Importancia de la integral definida en el área tecnológica

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN - BARQUISIMETO
Realizado por:
Stefanía Colmenarez
Matemática II (SAIA)
Diseño de Obras Civiles
II Semestre
Marzo, 2016

2. ~ 2 ~
Introducción
La integral definida es un tema que tiene bastante importancia en el
área de la tecnología, esto es debido a sus aplicaciones y su misma
concepción, esencial para el entendimiento de diversos términos
matemáticos. Además de ello, la integral definida cuenta con diversos
elementos, parámetros y lineamentos para poder ser aplicada dentro de las
funciones, siendo el teorema fundamental del cálculo una de ellas, por lo que
en la siguiente investigación se abordara de manera ordenada y sistemática
cada una de esas partes indispensables para lograr comprender y aplicar de
la manera correcta esta integral, y de esta manera, hacer fácil y sencillo el
entendimiento de la misma, además de abordar las diversas aplicaciones
prácticas que tiene dando ejemplos para hacer la explicación más clara y
concisa.
En esta investigación se tratara la importancia que tienen las
integrales definidas en el área tecnológica y se presentaran algunos
ejemplos donde se evidenciara la aplicación de las mismas en el tema antes
mencionado.

3. ~ 3 ~
Integral Definida
Definición: Dada una función no negativa 𝑓(𝑥), y un intervalo [𝑎, 𝑏] en el
cual la función esté definida, llamaremos integral definida de 𝑓(𝑥) en [𝑎, 𝑏] al
área encerrado por la curva 𝑓 entre 𝑎 𝑦 𝑏, y el eje 𝑂𝑋. Lo denotaremos
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 baenxfdedefinidaIntegraldxxfxfdeÁreaR
b
a
,)()()(  
Propiedades de la integral definida
Dada una función integrable 𝑓 en [𝑎, 𝑏], entonces:
 Si 𝑓0 en [𝑎, 𝑏] entonces 
b
a
dxxf )(  0. (es decir, si la función es
positiva, el valor de la integral también lo será. Por tanto,
cuando la función sea negativa, la integral será también
negativa).
 
a
a
dxxf )( =0

4. ~ 4 ~
 Si 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, entonces: 
b
a
dxxf )( = 
c
a
dxxf )( + 
b
c
dxxf )(
 
b
a
dxxf )( = 
a
b
dxxf )(
 
b
a
dxxf )( + 
b
a
dxxg )( =  
b
a
dxxgxf ))()((
 
b
a
dxxfk )( = 
b
a
dxxfk )(·
Teorema fundamental del cálculo integral
Antes de demostrar el teorema fundamental, debemos dar una serie
de definiciones y demostrar otro teorema previo.
Teorema del valor medio del cálculo integral:
Si f es continua en [𝑎, 𝑏], entonces existe 𝑐[𝑎, 𝑏] tal que:

b
a
dxxf )( = f(c)·(b – a)
Demostración:
Si 𝑓(𝑥) es continua entonces alcanza un valor máximo 𝑀 y uno
mínimo 𝑚 en [𝑎, 𝑏] luego el área de la función estará comprendida entre la
del rectángulo pequeño, de altura 𝑚 y área 𝑚 · (𝑏 − 𝑎), y el área del
rectángulo grande, de altura 𝑀 y área 𝑀(𝑏 − 𝑎), es decir:
M
m
a b
f(x)

5. ~ 5 ~
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤
𝑏
𝑎
𝑀(𝑏 − 𝑎) , que dividiendo entre (𝑏 − 𝑎) nos
queda:
𝑚 ≤
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏−𝑎
≤ 𝑀
Como la función 𝑓(𝑥) es continua, toma todos los valores
comprendidos entre el máximo y el mínimo, ya que se debe cumplir el
teorema de Darboux es decir,  𝑘[𝑚, 𝑀],  𝑐[𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑐) = 𝑘
Concretamente si 𝑘 =
ab
dx)x(f
b
a


(que es un valor comprendido entre 𝑚
y 𝑀) entonces,
 𝑐[𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑐) =
ab
dxxf
b
a

 )(
o equivalentemente,  𝑐[𝑎, 𝑏] tal que
 
b
a
)ab)·(c(fdx)x(f
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Si 𝑓 es una función continua en [𝑎, 𝑏], entonces su función asociada
𝐹(𝑥) = 
x
a
dxxf )( , con 𝑥 [𝑎, 𝑏], es derivable y se verifica que 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥).
(es decir, la función asociada de f(x) es una primitiva suya)

6. ~ 6 ~
Demostración:
Por definición, tenemos que:
𝐹’(𝑥) =
h
xFhxF
h
)()(
lim
0


Además, por las propiedades 4 y 3 de las integrales definidas:
𝐹(𝑥 + ℎ) – 𝐹(𝑥) = 
hx
a
dxxf )( − 
x
a
dxxf )( = 
hx
x
dxxf )(
Y por el teorema del valor medio del cálculo integral, ∃𝑐 [𝑥, 𝑥 + ℎ] tal
que:

hx
x
dxxf )( = 𝑓(𝑐) · (𝑥 + ℎ – 𝑥) = 𝑓(𝑐) · ℎ
Teniendo en cuenta todo lo anterior:
𝐹’(𝑥) = )()(lim
)(·
lim
)()(
lim
*00
xfcf
h
cfh
h
xFhxF
hhoh



Como 𝑐 [𝑥, 𝑥 + ℎ], cuando ℎ 0 entonces ‘𝑐’ tiene que tender
necesariamente a 𝑥.
Hemos probado entonces que 𝐹(𝑥), tal y como la hemos definido, es
una primitiva de 𝑓(𝑥).

7. ~ 7 ~
La Integral Definida y el Área Tecnológica
Para exponer la importancia que tienen las integrales definidas en el
área tecnológica se partirá de una pequeña investigación que se realizó con
el antes mencionado.
El cálculo integral en el área tecnológica ha sido de gran importancia
en los distintos ámbitos en los que se desarrolla esta área, ya sea en lo que
se refiere al software, al hardware, al manejo de datos o de señales. En fin,
son muchas y muy variadas las aplicaciones que tiene el cálculo integral, el
cual ha sido base de distintos procesos y avances tecnológicos actuales
tanto en la ingeniería en computación como en las demás ingenierías.
Un ejemplo claro acerca de la trascendencia del cálculo integral,
específicamente de la integral definida, en lo que respecta al hardware de
una computadora, es en el análisis de circuitos, en el cual se pueden ver
aplicaciones directas de integrales, como es el caso del cálculo de la energía
disipada a partir de la potencia que tenga el circuito, asimismo, es importante
al observar el comportamiento de un condensador debido a que la tensión de
éste, no solo depende de la corriente que circula por él, sino que también de
la suma de las corrientes que atravesaron con anterioridad, es decir, la carga
acumulada, lo cual es posible calcular mediante integrales definidas y con
esto se podría afirmar que dicho dispositivo tiene memoria de corrientes,
como es el caso también de las bobinas; esto nos lleva al análisis de
circuitos RLC debido a que muchos de los elementos que están presentes en
estos casos tienen en sus ecuaciones algunas integrales, las cuales tienen
que ser derivadas y para lograrlo es necesario utilizar el Teorema
Fundamental del Cálculo.

8. ~ 8 ~
En este sentido, no solamente el cálculo integral es enfocado a las
operaciones con aparatos físicos, sino también está presente en fenómenos
como son las señales, especialmente las sinusoidales. Para estas señales,
es posible determinar el valor medio de una señal genérica en cierto intervalo
de tiempo, así como su valor eficaz e inclusive determinar otra señal
sinusoidal de la misma frecuencia, gracias a las integrales definidas.
Es importante señalar que el cálculo de las integrales definidas no
solamente nos permite ver las características de las señales, sino también
nos permiten expandirlas trigonométricamente mediante las series de
Fourier, lo cual puede ser útil si queremos conocer las frecuencias de los
componentes que forman la señal, lo cual podría llevarnos a poder eliminar
los ruidos de alta frecuencia, lo cual es necesario conocer si se está
diseñando algún software de edición de música. Pero no solamente las
series de Fourier nos ayudan para el manejo de frecuencias y señales, sino
que también se aplica en la compresión de datos, ya que permite identificar
ciertos términos de la expansión trigonométrica necesarios y poder
conservarlos.
Por otra parte; si lo que se quiere es trabajar con imágenes es
necesario contar con histogramas que representen la relación entre la escala
de grises que tenga una imagen con la cantidad de pixeles que posea dicha
imagen; al tratar el histograma como una función continua en cierto rango, el
cual su tratamiento tiene que ver con el cálculo de integral definida; esto con
el fin de modificar la imagen, ya sea para que se vea más nítida o para
comprimirla.
Es por ello que se puede concluir y afirmar que todas estas
aplicaciones de las integrales definidas guardan una estrecha relación con el
área tecnológica, y es allí donde radica la importancia de la misma.

9. ~ 9 ~
Una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos,
infinitamente pequeños. Para poner un buen ejemplo de la importancia de las
integrales definidas en el área tecnológica, se tratara el método de exhaución
usado por los egipcios para calcular áreas de círculos, el cual es aplicado
para modelar en tres dimensiones.
El método de exhaución consiste en que en un círculo se traza un
polígono, el cual tiene las características de que todos sus lados o esquinas
tocan al círculo, y al sacar el área de ese polígono, sale un área que es
aproximada al área real del círculo. Es obvio que entre más lados tenga el
polígono, más precisa será el área que sacamos, ya que se reduce el
espacio ocupado por las áreas despreciables que se forman entre el
polígono y el círculo.
Esto podría ser interpretado en cálculo de integral definida como una
suma infinita de las áreas en el polígono de n lados que se forman en cada n
“pedazos” del polígono. Este mismo principio es usado en las gráficas por
computadora, para producir las gráficas más precisas y reales de acuerdo a
las capacidades de sus procesadores. No importa cuánto avance la
tecnología, nunca se podrá alcanzar a modelar una figura tridimensional que
sea perfectamente redonda. Esto, aparte de que es humanamente imposible
de hacer para el usuario, también es imposible de procesar para la
computadora. Lo que se hace es “aproximar” una figura que parezca redonda
para nuestros ojos pero en realidad sea un polígono tridimensional con
superficies planas, pero que nosotros no podemos alcanzar a ver. No se
puede conseguir una figura perfectamente redonda debido a que no se
puede sumar infinitamente áreas o volúmenes para formar una figura, así

10. ~ 10 ~
que se lo que se hace en la computación gráfica es fijar un límite de cuántas
sumas puede hacer el procesador para obtener la figura deseada, que
aunque no sea perfecta, es más que suficiente para convencer al ojo
humano. Esto se hace en base al concepto de sumas de Riemann.
Para dejar más claro el ejemplo anterior, se abordar el ejemplo de la
consola Nintendo 64. 5. Esta fue una de las primeras consolas en el mercado
en usar gráficas tridimensionales, por lo cual, sus capacidades eran limitadas
comparadas con las consolas actuales, por lo cual, se tenían que hacer
modelos tridimensionales con los que la consola trabajara correctamente (es
decir, que no fueran exageradamente detallados) y que fueran lo
suficientemente reales para los jugadores. Así, se marcaba un modelo en
tercera dimensión que presentara el balance entre estos dos elementos, que
fuera procesable para la consola y que se viera real para el usuario. Y como
resultado quedaba un modelo que a pesar que se veía claramente que era
un polígono, la consola podía trabajar perfectamente con él.
Por tanto se puede concluir que debido al avance de la tecnología,
actualmente se pueden lograr hacer modelos tridimensionales cada vez más
precisos; esto gracias al uso de las integrales definidas.