El documento introduce el concepto de integral definida. Explica que se desarrolló para calcular áreas de figuras irregulares usando un método de aproximación llamado "método de exhaución". Este método aproxima el área total cubriéndola con figuras como cuadrados y triángulos cuyas áreas son fáciles de calcular. Luego, define la integral definida formalmente como el límite de la suma de las áreas de los rectángulos que aproximan el área bajo una curva cuando se divide el intervalo en partes más peque

1. INTRODUCIÒN A LA INTEGRAL DEFINIDA. Msc . Juan Carlos Palomino M. .

2. INTRODUCCIÓN INTEGRAL DEFINIDA. Uno de los problemas que motivó el desarrollo del cálculo integral estuvo relacionado con la necesidad de calcular áreas de regiones planas irregulares. El método para calcular el área de estas figura se conoce como método de exhaución que implica un proceso de límite.

3. INTRODUCCIÓN INTEGRAL DEFINIDA. Método de exhaución básicamente consiste en aproximar el área deseada recubriendo la superficie totalmente por sucesiones de figuras geométricas cuya área se pude calcular muy fácilmente, como los cuadrados, rectángulos y sobre todo los triangulo. La más común de todas es el rectángulo cuya área se define como la base por la altura.

4. La representación algebraica del área de un rectángulo es un concepto abstracto que independientemente de las variables que se utilicen siempre lo indicaremos con un producto y lo que realmente cambia es su significado que dependerá del contexto. Los ejemplos siguientes dan cuenta sobre áreas no geométricas que se representan con el producto. INTRODUCCIÓN INTEGRAL DEFINIDA Los dos ejemplos siguientes tipifican lo anterior

5. El producto donde v es la velocidad constante de un móvil y t es el tiempo se representa gráficamente por INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA. En ese contexto, ¿cuál es el significado del área del rectángulo?

6. El producto , donde F es la fuerza constante aplicada a un objeto y d es el desplazamiento en dirección de la fuerza constante. INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA. En este caso particular, ¿cuál es el significado del área del rectángulo?.

7. Los dos ejemplos anteriores confirma que el accionar de un producto de la forma , si bien se ejemplifica y se relaciona con el concepto de área, esta connotación dependerá del contexto. Iniciaremos el estudio de la integral definida apoyándonos en el concepto de área de figuras irregulares, y para la cual utilizaremos como base las áreas de rectángulos, esto es

8. INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA. Consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 1 Calcular el área bajo la gráfica de la función Ejemplo 1 Calcular el área bajo la gráfica de la función Ejemplo 1 Calcular el área bajo la gráfica de la función y sobre el intervalo

9. Solución 1 Según la gráfica podemos ver que el área total sombreada es igual al área del rectángulo más el área del triángulo, Otra forma de solucionar el ejemplo anterior es recubriendo el área sombreada con una sucesión de rectángulo como se muestra a continuación: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA.

10. Solución 2 Se particiona el intervalo cerrado subintervalos cerrados INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA.

11. Observe que los extremos derecho de cada subintervalo están dado por INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA.

12. Los subintervalo particionan el área en n rectángulos circunscrito cuya base tiene una la longitud INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA. La altura de cada uno de los rectángulos es

13. El área del rectángulo (ver fig. 4) se obtiene de la siguiente manera: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA.

14. Sin embargo, el área obtenida es aun mayor que el área sombrada, este es un área por exceso. Para hallar el área total sombreada tenemos que inscribir infinitos rectángulos lo que sugiere que tienda a infinito, es decir, INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA.

15. Definición de integral definida. Sea una función continua definida en , dividimos el intervalo en suvintervalo de igual ancho Denotamos con los intervalos y elegimos los puntos INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA. en cada subintervalos, donde está Se define la integral definida por