏2 𝑓𝑏2
𝑘𝑥1(𝑠) = (𝑚2𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘)𝑥2(𝑠)
• Reduciendo
𝐹 𝑠 = (𝑚1𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘)𝑥1(𝑠) − 𝑘𝑥2(𝑠)
𝐹 𝑠 = (𝑚1𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘)𝑥1(𝑠) −
𝑘2
2
𝑚2𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝑘
𝑥1(𝑠)
𝐹 𝑠 = (𝑚1𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘) −
𝑘2
𝑚2𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘
𝑥1(𝑠)
𝐹 𝑠 =
𝑚1𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 (𝑚2𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘) − 𝑘2
2
𝑚 𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘
𝑥1(𝑠)
𝐻 𝑠
𝑥1(𝑠)
=
𝐹(𝑠)
=
𝑚2𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘
𝑚1𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 (𝑚2𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘) − 𝑘2
17

• Ejemplo 2.
1
𝑋 (𝑡) 2
𝑋 (𝑡)
𝑓𝐾
𝑓𝐾
𝑓𝑏1
𝑓𝑏1
𝑓𝑏2 𝑓𝑏2
• Reduciendo
𝑘𝑥1(𝑠) = (𝑚2𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘)𝑥2(𝑠)
𝑥2(𝑠)
=
𝑘
𝑥1(𝑠) 𝑥2(𝑠)
1
=
𝐹(𝑠) 𝑥 (𝑠)
𝑚2𝑠2+𝑏𝑠+𝑘
𝑚1𝑠2+𝑏𝑠+𝑘 (𝑚2𝑠2+𝑏𝑠+𝑘)−𝑘2
𝑘
2
(𝑚 𝑠2+𝑏𝑠+𝑘)
2
𝑥1(𝑠) (𝑚2𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝑘)
𝐹 (𝑠)
𝑥2(𝑠)
=
𝑘
𝑚1𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 (𝑚2𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘) − 𝑘2
18

• Ejemplo 2. 𝑋1(𝑡) 𝑋2(𝑡)
𝐻 𝑠
𝑥1(𝑠)
=
𝐹(𝑠)
=
𝑚2𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘
𝑚1𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 (𝑚2𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘) − 𝑘2
𝐺 𝑠
𝑥2(𝑠)
=
𝐹 (𝑠)
=
𝑘
𝑚1𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 (𝑚2𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘) − 𝑘2
19

20
• Ejemplo 3. Hay 2 cuerpos conectados a 3 resortes y un amortiguador,
con un fuerza externa F(t) aplicada al cuerpo de la izquierda tal como
se muestra en la figura. Obtenga la función de transferencia que
exprese la relación de desplazamiento de 𝑋1(𝑡) , 𝑋2(𝑡) ante la
aplicación de una fuerza F(t)
𝑋1(𝑡) 𝑋2(𝑡)

Sistemas mecánicos rotacionales
21
• Sistemas en que los cuerpos que forman el sistema realizan
rotaciones en el mismo plano, es decir que los ejes de rotación
de todos los cuerpo son paralelos. En estos sistemas, los giros
realizados por los cuerpos varían por la acción de los pares de
fuerzas ejercidos sobre ellos .
• Elementos más comunes : Masa móvil, Resorte o muelle y
Amortiguador.
• Para modelar el sistema hay que aplicar las Leyes de Newton. La
segunda Ley de Newton:
෍ 𝑇𝑖 = 𝐼𝛼 = 𝐼𝜃
𝑖

• Masa rígida
• Resorte o muelle
• Amortiguador
𝑑𝜔 𝑑2𝜃
T = 𝐼𝛼 = 𝐼
𝑑𝑡
= 𝐼
𝑑𝑡2
𝑇 = 𝐾𝜃
T = 𝑏𝜔 = 𝑏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
22

• Ejemplo 4. Un cuerpo rotatorio conectado a dos paredes a través de
un resorte y un amortiguador se muestra en la siguiente figura. Un
torque externo T(s) es aplicado a este cuerpo. Obtenga la función de
transferencia que exprese la relación de desplazamiento de 𝜃 (𝑡) ante
la aplicación del Torque T(t)
𝑲
𝑰
𝑻(𝒕)
𝒃
23

• Ejemplo 4.
𝑻𝒃 𝑻𝒌 ෍ 𝑇𝑖 = 𝐼𝛼
𝑖
𝑇 − 𝑇𝑘 − 𝑇𝑏 = 𝐼𝛼
𝑑𝜃 𝑑2𝜃
𝑇 − 𝑘(𝜃) − 𝑏 = 𝐼
𝑑𝑡 𝑑𝑡2
𝑇 = 𝐼
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑘𝜃
𝜽
𝑲
𝑰
24
𝑻(𝒕)
𝒃
𝑻𝒃
𝑻𝒌

• Ejemplo 4.
• Ecuación dinámica:
𝐻 𝑠
𝜃(𝑠) 1
=
𝑇(𝑠)
=
𝐼𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘
𝑇 = 𝐼
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑘𝜃
𝑇(𝑠) = 𝐼𝑠2𝜃(𝑠) + 𝑏𝑠𝜃(𝑠) + 𝑘𝜃(𝑠)
𝑇(𝑠) = (𝐼𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘)𝜃(𝑠)
𝑻𝒃 𝑻𝒌
𝜽
𝑲
𝑰
𝑻(𝒕)
𝒃
25

• Ejemplo 5. Dos cuerpos rotatorios conectados través de un resorte se
muestran en la siguiente figura. Un torque externo T(t) es aplicado a
este cuerpo. Obtenga la función de transferencia que exprese la
relación de desplazamiento de 𝜃1 (𝑡) ante la aplicación del Torque
T(t)
𝜽𝟏 𝜽𝟐
𝑲
𝑰𝟏 𝑰𝟐
𝑻(𝒕)
𝒃𝟏 𝒃𝟐
26

• Ejemplo 5.
• Realizamos el diagrama de fuerzas
𝑻𝒃𝟏
𝑻𝒃𝟐
𝑻𝒃𝟐
𝑻𝑲
𝑻𝑲
𝑻(𝒕)
𝑻𝒃𝟏
𝑲
𝑰𝟏 𝑰𝟐
𝒃𝟏 𝒃𝟐
𝜽𝟏 𝜽𝟐
27

• Ejemplo 5.
• Analizando para 𝐼1
෍ 𝑇𝑖 = 𝐼1𝛼1
𝑖
𝑇 − 𝑇𝑘 − 𝑇𝑏1 = 𝐼1𝛼1
𝑇 − 𝑘(𝜃1−𝜃2) − 𝑏1 = 𝐼1
𝑑𝜃1 𝑑2𝜃1
𝑑𝑡 𝑑𝑡2
𝑑2𝜃1 𝑑𝜃1
𝑇 = 𝐼1
𝑑𝑡2 + 𝑏1
𝑑𝑡
+ 𝑘𝜃1 − 𝑘𝜃2
• Aplicamos Laplace
𝑇 𝑠 = 𝐼1𝑠2𝜃1 𝑠 + 𝑏1𝑠𝜃1 𝑠 + 𝑘𝜃1(𝑠) − 𝑘𝜃2(𝑠)
𝑇 𝑠 = (𝐼1𝑠2 + 𝑏1𝑠 + 𝑘)𝜃1(𝑠) − 𝑘𝜃2(𝑠)
𝑻𝒃𝟏
28
𝑻𝑲
𝑻(𝒕)
𝑲
𝑰𝟏
𝒃𝟏
𝜽𝟏

• Ejemplo 5.
• Analizando para 𝐼2
෍ 𝑇𝑖 = 𝐼2𝛼2
𝑖
𝑇𝑘 − 𝑇𝑏2 = 𝐼2𝛼2
𝑘(𝜃1−𝜃2) − 𝑏2 = 𝐼2
𝑑𝜃2 𝑑2𝜃2
𝑑𝑡 𝑑𝑡2
𝑑2𝜃2 𝑑𝜃2
0 = 𝐼2
𝑑𝑡2 + 𝑏2
𝑑𝑡
+ 𝑘𝜃2 − 𝑘𝜃1
• Aplicamos Laplace
0 = 𝐼2𝑠2𝜃2 𝑠 + 𝑏2𝑠𝜃2 𝑠 + 𝑘𝜃2(𝑠) − 𝑘𝜃1(𝑠)
0 = (𝐼2𝑠2 + 𝑏2𝑠 + 𝑘)𝜃2(𝑠) − 𝑘𝜃1(𝑠)
𝑘𝜃1(𝑠) = (𝐼2𝑠2 + 𝑏2𝑠 + 𝑘)𝜃2(𝑠)
𝑻𝒃𝟐
𝑻𝑲
𝑲
𝑰𝟐
𝒃𝟐
𝜽𝟐
29

• Ejemplo 5.
• Ecuaciones dinámicas:
𝑮 𝒔 =
𝜽𝟏(𝒔)
𝑻(𝒔)
=
𝑰𝟐𝒔𝟐 + 𝒃𝟐𝒔 + 𝒌
𝟏 𝟏 𝟐 𝟐
(𝑰 𝒔 + 𝒃 𝒔 + 𝒌)(𝑰 𝒔 + 𝒃 𝒔 + 𝒌) − 𝒌
𝟐 𝟐 𝟐
𝑇 𝑠 = (𝐼1𝑠2 + 𝑏1𝑠 + 𝑘)𝜃1(𝑠) − 𝑘𝜃2(𝑠)
𝑘𝜃1(𝑠) = (𝐼2𝑠2 + 𝑏2𝑠 + 𝑘)𝜃2(𝑠)
• Reduciendo
𝑇 𝑠 = (𝐼1𝑠2 + 𝑏1𝑠 + 𝑘)𝜃1(𝑠) −
𝑘2𝜃1(𝑠)
2
(𝐼2𝑠 + 𝑏2𝑠 + 𝑘)
𝑇 𝑠
(𝐼 𝑠2 + 𝑏 𝑠 + 𝑘)(𝐼 𝑠2 + 𝑏 𝑠 + 𝑘) − 𝑘2
𝐼2𝑠2 + 𝑏2𝑠 + 𝑘
= 1 1 2 2
𝜃1
𝜃1(𝑠)
𝑘
(𝐼2𝑠2 + 𝑏2𝑠 + 𝑘)
𝜃1(𝑠) 𝜃2(𝑠)
=
1 1 1
2 2
𝐼2𝑠2 + 𝑏2𝑠 + 𝑘 𝑘
2 2
2 2 2 2
𝑇(𝑠) 𝜃 (𝑠) (𝐼 𝑠 + 𝑏 𝑠 + 𝑘)(𝐼 𝑠 + 𝑏 𝑠 + 𝑘) − 𝑘 (𝐼 𝑠 + 𝑏 𝑠 + 𝑘)
𝑻(𝒔)
𝜽𝟐(𝒔)
𝑯(𝒔) = =
𝒌
(𝑰𝟏𝒔𝟐 + 𝒃𝟏𝒔 + 𝒌)(𝑰𝟐𝒔𝟐 + 𝒃𝟐𝒔 + 𝒌) − 𝒌𝟐
• Reemplazando
𝜃2(𝑠)
=
30

Engranajes
𝑻𝟏
𝑻𝟐
𝟏
𝜽 𝑚
𝟏
𝑚𝟐
𝜽𝟐
𝑛1 𝑛2
𝜃2
=
𝑟1
=
𝑛1
𝜃1 𝑟2 𝑛2
𝜔2
=
𝑟1
=
𝑛1
𝜔1 𝑟2 𝑛2
𝑇2
=
𝜃1
=
𝑛2
𝑇1 𝜃2 𝑛1
𝐹
𝑛1
𝑛2
𝜃1 𝜃2
𝑛1
𝑛2
𝜔1 𝜔2
𝑛2
𝑛1
𝑇1
31
𝑇2

Piñón y cremallera*
𝑇1
=
𝑛1
𝑇2 𝑛2
𝑇1 = 𝑟𝐹2
𝑣2 = 𝑟𝑤1
𝑚𝟏
𝑭𝟐 𝒗𝟐
𝑻𝟏
*Piñón Fijo, cremallera móvil
32

• Ejemplo 6. Dos cuerpos rotatorios conectados través de un reductor y un
resorte tal como se muestran en la siguiente figura. Un torque externo T(s)
es aplicado a este cuerpo. Obtenga la función de transferencia que exprese
la relación de desplazamiento de 𝜃1 (𝑡) ante la aplicación del Torque T(t)
𝑲
𝑰𝟏
𝑻(𝒕) 𝑰𝟐
𝒃𝟏
𝒃𝟐
𝜽𝟏
𝜽𝟐
𝒏𝟏
𝒏𝟐
33

• Realizando de Diagrama de fuerzas
Asumiendo que 𝜽𝒚 > 𝜽𝟐
𝜽𝟏
𝜽𝟐
𝑲
𝑰𝟏
𝑰𝟐
𝒃𝟏
34
𝒃𝟐
𝑻𝒃𝟏
𝑻(𝒕)
𝑻𝒃𝟏
𝑻𝑲
𝑻𝑲
𝑻𝒃𝟐
𝑻𝒃𝟐
𝑻𝒙
𝜽𝒙
𝒏𝟏
𝒏𝟐
𝑻𝒚
𝜽𝒚

𝑰𝟏
𝒃𝟏
𝑻𝒙
𝜽𝒙
𝒏𝟏
𝑻𝒃𝟏
𝑻(𝒕)
Aplicamos la 2da ley de Newton :
𝑇 − 𝑇 − 𝑇 = 𝐼 𝜃
• Analizando 𝐼1 • Analizando los engranajes
𝜽𝟏
𝑇 − 𝑏1𝜃ሶ1 − 𝑇𝑥 = 𝐼1𝜃ሷ1 …
(1)
෍ 𝑇𝑖 = 𝐼1𝛼1
𝑖
𝜃𝑦 𝑛1
=
𝜃
𝑛
𝑥 2
… (2)
… . (3)
𝑇𝑥
=
𝑛1
𝑇𝑦 𝑛2
𝑁 =
𝑛1
𝑛2
… (4)
𝜽𝟏
𝑰𝟏
𝑻𝒙
𝜽𝒙
𝒏𝟏
𝒏𝟐
𝑻𝒚
𝜽𝒚
Del sistema, observamos :
ሷ 𝜃
𝑏1 𝑥 1 1 𝑥 1
= 𝜃 … (5)
𝑻𝑲
Reemplazando (5), (4) en (2):
𝜃𝑦 = 𝑁𝜃1 … (7)
Reemplazando (6), (4) en (3):
𝑇𝑥 = 𝑁 𝑇𝑘 … (8)
𝑇𝑦 = 𝑇𝑘 … (6)
35

Aplicamos la 2da ley de Newton :
෍ 𝑇𝑖 = 𝐼2𝛼2
𝑖
𝑇𝑘 − 𝑇𝑏2 = 𝐼2𝜃ሷ2
𝑇𝑘 − 𝑏2𝜃ሶ2 = 𝐼2𝜃ሷ2 …
(9)
En el resorte K:
𝑰𝟐
𝒃𝟐
• Analizando 𝐼2
𝜽𝟐
𝑻𝑲
𝑲
𝑻𝒃𝟐
(7) en (10):
(11) en (8):
(12) en (1):
𝑇𝑘 = 𝐾 𝜃𝑦 − 𝜃2 … (10)
𝑇𝑘 = 𝐾 𝑁𝜃1 − 𝜃2 … (11)
𝑇𝑥 = 𝑁𝐾 𝑁𝜃1 − 𝜃2 … (12)
𝑇 − 𝑏1𝜃ሶ1 − 𝑁𝐾 𝑁𝜃1 − 𝜃2 = 𝐼1𝜃ሷ1
𝑇 = 𝐼1𝜃ሷ1 + 𝑏1𝜃ሶ1 + 𝑁𝐾 𝑁𝜃1 − 𝜃2
𝑇 = 𝐼1𝜃ሷ1 + 𝑏1𝜃ሶ1 + 𝑁2𝐾𝜃1 − 𝑁𝐾𝜃2 … (
1
3
)
(11) en (9): 𝐾 𝑁𝜃 − 𝜃 − 𝑏 𝜃
36
ሶ = 𝐼 𝜃
1 2 2 2 2 2
𝐾𝑁𝜃 = 𝐼 𝜃
1 2 2
ሷ+ 𝑏 𝜃
2 2 2
ሶ + 𝐾𝜃 … (14)

Reordenando:
Aplicamos Laplace a (13):
𝑇(𝑠) = (𝑠2𝐼1 + 𝑠𝑏1 + 𝑁2𝐾)𝜃1(𝑠) − 𝑁𝐾𝜃2(𝑠) … (15)
Aplicamos Laplace a (14):
𝐾𝑁𝜃1(𝑠) = (𝑠2𝐼2 + 𝑠𝑏2 + 𝐾)𝜃2(𝑠)
𝐾𝑁
(𝑠2𝐼2 + 𝑠𝑏2 + 𝐾)
𝜃2(𝑠) = 𝜃1(𝑠) … (16)
(16) en (15):
𝑇(𝑠) = (𝑠2𝐼1 + 𝑠𝑏1 + 𝑁2𝐾)𝜃1(𝑠) −
𝑁2𝐾2
2
(𝑠 𝐼2 + 𝑠𝑏2 + 𝐾)
𝜃1(𝑠)
𝑇(𝑠) = (𝑠2𝐼1 + 𝑠𝑏1 + 𝑁2𝐾 −
𝑁2𝐾2
(𝑠2𝐼2 + 𝑠𝑏2 + 𝐾)
)𝜃1(𝑠)
𝑇(𝑠) =
(𝑠2𝐼1 + 𝑠𝑏1 + 𝑁2𝐾) 𝑠2𝐼2 + 𝑠𝑏2 + 𝐾 − 𝑁2𝐾2
𝑠2𝐼2 + 𝑠𝑏2 + 𝐾
𝜃1(𝑠)
𝜃1(𝑠)
𝑇(𝑠)
=
𝑠2𝐼2 + 𝑠𝑏2 + 𝐾
2
1 1 2 2
(𝑠 𝐼 + 𝑠𝑏 + 𝑁2𝐾) 𝑠2𝐼 + 𝑠𝑏 + 𝐾 − 𝑁2𝐾2
𝒔𝟐𝑰𝟐 + 𝒔𝒃𝟐 + 𝑲
(𝒔𝟐𝑰𝟏 + 𝒔𝒃𝟏 + 𝑵𝟐𝑲) 𝒔𝟐𝑰𝟐 + 𝒔𝒃𝟐 + 𝑲 − 𝑵𝟐𝑲𝟐
𝜃1
37
𝑇

• Método 2
𝑲
𝑰𝟏
𝑻(𝒕) 𝑰𝟐
𝒃𝟏
𝒃𝟐
𝜽𝟏
𝜽𝟐
𝒏𝟏
𝒏𝟐
𝑲
𝒏𝟏
𝒏𝟐
𝟐
𝑰𝟏
𝑻(𝒕)
𝑰𝟐
𝒏𝟏
𝒏𝟐
𝟐
𝒃𝟏
𝒃𝟐
𝒏𝟏
𝒏𝟐
𝟐
𝜽𝟏
𝜽𝟐
𝒏𝟏
𝒏𝟐
Reflejando los elementos mecánicos
38

𝑲𝑵𝟐
𝑰𝟏 𝟐
𝑰 𝑵𝟐
𝒃𝟏
𝒃𝟐𝑵𝟐
𝜽𝟏 𝜽𝟐𝑵
𝑻𝒃𝟏
𝑻𝒃𝟐
𝑻𝒃𝟐
𝑻𝑲
𝑻𝑲
• Método 2
Considerando:
𝑛1
𝑁 =
𝑛2
𝜽𝟏 > 𝜽𝟐𝑵
Analizando para 𝑰𝟏
𝑇 − 𝑇𝑏1 − 𝑇𝐾 = 𝐼1𝜃
ሷ1
1
𝑇𝑏 = 𝑏1𝜃ሶ1 … (
1
)
𝑻(𝒕)
𝑻𝒃𝟏
𝑇𝐾 = 𝐾𝑁2 𝜃1 − 𝜃2𝑁 … (2)
1 1 𝑏1 𝐾
𝑇 = 𝐼 𝜃ሷ+ 𝑇 + 𝑇 … (4)
1 1
ሷ+ 𝑏 𝜃
1 1 1 2
ሶ + 𝐾𝑁2(𝜃 − 𝜃 𝑁)
(1), (2) en (4):
𝑇 = 𝐼 𝜃
𝑇 = 𝐼 𝜃ሷ+ 𝑏 𝜃
1 1 1 1 1 2
ሶ + 𝐾𝑁2𝜃 − 𝐾𝑁3 … (5)
Analizando para 𝑰𝟐𝑵𝟐
𝐾
𝑇 − 𝑇𝑏2
= 𝑁2𝐼2 𝑁𝜃2
ሷ … (6)
2
𝑇𝑏 = (𝑁2𝑏2)(𝑁𝜃ሶ2)
𝐾𝑁2(𝜃1 − 𝜃2𝑁) − 𝑁3𝑏2𝜃ሶ2 = 𝑁3𝐼2𝜃ሷ2
𝐾𝑁2𝜃1 = 𝑁3𝐼2𝜃ሷ2 + 𝑁3𝑏2𝜃ሶ2 + 𝐾𝑁3𝜃2 …
(7)
2
𝑇𝑏 = 𝑁3𝑏2𝜃ሶ2 … (3)
(2), (3) en (6):
39
Del sistema:

𝜃1 𝑠 − 𝐾𝑁3𝜃2 𝑠 … (8)
Aplicando Laplace a (5):
𝑇 𝑠 = 𝑠2𝐼1 + 𝑠𝑏1 + 𝐾𝑁2
Aplicando Laplace a (7):
𝐾𝑁2𝜃1 𝑠 = 𝑠2𝑁3𝐼2 + 𝑠𝑁3𝑏2 + 𝐾𝑁3 𝜃2 𝑠 … (9)
𝐾𝑁2
2 3
𝑠 𝑁 𝐼2 2
+ 𝑠𝑁3𝑏 + 𝐾𝑁3 𝜃1 𝑠 … (10)
𝜃2 𝑠 =
(10) en (8):
𝑇 𝑠
= (𝑠2𝐼1 + 𝑠𝑏1 + 𝐾𝑁2)𝜃1(𝑠) −
𝐾 𝑁
2 5
𝑠2𝑁3𝐼2 + 𝑠𝑁3𝑏2 + 𝐾𝑁3 1
𝜃 (𝑠)
𝑇(𝑠) = (𝑠2𝐼1 + 𝑠𝑏1 + 𝐾𝑁2 −
𝐾2𝑁2
2
𝑠 𝐼2 + 𝑠𝑏2 + 𝐾
)𝜃1(𝑠)
𝑇(𝑠) =
(𝑠2𝐼1 + 𝑠𝑏1 + 𝐾𝑁2)(𝑠2𝐼2 + 𝑠𝑏2 + 𝐾) − 𝐾2𝑁2
𝑠2𝐼2 + 𝑠𝑏2 + 𝐾
𝜃1(𝑠)
𝜃1(𝑠) 𝑠2𝐼 + 𝑠𝑏 + 𝐾
= 2 2
𝑇(𝑠) (𝑠2𝐼1 + 𝑠𝑏1 + 𝐾𝑁2)(𝑠2𝐼2 + 𝑠𝑏2 + 𝐾) − 𝐾2𝑁2
𝒔𝟐𝑰 + 𝒔𝒃 + 𝑲
𝟐 𝟐
(𝒔𝟐𝑰𝟏 + 𝒔𝒃𝟏 + 𝑵𝟐𝑲) 𝒔𝟐𝑰𝟐 + 𝒔𝒃𝟐 + 𝑲 − 𝑵𝟐𝑲𝟐
𝜃1
𝑇
40

31/05/2022
41
Modelamiento Sistemas
electromecánicos
41

Motor eléctrico CC
• Un motor es un componente electromecánico que produce una salida de
desplazamiento para una entrada de voltaje, es decir, una salida mecánica
generada por una entrada eléctrica.
Voltaje
Motor
CC
Eje gira
42

43

Motor eléctrico CC
• 𝐸𝑎 : Voltaje aplicado de aramdura. 𝑅𝑎 : Resistencia de armadura. 𝐿𝑎 : Inductancia de
armadura. 𝑖𝑎 : Corriente de armadura. 𝑉𝑏: Fuerza contra electromotriz. 𝑇𝑚: Torque
creado por el motor. 𝑤𝑚: velocidad angular del motor.
Ra La
iA
Vb M
Campo
fijo
Wm
Rotor
Tm
-
+
+
-
Ea
Circuito de
armadura
44

Motor eléctrico CC
Ra La
iA
Vb M
Campo
fijo
W m
Rotor
Tm
-
+
+
-
Ea
Circuito de
armadura
Aplicando LTK:
𝑅𝑎 ∗ 𝑖𝑎 𝑡 + 𝐿𝑎
𝑑𝑖𝑎 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑉𝑏 = 𝐸𝑎
Definiendo 𝑉𝑏(𝑘𝑏 cte de la FEM)
Definiendo 𝑇𝑚(𝑘𝑡 cte de par del motor)
𝑉𝑏 = 𝑘𝑏𝑤𝑚(𝑡)
𝑇𝑚(𝑡) = 𝑘𝑡𝑖𝑎(𝑡)
Parte eléctrica
Aplicando Laplace:
𝑅𝑎𝐼𝑎 𝑠 + 𝐿𝑎𝑠𝐼𝑎 𝑠 + 𝑘𝑏 𝑊
𝑚 (𝑠) = 𝐸𝑎 (𝑠)
𝑇𝑚(𝑠) = 𝑘𝑡𝑖𝑎(𝑠) 𝑖𝑎 𝑠 =
𝑇𝑚 𝑠
𝑘𝑡
𝑘𝑡
𝑅𝑎 + 𝐿𝑎𝑠
𝑇𝑚 𝑠 + 𝑘 𝑊
𝑏 𝑚 𝑎
(𝑠) = 𝐸 (𝑠)
45

Motor eléctrico CC
R a La
iA
V b M
C a m po
fijo
W m
R otor
T m
-
+
+
-
E a
Circuito de
armadura
Carga mecánica equivalente
𝑇𝑚 𝑡 − 𝐵𝑚𝑤𝑚 𝑡 = 𝐽𝑚
𝑑𝑤𝑚 𝑡
𝑑𝑡
Aplicando Ley de Newton:
Parte mecánica
𝑇𝑚 𝑠 = (𝐽𝑚𝑠 + 𝐵𝑚)𝑊𝑚 𝑠
Tm Wm
Jm
La inercia Jm (Im) es la inercia equivalente a la armadura (e
incluye la inercia de armadura y la de la carga reflejada por
la armadura) y Bm es la amortiguación viscosa equivalente
a la armadura (e incluye la amortiguación viscosa de la
armadura y la amortiguación viscosa de la carga reflejada
por la armadura).
Aplicando Laplace:
𝑇𝑚 𝑠 − 𝐵𝑚𝑊𝑚 𝑠 = 𝐽𝑚𝑠𝑊𝑚 𝑠
46

Motor eléctrico CC
R a La
iA
V b M
C a m po
fijo
W m
R otor
T m
-
+
+
-
E a
Circuito de
armadura
Parte mecánica: 𝑇𝑚 𝑠 = (𝐽𝑚𝑠 + 𝐵𝑚)𝑊𝑚 𝑠
Sustituyendo:
Parte eléctrica: 𝑅𝑎 + 𝐿𝑎𝑠
𝑘𝑡
𝑇𝑚 𝑠 + 𝑘𝑏𝑊𝑚(𝑠) = 𝐸𝑎(𝑠)
𝑅 + 𝐿 𝑠
𝑘𝑡
𝑎 𝑎
(𝐽𝑚 𝑠 + 𝐵𝑚)𝑊𝑚 𝑠 + 𝑘𝑏𝑊𝑚(𝑠) = 𝐸𝑎(𝑠)
(
(𝑅𝑎 + 𝐿𝑎𝑠)(𝐽𝑚𝑠 + 𝐵𝑚)
𝑘𝑡
+ 𝑘𝑏)𝑊𝑚(𝑠) = 𝐸𝑎(𝑠)
𝐸𝑎(𝑠)
𝑊𝑚(𝑠)
=
𝑘𝑡
𝑅𝑎 + 𝐿𝑎𝑠 𝐽𝑚𝑠 + 𝐵𝑚 + 𝑘𝑏𝑘𝑡
𝐻 𝑠 =
𝑊𝑚(𝑠)
𝐸𝑎(𝑠)
=
𝑘𝑡
𝐽𝑚𝐿𝑎
𝑠2 +
𝑅𝑎 + 𝐵𝑚
𝐿𝑎 𝐽𝑚
𝑠 + 𝐵𝑚𝑅𝑎 + 𝑘𝑏𝑘𝑡
𝐽𝑚𝐿𝑎
47

Motor eléctrico CC
R a La
iA
V b M
C a m po
fijo
W m
R otor
T m
-
+
+
-
E a
Circuito de
armadura
Teniendo en cuenta:
H(s) representa la relación de la Velocidad angular
respecto a la entrada de voltaje:
Calculando:
𝑊𝑚 𝑠 = s𝜃 𝑠
𝐻 𝑠
𝑊𝑚(𝑠)
𝑎
=
𝐸 (𝑠)
=
𝑘𝑡
𝐽𝑚𝐿𝑎
𝑠2 +
𝐿
𝑅𝑎 𝐵𝑚
𝑎 𝑚
+ 𝐽 𝑠 +
𝐵𝑚𝑅𝑎 + 𝑘𝑏𝑘𝑡
𝐽 𝐿
𝑚 𝑎
𝜃 𝑠 1
=
𝑊𝑚 𝑠 𝑠
𝐸𝑎(𝑠) 𝑊𝑚 𝑠
𝑊𝑚(𝑠) 𝜃 𝑠
=
𝑘𝑡
𝐽𝑚𝐿𝑎
𝑠2 +
𝑅𝑎 + 𝐵𝑚 𝑠 + 𝐵𝑚𝑅𝑎 + 𝑘𝑏𝑘𝑡
𝐿𝑎 𝐽𝑚 𝐽𝑚𝐿𝑎
1
𝑠
𝐺 𝑠
𝜃 𝑠
𝑎
=
𝐸 (𝑠)
=
𝑠3 +
𝐿
𝑅𝑎 𝐵𝑚
𝑎 𝑚
𝑘𝑡
𝐽𝑚𝐿𝑎
+ 𝐽 𝑠2 +
𝐵𝑚𝑅𝑎 + 𝑘𝑏𝑘𝑡
𝐽 𝐿
𝑚 𝑎
𝑠
G(s) representa la relación de la Posición angular respecto
a la entrada de voltaje:
48

49

Ejercicio propuesto
• Obtenga la función de transferencia
que exprese
desplazamiento
la relación de
de 𝑥 (𝑡) ante la
aplicación de un voltaje: u(t)
50

Gracias
51
Consultas
Preguntas

Referencias
52
• Control System Engineering – Nise
• Ingeniería de Control Moderna - Ogata
• Control Engineering– Keviczky et al.

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