Este documento describe varios métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo el método de Runge-Kutta de cuarto y quinto orden. Explica que el método de Runge-Kutta-Fehlberg usa dos estimaciones con diferentes órdenes de error para determinar automáticamente el tamaño de paso apropiado.

1. Métodos Numéricos para Ecuaciones
Diferenciales

2. • Error local O(h4) y error global O(h5)
• 4 evaluaciones funcionales por paso
• Dada las evaluaciones funcionales el tamaño de
paso podría ser más grande
• Las fórmulas de orden superior (5º,6º,7º) de Runge-
Kutta se pueden emplear con la ventaja de
determinar un tamaño de paso h apropiado

3. • Una forma de determinar si los valores de
Runge-Kutta son suficientemente precisos es
recalcular los valores al final de cada intervalo
dividiendo en dos el tamaño de paso.
• Si sólo cambia ligeramente el valor de
yn+1, quiere decir que es una buena
aproximación a la solución, sino el valor de h
debe dividirse otra vez, hasta que el resultado
sea satisfactorio.

4. • El cambio de paso es una técnica muy
cara computacionalmente.
• Otra opción consiste en utilizar dos
métodos de Runge-Kutta de orden
diferente, uno de cuarto y el otro de
quinto, para cambiar de (xn, yn) a
(xn+1, yn+1) .
• Este método es popular por que sólo
necesita seis evaluaciones de la función
(en lugar de 11).

5. k1 hf x n , y n
h k1
k2 hf x n , yn
4 4
3 3 9
k 3 hf x n h, y n k1 k2
8 32 32
12 1932 7200 7296
k4 hf x n h, y n k1 k2 k3
13 2197 2197 2197
439 3680 845
k5 hf x n h, y n k1 8k 2 k3 k4
216 513 4104
h 8 3544 1859 11
k6 hf x n , yn k 1 2k 2 k3 k4 k5
2 27 2565 4104 40

6. 25 1408 2197 k5
ˆ
yn 1 yn k1 k3 k4
216 2565 4104 5
16 6656 28561 9 2
yn 1 yn k1 k3 k4 k5 k6
135 12825 56430 50 55
k1 128k 3 2197k 4 k5 2k 6
Error
360 4275 75240 50 55

7. • La base de este método es calcular dos estimaciones
Runge-Kutta para el nuevo valor pero con errores de
diferente orden.
• En lugar de comparar estimaciones para h y h/2 se
comparan aproximaciones usando las fórmulas de
Runge-Kutta de 4º y 5º orden.
• Como ambas fórmulas hacen uso de las mismas k's
sólo se tienen que hacer seis evaluaciones de f(x,y).
• El valor de h se puede incrementar o disminuir
dependiendo del valor del error estimado.
• Como aproximación para el nuevo yn+1se utiliza la
fórmula de 5º orden.

8. Estimación de la Eval.
Método pendiente sobre el E. Global E. Local Funcional
intervalo es
Euler Valor inicial O(h) O(h2) 1
Euler Mejorado Promedio de la O(h2) O(h3) 2
pendiente inicial y
final
Runge Kutta 4º Promedio de los O(h4) O(h5) 4
cuatro valores
Runge Kutta Promedio de los seis O(h5) (h6) 6
Fehlberg valores

9. • Como hemos visto, el tamaño de paso juega un papel
importante en la obtención de buenas aproximaciones
por métodos numéricos.
• Este tamaño de paso guarda una estrecha relación con
el grado del método empleado.
• El método de Runge-Kutta-Fehlberg emplea un
parámetro q para determinar el mejor tamaño de
paso:
1
n
h
q
~
wi wi
1 1

10. •

11. • El cálculo de q para optimizar h, se hace para evitar las
pérdidas de tiempo ocasionadas por h muy pequeños, en
regiones con irregularidades en la derivada de y, y para h
grandes, que puedan resultar en la omisión de regiones
sensibles cercanas.
• En algunos casos el procedimiento del incremento de h se
modifica para que se incorpore solamente para cuando sea
necesario tener el error bajo control.
• Para el método de R-K-F con n= 4 q se elige como:
1
4
h h
q 0.84
~
2 wi wi ~
wi wi
1 1 1 1