La sumatoria permite representar sumas de muchos sumandos e incluso infinitos sumandos. Se define como la suma desde un límite inferior m hasta un límite superior n de un valor x indexado por i. Para calcular el área bajo una curva, se divide el intervalo en subintervalos y se aproxima el área como la suma de las áreas de rectángulos inscritos o circunscritos, lo que mejora al aumentar el número de subintervalos. El límite de estas sumas cuando el número de subintervalos tiende a infinito es igual al área real bajo

1. Autor: Oswaldo Torres
Tutor: Domingo Méndez
Materia: Matemática II (SAIA)
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE RECTORADO ACADEMICO
FACULDTAD DE INGENIERIA

2. La sumatoria es un operador matemático que
permite representar sumas de muchas sumandos,
n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la
letra griega sigma ( ∑ ), y se define como:
Donde:
m es el limite inferior (numero donde comienza la sumatoria).
n es el limite superior (numero hasta donde llegara la sumatoria).
La variable i es el indice de la suma, que varia entre m y n.
x es el valor de la magnitud objeto de la suma en el punto i.
Se lee: “ sumatorio sobre i, desde m hasta n, de X sub-indice i”

3. • El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de
integración.
• Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
• Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone
como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. • La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante
por la integral de la función.

5. Los griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo
(producto de la base por altura). La trigonometría facilita una formula para hallar
la medida que es “el área de un triangulo cualquiera es igual a un medio del
producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman dichos lados”.
Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método,
que es el que vamos a estudiar a continuación.
Sea f: [a,b]→ IR una función continua y no
negativa. Considérese una región en el
plano cartesiano acotado por el eje x, las
restas x=a y x=b y la curva de la función
y= F(x).

6. Deseamos hallar la medida del área de la región R. para tal efecto, podemos
proceder de dos maneras:
 SUMA INFERIOR
De tal manera dividimos el intervalo cerrado [a,b] en n-subintervalos iguales de
longitud Δx. Donde Δx=(b-a)/n denotaremos los puntos extremos de estos
subintervalos por X0, X1,X2,X3,……,Xn-1,Xn; Donde X0=a, x1=a+Δx,……, Xn-1=
a+(n-1)Δx, Xn=b
Así mismo denótese el i-esimo intervalo por [Xi-1, Xi]. Como f es continua en
[a,b], f es continua en cada subintervalo cerrado. Por el teorema del valor extremo
sabemos que existe un numero en cada subintervalo para el cual f tiene un valor
minimo absoluto. Sea mi este numero en el i-esimo subintervalo, de tal modo que
f(mi) es el valor mínimo absoluto de f en [Xi-1, Xi] construimos el rectangulo Ri
de base en el subintervalo [Xi-1,Xi] y de altura f(mi). El area de este angulo es:

7. Área de Ri= f(mi)(Xi-Xi-1) = f(mi)Δx
Este proceso se hace para cada i=1,2,3,……,n, y se obtienen n rectángulos
inscritos en la region R. las figuras ilustran este proceso para los casos n=2 y n=4.
Si es la suma de las aéreas de los n rectángulos inscritos, entonces:

8. O, con la notación sigma,
Donde la expresión anterior tomara nombre de suma inferior. Si A(R) es la area de la región R
tenemos que:
Si duplicamos el numero n, entonces se duplicara el numero de rectángulos, los que tendran la
mitad de ancho; sin embargo, la suma de la área de los nuevos rectángulos aproxima mejor a
A(R) que la suma anterior. Si seguimos el proceso de duplicar el numero n, cada vez
obtendremos mejores aproximaciones para el área A(R). Se prueba en los cursos de calculo
avanzado que los números ando n→+∞ , tiene un limite que es, precisamente, A(R). ósea

9.  AREA CON RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS
Procedemos con el caso interior, con la variante de cada subintervalo [Xi-1,Xi], en
lugar de tomar el mínimo absoluto de f tomamos el máximo absoluto. Esto es, en
[Xi-1, Xi] hay un punto Mi, tal que f (Mi) es el máximo absoluto de f en [Xi-1,Xi].
Construimos el rectángulo Ri con base [Xi-1,Xi] y altura f (Mi).

10. Si n es la suma de las aéreas de los n rectángulo, entonces
A la expresión anterior la llamaremos suma superior. Se cumple:
Al igual que en la suma superior . Se prueba en lis cursos de calculo avanzado que
los números cuando n→+∞, tiene un limite que es, precisamente, A(R). En otras
palabras:

11. Asi que (1) y (2) tenemos que:

14. Teorema de Valor Medio para integrales
Si f es una función continua en el intervalo [a,b] entonces existe en este un punto
tal que se verifique la siguiente igualdad:
Podemos dar una interpretación geométrica como
sigue: consideremos una fusión f tal que f(x) ≥ 0,
para todos los valores de x en el intervalo [a,b].
Entonces es el área de la región limitada
por la curva con ecuación y= f(x), en el eje x y las
rectas con ecuaciones x= a, x=b