f

1.  conjuntos
Teorema 1.23. Sean A,B ⊆ U conjuntos. Entonces se cumplen las si-
guientes propiedades:
(a) idempotencia: A∪A = A, A∩A = A;
(b) conmutatividad: A∪B = B∪A, A∩B = B∩A;
(c) absorción: A ⊆ A∪B, A∩B ⊆ A;
(d) identidad: A∪∅ = A, A∩U = A;
(e) piso y techo: A∩∅ = ∅, A∪U = U;
(f) asociatividad: (A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C).
Prueba.
(a) Demostremos que A ∪ A = A. Para ello utilizamos el método de
doble inclusión:
(⊆) Si x ∈ A∪A, entonces x ∈ A o x ∈ A. Pero entonces x ∈ A.
(⊇) Si x ∈ A, entonces x ∈ A o x ∈ A, luego x ∈ A∪A.
La demostración de que A ∩ A = A es análoga y se deja al lector
(ejercicio 17).
(b) Demostremos que A∩B = B∩A. Para ello utilizamos el método de
doble inclusión:
(⊆) Si x ∈ A∩B, entonces x ∈ A y x ∈ B. Pero entonces x ∈ B y x ∈ A
y, por ende, x ∈ B∩A.
(⊇) Si x ∈ B∩A, entonces x ∈ B y x ∈ A. Pero entonces x ∈ A y x ∈ B
y, por ende, x ∈ A∩B.
La demostración de que A∪B = B∪A se deja al lector (ejercicio 17).
(c) Veamos que A ⊆ A∪B: si x ∈ A, entonces es verdadero que x ∈ A o
x ∈ B,7
luego x ∈ A∪B. Ahora demostremos que A∩B ⊆ A: si x ∈ A∩B,
entonces x ∈ A y x ∈ B, y así x ∈ A. Esto demuestra que A∩B ⊆ A.
(d) Demostremos que A ∪ ∅ = A. Para ello utilizamos el método de
doble inclusión:
(⊆) Si x ∈ A∪∅, entonces x ∈ A o x ∈ ∅. Pero la segunda opción es
imposible, luego x ∈ A.
(⊇) Se tiene gracias a la propiedad (c).
La demostración de que A∩U = A se deja al lector (ejercicio 17).
7Si p y q son proposiciones y p es verdadera, entonces la proposición (p o q) también
lo será. En la demostración en cuestión, la afirmación (x ∈ A) juega el papel de p, y la
afirmación (x ∈ B) el de q.