Tema1 a sistema_de_fuerzas_y_equilibrio_de_un_cuerpo_rigido

SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO TEMA 1
ALBERTO AYAVIRI PANOZO 1
UNIVERSIDAD MAYOR REAL Y PONTIFICIA DE
SAN FRANCISCO XAVIER DE CHUQUISACA
FACULTAD DE TECNOLOGIA
TEMA 1: SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN
CUERPO RIGIDO
MATERIA: RESISTENCIA DE MATERIALES
CUARTO SEMESTRE
Docente: ALBERTO AYAVIRI PANOZO
SUCRE – JULIO DE 2013

TEMA 1
SISTEMA DE FUERZAS Y EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO
1.1 INTRODUCCIÓN
1.1.1 MECANICA
Es parte de la física que estudia el estado de reposo o movimiento de los cuerpos
sometidos a la acción de las fuerzas que actúan sobre cuerpos sólidos, líquidos,
gaseosos.
La estática que estudia a los cuerpos rígidos y la resistencia de materiales estudia
los cuerpos deformables es lo que veremos en esta materia.
En realidad, en la naturaleza no existen cuerpos absolutamente rígidos. Todos los
cuerpos se DEFORMAN EN MAYOR O MENOR GRADO, BAJO LA ACCION DE LAS
FUERZAS QUE INTERVIENEN.
Pero en el caso de los materiales utilizados en las estructuras, las deformaciones
que sufren (dentro de ciertos límites), SON PEQUEÑAS Y
PUEDEN NO SER CONSIDERADAS SIN MAYOR ERROR (Hipótesis de la Rigidez).
Para que una ESTRUCTURA no se destruya es necesario, que todas las fuerzas
ACTUANTES SOBRE LA MISMA ESTÉN EN EQUILIBRIO.
EL MATERIAL DEBE RESISTIR A LAS FUERZAS EN EQUILIBRIO Y LO DEBE
HACER CON SEGURIDAD Y ECONOMÍA. (Que se estudia en RESISTENCIA DE
LOS MATERIALES)
Cuando hablamos de fuerzas hay que pensar en todas aquellas que son
PERMANENTES o las que aparecen en forma accidental (vientos).
1.1.2 EQUILIBRIO DE FUERZAS
Existen dos clases de magnitudes
• Escalares
• Vectoriales
Magnitudes escalares: son aquellas que quedan perfectamente definidas dando un
número y la unidad correspondiente.
Ejemplo: el volumen (5 litros), la longitud, la masa

Magnitudes vectoriales: son aquellas en el que el número y la unidad correspondiente
no son suficientes para que la Magnitud quede bien definida ya que requiere de dirección
para que este bien definida.
Ejemplo: La fuerza, el desplazamiento, la velocidad
CONCEPTO DE FUERZA:
Fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los
materiales Es una magnitud vectorial
Los elementos que definen con precisión a la magnitud de la Fuerza son CUATRO:
Figura 1.1
En la Fig. 1.1 se muestra una esfera apoyada sobre una superficie plana a la que
aplicamos una fuerza y empujamos horizontalmente, la esfera tendera a desplazarse.
Se ha modificado su estado de reposo por efecto de la acción exterior,
moviéndose en el sentido en que la hemos ejercido la fuerza. Esto nos permite establecer
que para que una fuerza pueda perfectamente ser definida es necesario conocer 4
parámetros:
1. Intensidad De La Fuerza
2. Punto De Aplicación
3. Dirección
4. Sentido
1. INTENSIDAD DE LA FUERZA: Es el valor de esa fuerza, expresada en en
Newton, Libras Fuerza
2. PUNTO DE APLICACIÓN: donde se encuentra aplicada la fuerza.
3. DIRECCIÓN: la recta A-A define la dirección en que la fuerza tiende a mover a la
esfera.
4. SENTIDO: el sentido de la misma será igual al sentido del movimiento de la
esfera.
HIPÓTESIS DE LA ESTÁTICA
1. Hipótesis de la Rigidez, expresa que todos los cuerpos son indeformables.

2. Una fuerza puede trasladarse a lo largo de su recta de acción sin que su efecto varíe.
La fuerza puede ser aplicada en A, B, o
C y el efecto que ello produce
no varia.
Cuando coloco en B dos fuerzas
IGUALES en sentido contrario, no
altera el Problema
=
( A ) ( B ) ( C )
Figura: 1.4
SISTEMA DE FUERZAS:
Dos o más fuerzas constituyen lo que denominamos un SISTEMA DE FUERZA.
Según la posición RELATIVA que guardan las fuerzas entre sí, clasificamos a los
sistemas en:
• SISTEMA DE FUERZAS COLINIALES O
COINCIDENTES: son aquellas en que todas
las fuerzas están aplicadas sobre una misma
recta.
• SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES O
ANGULARES: constituidas por fuerzas cuya
RECTA DE ACCIÓN concurren a un mismo
punto.

• SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS: son
las constituidas por fuerzas cuyas recta de
acción son PARALELAS.
• SISTEMA DE FUERZAS NO
CONCURRENTES: son las constituidas por
fuerzas que no pertenecen a ninguno de los
sistemas anteriormente definidos.
TIPOS DE FUERZAS:
Resultantes: Si tenemos un sistema de fuerzas cualesquiera actuando sobre un cuerpo y
podemos reemplazar todas las fuerzas por una única, que cause el mismo efecto que
todas las fuerzas del sistema, esa fuerza recibe el nombre de RESULTANTE.
Componentes: las fuerzas que originan a la resultante reciben el nombre de
COMPONENTES.
Equilibrante: es una fuerza que siendo colineal con la resultante, tenga igual intensidad
pero sentido contrario.
Figura 1.9
1.1.3 PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA
La solución de los diferentes problemas de la Estática se basa en la aplicación de
diferentes AXIOMAS llamados PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA.
PRIMER PRINCIPIO: Denominado el principio del paralelogramo de las fuerzas.
Si dos fuerzas representadas por los vectores AB y AC que forman un Angulo entre sí
“α” como se muestra en la Fig. 1.10 a

Figura 1.10
Están aplicadas a un cuerpo en el punto A, su acción es equivalente a la de una
única fuerza, representado por el vector AD, obtenido como diagonal del paralelogramo
constituido sobre los vectores AB y AC y dirigido en la forma que indica la figura 1.10a
De igual modo se puede construir el triángulo ACD (Fig. 1.10b), de aquí deducimos
que el vector AD obtenido constituye la SUMA GEOMÉTRICA de los vectores AC y CD.
Ahora bien si el ángulo α es infinitamente pequeño, entonces la RESULTANTE de dos
fuerzas COLINEALES es igual a su SUMA ALGEBRAICA.
• Del principio del paralelogramo de las fuerzas, se deduce que dos fuerzas
aplicadas en un punto pueden ser reemplazadas por su resultante que es
equivalente a ellas.
• Dos fuerzas colineales solo pueden estar en equilibrio si su resultante es cero.
SEGUNDO PRINCIPIO: Dos fuerzas pueden estar en equilibrio únicamente en el caso en
que sean de igual magnitud y que actuando a lo largo de la misma recta de acción tengan
sentidos opuestos.
Figura 1.11
AD es resultante de AB y AC que son componentes de la fuerza AD.

TERCER PRINCIPIO: La acción de un sistema de fuerza dada no se altera, en modo
alguno, si agregamos o quitamos a estas fuerzas cualquier otro sistema de fuerza en
equilibrio.
(a) (b) (c)
Figura 1.12
De aquí surge el TEOREMA DE LA TRANSMISIBILIDAD DE UNA FUERZA, una
fuerza P que actúa en el punto A de un cuerpo rígido (Fig., 1.12a) puede trasladarse a
cualquier otro punto B de su recta de acción sin alterar el efecto de la fuerza sobre el
cuerpo.
CUARTO PRINCIPIO: Cualquier presión ejercida sobre un apoyo, determina una presión
igual y de sentido contrario por parte del apoyo, de manera que acción y REACCIÓN son
dos fuerzas iguales y de sentido contrario.
1.2 MOMENTO DE UNA FUERZA
1.2.1 FORMULACIÓN ESCALAR
Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, está producirá una tendencia a que el
cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza. Esta
tendencia a girar se denomina momento de una fuerza. El momento Mo con respecto a un
punto O, o con respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular al plano, es una
cantidad vectorial puesto que tiene magnitud y dirección especifica.
Mo = F.d (Nm)
La magnitud del momento es directamente proporcional a la magnitud de F y a la
distancia perpendicular o brazo de momento d.

La dirección de Mo está definida por su eje de momento, el cual es perpendicular
al plano que contiene la fuerza F, y por su brazo de momento d.
Figura 1.13
Como convención consideraremos de manera general los momentos positivos a
los que tienen sentido contrario a las manecillas del reloj.
El momento resultante (MR) con respecto al punto O de la figura 1.13, puede
determinarse al encontrar la suma algebraica de los momentos causados por todas las
fuerzas en el sistema.
(MR)o = ∑F.d (MR)o = F3d3 - F2d2 - F1d1
1.2.2 FORMULACIÓN VECTORIAL
Figura 1.14
EI momento de una fuerza F con respecto al punto O (Fig. 1.14), o realmente con
respecto al eje del momento que pasa por O y es perpendicular al plano que contiene a O
y a F, puede expresarse por el producto vectorial.
Mo = r x F

r es un vector de posición trazado desde O hasta cualquier punto que se
encuentre sobre la línea de acción de F.
La magnitud del momento MO es:
Mo = rFsen θ
PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD
Figura 1.16
• La fuerza F aplicada en cualquier punto A, crea un momento respecto a O dado
por MO = rA x F
• F tiene las propiedades de un vector deslizante, ya que puede ser aplicada en
cualquier punto de su línea de acción (principio de transmisibilidad).
• Por lo tanto
FORMULACIÓN CARTESIANA
• Para la fuerza expresada en forma cartesiana,
Si r se aplica en un punto de la línea de
acción, ya que d = r sinθ,
MO = rF sinθ = F (rsinθ) = Fd
La dirección y sentido de Mo están
determinados mediante la regla de la mano
derecha (Fig.1.15)
Figura 1.15

donde;
rx, ry,rz : Representan las componentes r del vector de posición trazado desde el
punto O hasta cuaIquier punto sobre la línea de acción de la fuerza.
Fx, Fy,Fz:. Representan las componentes x, y , z del vector fuerza
El significado físico de esas tres componentes de momento resulta evidente al
estudiar la figura1.18. En la componente i, Mo puede determinarse a partir de los
momentos Fx, Fy, y Fz con respecto al eje x. La componente Fx no genera un momento o
tendencia a girar con respecto al eje x. puesto que esta fuerza es paralela al eje x.
La línea de acción de Fy para por el punto B y entonces la magnitud del momento
de Fy con respecto al punto A sobre el eje x es rzFy. Por la regla de la mano derecha, esta
componente actúa en la dirección i negativa. De igual forma, Fz pasa por punto C y por lo
tanto aporta una componente de momento de ry Fzi con respecto al eje. Así, (MO)x = (ryFz-
rzFy) como se muestra en la ecuación. Mo siempre será perpendicular al plano que
contiene los vectores r y F.
MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS
Si un sistema de fuerza actúa sobre un cuerpo. El momento resultante de las
fuerzas respecto a O puede determinarse mediante adición vectorial.
MRo = Σ(r x F)
Figura 1.17
MO = (ryFz – rzFy)i – (rxFz - rzFx)j + (rxFy – ryFx)k
Figura 1.18

1.3 PRINCIPIO DE MOMENTOS
Conocido también como el teorema de Varignon:
F = F1 + F2,
MO = r X F
= r X (F1 + F2)
= r X F1 + r X F2
1.4 MOMENTO DE UN PAR
Un par se define como dos fuerzas paralelas que tienen
la misma magnitud, con direcciones opuestas. y están
separadas Por una distancia perpendicular d, figura 1.24. Como
la fuerza resultante es cero, el único efecto de un par es
producir una rotación o tendencia a rotar en una dirección
específica.
Por ejemplo, imagine que usted conduce un automóvil con ambas manos en el
volante y está haciendo un giro. Una mano empujará el volante mientras que la otra lo
jalará, con esto el volante girará.
Momento del par es igual a la suma de los momentos de las fuerzas del par
respecto a cualquier punto arbitrario.
“El Momento de una fuerza respecto a un punto es igual a la suma de
los momentos de las componentes de esa fuerza respecto al punto”
Figura 1.19
Figura 1.23
Figura 1.24

1.4.1 FORMULACIÓN ESCALAR
El momento de un par, M, figura 1.25, se
define con una magnitud de:
M = Fd
Donde F es la magnitud de una de las fuerzas y d la
distancia perpendicular o brazo de momento entre las
fuerzas. La dirección y sentido de M son determinados
por la regla de la mano derecha.
M actúa perpendicularmente al plano que contiene las fuerzas.
1.4.2 FORMULACIÓN VECTORIAL
El momento de un par se expresa como:
M = r X F
1.4.3 PARES EQUIVALENTES
Dos pares son equivalentes si producen el mismo momento con la misma magnitud y
dirección. Las fuerzas de pares equivalentes están en el mismo plano o en planos
paralelos.
Figura 1.26
Por ejemplo, los dos pares mostrados en la figura 1.26 son equivalentes porque cada
momento de par tiene una magnitud M = 30 N(0.4m) =40 N(0.3m) = 12 N.m, y cada uno
de ellos está dirigido hacia el plano de la página. Observe que en el segundo caso se
requieren fuerzas más grandes para crear el mismo efecto de giro, debido a que las
manos están colocadas más cerca una de la otra. Además, si la rueda estuviera
conectada al eje en un punto distinto de su centro, ésta giraría de igual forma al aplicar
cada uno de los pares porque el par de 12 N.m.es un vector libre.
Figura 1.25

Como los momentos de par son vectores libres, sus resultantes pueden determinarse
mediante la suma de vectores.
MR=∑(rxF)
1.5 SIMPLIFICACIÓN DE SISTEMA DE FUERZAS Y PARES
En ocasiones es conveniente reducir un sistema de fuerzas y momentos de par
que actúan sobre un cuerpo a una forma más sencilla, esto se puede hacer si se
reemplaza con un sistema equivalente, que conste de una sola fuerza resultante la cual
actúe en un punto específico y un momento de par resultante.
Un sistema equivalente es aquel que causa los mismos efectos externos que los
causados por el sistema de fuerzas y pares originales. Los efectos externos que causan
un sistema son los movimientos de traslación y la rotación de un cuerpo si este es libre de
moverse, o se refieren a las fuerzas reactivas en los soportes si el cuerpo se mantiene
fijo.
Figura 1.27
Por ejemplo, considere que se sujeta la varilla de la figura 1.27a, la cual está
sometida a la fuerza F en el punto A. Si añadimos un par de fuerzas iguales pero
opuestas F y -F en el punto B, que se encuentra sobre la línea de acción de F (figura
1.27b), observamos que -F en B y F en A se cancelarán entre sí. y queda sólo F en B,
figura 1.27c. Ahora, la fuerza F se ha movido desde A hasta B sin modificar sus efectos
externos sobre la varilla; es decir, la reacción en el agarre permanece igual.
Lo anterior demuestra el principio de transmisibilidad, el cual establece que una
fuerza que actúa sobre un cuerpo (varilla) es un vector deslizante puesto que puede
aplicarse sobre cualquier punto a lo largo de la línea de acción.
Figura 1.28
El procedimiento podemos usar para mover una fuerza hasta un punto que no está
sobre la línea de acción de la fuerza. Si F se aplica en forma perpendicular a la varilla,
como en la figura 1.28a, podemos añadir un par de fuerzas iguales pero opuestas F y -F a
B (figura 1.28b). Ahora la fuerza F se aplica en B, y las otras dos fuerzas, F en A y -F en
B, forman un par que produce el momento de par M = Fd (figura 1.28c). Por lo tanto la
fuerza F puede moverse desde A hasta B siempre que se añada un momento de par M

para mantener un sistema equivalente. Este momento de par se determina al tomar el
momento de F con respecto a B. Como M es en realidad un vector libre, puede actuar en
cualquier punto de la varilla. En ambos casos los sistemas son equivalentes, lo que
produce una fuerza descendente F y un momento de par M = Fd en el sentido de las
manecillas reloj, que se siente en el punto de sujeción.
Para simplificar un sistema de fuerza y par a una fuerza resultante FR que actúe en
el punto O y un momento de par resultante (MR)o, puede generalizarse mediante la
aplicación de las dos ecuaciones siguientes.
La primera ecuación establece que la fuerza resultante del sistema es equivalente
a la suma de todas las fuerzas; y la segunda ecuación establece que el momento de par
resultante del sistema es equivalente a la suma de todos los momentos de par ∑M más
los momentos con respecto al punto O de todas las fuerzas ∑MO.
Si el sistema de fuerzas se encuentra en el plano X- Y y cualesquier momentos de
par son perpendiculares a este plano, entonces las ecuaciones anteriores se reducen a
las siguientes tres ecuaciones escalares:
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS
1. Establecer los ejes de coordenadas con el origen en el punto O con una
determinada orientación.
2. Sumar las fuerzas. Si el sistema de fuerzas es coplanar, descomponga cada
fuerza en sus componentes x y y. Si una componente está dirigida a lo largo de los
ejes x y y positivos, representa un escalar positivo; mientras que si está dirigida a
lo largo de los ejes x y y negativos, es un escalar negativo. En tres dimensiones,
represente cada fuerza como un vector cartesiano antes de sumar las fuerzas.
3. Sumar los momentos. Por lo general, al determinar los momentos de un sistema
de fuerzas coplanares con respecto a O, es conveniente aplicar el principio de
momentos de las componentes de cada fuerza en vez del momento de la fuerza
en sí. En tres dimensiones use el producto vectorial.

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