El documento resume conceptos fundamentales de la estática, incluyendo el momento de fuerza, equilibrio rotacional, centro de gravedad, teorema de Varignon, composición de fuerzas paralelas y cupla. Proporciona definiciones, fórmulas y ejemplos para ilustrar estos conceptos clave de la mecánica estática.

1. Lic. Fis. Carlos Lévano Huamaccto FISICA I

2. TORQUE O MOMENTO DE FUERZA

3. Estática Momento de Fuerza Centro de Gravedad Segunda Condición de Equilibrio Teorema de Varignon Composición de fuerzas paralelas Cupla o par de fuerza CONTENIDOS TEMÁTICOS

4. El momento de fuerzas,  , es la tendencia de una fuerza a hacer rotar un objeto alrededor de algún eje el momento de fuerzas es un vector. ESTATICA Donde: F es la Fuerza r es la posición de la fuerza respecto al punto de giro

5. Considere la llave de tuercas que hace pívot en el eje que pasa por O ( ver figura). La fuerza aplicada F actúa a un ángulo Φ con respecto a la horizontal. Definimos la magnitud del momento de torsión asociado con la fuerza F por la expresión: Donde r es la distancia entre el punto del pívot y el punto de aplicación de F y d es la distancia perpendicular desde el punto de pívot a la línea de acción de F.

6. La forma sencilla de calcular esta expresión algebraica es como sigue:

7. EJEMPLOS 1.Calcular el torque respecto al origen, producido por una fuerza F = (4i - 5j) N , que se aplica a un objeto en la posición r = (2i + j) m.

8. EJEMPLOS 2.Determine el momento de Fuerza usando la definición

9. 3.Calcular el torque usando la definición.

10. Es necesario tener en cuenta los signos para el cálculo del momento de una fuerza, tal como se muestra: OBSERVACIÓN : “ F” no producirá rotación en la barra respecto al punto “0” ya que su línea de acción pasa por el punto (0).Entonces d = 0 y .

11. Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación respecto a un punto, si la suma de momentos respecto a ese punto es cero El caso más común de Equilibrio de Rotación es cuando un cuerpo no experimenta giros. Como la barra no gira; se puede aplicar la 2da. condición de equilibrio, tomando como centro de momento el punto 0 O sea que:

12. MOMENTO DE FUERZA Si dos o mas fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido (ver figura) cada una tiende a producir rotación alrededor del eje en O. En este ejemplo F2 tiende a hacer rotar el cuerpo en el sentido de giro de las manecillas de un reloj, y F1 tiene a hacerlo rotar en sentido contrario . Aquí observamos que F1 tiene un brazo de momento d1 , entonces el torque es positivo + F1.d1 ya que F1 hace que tienda a girar en el sentido contrario alas manecillas del reloj, de manera análoga - F2.d2.Por lo tanto el momento de torsión neto alrededor del eje O es:

13. CENTRO DE GRAVEDAD Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad o centroide es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular.

14. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo.

15. CALCULO DEL CENTRO DE GRAVEDAD El objeto mostrado se divide en muchas partes Pequeñas, cada porción con sus respectivas coordenadas. Observamos 5 pequeñas porciones de las múltiples que existen con sus (X i , Y i ), entonces el cálculo de su (X G , Y G ), Será:

16. EJEMPLO DE APLICACION Determine el centro de gravedad del sistema mostrado, conjunto de barras de masa despreciable. Solución

17. Un objeto está en equilibrio rotacional sólo si su aceleración angular es cero; es decir, el momento de torsión neto alrededor de cualquier origen debe ser cero. SEGUNDA CONDICION DE EQUILIBRIO

18. EJEMPLO DE APLICACIÓN 1.La escala esta apoyada como se muestra en la figura, determine el torque sobre la escalera si esta esta sometida a la fuerza de su peso de 22,1N y las reacciones de 5N , 10N,15N y 20N. Solución:

20. EJEMPLOS DE APLICACION 2.Determine la posición del centro de fuerzas del sistema mostrado.

21. 3.El sube y baja. Un tablón uniforme de 40N de peso soporta a dos niños que pesan uno 500N y el otro 350N , como se muestra en la figura. Si el soporte de apoyo está debajo el centro de gravedad del tablón y si la niña de 500N se encuentra a 1.5m del centro. Determine la fuerza hacia arriba n ejercida sobre el tablón por el soporte.

22. Para encontrar esta posición, debemos apelar a la segunda condición de equilibrio. Si se toma el centro de gravedad del tablón como el eje para nuestra ecuación de momento de torsión, vemos, que

23. 4.Una tabla de longitud 6.0 m y masa M = 90 kg está sobre dos caballetes Separados por D = 1.5 m, situados a distancias iguales del centro de la tabla El niño Tito trata de pararse en el extremo derecho del mismo. Cual será la masa Del niño para que no caiga, sabiendo que el C:g del sistema es D/2.

24. 5.Una viga horizontal uniforme de 8m de largo y 200N de peso está unida a un muro por medio de una conexión tipo pasador. S extremo alejado está sostenido por un cable que forma un ángulo de 53º con la horizontal. Si una persona de 600N está parada a 2m del muro. Encuentre la tensión en el cable y la fuerza ejercida por el muro sobre la viga.

25. TEOREMA DE VARIGNON El Teorema de Varignon es un teorema descubierto por primera vez por el matemático neerlandés Simon Stevin a principios del siglo XVII, pero que debe su actual forma al matemático francés Pierre Varignon (1654-1722), quien lo enunció en 1724 en su tratado Nouvelle mécanicque, como resultado de un estudio geométrico en el que, en contra de la opinión de los matemáticos franceses de su época, decidió trasladar las ideas expuestas por Newton a la notación y al enfoque que sobre el análisis daba Leibniz .

26. “ El momento resultante sobre un sistema de fuerzas es igual a la suma vectorial de los momentos de las fuerzas aplicadas, si éstas son concurrentes”. F R = Suma vectorial de toda las fuerzas, X= Distancia a la cual se ubica la fuerza que F R Equivalente a: X

27. Demostración Sea un sistema de n fuerzas concurrentes, F1,F2,...,Fi,...,Fn, vectores en un espacio euclídeo, que tiene como punto de aplicación un cierto punto A. El momento de cada fuerza Fi con respecto a O será: Mi = rFi (producto vectorial). Nótese que escribimos r y no ri, ya que todas las fuerzas se aplican en el mismo punto. El momento de la resultante R es: M = rxR donde R = F1 + F2 + Fi + ... + Fn y r es nuevamente el vector posición común. Aplicando la propiedad del producto vectorial, tenemos: rxR = rx(F1 + F2 + Fi + ... + Fn) rxR = rxF1 + rxF2 + rxFi + ... + rxFn) entonces M = M1 + M2 + Mi + ... + Mn

28. Equilibrio estable, inestable El equilibrio es estable si el cuerpo, siendo apartado de su posición de equilibrio, vuelve al puesto que antes tenía, por efecto de la gravedad. En este caso el centro de gravedad está debajo del punto de suspensión. El equilibrio es inestable si el cuerpo, siendo apartado de su posición de equilibrio, se aleja por efecto de la gravedad. En este caso el centro de gravedad está más arriba del punto o eje de suspensión.

29. El equilibrio es indiferente si el cuerpo siendo movido, queda en equilibrio en cualquier posición. En este caso el centro de gravedad coincide con el punto de suspensión.

30. COMPOSICION DE FUERZAS En general, un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido no puede reducirse a una sola fuerza o resultante igual a la suma vectorial de las fuerzas. Cuando las fuerzas no se aplican al mismo punto sino que actúan en un cuerpo rígido, es necesario distinguir dos efectos : traslación y rotación. La traslación del cuerpo es determinada por la resultante (vector suma) de las fuerzas En este caso el punto de aplicación de R queda aún por determinarse. El efecto de rotación sobre el cuerpo está determinado por el vector suma de los torques de las fuerzas

31. CUPLA O PAR DE FUERZAS Se define como un sistema de dos fuerzas de igual magnitud pero de direcciones opuestas que actúan a lo largo de líneas paralelas.

32. Indicando que la cupla no produce efecto de traslación. Por otro lado la suma vectorial de los torque, teniendo en cuenta . donde b es el brazo de palanca de la cupla es dada por la cupla produce efecto de rotación

33. COMPOSICIÓN DE FUERZAS PARALELAS Consideremos un sistema de fuerzas paralelas a un vector unitario u . donde F i es positivo o negativo dependiendo de si la dirección de F i es la misma de u u opuesta a la de u . La suma vectorial es Y por tanto también paralelo a u. La magnitud de la resultante es entonces La suma vectorial es

34. La cual es perpendicular a u y por lo tanto también es perpendicular a R . Por este motivo, colocando R en la posición apropiada r c , es posible igualar su torque a  . Introduciendo las expresiones de R y  podemos escribir Esta ecuación se satisface si O sea, r c se denomina centro de fuerzas paralelas.

35. La ecuación vectorial se puede separar en sus tres componentes donde hemos designado por x c , y c , z c las coordenadas del punto definido por r c .

36. GRACIAS