f

1. § . operaciones básicas entre conjuntos 
(e) Demostremos primero que A ∪ U = U. Para ello utilizamos el
método de doble inclusión:
(⊆) Si x ∈ A∪U, entonces x ∈ A o x ∈ U. Como A ⊆ U, concluimos
que en cualquier caso x ∈ U.
(⊇) Se tiene gracias a las propiedades (b) y (c).
Veamos ahora que A ∩ ∅ = ∅: por (b) y (c) tenemos que A ∩ ∅ ⊆ ∅.
Pero el único subconjunto de ∅ es ∅, luego A∩∅ = ∅.
(f) Demostremos que (A∪B)∪C = A∪(B∪C). Para ello utilizamos el
método de doble inclusión:
(⊆) Si x ∈ (A∪B)∪C, entonces hay dos casos:
(i) x ∈ A∪B: entonces x ∈ A o x ∈ B. Pero ya que B ⊆ B∪C (por la
propiedad (c)), entonces necesariamente x ∈ A o x ∈ B∪C,
es decir, x ∈ A∪(B∪C).
(ii) x ∈ C: entonces, por las propiedades (b) y (c), x ∈ B∪C; y, si
utilizamos de nuevo dichas propiedades, concluimos que
x ∈ A∪(B∪C).
En cualquier caso tenemos que x ∈ A∪(B∪C), como queríamos
demostrar.
(⊇) Es similar a la demostración de (⊆).
La demostración de que (A∩B)∩C = A∩(B∩C) se deja al lector
(ejercicio 17).
Como el lector podrá notar, en el teorema anterior pudimos haber
utilizado la propiedad (c) como instrumento para demostrar una de las
dos contenencias en (a). Por otra parte, el método utilizado en la prueba
de (f) se llama demostración por casos.8 Demostración
por casos
Se examina cada uno de los casos que plantea una proposición que
contiene disyunciones, y si todos conducen a la misma conclusión, en-
tonces puede afirmarse esta conclusión. Otro teorema, menos evidente,
caracteriza de dos maneras distintas la relación de contenencia:
Teorema 1.24. Dados dos conjuntos A y B, tenemos:
(a) B ⊆ A si y sólo si A∪B = A;
(b) B ⊆ A si y sólo si A∩B = B.
8Para más información sobre la demostración por casos, consúltese el Apéndice A,
p. 304, abajo.