Examen admision 2_do_grado

1Preguntas de exámenes de admisión
Preguntas de exámenes de admisión
ARITMÉTICA
Pregunta 1
El producto de tres números reales es 900 y la suma de sus
inversos multiplicativos es 1/5. Determina la suma de los
productos de dichos números tomados de dos en dos sin
repetición.
UNMSM 2010 - II
A) 160 B) 180 C) 190
D) 210 E) 170
Resolución:
Tema: Operaciones fundamentales
Análisis y procedimiento
Sean a; b y c los tres números reales.
Por dato tenemos:
• a # b # c = 900 … (I)
•
a b c
1 1 1
5
1+ + = … (II)
Nos piden hallar a # b + a # c + b # c.
Del segundo dato (II) tenemos:
a b c
1 1 1
5
1+ + =
a b c
b c a c a b
5
1
# #
# # #+ + =
Pero de (I):
a # b # c = 900
& b c a c a b
900 5
1# # #+ + =
b # c + a # c + a # b = 180
` a # b + a # c + b # c = 180
Rpta. 180
Clave B
Pregunta 2
El máximo común divisor de dos números enteros positivos
es 19. Halla la diferencia positiva de estos números sabiendo
que su suma es 114.
UNMSM 2011 - II
A) 57 B) 38 C) 45
D) 63 E) 76
Resolución:
Tema: MCD y MCM
Recuerda que si el MCD (A; B) = d, entonces:
A = d . p
PESÍ
B = d . q
Sean A y B los números (A > B).
Por dato, tenemos lo siguiente:
• MCD (A; B) = 19
Entonces:
A = 19 p
PESÍ
B = 19 q
• A + B = 114
19(p + q) = 114
. .
5 1 (son PESÍ)
Luego:
A = 19 . p = 19(5) = 95
B = 19 . q = 19(1) = 19
` A - B = 95 - 19 = 76
Rpta. 76
Clave E
Pregunta 3
Sean a; b enteros positivos que satisfacen:
0,969696...a b
11 3
+ =
Halla a + b.
UNMSM 2012 - II
A) 6 B) 10 C) 9
D) 8 E) 7
Resolución:
Tema: Números decimales
Recuerda que la fracción generatriz de un número decimal
periódico puro es de la siguiente manera:
0, ... 0,mnmnmn mn mn
99
= =
!
Nos piden a + b, sabemos que a y b son enteros positivos.
Por dato, tenemos:
, ...a b
11 3
0 969696+ =
0,a b
11 3
96+ =
!
Llevando el número decimal a su fracción generatriz,
tenemos:
1 3
a b
33
3 11
99
96+ =
3a + 11b = 32
. .
7 1
Entonces:
a = 7 y b = 1
` a + b = 8
Rpta. 8
Clave D

2
Preguntas de
exámenes de admis
2.° de Secundaria
Pregunta 4
¿Qué tanto por ciento del 50% de 0,005 es 0,01?
UNMSM 2013 - II
A) 40% B) 4% C) 0,4%
D) 400% E) 0,04%
Resolución:
Tema: Tanto por ciento
Ten en cuenta que, de forma práctica:
• Las palabras de, del y de los indican multiplicación.
• Las palabras es y equivalente indican igualdad.
Según el enunciado
¿ é 50% 0,05 0,01?tanQu to por ciento del de es
%x # # =
1 2 3444444 444444 SS S
Entonces:
x% # 50% # 0,05 = 0,01
x
100 100
50
100
5
100
1# # =
x = 400
Lo anterior, es equivalente a decir:
x% = 400%
Rpta. 400%
Clave D
Pregunta 5
Halla el menor número entero positivo n, tal que al dividir
1583n entre 178 se obtiene (8n + 3) de cociente por defecto.
UNMSM 2014-I
A) 8 B) 5 C) 6
D) 7 E) 4
Resolución:
Tema: Operaciones fundamentales
En una división:
Por defecto Por exceso
D d
rd q
-
cociente
por defecto
D = d # q + rd
D d
re q + 1
Del enunciado, n ! Z+
donde n es mínimo.
Además:
1583n 178
r 8n + 3
; r < 178
Por el algoritmo de Euclides, se tiene:
1583n = 178(8n + 3) + r
159n = 534 + r
. .
4 102 (único caso)
` n = 4
Rpta. 4
Clave E
Pregunta 6
En una biblioteca municipal existen en total 72 libros de
matemática y literatura, los que están en relación de 5 a 3
respectivamente. El número de libros de literatura que deben
agregarse para que la relación sea de 9 a 10, es:
UNI 2010-I
A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 25
Resolución:
Tema: Razones
N.° de libros
de matemática
N.° de libros
de literatura
Total
de libros
Lo que
se tiene 5 # (9) 3 # (9) 8 # (9) = 72
Se observa que hay lo siguiente:
• 45 libros de matemática y
• 27 libros de literatura.
Luego, si agregamos x libros de literatura, tendríamos:
• 45 libros de matemática
• 27 + x libros de literatura
Por condición del problema, tenemos:
x
9
45
10
27= +
` x = 23
Rpta. 23
Clave C
Pregunta 7
¿Cuántos números enteros menores que 100 existen que son
cubos perfectos y que al ser multiplicados por 3 se convierten
en cuadrados pefectos?
UNI 2011 - I
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución:
Tema: Potenciación
Sean N los números que cumplen la condición. Por dato se
tiene lo siguiente:
• N < 100
• N = K3
• 3N = R2

3
Preguntas de
exámenes de admi
Como
N = K3
< 100 & K < 4,64 …
1; 2; 3; 4
& N: 1; 8; 27; 64
& 3N: 3; 24; 81; 192
Como 3N debe ser cuadrado
perfecto, solo se cumple
cuando 3N = 81.
` Solo existe un valor para N.
Rpta. 1
Clave A
Pregunta 8
Se tiene un número capicúa de seis cifras cuya última cifra es
2. Sea N el residuo de dividir dicho número entre 1000 y M el
cociente. Si N - M = 99, calcula el valor máximo que puede
tomar la suma de las cifras del número capicúa.
UNI 2012-II
A) 24 B) 26 C) 28
D) 30 E) 32
Resolución:
Tema: Cuatro operaciones
Del enunciado, se tiene lo siguiente:
•
dividendo
.
divisor
.
2abba2 1000
N
-
residuo
M
-
cociente
...( I )
• N - M = 99 ...( II )
Realizamos la división en ( I ):
2abba2 1000
200
abba
a000
bba2
b000
ba2
2ab
! N
! M
En (II):
ba2 - 2ab = 99
99b - 198 = 99
b = 3 & amáx. = 9
Luego, el dividendo es 293 392.
Rpta. La suma de sus cifras es 28.
Clave C
Pregunta 9
Al multiplicar un número A de cuatro cifras por 999 se obtiene
un número que termina en 5352. Calcula la suma de las cifras
del número A.
UNI 2013 - II
A) 18 B) 19 C) 20
D) 21 E) 22
Resolución:
Tema: Cuatro operaciones
Sea A = abcd del cual debemos hallar a + b + c + d.
Del dato tenemos:
abcd # 999 = …5352

abcd # (1000 - 1) = …5352
abcd000 - abcd = …5352
Entonces:
abcd000
abcd
5352
10 - d = 2 & d = 8
9 - c = 5 & c = 4
9 - b = 3 & b = 6
7 - a = 5 & a = 2
-
` a + b + c + d = 20
Rpta. 20
Clave C
Pregunta 10
La media aritmética de dos números enteros es los 5/4 de su
media geométrica. Halla la razón de dichos números.
UNFV 2011 - II
A) 2 B) 3 C) 5
D) 4 E) 7
Resolución:
Tema: Promedios
• Media aritmética de a y b: a b
2
+
• Media geométrica de a y b: ab
Sean los números a y b.
Del enunciado planteamos:
a b
2
+ = ab
4
5
2(a + b) = ab5
[2(a + b)]2
= ab5
2
7 A
4(a2
+ 2ab + b2
) = 25ab
4a2
+ 8ab + 4b2
= 25ab

ab
a
ab
b4 42 2
+ =
ab
ab17
b
a
a
b4 4+ = 17 ; si
b
a = x
& 4x +
x
4 = 17
4x2
- 17x + 4 = 0

4x - 1
x - 4
(4x - 1)(x - 4) = 0
Entonces: x =
4
1 0 x = 4
Nos piden:
b
a = x
Rpta. 4
Clave D

4
Preguntas de
exámenes de admis
2.° de Secundaria
Pregunta 11
Halla m + n, si ,m n
11
0 6=
!
.
UNFV 2012 - I
A) 8 B) 9 C) 10
D) 12 E) 11
Resolución:
Tema: Numeración
Recordar:
0,ab ab
99
=
!
Sabemos:
0, n6
!
= n
99
6
& m
11
= n
99
6
9 . m = 6n
. .
7 3
& m = 7; n = 3
m + n = 10
Rpta. 10
Clave C
Pregunta 12
Syd agrupa cierta cantidad de discos de 7 en 7 y le sobran
dos. Cuando Robert los apila de 8 en 8, sobran tres discos para
completar una pila. David, en cambio, lo guarda en cajas de a
6 y uno queda suelto. ¿Cuántos discos hay, como máximo, si
dicha cantidad no es mayor que 700?
PUCP 2014 - I
A) 597 B) 635 C) 667
D) 541 E) 620
Resolución:
Tema: Divisibilidad
Sea “x” la cantidad de discos: x # 700
Según Syd: x = °7 + 2 = °7 - 5
Según Robert: x = °8 + 3 = °8 - 5
Según David: x = °6 + 1 = °6 - 5
Propiedad: x = MCM(7; 8; 6) - 5 … (a)
Se sabe que: MCM(7; 8; 6) = 168
En (a):
x = 168K - 5 # 700
k #
168
700 5+
k # 4,196
Máximo valor (k = 4): x = 168(4) - 5 = 667
Rpta. 667
Clave C
Álgebra
Pregunta 13
Halla el producto de los valores de x que satisfacen la ecuación:
log logx x5 6 02
2
2- + =
UNMSM 2010 - II
A) 12 B) 6 C) 30
D) 32 E) 5
Resolución:
Tema: Ecuación logarítmica
Resolvemos la ecuación logarítmica mediante un cambio
de variable para facilitar la factorización de la expresión
logarítmica.
(log2x)2
- 5(log2x) + 6 = 0
Hacemos el cambio: log2x = t ; x > 0
Luego: t2
- 5t + 6 = 0
Factorizamos: (t - 2)(t - 3) = 0
& t - 2 = 0 0 t - 3 = 0
& t = log2x = 2 0 t = log2x = 3
Por definición de logaritmos obtendremos:
x = 22
0 x = 23
Luego: x1 = 4 0 x2 = 8
Nótese que ambas soluciones son positivas.
Por lo tanto: x1 . x2 = 32
Rpta. El producto de valores de x que satisfacen la ecuación es 32.
Clave D
Pregunta 14
Halla el producto de la suma de coeficientes de (2x2
- 3y)5
con
la suma de los coeficientes de (x + y)4
.
UNMSM 2011- II
A) 15 B) -16 C) 30
D) -18 E) 20
Resolución:
Tema: Polinomios
Para una variable:
Recuerda que:
Si P(x) = x2
+ 2x + 5
& Suma de coeficientes = P(1) = 8
Para más de una variable:
Si P(x; y) = 3x2
+ 5xy + 6y2
& Suma de coeficientes = P(1; 1) = 14

5
Preguntas de
exámenes de admi
• P(x; y) = (2x2
- 3y)5
Suma de coeficientes = P(1; 1) = (2 - 3)5
= -1
• Q(x; y) = (x + y)4
Suma de coeficientes = Q(1; 1) = (1 + 1)4
= 16
Piden: (-1)(16) = -16
Rpta. -16
Clave B
Pregunta 15
Halla la suma de tres números que están en progresión
aritmética, sabiendo que la suma del primero y el tercero es
12, y que el producto del primero por el segundo es 24.
UNMSM 2012 - II
A) 14 B) 18 C) 16
D) 15 E) 12
Resolución:
Tema: Progresiones aritméticas
Sean los números que están en progresión aritmética.
; ;a a R a R2
t t t1 2 3
+ +
? ? ?

+R +R
Por dato tenemos:
a + (a + 2R) = 12
2a + 2R = 12
a + R = 6 … (I)
Además:
a # a R
I
+_
_
i
i
S
= 24
a # 6 = 24
a = 4
& R = 2
Entonces los números son 4; 6 y 8.
` t1 + t2 + t3 = 4 + 6 + 8 = 18
Rpta. 18
Clave B
Pregunta 16
Sean b ! 0 y c ! 0. Si a +
b
1 = 1 y b +
c
1 = 1, halla el valor
de abc.
UNMSM 2013 - I
A) 1 B) 2 C) -1
D) -2 E) 1/2
Resolución:
Tema: Teoría de ecuaciones
Como:
a +
b
1 = 1 / b +
c
1 = 1
&
b
ab 1+ = 1 /
c
bc 1+ = 1
& ab + 1 = b / bc + 1 = c
& (ab + 1) # c = b # c / bc + 1 = c
& abc + c = bc
c 1-
S
/ bc = c - 1
abc + cY = cY - 1
` abc = -1
Rpta. -1
Clave C
Pregunta 17
Si las ecuaciones en x:
x2
+ x + a = 0
x2
+ 2x + b = 0
tienen un raíz común, calcula:
b a
a b
2
5
2
-
-_ i
; b ! 2a
UNMSM 2014 - I
A) 5 B) 4 C) 6
D) 1 E) 3
Resolución:
Tema: Ecuaciones cuadráticas
Sea a la raíz en común de las siguientes ecuaciones en x:
x2
+ x + a = 0 … (I)
x2
+ 2x + b = 0 … (II)
Entonces de (II) y (I):
a2
+ 2a + b = 0
(-)
a2
+ a + a = 0
a + b - a = 0
a = a - b … (III)
Luego, reemplazamos (III) en (I):
(a - b)2
+ (a - b) + a = 0
(a - b)2
= b - 2a
Finalmente, nos piden calcular:
b a
a b
b a
b a
2
5
2
5 2
5
2
-
-
=
-
-
=
_ _i i
Rpta. 5
Clave A
Pregunta 18
Halla el valor de x en la siguiente ecuación:
logxlogx
- logx - 6 = 0
Da como respuesta la suma de soluciones.
UNI 2011-II
A) 10,01 B) 99,99 C) 100,01
D) 999,99 E) 1000,01

6
Preguntas de
exámenes de admis
2.° de Secundaria
Resolución:
Tema: Logaritmos
Regla del sombrero
Siendo a; b positivos se tiene:
logabn
= n . logab
con a ! 1 ; n ! R.
logxlogx
- logx - 6 = 0
(logx) . (logx) - logx - 6 = 0
(logx)2
- logx - 6 = 0
logx - 3
logx + 2
& (logx - 3)(logx + 2) = 0
& logx = 3 0 logx = -2
x = 103
0 x = 10-2
` La suma de soluciones = 103
+ 10-2
= 1000,01
Rpta. 1000,01
Clave E
Pregunta 19
Si x1 = 2 y x2 = -1 son raíces de x4
- ax2
+ b = 0, halla a - b.
UNI 2012 - I
A) -1 B) 0 C) 1
D) 2 E) 3
Resolución:
Tema: Ecuaciones
Para resolver el problema usaremos y aplicaremos el concepto
de solución o raíz de una ecuación polinomial.
Como x1 = 2 y x2 = -1 son raíces (o soluciones) de la ecuación
bicuadrada x4
- ax2
+ b = 0, entonces verifican la ecuación.
En particular, para x2 = -1 tenemos:
(-1)4
- a(-1)2
+ b = 0
& 1 - a + b = 0
` a - b = 1
Rpta. 1
Clave C
Pregunta 20
Sabemos que se cumple:
abc = 0
a + b + c = 1
Halla el valor de:
2 3
K a b c a b c2 2 2 3 3 3
= + + - + +d dn n
UNI 2013 - II
A) 0 B) 1/6 C) 1/3
D) 1/2 E) 1
Resolución:
Tema: Productos notables
Recuerda que:
(x + y)2
= x2
+ y2
+ 2xy
(x + y)3
= x3
+ y3
+ 3xy(x + y)
Como: abc = 0 & a = 0 0 b = 0 0 c = 0
Si: a = 0 & b + c = 1
• (b + c)2
= (1)2
& b2
+ c2
+ 2bc = 1
b2
+ c2
= 1 - 2bc
• (b + c)3
= (1)3
& b3
+ c3
+ 3bc b c
1
+_ i
S
= 1
b3
+ c3
= 1 - 3bc
Luego:
K =
2 3
a b c a b c2 2 2 3 3 3
+ + - + +d dn n
K = bc bc
2
0 1 2
3
0 1 32 3
+ - - + -d dn n
K =
6
1
Análogamente:
Si: b = 0 Si: c = 0
& K =
6
1& K =
6
1
` K =
6
1
Rpta. 1/6
Clave B
Pregunta 21
Considera a > b > 0 y determina el cociente entre la menor y
mayor de las raíces de la ecuación en x.
x a b x a b
1 1 1 1+ + =
+ +
UNI 2014 - II
A) a/b B) b/a C) ab
D) a + b E) 1
Resolución:
Tema: Ecuaciones
Resolvemos:

x a b
1 1 1+ + =
x a b
1
+ +
a b
1 1+ =
x a b x
1 1
+ +
-
ab
a b+ =
x x a b
x x a b
+ +
- - -
_ i
Se obtiene:
x2
+ (a + b)x + ab = 0
(x + a)(x + b) = 0
x = -a 0 x = - b

7
Preguntas de
exámenes de admi
Como: a > b > 0 & -a < - b < 0
Luego:

x
x
b
a
b
a
2
1
=
-
- =
Rpta. a/b
Clave A
Pregunta 22
Halla x + y, dado el siguiente sistema de ecuaciones:
xy(x + y) = 420
x3
+ y3
= 468
UNFV 2011 - II
A) 11 B) 24 C) 12
D) 10 E) 13
Resolución:
Tema: Productos notables
Binomio al cubo
(a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab(a + b)
Resolución y procedimiento
Datos: xy(x + y) = 420
x3
+ y3
= 468
Piden: x + y
Sabemos:
(x + y)3
= 3x y xy x y3 3
468 420
+ + +_ i
1 2 344 44S
(x + y)3
= 468 + 3 . 420
(x + y)3
= 1728
x + y = 17283
= 12
Rpta. 12
Clave C
Pregunta 23
Después de factorizar: x4
- 6x3
+ 5x2
, señala la suma de los
términos independientes de los factores.
UNFV 2014
A) 5 B) 6 C) -5
D) -6 E) 7
Resolución:
Tema: Factorización
Factorizamos: x4
- 6x3
+ 5x2
x2
(x2
- 6x + 5)
x - 5
x - 1
x2
(x - 5)(x - 1)
& Términos independientes: -5; -1
` -5 + -1 = -6
Rpta. -6
Clave D
Pregunta 24
Si F es una función constante, tal que:
F
F F
5 3
3 2
8
-
+
=
_
_ _
i
i i
Encuentra F(1997) + F(1998).
PUCP 2014 - I
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 9
Resolución:
Tema: Funciones
Sea la función constante: F(x) = a ; a ! R
Dato:
F
F F
5 3
3 2
-
+
_
_ _
i
i i
= 8
a
a a
3-
+ = 8
a = 4
& F(x) = 4
Piden: F(1997) + F(1998) = 4 + 4 = 8
Rpta. 8
Clave D
Geometría
Pregunta 25
La figura ABCD es un trapecio, CB = CD = 1 m, BD m3= y la
medida del ángulo BAD es 45°. Halla la medida del ángulo ADB.
UNMSM 2010 - II
A
D
B
C
A) 90° B) 120° C) 105°
D) 135° E) 75°
Resolución:
Tema: Cuadriláteros
Recuerda:
θ θ
a a
a 3
30ºθ =
Piden m+ADB = x
θ
θ
θA
D
45°
B
C
1 m
3 m
1 m
x

8
Preguntas de
exámenes de admis
2.° de Secundaria
Datos:
DC = CB = 1 m
DB = m3
m+DAB = 45°
Como ABCD es un trapecio entonces: //DC AB, luego por el
teorema de los ángulos conjugados internos:
(x + q) + 45° = 180°
& x + q = 135° … (I)
En el triángulo DCB, se deduce:
q = 30° … (II)
Reemplazamos (II) en (I):
x + 30° = 135°
` x = 105°
Rpta. 105°
Clave C
Pregunta 26
En un triángulo ABC, D es un punto medio de AB y E es un
punto de BC, tal que //DE AC. Si P y Q son los puntos medios
de AE y DC, respectivamente, y PQ = 6 cm, halla AC.
UNMSM 2011 - II
A) 16 cm B) 28 cm C) 22 cm
D) 24 cm E) 18 cm
Resolución:
Tema: Cuadriláteros
Piden AC.
A
D
B
C
QP
a
,
,
2a
6 n
n
m
m
E
Como AD = DB y //DE AC
Entonces, por el teorema de la base media en el triángulo ABC
tenemos:
DE = AC
2
= a
Por dato, tenemos que P y Q son puntos medios de las
diagonales AE y DC del trapecio respectivamente; además
PQ = 6.
Entonces, por teorema:
6 = a a
2
2 -
a = 12
Pero AC = 2a
` AC = 24
Rpta. 24 cm
Clave D
Pregunta 27
En la figura, A y B son puntos de tangencia y el ángulo ACB
mide 60°. Halla la medida del arco ADB.
UNMSM 2012-II
A
D
B
C
A) 60°
B) 75°
C) 120°
D) 90°
E) 105°
Resolución:
Tema: Circunferencia
Recuerda que:
En el ángulo exterior determinado por dos tangentes.

Q
P
x
α
Se cumple:
180ºx α+ =
(P y Q son puntos de tangencia)
Nos piden la medida del arco .ADB mADB x= =
!
Datos: m+ACB = 60°, A y B son puntos de tangencia.
x
A
D
60°
B
C
De la observación inicial, se cumple que:
m+ACB + mADB
!
= 180°
60° + x = 180°
` x = 120°
Rpta. 120°
Clave C
Pregunta 28
En la figura, halla a + b.
β
A
D
B
150°
20° 70°
C
E
UNMSM 2013 -I
A) 70° B) 90° C) 80°
D) 60° E) 100°

9
Preguntas de
exámenes de admi
Resolución:
Tema: Triángulos
Recuerda:
Suma de las medidas de los ángulos interiores:
β
θα 180ºα β θ+ + =
Medida del ángulo exterior en función de 2 ángulos internos:
x
β
α x α β= +
Nos piden a + b.
β
α
A
D
B
150°
20° 70°
C
E
Por teoremas previos:
• En el TABC: 20° + 150° + a = 180°
a = 10°
• En el TADE: 70° = b + 20°
b = 50°
` a + b = 60°
Rpta. 60°
Clave D
Pregunta 29
En la figura, ,
BC
AC
3
4= BE = 1 m y AD = 6 m.
Halla CE.
D
A
B
E
β
β
C
UNMSM 2014 - I
A) 9 m B) 10 m C) 8 m
D) 7 m E) 6 m
Resolución:
Tema: Triángulos rectángulos notables
Nos piden CE.
Datos:
BC
AC
3
4= ; BE = 1 m y AD = 6 m
D
A
B
E
3a
4a
4k
3k6 m
1 m
β = 37°
C
β = 37°
Del dato, ,
BC
AC
3
4= entonces AC = 4a y BC = 3a.
Se observa: ABC notable 37° y 53°, entonces b = 37°.
Luego, el DCE notable 37° y 53°, entonces CD = 3k y CE = 4k.
Como 3a = 4k + 1 y 4a = 3k + 6, dividimos las expresiones:
k
k
4
3
3 6
4 1=
+
+
k = 2
Finalmente CE = 4(2)
` CE = 8 m
Rpta. 8 m
Clave C
Pregunta 30
En la figura, se tiene una semicircunferencia con diámetro BF,
donde D es un punto de tangencia. Si AD = 3 cm, EC = 2 cm,
calcula AC (en cm).
A
D
B
C
E
F
UNI 2010 - II
A) 6,0 B) 6,4 C) 6,8
D) 7,2 E) 7,6
Resolución:
Tema: Semejanza de triángulos
Piden: DE = ,
Al tener los puntos de tangencia B, F y D, se cumple que:
AD = AB = 3
DE = EF = ,

10
Preguntas de
exámenes de admis
2.° de Secundaria
A
D
B
C
E
3
3
2´
´
F
Luego:
ABC a EFC
5
3
2,
,
+
=
6 = ,(5 + ,)
. .
1 1
Entonces: , = 1
` DE = 1
Rpta. 6,0
Clave A
Pregunta 31
En un triángulo ABC se tiene que m+C = 2m+A. Sobre el lado
AB se traza el triángulo ABP recto en B (P exterior a AB). Si
m+PAB =
2
1 m+C y AP = 12 u, determina el valor de BC (en u).
UNI 2012-Il
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8
Resolución:
Tema: Aplicaciones de la congruencia
Recuerda el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.
A
B
C
M
m
mm
Piden BC.
Sea: BC = x
Dato: AP = 12
A
6
12
6 6
2α 2α
B
C
Q
P
M
x
α
α
α
12
Se prolongan AC y PB hasta Q.
En el TAPQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez;
por lo tanto, el TPAQ es isósceles.
& AP = AQ = 12
En el TABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ.
& AM = MQ = BM = 6
El TMBC es isósceles, por lo tanto, x = 6.
Rpta. 6
Clave D
Pregunta 32
En la figura, el triángulo ABC recto en B, BH es la altura, BD es
la bisectriz del ángulo ABH y BE es la bisectriz del ángulo HBC.
Si AB = 7 u y BC = 24 u. Calcula el valor del segmento DE (en u).
UNI 2013-II
A D
B
CEH
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 9
Resolución:
Tema: Líneas notables
Recuerda algunos de los triángulos pitagóricos.
5
12
13
24
25
7
Nos piden DE = x.
θ
θ
A
D
7
θ + 2αα + 2θ2θ 2α
B
C
241
E
x
H
α α
Datos AB = 7, BC = 24 & AC = 25
Como BD y BE son bisectrices, entonces el TABE y el TBCD
son isósceles (AB = AE).
Luego:
x + 1 = 7
` x = 6
Rpta. 6
Clave C
Pregunta 33
En la circunferencia de radio R de la figura, determina el
ángulo a de modo que , = R.
UNI 2014 - II
A
B
C
α
,
A) 15º
B) 18º
C) 30º
D) 36º
E) 45º

11
Preguntas de
exámenes de admi
Resolución:
Tema: Circunferencia
A
60° 60°
60°
B
C
α
R
, = R
R
Dato: AC = , = R
Piden a.
Si AC = , = R & mAC
!
= 60°
Por ángulo inscrito:
a = mAC
2
!
= º
2
60 = 30º
Rpta. 30º
Clave C
Pregunta 34
¿Para qué valor de x, las rectas 1L y 2L serán paralelas?
12(8 - x)
x2
+ 120
L1
L2
UNFV 2012 - I
A) 5,92 B) 6,09 C) 6
D) 5,14 E) 8
Resolución:
Tema: Líneas y segmentos
Si 1L y 2L & x2
+ 120 + 12(8 - x) = 180°
x2
+ 120 + 96 - 12x = 180°
x2
- 12x + 36 = 0
(x - 6)2
= 0
` x = 6
Rpta. 6
Clave C
Pregunta 35
En un triángulo rectángulo un cateto “a” y la hipotenusa “c” son
enteros consecutivos, ¿cuál es el cuadrado del segundo cateto?
UNFV 2013
A) c - a B) c + a C) ca
D) 2a + c E) 2c - a
Resolución:
Tema: Triángulos
Datos: A
C B
x
a
c
c = a + 1
& c - a = 1
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
x2
+ a2
= c2
x2
= c2
- a2
x2
= c a c a
1
- +_ _i i
S
` x2
= c + a
Rpta. c + a
Clave B
Pregunta 36
La figura muestra un triángulo equilátero ABC, donde DE // AC y:
AB
AF
BC
BE
3
1= =
Calcula la medida del ángulo x.
PUCP 2013-I
A
D
B
C
F
x
E A) 60º
B) 30º
C) 37º
D) 25º
E) 40º
Resolución:
Tema: Triángulos
Por la proporción:
Si AF = m & AB = 3m
DABC por ser equilátero,
entonces:
DB = BE = DE
Además: AB = BC = 3m
Por el dato de la proporción:
BC = 3m & BE = m
De la figura: BE = DB = m
& DA = 2m & FD = m
TFDE es isósceles: x = 30°
Rpta. 30°
Clave B
A
D
B
C
F
x
m
m
m
m
m
2m
3m
60°
120°
60°
60°
E

12
Preguntas de
exámenes de admis
2.° de Secundaria
Trigonometría
Pregunta 37
En la figura, CB = 4 cm, M es punto medio de AB, CM = MB y
AB = 2 6 cm. Halla cosa.
A
C
B
M
α
UNMSM 2010-II
A)
3
2 B)
3
3 C)
2
3
D)
3
2 2 E)
2
2
Resolución:
Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Propiedad:
Si x + y = 90°, entonces, cosx = seny.
Piden cosa.
θ
θ
A
C
L
2
2
2θ
B
M
2
66
α
M es punto medio de AB
& AM = MB = 6
CM = MB & m+MCB = m+CBM = q
Se traza la altura ML: & CL = LB = 2
MLB (teorema de Pitágoras):
2ML ML6 2
2 2 2
&+ = =_ _i i
Se observa que: a + 2q = 90°
Entonces:
cosa = sen2q
cosa = 2senqcosq
cosa = 2
6
2
6
2
f dp n
` cosa =
3
2 2
Rpta.
3
2 2
Clave D
Pregunta 38
Si 0 < q < ,
4
π simplifica la expresión:
1 2 2
1 2 2
cos
cosE
sen
sen
θ θ
θ θ=
+ +
- +
UNMSM 2011-II
A) cotq B) senq C) tanq
D) cosq E) tan2q
Resolución:
Tema: Identidades trigonométricas del ángulo doble
• 2sen2
q = 1 - cos2q
• 2cos2
q = 1 + cos2q
• sen2q = 2senqcosq
Piden simplificar:

1 2 2
1 2 2
cos
cosE
sen
sen
θ θ
θ θ=
+ +
- +
Por identidades del ángulo doble:

2 2
2 2
cos cos
cosE
sen
sen sen
2
2
θ θ θ
θ θ θ=
+
+

2cos cos
cos
E
sen
sen sen2
θ θ θ
θ θ θ
=
+
+
_
_
i
i
Simplificando tenemos:

cos
E sen
θ
θ=
` E = tanq
Rpta. tanq
Clave C
Pregunta 39
Si cosa = ,
n
m donde |m| ! |n|, halla el valor de:
K = (cota + csca)(tana - sena)
UNMSM 2012-II
A)
m
n 12
2
- B) 1
n
m
2
2
- C)
mn
m 12
-
D)
mn
m n2 2
- E)
mn
n m2 2
-
Resolución:
Tema: Identidades trigonométricas fundamentales
• tanqcotq = 1 • secq =
cos
1
θ
• tanq =
cos
sen
θ
θ • senqcscq = 1
Dato:
cosa =
n
m ; |m| ! |n|
K = (cota + csca)(tana - sena)
K = cotatana - cotasena + cscatana - cscasena
K = 1 cos
cossen
sen
sen
sen1 1
α
α α
α α
α- + -b bl l
K = -cosa + seca
Reemplazamos el dato:
K =
n
m
m
n
m
n
n
m- + = -
` K =
mn
n m2 2
-
Rpta.
mn
n m2 2
-
Clave E

13
Preguntas de
exámenes de admi
Pregunta 40
Se tiene el triángulo rectángulo BAC que es recto en A. Si
CQ = a cm, AB = b cm; halla el valor de
b
a .
A B
C
Q
45°
30°
UNMSM 2013-I
A)
3
1 3 3-_ i B)
3
1 3 3+_ i C)
3
1 6 3-_ i
D)
3
1 6 3+_ i E)
3
1 3
Resolución:
n
60°
30°
2n
n 3
n
45°
45°
n
n 2
A B
C
Q
45°
30°
30°
a
a/2
a 3/2
a 3/2
b
tan30° =
b
a
2
1 3+_ i

b
a = ºtan
3 1
2 30
+
b
a = º
1
tan
3 1
2 30
3
3 1
+ -
-
f p

b
a = 30ºtan 3 1-_ i

b
a =
3
3 3 1-_ i

b
a =
3
1 3 3-_ i
Rpta.
3
1 3 3-_ i
Clave A
Pregunta 41
Determina el rango de la función:
f(x) = (2 + senx)(2 - senx), x ! R
UNMSM 2014-I
A) [2; 4] B) [1; 3] C) [3; 4]
D) [1; 9] E) [1; 4]
Resolución:
Tema: Funciones trigonométricas
-1 # senx # 1 ; x ! R
f(x) = (2 + senx)(2 - senx)
Aplicamos diferencia de cuadrados:
f(x) = 4 - sen2
x
Si x ! R & -1 # senx # 1
0 # sen2
x # 1
0 $ -sen2
x $ -1
4 $ 4 - sen2
x $ 3
4 $ f(x) $ 3
3 # f(x) # 4
` f(x) ! [3; 4]
Rpta. [3; 4]
Clave C
Pregunta 42
Sea:
A = {(x; y) ! R2
/ x = cos2
t; y = sen2
t; t ! R}
Entonces podemos afirmar que:
UNI 2011-I
A) A es una circunferencia.
B) A es un segmento de recta.
C) A es una semielipse.
D) A es una recta.
E) A es un segmento de parábola.
Resolución:
Tema: Ecuación paramétrica de la recta
Recuerda:
cossen 12 2
θ θ+ =
Sea:
A = {(x; y) ! R2
/ x = cos2
t; y = sen2
t; t ! R}
x = cos2
t … (I)
y = sen2
t … (II)
Donde 0 # x # 1 / 0 # y # 1
Sumamos (I) y (II):
x + y = 1
Se tiene la ecuación de un segmento de recta debido a que x
e y están acotados.
Rpta. A es un segmento de recta.
Clave B
Pregunta 43
Una escalera se encuentra apoyada en una pared haciendo un
ángulo de 45°. Se resbala, la parte inferior se desliza 8 5 m2-
de su posición inicial y el nuevo ángulo que forma con la pared
es 53°. ¿Cuántos metros mide la escalera?
UNI 2012-II
A) 8 B) 10 C) 12
D) 14 E) 16

14
Preguntas de
exámenes de admis
2.° de Secundaria
Resolución:
Triángulos rectángulos notables
45°
45°
k
k
k 2
3k
4k
5k
53°
37°
Sea AB la longitud de la escalera.
A
3k
A'
B'
B M
4k - 8 + 5 28 - 5 2
4k
Si A'M = 3k, entonces B'M = 4k y A'B' = 5k.
Se observa que AB = A'B'.
k4 8 5 2 2- +_ i = 5k
k4 2 8 2 10- + = 5k
810 2- = k k5 4 2-
2 5 4 2-_ i = k 5 4 2-_ i
k = 2
` AB = 5k = 5(2) = 10
Rpta. 10
Clave B
Pregunta 44
Si secx = csc2q - cot2q, determina:
E =
2 cot cos
sec tan
x
x2 2
θ
θ
- +
-
UNI 2013-I
A) -1 B) 0 C) 1/2
D) 1 E) 3/2
Resolución:
Tema: Identidades trigonométricas de arco doble
• tan
2
x
b l = cscx - cotx
• sec2
x = 1 + tan2
x
De la condición:
secx = csc2q - cot2q
secx = tanq … (I)
cosx = cotq … (II)
Nos piden E:
E =
2 cot cos
sec tan
x
x2 2
θ
θ
- +
-
E =
cot cos
tan tan
x
x
2
1 2 2
θ
θ
- +
+ -
Reemplazamos (I) y (II) en la expresión:
E =
cos cos
sec tan
x x
x x
2
1 2 2
- +
+ -
E =
2
1 1+
` E = 1
Rpta. 1
Clave D
Pregunta 45
Si tan2
a = 2tan2
x + 1, halla el valor de y = cos2
a + sen2
x.
UNI 2014-I
A) sen2
a B) cos2
a C) 1 + sen2
a
D) tan2
a E) 1 + cos2
a
Resolución:
Tema: Identidades trigonométricas fundamentales
• sec2
q = 1 + tan2
q
• secq =
cos
1
θ
• sen2
q = 1 - cos2
q
tan2
a = 2tan2
x + 1
1 + tan2
a = 2(tan2
x + 1)
sec2
a = 2sec2
x
cos
1
2
α
=
cos x
2
2
cos2
x = 2cos2
a
Nos piden:
y = cos2
a + sen2
x
y = cos2
a + 1 - cos2
x
y = cos2
a + 1 - (2cos2
a)
y = 1 - cos2
a
y = sen2
a
Rpta. sen2
a
Clave A
Pregunta 46
Si se cumple que cos(x - y) = 3senxseny, calcula tanxtany.
UNFV 2010
A) -2 B) -1/2 C) 1/2
D) 1 E) 2
Resolución:
Tema: Arco compuesto
Recuerda: cos(x - y) = cosxcosy + senxseny
Al desarrollar cos(x - y) en la igualdad obtenemos:
cos(x - y) = 3senxseny
cosxcosy + senxseny = 3senxseny
cosxcosy = 2senxseny

2
1 =
cos cosx y
senxseny
`
2
1 = tanxtany
Rpta. 1/2
Clave C

15
Preguntas de
exámenes de admi
Pregunta 47
Si: cos
b
senx
a
x=
Calcula: R = acos2x + bsen2x
UNFV 2011
A) a2
/2 B) a2
C) b2
D) a E) b
Resolución:
Tema: Arco compuesto
Recuerda: cos2x = 1 - 2sen2
x
sen2x = 2senxcosx
Dato: cos
b
senx
a
x=
& senx = cos
a
b x … (I)
Nos piden:
R = acos2x + bsen2x
Por identidad de arco doble sabemos:
R = a(1 - 2sen2
x) + b(2senxcosx)
De (I) tenemos:
R = 1 2 2cos cos cosa
a
b x b
a
b x x
2
- +d dn n> >H H
R = cos cosa
a
b x b
a
b x1 2 22
2
2 2
- +< <F F
R = 2 2cos cosa
a
b x
a
b x
2
2
2
2
- +
R = a
Rpta. a
Clave D
Pregunta 48
En la figura, EF = 2 cm. Halla BC.
A
D
B
C
F
α
E
PUCP 2014-I
A) 2cosa cm B) 2cota cm C) 2sena cm
D) 2tana cm E) 2seca cm
Resolución:
Tema: Razones trigonométricas
Recuerda:
x
a
α
cotx a α=
Dato: EF = 2 cm
Piden: BC = x
x
A
D
B
C
F
α
α
α
E 2
2cotα
En el EBC: sena =
cot
x
2 α
& x = 2cotasena = 2cosa
Rpta. 2cosa cm
Clave A

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