Trabajo final maestria

“El Álgebra es un Juego” 1
ENSEÑANZA DE FACTORIZACIÓN, CON LA AYUDA DEL MATERIAL
DIDÁCTICO “EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO”, A LOS ESTUDIANTES DE ÁLGEBRA
DEL COLEGIO NUESTRA SEÑORA DE FÁTIMA.
HERNANDO ACEVEDO RÍOS
UNIVERSIDAD DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
MAESTRÍA EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
MANIZALES, COLOMBIA
2014

ENSEÑANZA DE FACTORIZACIÓN, CON LA AYUDA DEL MATERIAL
DIDÁCTICO “EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO”, A LOS ESTUDIANTES DE ÁLGEBRA
DEL COLEGIO NUESTRA SEÑORA DE FÁTIMA.
HERNANDO ACEVEDO RÍOS
Trabajo de grado presentado como requisito para optar al título de:
MAGISTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
Director: ORLANDO AYA CORREDOR Mgtr
UNIVERSIDAD DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
MAESTRÍA EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
MANIZALES, COLOMBIA
2014

NOTA DE ACEPTACIÓN
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FIRMA DEL JURADO
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FIRMA DEL JURADO
Manizales, 03 de Octubre de 2014

Este trabajo está dedicado en primer lugar a mi esposa Blanca Aleyda
Salgado Blandón, quien siempre me ha apoyado y colaborado en
todos mis proyectos, especialmente en “El Álgebra es un Juego”. Es
mi mano derecha en todo lo que tiene que ver con la fabricación de
las fichas y los controles de calidad. Todo lo ha hecho con mucho
amor y dedicación. También le dedico este trabajo a mis hijos Daniel
David, Jenny Susanna y Andrea Lorena quienes han vivido este
proceso durante muchos años, me han colaborado y siempre han
creído en que este proyecto va a salir adelante.

AGRADECIMIENTOS
A mi esposa Blanca Aleyda y mis hijos Daniel David, Jenny Susanna y Andrea Lorena, quienes
siempre han apoyado este proyecto y me han colaborado para mejorarlo cada vez más.
Al Colegio Granadino donde lo llevé a la práctica por primera vez.
A mis estudiantes del Colegio Granadino, del Instituto Universitario, de la Institución Educativa
La Trinidad, de la Institución Educativa San Antonio de Arma, del Colegio Autónoma de
Manizales y de la Institución Educativa Nuestra Señora de Fátima, quienes con su deseo de
aprender y sus palabras de felicitación, me motivaron para enriquecer este proyecto y aplicarlo
con ellos en las clases de Matemáticas.
A la profesora Luz Elena Ospina por sus excelentes sugerencias para enmarcar mi trabajo en la
teoría de las representaciones sociales y por sus enseñanzas para construir los instrumentos de la
metodología.
A la profesora Andrea Milena Cárdenas quien me dio valiosos consejos sobre la manera de hacer
el trabajo de grado y por sus enseñanzas en el campo metacognitivo e investigativo.
Al profesor Orlando Aya Corredor, el Director de este trabajo, quien le dedicó muchas de sus
valiosas horas para revisarlo detalladamente, corregir los errores, modificar la redacción
mejorando el estilo y hacer las mejores sugerencias, en lo relacionado con consultas de libros y
trabajos de grado para presentar una tesis de grado de alta calidad.
A los profesores Leonel Palomá Parra y William Aristizábal Botero quienes más que
académicos fueron amigos que me motivaron para hacer la Maestría, siempre apoyaron mi
trabajo e hicieron las últimas revisiones y valiosas sugerencias con mucho profesionalismo.

TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN 14
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS 17
1.1 RESUMEN ANALÍTICO EDUCATIVO 17
1.1.1 Título de la investigación 17
1.1.2 Autor 17
1.1.3 Año de la publicación 17
1.1.4 Resumen de la investigación 17
1.1.5 Palabras claves 18
1.1.6 Problema que aborda la investigación 18
1.1.7 Objetivos de la investigación 18
1.1.8 Hipótesis planteada para la investigación 19
1.1.9 Metodología y estrategias seguidas por la investigación 19
1.1.10 Tesis principal del autor 20
1.1.11 Argumentos expuestos por el autor 20
1.1.12 Conclusiones de la investigación 20
1.1.13 Bibliografía 20
1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 22
1.3 JUSTIFICACIÓN 23
1.4 HIPÓTESIS PLANTEADA PARA LA INVESTIGACIÓN 25
1.5 OBJETIVOS 26
1.5.1 Objetivo General 26
1.5.2 Objetivos Específicos 26
2. REFERENTE TEÓRICO 27
2.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA INVESTIGACIÓN 27
2.1.1 Los Babilonios 27
2.1.2 Los Griegos 29
2.1.3 Los árabes 30

2.1.4 El Renacimiento 32
2.2 REFERENTES MATEMÁTICOS DE LA INVESTIGACIÓN 32
2.2.1 Conceptos Básicos 32
2.2.2 Teorema del Residuo 35
2.2.3 Teorema del Factor 36
2.2.4 Teorema de las raíces racionales 39
2.2.5 Casos de Factorización 42
2.3 ANTECEDENTES MANIPULATIVOS DE LA INVESTIGACIÓN 51
2.3.1 Lab Gear 51
2.3.2 Algebra Tiles 54
2.3.3 Algeblocks 56
2.3.4 Puzzle Algebraico 57
2.3.5 Tabletas Algebraicas 61
2.3.6 Álgebra Geométrica 62
2.3.7 El Álgebra es un Juego 64
3. METODOLOGÍA Y ESTRATEGIAS SEGUIDAS POR LA INVESTIGACIÓN 68
3.1 Metodología 68
3.1.1 Tipo de estudio 68
3.1.2 Propuesta Metodológica 68
3.1.3 Breve descripción del material didáctico “El Algebra es un juego” 70
3.2 Marco teórico de la propuesta didáctica 72
3.2.1 Desarrollo de la inteligencia 73
3.2.1.1 Las operaciones concretas (7-12 años) 74
3.2.1.2 Las operaciones formales (12-16 años) 76
3.2.2 Representaciones Sociales. 77
3.2.3 Pensamiento Matemático Elemental y Avanzado 82
3.3 Material Didáctico “El Álgebra es un Juego” 84
3.3.1 Multiplicación 85
3.3.1.1 Reglas para la multiplicación 85
Regla 1: verde × verde = verde 85

Regla 2: azul × verde = azul 86
Regla 3: amarillo × verde= amarillo 89
Regla 4: azul × azul= amarillo 91
Regla 5: azul × amarillo= naranja 93
Otras Reglas para multiplicar dos variables 94
3.3.1.2 Ejemplos de multiplicación. 96
Ejemplo 1: 121 × 11 96
Ejemplo 2. Multiplicar −3(−𝑥 + 3) 100
3.3.2 Reglas de la División 101
3.3.3 Reglas de la factorización y ejemplos 103
3.3.3.1 Ejemplo Caso 1: Factorizar 2𝑥3
+ 4𝑥2
− 8𝑥 105
− 6𝑥2
− 3𝑥 + 9 106
− 25 109
+ 6𝑥 + 1 112
3.3.3.5 Ejemplo Caso 5𝑎: Factorizar 𝑥2
− 5𝑥 + 6 113
3.3.3.6 Ejemplo Caso 5𝑏: Factorizar 6𝑥2
− 7𝑥 − 3 115
3.3.3.7 Ejemplo Caso 6: Factorizar 𝑥3
+ 8 117
− 1 119
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1 121
4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 123
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 137
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 139
7. ANEXOS 142

LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Traducción de un problema típico de los Babilonios 28
Tabla 2. Solución de una ecuación de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 𝑐 por Al-Khwarizmi 31
Tabla 3. Posibilidades para hallar el valor de 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑞 38
Tabla 4. Casos 1 y 2 de factorización: Factor Común 125
Tabla 5. Caso 3 de factorización: Diferencia de Cuadrados 126
Tabla 6. Caso 4 de factorización: Trinomios Cuadrados Perfectos 127
Tabla 7. Caso 5 de factorización: Trinomios de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 = 1 128
Tabla 8. Caso 5 de factorización: Trinomios de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1 130
Tabla 9. Caso 6 de factorización: Suma y diferencia de cubos 131
Tabla 10. Factorizar polinomios en forma natural 132

LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Fichas que utiliza Lab Gear 52
Figura 2. Piezas de Algebra Tiles 54
Figura 3a. Ejemplo de “Algebra Tiles”: 5 + (−2) + 2 = 7 + (−2) = 5 55
Figura 3b. Ejemplo de “Algebra Tiles”: 5 − (−2) = 7 56
Figura 4. Piezas del material manipulativo Algeblocks 56
Figura 5. Piezas del Puzzle Algebraico 58
Figura 6. (+4) − (−1) utilizando la idea de quitar 60
Figura 7. (+4) − (−1) utilizando la idea de opuesto 60
Figura 8. Tabletas Algebraicas y un ejemplo de unión correcta 61
Figura 9. Terreno cuadrangular que se va a cultivar (azul) 62
Figura 10. Modelo de casa A 64
Figura 11. Modelo de casa B 64
Figura 12. Modelo de casa C 64
Figura 13. Terreno con 15 casas 64
Figura 14. Planos cartesianos de versiones anteriores 66
Figura 15. “El Álgebra es un Juego” versión 2005. 66
Figura 16. “El Álgebra es un Juego” versión 2007. 69
Figura 17a. Plano cartesiano con los ejes ampliados. 70

Figura 17b. Ampliación de la fig. 17a. 85
Figura 18. Fichas que simbolizan la unidad y las variables 70
Figura 19. 11 x 11 = 121 71
Figura 20. Verde ×Verde=Verde 86
Figura 21. Azul ×Verde= Azul 87
Figura 22. Gris ×Verde=Gris 87
Figura 23. Azul ×Gris=Rojo y Rojo × Verde = Rojo 89
Figura 24. Amarilla × Verde = Amarilla 90
Figura 25. Café × Verde =Café 91
Figura 26. Azul×Azul= Amarilla 92
Figura 27. Gris×Gris= Café 92
Figura 28. Azul×Amarilla = Naranja 93
Figura 29. Café× Gris = Blanco 94
Figura 30. Azul Oscuro×Café = Azul Claro y Rojo × Gris= Azul Claro 94
Figura 31. Amarilla × Gris =Verde Claro. Azul × Rojo = Verde Claro 95
Figura 32. Nuevas fichas para 𝑥2
, 𝑥3
, 𝑥4
, 𝑥5
y 𝑥6
96
Figura 33. Producto 121×11 96
Figura 34. (𝑥2
+ 2𝑥 + 1)(𝑥 + 1) 98
Figura 35. Cubo formado por las 8 fichas 100

Figura 36. −3(−𝑥 + 3) = 3𝑥 − 9 101
Figura 37. División (4𝑥 − 8) ÷ 4 = (𝑥 − 2) 102
Figura 38. Dividir (−8𝑥2
+ 2𝑥) ÷ (−2𝑥) 103
Figura 39. Trinomio 2x2
+ 6x +4 105
Figura 40. El trinomio y sus factores 105
Figura 41. 2𝑥3
+ 4𝑥2
− 8𝑥 = 2𝑥(𝑥2
+ 2𝑥 − 4) 106
Figura 42. 2𝑥3
− 6𝑥2
− 3𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)(2𝑥2
− 3) 107
Figura 43. 𝑥3
+ 𝑥2
𝑦 + 𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥2
+ 𝑥𝑦) 109
Figura 44. 4𝑥2
− 25 = (−2𝑥 − 5)(−2𝑥 + 5) 110
Figura 45. 𝑥2
− 𝑦2
= (2𝑥 + 𝑦)(2𝑥 − 𝑦) 111
Figura 46. 9𝑥2
+ 6𝑥 + 1 = (3𝑥 + 1)(3𝑥 + 1) = (3𝑥 + 1)2
112
Figura 47. 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2
113
Figura 48. 𝑥2
− 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 114
Figura 49. 𝑥2
+ 3𝑥𝑦 + 2𝑦2
= (𝑥 + 2𝑦)(𝑥 + 𝑦) 115
Figura 50. 6𝑥2
− 7𝑥 − 3 = (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1) 116
Figura 51. 𝑥3
+ 8 = (𝑥 + 2)(𝑥2
− 2𝑥 + 4) 117
Figura 52. 𝑥3
+ 8 = (𝑥 + 2)(𝑥2
− 2𝑥 + 4) antes y después de cancelar términos 119
Figura 53. 𝑥3
− 1 = (𝑥 − 1)(𝑥2
+ 𝑥 + 1) 120
Figura 54. 𝑥3
− 𝑦3
= (𝑥 − 𝑦)(𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2) 121
Figura 55. 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)(𝑥2
+ 2𝑥 + 1) 122

Figura 56. (𝑥 + 1)(𝑥2
+ 2𝑥 + 1)=(𝑥 + 1)3
122
Figura 57. 𝑥3
+ 3𝑥2
𝑦+3𝑥𝑦2
+ 𝑦3
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2) 123
Figura 58. Evaluación Diagnóstica 124
Figura 59. Ejercicios de factorización caso 1: Factor Común 125
Figura 60. Desarrollo del ejercicio de factorización 5𝑥 + 10 = 5(𝑥 + 2) 126
Figura 61. Ejercicios diferencia de cuadrados 127
Figura 62. 9𝑥2
− 4 = (3𝑥 − 2)(3𝑥 + 2) 127
Figura 63. Guía de trabajo 128
Figura 64. 4𝑥4
− 8𝑥2
+ 4 = (2𝑥2
− 2)2
128
Figura 65. Práctca del caso 5 de factorización 129
Figura 66. Desarrollo del ejercicio de factorización 𝑥2
− 7𝑥 + 12 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 3) 129
Figura 67. Tres registros para factorizar: −4𝑥2
− 14𝑥 − 12 = (2𝑥 + 4)(−2𝑥 − 3) 130
Figura 68. Guía y solución del ejercicio 3: 8𝑥3
+ 8 = (2𝑥 + 2)(4𝑥2
− 4𝑥 + 4) 131

INTRODUCCIÓN
La mayoría de profesores de Álgebra enfrentan el problema de no poder explicar
satisfactoriamente muchos temas específicos de esta área de las matemáticas como las
operaciones con polinomios, productos y cocientes notables, factorización, ecuaciones de primer
grado, sistemas de ecuaciones 2 × 2 y la resolución de ecuaciones de segundo grado. Estos
temas resultan ser esenciales en la formación de la cultura matemática de las personas y por ello
se requiere diseñar y aplicar acciones que posibiliten la conceptualización y el trabajo con estos
objetos y procesos específicos.
El presente trabajo de grado se enfocará específicamente en la enseñanza de
factorización, con la ayuda de un material didáctico, y en particular a su uso con los estudiantes
de Álgebra del colegio Nuestra Señora de Fátima de Manizales. El material fue diseñado,
construido y evaluado en su fase preliminar por el autor y se denomina “El Algebra es un juego”.
Con “El Algebra es un juego” se pueden trabajar los objetos y procesos ya referidos, y en
el presente trabajo se presentan los referentes generales y conceptuales que permiten abordar en
la escuela el proceso algebraico de factorización junto con los procesos relacionados con este. El
trabajo está conformado por un documento, unos anexos y el material manipulable (un tablero y
un conjunto de fichas).
El documento, está dividido en siete capítulos:
El primero presenta el Planteamiento del Problema, la Justificación, la Hipótesis
planteada para la Investigación y los Objetivos.
El segundo aborda un recorrido histórico que expone la presencia de factorización de
polinomios como proceso y como objeto en culturas de diferentes épocas: Los Babilonios , Los

Griegos, Los árabes y El Renacimiento y aborda una teoría general sobre los polinomios. En
este capítulo se considera que es pertinente definir y clarificar algunos elementos fundamentales
del álgebra que tienen que ver con la factorización de polinomios en particular de segundo grado.
Incluye igualmente los llamados Casos de Factorización (8) que son trabajados en la escuela ya
que estos casos tienen una solución geométrica con el material manipulativo, objeto del presente
trabajo.
Los antecedentes presentados en la investigación (Ver 2.1 Antecedentes históricos de la
investigación), donde se relacionan aspectos de la historia y epistemología del álgebra permiten
establecer elementos y obstáculos que enriquecen los procesos de enseñanza y aprendizaje del
álgebra y particularmente el uso didáctico de figuras geométricas aplicadas al álgebra (o lo que
se denomina en algunos contextos como algebra geométrica) y los limitantes que se presentaron
a través de la historia, indican hasta donde se puede llegar, trabajar y potenciar este recurso con
los estudiantes. Reconocer estos procesos y eventos hace que la práctica docente se haga más
consciente y posibilite potenciar las dificultades en los procesos tanto de enseñanza y aprendizaje
como oportunidades para mejorar las prácticas mismas.
De otra parte se presentan los antecedentes desde los manipulativos relacionados con la
enseñanza de temas y objetos propios del Algebra, especialmente la factorización: Lab Gear,
Algebra Tiles, Algeblocks, Puzzle Algebraico, Tabletas Algebraicas, Álgebra Geométrica.
Los Antecedentes Históricos y de Materiales Manipulativos de la Investigación aparecen
en las secciones 2.1 y 2.3, donde se consultaron los momentos históricos más relevantes en la
historia del álgebra desde los Babilonios hasta el Renacimiento y una descripción de trabajos
afines al objeto de estudio de este proyecto.

En el tercer capítulo se incluye una breve descripción del material didáctico “El Algebra
es un juego”, haciendo énfasis en la importancia de las diferentes interpretaciones: matemáticas,
algebraicas y geométricas logradas con el juego. Se presenta el marco de referencia para el uso
de los materiales manipulativos, destacando los aportes de Piaget (1975) en el Desarrollo de la
Inteligencia y de Duval (1999) en las Representaciones Sociales y Semióticas que se ajustan a la
presente propuesta didáctica. Por último se presenta la propuesta, describiendo más
detalladamente el material didáctico “El Álgebra es un Juego”. Como la factorización alberga
una estructura multiplicativa que permite expresar ciertos polinomios como factores, primero se
dan las reglas de la multiplicación en el contexto del material manipulativo y luego las de la
factorización con ejemplos de cada caso.
En la sección 3.2.1 (p. 73) se hace un análisis sobre el Desarrollo de la inteligencia con
sus operaciones concretas y formales, en la sección 3.2.2 (p. 77) se hace referencia a las
Representaciones Sociales y su relación con el aprendizaje y en la sección 3.2.3 (p. 82) se hace
un paralelo entre el Pensamiento Matemático Elemental y el Avanzado y la manera como se
relacionan. Una breve descripción del material didáctico “El Algebra es un juego” aparece en la
sección 3.1.3 (p.70).
Finalmente, en los cuatro últimos capítulos, se presentan los resultados y discusión, las
conclusiones y recomendaciones, las referencias bibliográficas y los anexos (pp. 142-177).

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS
1.1 RESUMEN ANALÍTICO EDUCATIVO
1.1.1 TÍTULO DE LA INVESTIGACIÓN: Enseñanza de Factorización con la ayuda
del material didáctico “El Álgebra es un Juego”, a los estudiantes de Álgebra del Colegio
Nuestra Señora de Fátima.
1.1.2 AUTOR: Acevedo Ríos Hernando
1.1.3 AÑO DE LA PUBLICACIÓN: 2014
1.1.4 RESUMEN DE LA INVESTIGACIÓN: La investigación pretende sustentar que
un material didáctico específico ayudará a los estudiantes de Álgebra de los grados octavo y
noveno a comprender temas abstractos como factorización, aun cuando los estudiantes todavía
se encuentren en la fase de pensamiento concreto. El material manipulativo básicamente consta
de un tablero, que representa un plano cartesiano con los ejes ampliados, y un conjunto
suficiente de fichas que simbolizan las variables 𝑥, 𝑦, 𝑥𝑦, 𝑥2
, 𝑦2
, 𝑥2
𝑦, 𝑥𝑦2
, 𝑥3
, 𝑦3
y los
números naturales; este material sirve para representar, en forma concreta, conceptos abstractos
como el de variable elevada a una determinada potencia.
Particularmente, para realizar las demostraciones o verificaciones de las identidades
algebraicas asociadas a los procesos de factorización haciendo uso del juego, se debe tener en
cuenta que la factorización alberga una estructura multiplicativa que permite expresar ciertos
polinomios; por lo tanto desde el punto de vista conceptual se explica primero cómo multiplicar
con el juego, para luego deducir el proceso de factorización.

1.1.5 PALABRAS CLAVES: material didáctico, factorización, álgebra, álgebra
geométrica, transición de pensamientos.
1.1.6 PROBLEMA QUE ABORDA LA INVESTIGACIÓN: El problema que se
aborda guarda relación con una teoría cognitiva fundamentada en los trabajos de Piaget (1964,
1969, 1975) y que evidencia que los estudiantes están llegando a grado octavo, momento en
que se presenta la transición escolar de la aritmética al algebra, en una edad donde aún se
encuentran en una fase del pensamiento concreto. La mayoría de conceptos algebraicos son
abstractos y los estudiantes no los asimilan fácilmente o no los incorporan a su estructura de
pensamiento con la rapidez y suficiencia con la que los planes curriculares institucionales o los
profesores lo desearían. Como los estudiantes tienen aún pensamiento concreto, son muy buenos
manipulando material didáctico, es decir material concreto, y les resulta llamativo si posee
figuras geométricas de diferentes tamaños y colores. El juego se convierte entonces en una
dualidad, como actividad lúdica, pero también como proceso ya que se constituye en un pretexto
para realizar algunas operaciones abstractas en forma concreta; y se espera que después de hacer
muchos ejercicios en el entorno de manejo concreto del material a través de su manipulación, el
estudiante logre hacer la abstracción del concepto, o que cuando menos lo dote de un significado
personal.
1.1.7 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN: Utilizar el artefacto “El Álgebra es un
Juego”, como mediador instrumental, que permite hacer la transición entre las estructuras del
pensamiento concreto a las del pensamiento abstracto, para realizar los ejercicios de
factorización, partiendo del lenguaje geométrico para luego hacer la conversión al lenguaje
simbólico y que al resolverlos los hagan comprendiendo el concepto y en forma correcta.

1.1.8 HIPÓTESIS PLANTEADA PARA LA INVESTIGACIÓN: Los estudiantes de
grado octavo, haciendo uso del material didáctico “El Álgebra es un Juego”, mejorarán los
procesos para factorizar y se aproximarán más a la comprensión del concepto y de los procesos
asociados.
Los estudiante, una vez hayan asimilado el proceso de factorización con el juego, podrán
factorizar sin necesidad de utilizar el material didáctico, realizando la transición desde el
pensamiento concreto al abstracto.
1.1.9 METODOLOGÍA Y ESTRATEGIAS SEGUIDAS POR LA
INVESTIGACIÓN: El enfoque de investigación puede ser entendida como de investigación –
acción y de carácter descriptivo. La primera toda vez que el docente autor realiza una aplicación
de la propuesta y evalúa los hallazgos de aplicar un material en unos temas específicos en un
grado específico, en este sentido esta acción metodológica estará ligada a utilizar el material
didáctico “El Álgebra es un Juego” con el tema de factorización. En la fase descriptiva se tiene
la acción de documentar de manera global lo que ocurre al plantear unas actividades específicas
con un grupo de estudiantes particular de acuerdo a un cronograma de intervención propuesto.
En cada práctica, los estudiantes recibirán la explicación del profesor, apoyando sus
acciones en presentaciones en Power Point (Ver anexo 7.5, p. 173) y utilizando video beam.
Luego los estudiantes realizarán la práctica, que el profesor asigne, con una secuencia de
ejercicios seleccionados y que tienen no sólo el propósito de practicar las acciones en el entorno
del mediador instrumental (juego) sino de generar situaciones que refuercen la
conceptualización.

1.1.10 TESIS PRINCIPAL DEL AUTOR: Los estudiantes aprenden factorización más
fácilmente utilizando el material didáctico “El Álgebra es un Juego”, ya que facilita la transición
del pensamiento concreto al abstracto.
1.1.11 ARGUMENTOS EXPUESTOS POR EL AUTOR: Los estudiantes de grado
octavo están llegando muy jóvenes a cursar Álgebra, y por las edades muchos todavía tienen, en
términos de la teoría cognitiva de Piaget (1964, 1969, 1975), pensamiento concreto, y por ello
para ellos es mucho más fácil entender un tema o concepto si se les presenta desde la
manipulación de un material concreto. Después de adquirir práctica con el material concreto, el
estudiante puede dar el paso a factorizar sin el material, es decir que su mente empieza a
comprender las operaciones formales y los procesos asociados a un concepto o estructura
matemática.
1.1.12 CONCLUSIONES DE LA INVESTIGACIÓN: La mayoría de los estudiantes
que utilizaron el material didáctico “El Álgebra es un Juego” adquirieron mayor destreza para
factorizar polinomios y en general para entender otros temas.
1.1.13 BIBLIOGRAFÍA: Para la elaboración del presente trabajo de grado fue necesario
hacer muchas consultas, enfocadas en encontrar vestigios de factorización de polinomios; se
realizó el estudio detallado de tres trabajos de grado, algunos libros físicos y otros en internet.
Las principales fuentes que nutren este documento se encuentran listadas a continuación:
Aristizabal, W. Procesos de Conversión de Registros Semióticos en el Aprendizaje de la Lógica
Matemática en Estudiantes Universitarios. Universidad de Caldas, Manizales, Colombia.
2014.
Ballén, J. O. (2012). El álgebra geométrica como recurso didáctico para la factorización de
polinomios de segundo grado. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia.

Barreto, J. (2009). Percepción geométrica de los productos notables y de la media geométrica
[Versión electrónica]. Números, 71, 57-74.
Bartolini, M., & Mariotti, M. (2010). Mediación semiótica en el aula de matemáticas. En Perry,
P. (Traduc.). Handbook of international research in mathematics education (segunda
edición revisada, pp. 746-783). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. (Trabajo original
publicado en 2008).
Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano: Registros semióticos y aprendizajes
intelectuales. Cali: Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía.
Hall, B.C. & Fabricant, M. (1993). Algebra 2 with Trigonometry, Englewood Cliffs, New Jersey
07632, Prentice Hall.
Jiménez, S. & Salazar, V. Propuesta Didáctica: Tabletas Algebraicas Como Una Alternativa De
Enseñanza Del Proceso De Factorización De Algunos Polinomios De Segundo Grado.
Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia. Diciembre 2013.
Kline, M. (1994). El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Madrid: Alianza
Editorial.
Piaget, J. P. (1964). Seis estudios de Psicología. Editorial Labor, S. A. Barcelona, España.
Piaget, J. P. & Inhelder, B. (1969). Psicología del niño. Ediciones Morata, Madrid, España.
Piaget, J. P. (1975). El desarrollo de la inteligencia. Recuperado de
http://psicologiaentreparentesis.wordpress.com/2009/12/15/el-desarrollo-de-la-
inteligencia-piaget/
Smith D. E. & Latham M. L. (1925). The Geometrie of René Descartes with a facsimile of the
first Edition, 1637. The Open Court Publishing Company. Chicago-London.

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Actualmente los estudiantes que llegan a cursar el grado octavo, se encuentran en
promedio entre los 12 y 14 años, momento en el cual aún presentan características de
pensamiento concreto. Al ser el álgebra, que se aborda en el sistema escolar colombiano en el
grado octavo una estructura de índole abstracta, hace que se experimenten dificultades, en los
estudiantes para la comprensión de temas algebraicos, y para los profesores a la hora de
estructurar procesos de enseñanza que resulten pertinentes. En este sentido surge la pregunta:
¿Cómo ayudar a los estudiantes de grado octavo a superar el problema de incomprensión
de temas que requieren un pensamiento formal ya que muchos de ellos todavía no han superado
el estadio de las operaciones concretas?
En el estudio del álgebra elemental en la educación básica secundaria se detecta el
problema del paso del lenguaje natural al lenguaje simbólico del álgebra; poco se potencian
otros sistemas de representación como el uso de figuras geométricas tridimensionales para
materializar variables algebraicas, que permiten visualizar procesos de equivalencia entre
dichas variables y el “material semiótico” o sean las figuras tridimensionales que se pueden
fabricar de cualquier material.
La experiencia desde el aula muestra que los estudiantes de octavo grado de la
educación básica secundaria presentan dificultades en el aprendizaje, en la manipulación de
operaciones con polinomios pero particularmente, en su factorización, tanto en lo que respecta a
los procesos algorítmicos como en dar una interpretación de este proceso y concepto.
Teniendo en cuenta el potencial que tienen los materiales manipulativos en la enseñanza
y caracterizando el material “El Álgebra es un Juego” como una herramienta que permite realizar

procesos de conversión entre diferentes registros de representación semiótica, se propone para
representar variables y constantes.
Este trabajo se constituye en una propuesta para enseñar factorización por medio del
material didáctico “El Álgebra es un juego” con el fin de lograr la transición entre el
pensamiento concreto y el pensamiento abstracto a través de la manipulación de material
concreto, donde el juego pase a ser un mediador instrumental. El material es, además, un recurso
didáctico que permite visualizar la factorización de polinomios que tienen raíces enteras, que
busca mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje.
1.3 JUSTIFICACIÓN
Teniendo en cuenta el breve recorrido histórico que se desarrolla en los antecedentes,
con miras a identificar los sucesos que dieron origen al álgebra y especialmente en la solución de
ecuaciones de segundo grado, y analizando lo que investigadores han hecho con material
manipulativo, que estructuralmente posee elementos afines a los que ofrece “El Álgebra es un
Juego” se puede llegar a identificar las bondades que tiene la relación entre la geometría y el
álgebra en los procesos de visualización y el papel que cumple en el proceso de acercar al
estudiante a las particularidades de los procesos asociados a la factorización.
Sin embargo, y como cualquier material manipulativo esto no resuelve por completo los
inconvenientes que se pueden presentar, para citar algunos ejemplos, cuando las raíces del
polinomio no sean enteras o racionales, cuando los coeficientes de las variables y el término
independiente sean cantidades grandes o cuando los polinomios son de grado superior a tres.

Hacer modelos concretos que representen conceptos abstractos, en el momento en que los
estudiantes están haciendo la transición entre el pensamiento concreto y el abstracto, puede ser
una vía para apoyar la conceptualización. Así las variables 𝑥, 𝑦, 𝑥𝑦, 𝑥2
, 𝑦2
, 𝑥2
𝑦, 𝑥𝑦2
, 𝑥3
,
𝑦3
y las unidades pueden estar representadas por fichas de diferentes tamaños y colores y se
crean unas “reglas semióticas”, de estructura multiplicativa para apoyar la abstracción.
Se debe resaltar que la forma en que está diseñado estructuralmente el mediador didáctico
“El Álgebra es un Juego” permite tratar diferentes ejes conceptuales y temáticas propias de la
aritmética (Ver anexo 7.4, p. 164), el álgebra y la geometría; así que la factorización es sólo un
caso particular, uno de tantos aspectos que puede ser explicado satisfactoriamente.
Utilizar el material didáctico “El Álgebra es un Juego”, resulta una herramienta pertinente
para hacer el tránsito entre las estructuras del pensamiento concreto hacia las estructuras del
pensamiento abstracto, y abre nuevas posibilidades a los estudiantes, puesto que les posibilita
un entorno en el cual pueden asociar conceptos abstractos con figuras geométricas
tridimensionales que ellos pueden manipular y podrán verificar el cumplimiento de aquellos
procesos que se les ha enseñado por medio de métodos algorítmicos.
Se espera que utilizando el material didáctico, más estudiantes aprendan a factorizar
polinomios más fácilmente y con una mayor comprensión de lo que se esperaría si se hace sólo
desde el contexto de los procedimientos algorítmicos, sin embargo esto es un aspecto que sólo se
podrá realizar contrastando un grupo experimental con un grupo control, pero este propósito esta
distante de lo propuesto para el presente trabajo. Utilizando el material didáctico, se espera que
más estudiantes aprendan a factorizar polinomios más fácilmente y con mayor comprensión.

1.4 HIPÓTESIS PLANTEADA PARA LA INVESTIGACIÓN
Analizando los referentes teóricos presentados y los antecedentes de investigación, se
considera que los estudiantes podrán formular pensamientos realmente abstractos, o un
pensamiento de tipo hipotético deductivo cuando lleguen aproximadamente a los 12 años de
edad. Pero, la realidad particular de los entornos educativos de nuestro país permite preguntarse
entre otras cosas las siguientes:
¿Qué pasará con los estudiantes que, a pesar de cumplir 12 años, no han alcanzado ese
estadio del pensamiento formal?
¿Qué pasará con los estudiantes que lleguen a grado octavo sin cumplir los 12 años y aún
sin terminar el ciclo de las operaciones concretas?
Una forma de responder esas preguntas es facilitar los procesos de enseñanza y de
aprendizaje particularmente del Algebra utilizando el material concreto que se está proponiendo
en el presente trabajo, lo que permite plantear la siguiente hipótesis:
Los estudiantes de grado octavo, utilizando el material didáctico “El Álgebra es un
Juego”, realizaran los procesos algorítmicos asociados a la factorización más fácilmente y con
mayor nivel de comprensión, esto es dotándolo de un significado.
Los estudiantes, una vez hayan asimilado el proceso de factorización con la mediación
instrumental del juego, podrán factorizar sin necesidad de utilizar el material didáctico es decir
sin tener el referente concreto.

1.5 OBJETIVOS
1.5.1 OBJETIVO GENERAL
Utilizar el artefacto “El Álgebra es un Juego” que permite, como mediador
instrumental, hacer la transición entre las estructuras del pensamiento concreto a las del
pensamiento abstracto, para realizar ejercicios sobre diferentes tópicos algebraicos, partiendo
del lenguaje geométrico, para luego hacer la conversión al lenguaje simbólico y que al
resolverlos los hagan comprendiendo el concepto y en forma correcta.
1.5.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Utilizar el material didáctico “El Álgebra es un Juego” para facilitar el tránsito
entre las estructuras del pensamiento concreto hacia las estructuras del pensamiento abstracto y
encontrarle mayor significado a las expresiones algebraicas.
 Usar “El Álgebra es un Juego” como un mediador instrumental que permita
realizar procesos de conversión entre el lenguaje natural y el simbólico en los diferentes casos de
factorización.
 Utilizar el material concreto “El Álgebra es un Juego”, en el marco de las
representaciones sociales, realizando los procesos de tratamiento solamente para verificar las
respuestas analítica y geométricamente.

2. REFERENTE TEÓRICO
2.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA INVESTIGACIÓN
A continuación se hace una breve presentación de algunos de los momentos históricos
más relevantes en la historia del álgebra, en los cuales se pueden encontrar trabajos relacionados
con factorización de polinomios de segundo grado o interpretaciones geométricas para este
proceso que, posteriormente, se relacionarán con los objetivos y procesos que componen la
propuesta “El Álgebra es un Juego”.
2.1.1 Los Babilonios
Según lo reporta Kline, (1994), la civilización que se desarrolló entre los ríos Tigris y
Éufrates, región que se conoce como Mesopotamia, actualmente Irak, entre los años 2000 y 600
a.C. permite evidenciar “Los primeros indicios sobre lo que hoy conocemos como álgebra los
encontramos en unas tablillas de arcilla de la cultura babilónica, allí se encuentra su sistema
numérico sexagesimal, operaciones aritméticas y la solución de problemas algebraicos y
geométricos” (p. 21).
Los problemas algebraicos aparecen resueltos dentro del trabajo de esta civilización por
medio de “recetas” (o reglas, más específicamente hablando) para cada caso particular, es decir
no emplea un proceso de generalización; por ello lo que allí se encuentra es lo que se ha llamado
álgebra retórica y no se encuentran en las tablillas fórmulas generales para un tipo de problema,
sino por el contrario el análisis de casos particulares.
Así, los babilonios podían resolver ecuaciones cuadráticas por el método que hoy
conocemos como completar cuadrados, y podían aplicarlo a algunos casos convenientemente
pero sin la elaboración de un proceso general. A continuación se presenta un ejemplo concreto

que plantea la solución de una ecuación de segundo grado y que está referida a hallar el lado de
una determinada figura geométrica, lo que permitirá traducir al sistema decimal el ejemplo que
se dará sobre el tipo de problemas de álgebra que ellos resolvían.
En la tabla 1, en la primera columna está la “receta” dada por el “escriba” (El escriba era
la persona que se encargaba de acuñar las tablillas, ellos desarrollaban su trabajo en la corte del
rey o eran secretarios personales de varios gobernadores) para resolver el problema en el sistema
sexagesimal, y en la segunda la traducción al lenguaje algebraico de hoy y el sistema decimal.
Instrucción del escriba
1. “He restado el lado del cuadrado a partir del
área, y es 14,30” (Boyer, 1992, p.56).
2. "Toma la mitad de 1,que es 0; 30 y
multiplica 0; 30 por 0; 30 , que es 0; 15”
3. “Suma este número a 14,30, lo que da
14,30; 15, este es el cuadrado de 29; 30”
4. “Ahora suma 0; 30 a 29; 30, cuyo resultado
es 30, que es el lado del cuadrado”
Traducción al lenguaje actual
1. 𝑥2
− 𝑥 = 870
2. 0.5 × 0.5 = 0.25
3. 𝑥2
− 𝑥 + 0.25 = 870.25
(𝑥 − 0.5)2
= 29.52
𝑥 − 0.5 = 29.5
4. 𝑥 − 0.5 + 0.5 = 29.5 + 0.5
𝑥 = 30
Tabla 1. Traducción de un problema típico de los Babilonios.
En el paso 3, segunda columna se puede apreciar un caso de factorización que se
originó completando cuadrados y se mostrará un ejemplo en el anexo 7.2.2 (p. 155) del presente
trabajo, utilizando el material “El Álgebra es un Juego”.

2.1.2 Los Griegos
El desarrollo histórico presentado por Boyer muestra el momento asociado a la
aparición de la simbología algebraica con los trabajos de Diofanto, y la obra más importante
que se conoce de Diofanto es su Arithmetica, un tratado de 13 libros del que sólo se conocen los
6 primeros. Trataba temas como las soluciones particulares, enteras o racionales de ecuaciones
algebraicas determinadas e indeterminadas según lo reporta Boyer (1992): “Hacia el siglo III
aparece Diofanto (290 – 200 a. C.), considerado el más importante de los algebristas griegos de
la época alejandrina; introdujo un simbolismo algebraico que consistía en designar a la incógnita
con la primera sílaba de la palabra griega arithmos” ( p.23). Arithmos significa número, es decir
que utiliza abreviaciones de palabras para representar algunas de las nociones del álgebra. A este
manejo de los problemas se le ha llamado álgebra sincopada.
Los problemas que hoy se denominan como diofánticos (o diofántinos) mostrados en
Arithmetica no se corresponden con una exposición sistemática en la solución de ecuaciones,
sino que se corresponden con unos problemas concretos y específicos, por lo que cada uno es
resuelto usando un procedimiento distinto desde el punto de vista algorítmico. El tipo de álgebra
desarrollada por Diofanto se suele llamar álgebra “numerosa” o “numeral”; hoy en día se conoce
a las ecuaciones que logró resolver como “ecuaciones Diofánticas” y se corresponde con las
ecuaciones algebraicas con coeficientes en 𝑍 o en 𝑁 cuyas soluciones son números enteros.
“El Álgebra es un Juego” también trabaja con polinomios con coeficientes en 𝑍 cuyos
factores involucran números enteros.

2.1.3 Los árabes
Un tercer momento en la historia del álgebra lo encontramos en el mundo musulmán que
se extendió, como imperio, durante los años 700 al 1200 d.C. desde la India hasta España.
Durante esa época, el árabe fue la lengua internacional de las matemáticas; ellos conservaron el
patrimonio de los griegos en cuanto a la matemática se refiere e hicieron avanzar tanto el álgebra
como la trigonometría.
Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780 - 850 d.C.), quien vivió en la primera mitad
del siglo IX y que trabajó en la biblioteca del califa Al-Mahmum en Bagdad, escribió varios
libros de geografía, astronomía y matemáticas. Sus principales aportes quedan expuestos por
Perero (1994) y Kline (1994) en los siguientes términos:
En uno de sus libros, Al-jabr wa´lmuqäbala, aparece la palabra “al-jabr” de la cual se deriva la
palabra “álgebra” que significa restauración del equilibrio mediante la transposición de términos de una
ecuación, “muqäbal” significa la simplificación de la expresión resultante mediante la cancelación de
términos semejantes de cada lado de la ecuación. (Perero, p.14). Uno de los métodos más antiguos para
resolver ecuaciones de segundo grado es el método geométrico de “completar el cuadrado”, regla ya
conocida por los griegos. Al-Khwarizmi consideraba seis tipos de ecuaciones de segundo grado para
aplicarles el método, tipos que en realidad son casos particulares de la ecuación general de la forma
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son números enteros positivos. (Kline, p.261)
A continuación, en la tabla 2, se presenta un ejemplo del método empleado por Al-
Khwarizmi para encontrar la solución a una ecuación del tipo 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 𝑐, en la columna de la
derecha se expresa el proceso haciendo uso de la notación actual:

Solución dada por Al-Khwarizmi Traducción al lenguaje actual
1. Un cuadrado y diez raíces de la misma
cantidad suman treinta y nueve dirhemm
(Antigua moneda de plata utilizada en varios puntos del
mundo islámico); ¿qué debe ser el cuadrado que,
incrementado en diez de sus propias raíces
suma treinta y nueve?
2. Tomar una mitad de las raíces mencionadas.
Por tanto tomamos 5, que multiplicado por sí
mismo da 25, una cantidad a la que sumamos
39, dando 64.
3. Habiendo tomado después la raíz cuadrada
de éste, que es 8, le restamos la mitad de las
raíces, 5, quedando 3.
4. El número tres por tanto representa una raíz
de este cuadrado.
1. 𝑥2
+ 10𝑥 = 39
2. 𝑥2
+ 10𝑥 + 25 = 39 + 25
𝑥2
+ 10𝑥 + 25 = 64
(𝑥 + 5)2
= 64
3. √(𝑥 + 5)2 =√64
𝑥 + 5 = 8
𝑥 = 8 − 5
4. 𝑥 = 3
Tabla 2. Solución de una ecuación de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 𝑐 propuesta por Al-Khwarizmi
“El Álgebra es un Juego” puede resolver la ecuación mostrada en la tabla 2. (Ver Anexo
7.2.3, p.157).

2.1.4 El Renacimiento
El cuarto momento de la historia del álgebra se da en el Renacimiento, período llamado
así porque retoma elementos de la época clásica tanto a nivel cultural como científico; durante
este periodo se destaca la invención de la imprenta, que permitiría la rápida difusión de las
producciones matemáticas y científicas de la época. Los matemáticos del Renacimiento se
interesaron por conocer los procedimientos que emplearon los antepasados en la solución de
ecuaciones lineales y cuadráticas.
Descartes (1596 – 1650), transforma el álgebra de magnitudes de Viète en un cálculo de
segmentos, usa las últimas letras del abecedario para las incógnitas y las primeras para los
coeficientes como se utiliza actualmente. En su libro La Geometrie (1637), citado por Smith D.
E. & Latham M. L. (1925), Descartes presenta el tratamiento de las ecuaciones y plantea que
una ecuación puede tener tantas raíces como dimensiones tiene el grado de la ecuación, lo que se
constituye en una primera formulación del Teorema Fundamental del Álgebra.
“El Álgebra es un Juego” trabaja la factorización y las ecuaciones utilizando el concepto
de área y las reglas de la multiplicación ligadas al plano cartesiano con casillas de coordenadas
(𝑥, 𝑦).
2.2 REFERENTES MATEMÁTICOS DE LA INVESTIGACIÓN
2.2.1 Conceptos Básicos
La presentación que se realizará de los conceptos básicos y procesos que se abordan en el
presente trabajo, se hará considerando los aspectos cognitivos que llevan a la transición desde la
aritmética hacia el álgebra, y en ese sentido se partirá del uso de una analogía con los conceptos

respectivos en aritmética, lo cual se considera como una vía hacia los procesos de generalización.
No obstante se debe tener en cuenta que el uso de analogías alberga en sí mismas un riesgo
conceptual pues se pueden llegar a realizar generalizaciones inadecuadas que a largo plazo
pueden generar errores asociados a los obstáculos epistemológicos; sin embargo es un riesgo que
se debe correr (Jiménez, S. & Salazar, 2013).
La presentación de esos conceptos básicos se hará teniendo presente una analogía con los
conceptos respectivos en aritmética, se considera que esto facilita enormemente la práctica
docente.
Primero se hará una analogía entre el Teorema Fundamental de la Aritmética y el
Teorema Fundamental del Álgebra. También se analizará que hay una relación entre el residuo
obtenido en una división de polinomios 𝑃(𝑥) entre un factor lineal 𝑥 − 𝑟, y el valor numérico
𝑃(𝑟), lo que llevará a los Teoremas del Residuo y del Factor (Ballén, J. O. 2012, pp. 22, 23, 24):
Un polinomio 𝑃(𝑥) en un cuerpo 𝐾 es una expresión algebraica de la forma,
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ …+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
donde 𝑛 ∈ 𝑁 y cada coeficiente 𝑎𝑖 es un número de 𝐾 , o más sintéticamente
𝑃(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=0 𝑥 𝑖
, 𝑎𝑖 ∈ 𝐾, 𝑖 ∈ 𝑁 y 𝐾 es un cuerpo, en particular se
considerará el caso en que este sea un cuerpo numérico.
En el caso en que los coeficientes pertenezcan al conjunto de los números reales se dice
que 𝑃(𝑥) es un polinomio real entero y en el caso en que los coeficientes pertenezcan al
conjunto de los números racionales se denominará polinomio racional entero.
Así como en el Teorema Fundamental de la Aritmética, todo número es el producto de
potencias de números primos que llamamos factores primos, una situación análoga sucede

también con los polinomios que se pueden descomponer también en factores primos, y es
precisamente el Teorema Fundamental del Álgebra el hecho matemático que lo garantiza.
En aritmética, en el conjunto de los números naturales se dice que un número 𝑛 es
divisor o factor de otro número 𝑝 sí existe un número 𝑟 tal que 𝑟. 𝑛 = 𝑝.
Esta misma idea está en la estructura del algebra: sean 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) dos polinomios en
un cuerpo 𝐾[𝑥] se dice que 𝑝(𝑥) es un factor del polinomio 𝑞(𝑥) si existe un polinomio 𝑟(𝑥)
tal que 𝑝(𝑥). 𝑟(𝑥) = 𝑞(𝑥).
Una de las proposiciones más importantes que aparece en los Elementos de Euclides es
justamente el algoritmo de la división de Euclides, que se encuentra en el libro VII, el cual
permite saber si en la división de dos números hay un residuo o no, y, en el caso en que el
residuo sea cero, encontrar los factores primos. De hecho, este algoritmo permite encontrar el
máximo común divisor entre dos o más números y que análogamente se puede utilizar para
encontrar el máximo común divisor entre dos o más polinomios.
Dados dos polinomios 𝐴 y 𝐵 en un cuerpo 𝐾[𝑥], y el grado del polinomio 𝐴 mayor o
igual al grado del polinomio 𝐵, simbolizado Grad(𝐴) ≥ Grad(𝐵), para hallar su máximo común
divisor, se divide 𝐴
𝐵⁄ , obteniendo un primer cociente 𝑄1 y un primer residuo 𝑅1, de modo que:
𝐴 = 𝑄1 𝐵 + 𝑅1, donde 𝑅1 = 0, o el grado de 𝑅1 < 𝐵. Si 𝑅1 = 0, la división es exacta y los
polinomios 𝐵 y 𝑄1 son factores del polinomio 𝐴. Si 𝑅1 ≠ 0 , se vuelve a dividir 𝐵
𝑅1
⁄
obteniendo un nuevo cociente 𝑄2 y un nuevo residuo 𝑅2, de modo que: 𝐵 = 𝑄2 𝑅1 +𝑅2,
donde 𝑅2 = 0, o el grado de 𝑅2 < 𝑅1 . Si 𝑅2 = 0, la división es exacta y los polinomios 𝑅1 y
𝑄2 son factores del polinomio 𝐵, y así reiteradamente hasta llegar a un residuo 𝑅 𝑛 = 0, donde
𝑅 𝑛−1 = 𝑚𝑐𝑑(𝐴, 𝐵).

Hay una relación entre el residuo obtenido en una división de polinomios 𝑃(𝑥) entre un
factor lineal 𝑥 − 𝑟, y el valor numérico 𝑃(𝑟) por lo que hay una forma para hallar el residuo de
esta división; el criterio está determinado por el teorema del residuo, el cual se enuncia y
demuestra a continuación:
2.2.2 Teorema del residuo.
Si el polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛 se divide entre 𝑥 − 𝑟, siendo 𝑟 una constante
independiente de 𝑥, el residuo 𝑅 es igual a 𝑃(𝑟). Esto es 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). (𝑥 − 𝑟) + 𝑅 donde
𝑄(𝑥) es un polinomio de grado 𝑛 − 1 y 𝑅 = 𝑃(𝑟).
Demostración.
Como 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). (𝑥 − 𝑟) + 𝑅, por el algoritmo de la división, se tiene que si 𝑥 =
𝑟, entones 𝑃(𝑟) = 𝑄(𝑟). (𝑟 − 𝑟) + 𝑅, por lo tanto 𝑃(𝑟) = 𝑅.
Ver página web: http://www.xuletas.es/ficha/teoremas-del-factor-y-ceros-racionales/
Ejemplo: Aplicar el teorema del residuo a la división del siguiente polinomio
𝑃(𝑥) = 𝑥4
+ 5𝑥3
+ 5𝑥2
− 4𝑥 − 7 entre 𝑥 + 3 para hallar el residuo.
Como 𝑥 + 3 = 𝑥 − (−3) se tiene que 𝑟 = −3. Por lo tanto:
𝑃(−3) = (−3)4
+ 5(−3)3
+ 5(−3)2
− 4(−3) − 7
𝑃(−3) = −4. O sea que el residuo es −4.
A partir de lo anterior, si 𝑃(𝑟) = 0, entonces 𝑥 − 𝑟 es un factor del polinomio porque
el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de 𝑥 para el cual se ha encontrado una raíz del
polinomio; este enunciado es conocido como el teorema del factor, el cual es importante porque

permite hallar un factor del polinomio, tanteando posibilidades. A continuación se presenta el
enunciado formal del teorema y su demostración.
2.2.3 Teorema del factor.
Un polinomio 𝑃(𝑥) tiene un factor (𝑥 − 𝑐) si y sólo si 𝑃(𝑐) = 0.
Demostración.
Si 𝑐 es un cero de 𝑃(𝑥), 𝑃(𝑐) = 0.
Pero por el algoritmo de la división 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑄(𝑥) + 𝑅
Como 𝑃(𝑐) = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝑐) = (𝑐 − 𝑐)𝑄(𝑐) + 𝑅 = 0, por lo tanto 𝑅 = 0
y 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑄(𝑥).
Ver página web: http://www.xuletas.es/ficha/teoremas-del-factor-y-ceros-racionales/
Ejemplo. Aplicar el Teorema del factor para mostrar que 𝑥 + 1 es un factor de
𝑃(𝑥) = 12𝑥3
+ 8𝑥2
+ 𝑥 + 5
𝑥 + 1 = 𝑥 − (−1), por lo tanto 𝑐 = −1
Como 𝑃(−1) = 12(−1)3
+ 8(−1)2
+ (−1) + 5 = −12 + 8 − 1 + 5 = 0,
Por el Teorema del factor queda demostrado que (𝑥 + 1) es un factor de 𝑃(𝑥).
Efectivamente (12𝑥3
+ 8𝑥2
+ 𝑥 + 5) ÷ (𝑥 + 1) = (12𝑥2
− 4𝑥 + 5)
Por lo tanto, 𝑃(𝑥) = (12𝑥3
+ 8𝑥2
+ 𝑥 + 5) = (𝑥 + 1)(12𝑥2
− 4𝑥 + 5)
Ahora probamos con otros valores diferentes:
Si 𝑐 = 2 , 𝑃(2) = 12(2)3
+ 8(2)2
+ (2) + 5 = 135. Como 𝑃(2) ≠ 0, entonces

(𝑥 − 2) no es factor del polinomio 𝑃(𝑥).
Si 𝑐 = −10, 𝑃(−10) = 12(−10)3
+ 8(−10)2
+ (−10) + 5 = −11205. Como
𝑃(−10) ≠ 0, entonces (𝑥 + 10) no es factor del polinomio 𝑃(𝑥).
Desde el punto de vista de la conceptualización resulta importante mostrar al estudiante
como hay ensayo y error en este tipo de trabajos y como se podría encajonar el valor de un
posible factor de 𝑃(𝑥) si se logra detectar un cambio en el signo del residuo; así para el ejemplo
anterior por el tanteo realizado en la segunda parte del mismo, se tiene la certeza de que un
posible factor estará en (𝑥 − 𝑎) donde en principio 𝑎 estará para encajonarlo en el intervalo
−10 < 𝑥 < 2.
En general se puede entender que factorizar es el proceso de expresar un polinomio 𝑃(𝑥)
como producto de sus factores primos o irreducibles en el campo de factorización; por ejemplo
el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2
− 9 tiene como factores primos (𝑥 + 3) y (𝑥 − 3) en los enteros;
y 𝑥2
+ 1 tiene por factores a (𝑥 − 𝑖) 𝑦 (𝑥 + 𝑖) en el campo de los complejos.
Todo polinomio de grado 𝑛 se puede descomponer en a lo más 𝑛 factores primos gracias
al Teorema Fundamental del Álgebra, análogo del Teorema Fundamental de la Aritmética. La
factorización es importante en matemáticas, entre otras cosas, porque permite encontrar las
raíces de la ecuación 𝑃(𝑥) = 0. Existen varios métodos para resolver una ecuación de segundo
grado, entre otras, ensayo y error, completación de cuadrados, utilizando la fórmula general
para ecuaciones de segundo grado, o usando el método de factorización de un polinomio 𝑃(𝑥).
Un polinomio 𝑃(𝑥) de la forma 𝑝𝑥2
+ 𝑞𝑥 + 𝑟 donde 𝑝, 𝑞 𝑦 𝑟 son enteros, si es
reducible en 𝑍 debe ser de la forma 𝑝𝑥2
+ 𝑞𝑥 + 𝑟 = (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑), donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 son
enteros. Se deduce que:

𝑎𝑐 = 𝑝, 𝑏𝑑 = 𝑟, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑞
El siguiente ejemplo permite aclarar lo manifestado anteriormente, sea:
𝑃(𝑥) = 6𝑥2
− 7𝑥 − 3
6𝑥2
− 7𝑥 − 3 = 𝑝𝑥2
+ 𝑞𝑥 + 𝑟 = (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑)
Se puede deducir que 𝑎𝑐 = 𝑝 = 6 y 𝑏𝑑 = 𝑟 = −3. Existen 32 posibilidades para
hallar el valor de 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑞, pero se deben hallar los casos en que 𝑞 = −7.
Tabla 3. Posibilidades para hallar el valor de 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = 𝑞
𝑎𝑐 = 6 𝑏𝑑 = −3 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = −7 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 = −7?
𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 SI NO
1
1
1
1
2
2
2
𝟐
𝟑
3
3
3
6
6
6
6
−𝟐
−𝟑
6
6
6
6
3
3
3
𝟑
𝟐
2
2
2
1
1
1
1
−𝟑
−𝟐
1
3
−1
−3
1
3
−1
−𝟑
𝟏
3
−1
−3
1
3
−1
−3
𝟑
−𝟏
−3
−1
3
1
−3
−1
3
𝟏
−𝟑
−1
3
1
−3
−1
3
1
−𝟏
𝟑
−3
−1
3
1
−6
−2
6
2
−9
−3
9
3
−18
−6
18
6
2
−9
6
18
−6
−18
3
9
−3
−9
2
6
−2
−6
1
3
−1
−3
−9
2
3
17
−3
−17
−3
7
3
−𝟕
−𝟕
3
7
−3
−17
−3
17
3
−𝟕
−𝟕
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X

En el cuadro se relacionan los 16 casos en que los valores de 𝑎 y 𝑐 son positivos y los
dos casos que cumplen cuando 𝑎 y 𝑐 son negativos.
Al observar la tabla se puede concluir que hay cuatro formas de expresar el polinomio
𝑃(𝑥) como un producto de factores:
Si 𝑎 = 2, 𝑏 = −3, 𝑐 = 3, 𝑑 = 1 , entonces 6𝑥2
− 7𝑥 − 3 = (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1).
Si 𝑎 = 3, 𝑏 = 1, 𝑐 = 2, 𝑑 = −3, entonces 6𝑥2
− 7𝑥 − 3 = (3𝑥 + 1)(2𝑥 − 3).
Si 𝑎 = −2, 𝑏 = 3, 𝑐 = −3, 𝑑 = −1, entonces 6𝑥2
− 7𝑥 − 3 = (−2𝑥 + 3)(−3𝑥 − 1).
Si 𝑎 = −3, 𝑏 = −1, 𝑐 = −2, 𝑑 = 3, entonces 6𝑥2
− 7𝑥 − 3 = (−3𝑥 − 1)(−2𝑥 + 3).
2.2.4 Teorema de las raíces racionales.
El teorema de las raíces racionales permite hacer una aproximación mirando el término
independiente y los coeficientes de tal manera que las posibles raíces del polinomio están ahí, de
manera más precisa, el teorema de las raíces racionales se enuncia de la siguiente manera:
Si el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ …+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0; tiene coeficientes enteros
y si
𝑝
𝑞⁄ es un cero racional de 𝑃(𝑥) tal que 𝑚𝑐𝑑(𝑝, 𝑞) = 1, entonces 𝑝 es un factor entero de
𝑎0 y 𝑞 es un factor entero de 𝑎 𝑛.
Demostración: (Tomada de la página web:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_ra%C3%ADz_racional)
Sea 𝑃(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 para algún 𝑎0, … , 𝑎 𝑛 ∈ 𝑍, y
Suponga que 𝑃 (
𝑝
𝑞
) = 0 para algún coprimo: 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑍
𝑃 (
𝑝
𝑞
) = 𝑎 𝑛 (
𝑝
𝑞
)
𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 (
𝑝
𝑞
)
𝑛−1
+ … +𝑎1 (
𝑝
𝑞
) + 𝑎0 = 0.

Cambiando el término constante y multiplicando por 𝑞 𝑛
.
𝑞 𝑛
𝑎 𝑛 (
𝑝
𝑞
)
𝑛
+ 𝑞 𝑛
𝑎 𝑛−1 (
𝑝
𝑞
)
𝑛−1
+ … +𝑞 𝑛
𝑎1 (
𝑝
𝑞
) = −𝑎0 𝑞 𝑛
.
𝑎 𝑛 𝑝 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑞𝑝 𝑛−1
+ … + 𝑎1 𝑞 𝑛−1
𝑝 = −𝑎0 𝑞 𝑛
(1).
Factorizando el primer miembro de la igualdad. Se saca el factor común 𝑝.
𝑝(𝑎 𝑛 𝑝 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−1 𝑞𝑝 𝑛−2
+ … + 𝑎1 𝑞 𝑛−1
) = −𝑎0 𝑞 𝑛
Todos los términos son enteros, lo que implica que
𝑝
𝑎0 𝑞 𝑛⁄ (𝑝 divide a 𝑎0 𝑞 𝑛
).
Intercambiando los términos −𝑎0 𝑞 𝑛
y 𝑎 𝑛 𝑝 𝑛
en la ecuación (1).
𝑎 𝑛−1 𝑞𝑝 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2 𝑞2
𝑝 𝑛−2
+ … + 𝑎1 𝑞 𝑛−1
𝑝 + 𝑎0 𝑞 𝑛
= −𝑎 𝑛 𝑝 𝑛
.
Factorizando el primer miembro de la igualdad. Se saca el factor común 𝑞.
𝑞(𝑎 𝑛−1 𝑝 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2 𝑞𝑝 𝑛−2
+ … + 𝑎1 𝑞 𝑛−2
𝑝 + 𝑎0 𝑞 𝑛−1
) = −𝑎 𝑛 𝑝 𝑛
.
Todos los términos en esta ecuación son enteros, lo que implica que
𝑞
𝑎 𝑛 𝑝 𝑛⁄ (𝑞 divide a 𝑎 𝑛 𝑝 𝑛
).
Pero las parejas (𝑝, 𝑞 𝑛
) y (𝑞, 𝑝 𝑛
) son coprimos. Por lo tanto
𝑝
𝑎0
⁄ (𝑝 divide a 𝑎0 y
𝑞
𝑎 𝑛
⁄ (𝑞 divide a 𝑎 𝑛).
O sea que 𝑝 es un factor del término constante 𝑎0 y 𝑞 es un factor del coeficiente del término
𝑎 𝑛.
Formando todas las posibles razones de cada factor de 𝑎0 y de 𝑎 𝑛 se puede construir una
lista de todas las raíces racionales posibles.
Otra herramienta para acotar las raíces de un polinomio P(x) la brinda la regla de los
signos de Descartes que permite tener información acerca del número y localización de los ceros
de una función polinomial, es decir si un polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛 > 0 tiene a lo más 𝑛 raíces,
la regla de los signos de Descartes establece que si 𝑃(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ …+ 𝑎1 𝑥 +
𝑎0, es un polinomio con coeficientes reales y 𝑎0 ≠ 0, entonces:

1. El número de ceros positivos reales de 𝑃(𝑥) es igual al número de variaciones de signo
de 𝑃(𝑥) o inferior a dicho número por una magnitud igual a un número natural par.
2. El número de ceros reales negativos de 𝑃(𝑥) es igual al número de variaciones en
signo en 𝑃(−𝑥) o es inferior a ese número por una magnitud igual en un número natural par.
Se debe aclarar que la variación en signos significa que dos coeficientes consecutivos
tienen signos opuestos.
El Teorema Fundamental del Álgebra (TFA) garantiza que cualquier ecuación polinómica
de grado 𝑛 con coeficientes reales, tiene exactamente 𝑛 raíces en los complejos; o lo que es lo
mismo un polinomio de grado 𝑛 con coeficientes reales se puede factorizar sobre los complejos
en 𝑛 factores lineales. Sin embargo este teorema no establece cómo se encuentran las raíces o
los factores del polinomio, es decir no establece un algoritmo para factorizar un polinomio. El
teorema puede ser expresado de las siguientes maneras equivalentes:
a) Todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene al menos
una raíz real o compleja.
b) Todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 1 con coeficientes reales o complejos se descompone en
un producto de factores lineales con coeficientes reales o complejos y admite 𝑛 raíces reales o
complejas (distintas o repetidas).
c) Todo polinomio de grado 𝑛 > 1 con coeficientes reales puede ser descompuesto en un
producto de factores con coeficientes reales de primero o segundo grado.
Ver la demostración del Teorema Fundamental del Álgebra en las página web:
http://cafematematico.com/2012/04/12/el-teorema-fundamental-del-algebra-2/.
A partir de éste teorema se puede expresar todo polinomio 𝑃(𝑥) en teoría como un
producto de polinomios de grado 1, con lo que resulta el Teorema de la factorización completa

que nos dice lo siguiente: Si 𝑃(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ …+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0, donde 𝑛 ≥ 1,
entonces existen 𝑛 números complejos 𝑐1, 𝑐2, … 𝑐 𝑛 , tales que:
𝑃(𝑥) = 𝑎 𝑛(𝑥 − 𝑐1)(𝑥 − 𝑐2) … (𝑥 − 𝑐 𝑛), donde 𝑎 es el coeficiente principal de 𝑃(𝑥).
Cada número 𝑐 𝑛 es un cero de 𝑃(𝑥), y también se puede determinar el número de ceros
que puede tener el polinomio con el Teorema del número máximo de ceros de un polinomio, que
plantea lo siguiente: Si 𝑃(𝑥) es un polinomio de grado 𝑛 ≥ 1 con coeficientes complejos,
entonces 𝑃(𝑥) tiene a lo sumo 𝑛 ceros complejos.
Desde un punto de vista elemental, el proceso de factorizar, podría ser considerado como
expresar una suma o resta como un producto de factores.
Básicamente factorizar es expresar una suma o resta como un producto de factores
irreducibles. Cuando decimos que 12 × 12 = 100 + 40 + 4, estamos multiplicando, pero
cuando decimos que 100 + 40 + 4 = 12 × 12 = 2 × 2 × 3 × 2 × 2 × 3 = 24
× 32
estamos
factorizando, es decir expresando una suma como un producto de factores.
2.2.5 Casos de Factorización
La forma en que usualmente se presenta la factorización en el contexto escolar es a través
de lo que se denomina los casos de factorización. A continuación se presentan los casos de
factorización y los ejemplos que más adelante se van a resolver con la ayuda del material
didáctico “El Álgebra es un Juego”. Es importante repasar las características de cada caso y
cómo se resuelve por algoritmos tradicionales para comprender el potencial de utilizar el juego
para demostrar geométricamente cada caso y que permite comprender mejor el proceso de
factorización.

1. Factor Común Monomio: Este caso se presenta cuando todos los términos de un
polinomio tienen un factor común. Se escribe el factor común como coeficiente de un paréntesis
y dentro del paréntesis se escriben los cocientes de dividir cada término del polinomio por el
factor común.
Ejemplo: Factorar o descomponer en dos factores 2𝑥3
+ 4𝑥2
− 8𝑥. El polinomio se
puede reescribir así: 𝟐𝒙 × 𝑥2
+ 2 × 𝟐𝒙 × 𝑥 − 4 × 𝟐𝒙 y se puede apreciar que el factor
común es 2𝒙 el cual se escribe fuera del paréntesis. Dentro del paréntesis se escriben los
cocientes de dividir cada término entre este factor común, es decir:
2𝑥3
÷ 2𝑥 = 𝒙 𝟐
, 4𝑥2
÷ 2𝑥 = 𝟐𝒙 y −8𝑥 ÷ 2𝑥 = −𝟒. Así:
2𝑥3
+ 4𝑥2
− 8𝑥 = 2𝑥(𝑥2
+ 2𝑥 − 4)
La solución con el material didáctico “El Álgebra es un Juego” estará fundamentada en
construir rectángulos con las fichas correspondientes a los términos del polinomio que se va a
factorizar. Los lados del rectángulo serán los factores. La solución del presente ejercicio, en el
apartado 3.3.3.1 (p.106), mostrará la vista superior y una vista tridimensional.
2. Factor Común por Agrupación de Términos: Este caso se presenta, generalmente,
cuando el polinomio tiene cuatro, seis o más términos, siempre y cuando el número de términos
no sea primo. La agrupación generalmente puede hacerse de varios modos con tal que los
términos que se agrupan tengan factor común y siempre que las cantidades que queden dentro
de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si
esto no es posible lograrlo, la expresión dada no se puede descomponer por este método.
Ejemplo: Factorar 2𝑥3
− 6𝑥2
− 3𝑥 + 9. Los dos primeros términos tienen el factor
común 2𝑥2
y los dos últimos el factor común 3. Agrupando tenemos:

2𝑥3
− 6𝑥2
− 3𝑥 + 9 = (2𝑥3
− 6𝑥2) − (3𝑥 − 9) = 2𝑥2(𝑥 − 3) − 3(𝑥 − 3) =
(𝑥 − 3)(2𝑥2
− 3).
Si se agrupa de otra manera, los términos primero y tercero tienen el factor común 𝑥 y
los términos segundo y cuarto tienen el factor común 3, así es posible entonces reescribir como:
2𝑥3
− 6𝑥2
− 3𝑥 + 9 = (2𝑥3
− 3𝑥) − (6𝑥2
− 9) = 𝑥(2𝑥2
− 3) − 3(2𝑥2
− 3) = (2𝑥2
−
3)(𝑥 − 3).
Estas dos soluciones se podrán ver simultáneamente más adelante, en el apartado 3.3.3.2
(p.107), con “El Álgebra es un juego”.
3. Diferencia de Cuadrados: Este caso se presenta cuando la expresión que se va a
factorizar es un binomio y cada término es un cuadrado perfecto, si se desea factorizar en el
anillo de ℤ. Para factorizar una diferencia de cuadrados, se extrae la raíz cuadrada al minuendo y
al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de las mismas.
Ejemplo: 4𝑥2
− 25 = (2𝑥 + 5)(2𝑥 − 5)
En la solución con “El Álgebra es un juego”, en el apartado 3.3.3.3 (p.110), se podrá
apreciar que se forma un cuadrado porque van a aparecer los términos 10𝑥 y −10𝑥 que son los
que se anulan entre sí. Ver caso especial en el anexo 7.2.4 (Resolver 4𝑥2
− (𝑥 + 𝑦)2
con el
juego, p. 159).
4. Trinomio Cuadrado Perfecto: Este caso se presenta cuando los términos primero y
tercero son cuadrados y el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas de los
otros dos. En el texto escolar de Baldor (1977), se presenta de la siguiente manera: “Para factorar
un trinomio cuadrado perfecto, se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se

separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del
trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado” (p.150).
Ejemplo: 9𝑥2
+ 6𝑥 + 1 = (3𝑥 + 1)(3𝑥 + 1) = (3𝑥 + 1)2
Con “El Álgebra es un juego”, en el apartado 3.3.3.4 (p.112), se podrá comprobar que,
para este caso, por ser un trinomio cuadrado perfecto, con las fichas, geométricamente se tiene
que formar un cuadrado de lados 3𝑥 + 1.
5. Trinomio de la Forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐:
a. Si 𝒂 = 𝟏.
Este caso se presenta cuando el trinomio cumple las siguientes condiciones:
a. El coeficiente del primer término es 1.
b. El primer término es una variable cualquiera elevada al cuadrado.
c. El segundo término tiene la misma variable que el primero con exponente 1 y su
coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
d. El tercer término es independiente de la variable que aparece en los otros dos
términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Para factorizar un trinomio de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 se sigue los siguientes pasos:
a. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es 𝑥, o sea la raíz
cuadrada del primer término del trinomio.
b. En el primer factor, después de 𝑥 se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el
segundo factor, después de 𝑥 se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del
segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.

c. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya
suma sea el valor absoluto de 𝑏 y cuyo producto sea el valor absoluto de 𝑐. Estos números son
los segundos términos de los binomios.
d. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya
diferencia sea el valor absoluto de 𝑏 y cuyo producto sea el valor absoluto de 𝑐. El mayor de
estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del
segundo binomio. (Baldor, 1977, pp. 158, 159)
Ejemplo: Factorar 𝑥2
− 5𝑥 + 6
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la raíz
cuadrada de 𝑥2
o sea 𝑥:
𝑥2
− 5𝑥 + 6 = (𝑥 )(𝑥 )
En el primer binomio después de 𝑥 se pone el signo − porque el segundo término del
trinomio tiene signo − . En el segundo binomio, después de 𝑥, se escribe el signo que resulta
de multiplicar el signo de −5𝑥 por el signo de +6, es decir negativo y por lo tanto se tiene
hasta aquí que: 𝑥2
− 5𝑥 + 6 = (𝑥 − )(𝑥 − ).
Como los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números
cuya suma sea el valor absoluto de 5 y cuyo producto sea el valor absoluto de 6. Esos números
son 2 y 3, por lo tanto: 𝑥2
− 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3).
Para formar el rectángulo con “El Álgebra es un Juego” se deben utilizar los cuatro
cuadrantes (Ver Fig.48 p. 114), lo cual permite visualizar los cuatro términos que resultan al
multiplicar los dos factores, es decir, si realizamos la operación de derecha a izquierda:
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 𝑥2
− 3𝑥 − 2𝑥 + 6

Con las fichas correspondientes a esos cuatro términos se forma el rectángulo cuyos lados
son (𝑥 − 3) y (𝑥 − 2).
Si 𝒂 ≠ 𝟏.
Este caso se presenta cuando el trinomio 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 cumple las mismas condiciones
que el caso anterior con la diferencia que en este caso 𝒂 ≠ 𝟏.
Aun cuando existen diferentes procesos algorítmicos para resolver este caso, el
procedimiento general alberga la misma idea y es que para factorar estos trinomios se deben
transformar para resolverlos como en el caso anterior , es decir se multiplican y dividen todos
los términos del trinomio por 𝑎 y se reescribe así: [(𝑎𝑥)2
+ 𝑏(𝑎𝑥) + 𝑎𝑐] ÷ 𝑎. El trinomio se
descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de (𝑎𝑥)2
o sea
𝑎𝑥, luego se sigue el paso b del caso anterior con relación a los signos y dependiendo de si son
iguales se sigue el paso c (se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto de 𝑏 y cuyo
producto sea el valor absoluto de 𝑎𝑐 ) o si son distintos se sigue el paso d (se buscan dos
números cuya diferencia sea el valor absoluto de 𝑏 y cuyo producto sea el valor absoluto de 𝑎𝑐).
Finalmente se dividen los factores por 𝑎, si es del caso se descompone 𝑎 en dos factores, un
factor divide al primer binomio y el otro factor al segundo.
Ejemplo: Factorizar 6𝑥2
− 7𝑥 − 3
Se multiplica el trinomio por el coeficiente de 𝑥2
que es 6 y dejando indicado el producto
de 6 por 7𝑥 se tiene: 36𝑥2
− 6(7𝑥) − 18. Como 36𝑥2
= (6𝑥)2
y 6(7𝑥) = 7(6𝑥) se puede
escribir: (6𝑥)2
− 7(6𝑥) − 18. Factorizando este trinomio como en el ejemplo anterior (a=1) se
tiene (6𝑥)2
− 7(6𝑥) − 18 = (6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2). Como inicialmente se multiplicó por 6, ahora y

para que la expresión algebraica no se vea alterada, se tiene que dividir por 6, pero este puede ser
escrito como 6 = 3 × 2, o sea que el primer factor se divide por 3 y el segundo por 2. Luego:
6𝑥2
− 7𝑥 − 3 = (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1).
La representación geométrica que ofrece “El Álgebra es un Juego”, al construir el
rectángulo (Fig. 50, p.116), muestra los cuatro términos que resultan al multiplicar los dos
factores (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1) = 6𝑥2
+ 2𝑥 − 9𝑥 − 3.
6. Suma de Cubos: Este caso se presenta cuando los dos términos del binomio que se va
a factorar son cubos perfectos. La suma de dos cubos perfectos se factoriza en dos factores; el
primer factor es la suma de las raíces cúbicas y el segundo factor es el cuadrado de la primera
raíz menos el producto de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplo: 𝑥3
+ 8 =
(𝑥 + 2)(𝑥2
− 2𝑥 + 4).
“El Álgebra es un Juego” ofrece una representación geométrica (Fig. 52, p. 119) donde se
ven los dos cubos y aparecen los seis términos del producto (𝑥 + 2)(𝑥2
− 2𝑥 + 4) = 𝑥3
−
2𝑥2
+ 4𝑥 + 2𝑥2
− 4𝑥 + 8, antes y después de reducir términos semejantes.
7. Diferencia de Cubos. Este caso se presenta cuando los dos términos del binomio que
se va a factorar son cubos perfectos. La diferencia de dos cubos perfectos se factoriza en dos
factores; el primer factor es la diferencia de las raíces cúbicas y el segundo factor es el cuadrado
de la primera raíz más el producto de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo: 𝑥3
− 1 = (𝑥 − 1)(𝑥2
+ 𝑥 + 1).
“El Álgebra es un Juego” ofrece una representación geométrica (Fig. 53, p. 120) donde se
ven los dos cubos y aparecen los seis términos del producto
determinado por la factorización. (𝑥 − 1)(𝑥2
+ 𝑥 + 1) = 𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥 − 𝑥2
− 𝑥 − 1.

8. Expresión que es el Cubo de un Binomio. Este caso se presenta cuando la expresión
cumple las siguientes condiciones:
a) Tener cuatro términos.
b) Que el primero y último términos sean cubos perfectos.
c) Que el segundo término sea más o menos el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer
término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
d) Que el tercer término sea más el triple de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el
cuadrado de la raíz cúbica del último.
Si todos los términos de la expresión son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las
raíces cúbicas de su primero y último términos, y si los términos son alternativamente positivos y
negativos, la expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces. (Baldor, 1977, p.166)
Ejemplo 1: Factorar 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1
Al analizar el polinomio se puede deducir: La expresión tiene cuatro términos, la raíz
cúbica de 𝑥3
es 𝑥 y la raíz cúbica de 1 es 1. Además, 3(𝑥)2(1) = 3𝑥2
es el segundo término y
3(𝑥)(1)2
= 3𝑥 es el tercer término. Por lo tanto, y porque todos los términos de la expresión
son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primero y
último términos.
𝑥3
+ 3𝑥2
+ 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)3
El material didáctico “El Álgebra es un Juego” muestra (Fig. 56, p.122) que con una ficha
naranja (𝑥3
), tres fichas amarillas (3𝑥2
), tres azules (3𝑥) y una verde (1), que representan el
polinomio que se va a factorizar se forma el cubo perfecto y muestra los factores (𝑥 + 1) en un
eje y (𝑥 + 1)2
= 𝑥2
+ 2𝑥 + 1 en el otro eje.

Ejemplo 2: Factorar 1 − 12𝑥 + 48𝑥2
− 64𝑥3
Al analizar el polinomio se puede deducir: La expresión tiene cuatro términos; la raíz
cúbica de 1 es 1 y la raíz cúbica de 64𝑥3
es 4𝑥. Además, 3(1)2(4𝑥) = 12𝑥 es el segundo
término y 3(1)(4𝑥)2
= 48𝑥2
es el tercer término. Por lo tanto, y porque todos los términos son
alternativamente positivos y negativos, la expresión dada es el cubo de la diferencia de las raíces
cúbicas de su primero y último términos.
1 − 12𝑥 + 48𝑥2
− 64𝑥3
= (1 − 4𝑥)3
Una de las dificultades que puede generar El Material Didáctico “El Álgebra es un
Juego” es que no se pueden resolver todos los ejercicios ya que por los valores de los
coeficientes implicaría un gran número de fichas y este es limitado así que los polinomios con
coeficientes grandes como en el ejemplo anterior no se podrían representar. El ejercicio requiere
48 fichas 𝑥2
(amarillas) y 64 fichas 𝑥3
(color naranja). Además, si se presenta diferencia de
cubos, las fichas correspondientes a los términos del polinomio no podrían representar un cubo
en los cuadrantes, como si se puede si todos los términos son positivos.

2.3 ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN FRENTE AL USO DE
MATERIALES MANIPULATIVOS
En este apartado se analizan los antecedentes desde el uso de materiales manipulativos
para la enseñanza y el aprendizaje de temáticas asociadas al objeto de estudio del presente
trabajo. Se recorrió el trabajo de algunos investigadores como Materiales Manipulativos para la
Enseñanza y Aprendizaje del Álgebra en la Educación Obligatoria 1 (Hernández et al, 2008),
Tabletas Algebraicas (Jiménez & Salazar, 2013), Álgebra Geométrica (Ballen, 2012) y El
Álgebra es un Juego (Acevedo, 2007), con el fin de analizar estos manipulativos en los procesos
de enseñanza y aprendizaje del algebra, presentando algunas comparaciones entre ellos y en el
apartado Resultados y Discusión se establecen las semejanzas y diferencias con el manipulativo
“El Álgebra es un Juego”.
2.3.1 Lab Gear
Este material consta de las piezas 1,5,25 y de las variables 𝑥, 𝑦, 5𝑥, 5𝑦 , 𝑥𝑦, 𝑥2
, 𝑦2
,
𝑥2
𝑦, 𝑥𝑦2
, 𝑥3
, 𝑦3
. Las piezas se parecen físicamente a las fichas que se trabajan en este
proyecto.
El Lab Gear ayuda a los estudiantes a visualizar el Álgebra: Los valores de los bloques
permanecen constantes, se elimina la confusión acerca de si una pieza determinada representa el
mismo valor, mientras que los tamaños de los bloques 𝑥 e 𝑦 son arbitrarios, y no guardan
relación con ningún valor particular, esto ayuda a que los estudiantes reconozcan las variables
como cantidades desconocidas.

Figura 1. Fichas que utiliza Lab Gear
El material se complementa con diversas planillas que organizan los bloques en
rectángulos para modelizar la multiplicación, la división y la factorización.
Con este material se pueden trabajar otros aspectos como la representación del signo
menos, fracciones equivalentes, suma, resta, simplificación de expresiones, resolución de
ecuaciones y de sistemas de ecuaciones de primer grado. De otra parte, con él no se puede
trabajar polinomios de grado mayor a tres.
Hernández et al (2008) realizaron una serie de experimentos con material didáctico
donde estos son empleados como un tipo de registro de representacion semiótica que:
1. Facilitan la manipulación y conceptualización del símbolo y de la cantidad
desconocida o general.
2. Proporcionan una interpretación geométrica de símbolos y operaciones.
3. Mejoran el discurso de la clase de Álgebra: por una parte, los alumnos reflexionan y
discuten sobre el objeto matemático y, por otra, si la metodología que acompaña al material es la
adecuada, permiten que cada alumno construya el aprendizaje a su ritmo (el profesor dirige, pero

la enseñanza es individualizada, por esto es muy importante el diseño de las actividades que
acompañan al material).
4. Facilitan los procesos de conversión de representación semiótica entre el lenguaje
algebraico y el natural.
5. La manipulación de varias representaciones por el alumnado le permite construir
imágenes mentales adecuadas de un objeto matemático.
Desde esta perspectiva podemos avanzar más en la organización anterior, y considerar el
material didáctico como un sistema de representación semiótico para un objeto matemático dado,
pero esto no es obviamente una adaptación inmediata, por el contrario es una acción mediada;
esta posición supone considerar dos aspectos como esenciales:
a) La necesidad de un acercamiento pragmático a los sistemas de representación
semióticos.
b) Aceptar como hipótesis de partida que el uso del material didáctico en el sentido de
representación semiótica, puede facilitar en gran medida la actividad matemática al estimular y
favorecer el desarrollo del conocimiento matemático.

2.3.2 Algebra Tiles
Este material consta de 58 figuras planas clasificadas por tamaños y colores.
Figura 2. Piezas de Algebra Tiles.
Las fichas están distribuidas en 30 piezas positivas: 18 unidades (los cuadrados
amarillos), la variable 𝑥 (los 8 rectángulos color rosa) y la variable 𝑥2
(los 4 cuadrados verdes) y
28 piezas negativas: 18 unidades (los cuadrados rojos del mismo tamaño que los amarillos), 8
piezas 𝑥 (los rectángulos rojos del mismo tamaño que los rosados) y 2 piezas 𝑥2
(los
cuadrados rojos del mismo tamaño que los verdes). En la figura 2 se puede apreciar que el lado
menor de los rectángulos tiene la misma longitud que el lado de los cuadrados pequeños y el
lado mayor del rectángulo tiene la misma longitud que el lado de los cuadrados grandes.

Las piezas de “Algebra Tiles” permiten trabajar bien aspectos tales como números con
signo, propiedad distributiva, adición y sustracción de polinomios, multiplicación de polinomios,
factorización de polinomios, resolución de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas. Trabajan sólo
con una variable, lo que puede limitar la conceptualización de la cantidad desconocida y el
tránsito entre el lenguaje natural y el lenguaje algebraico. La modelización de la multiplicación
como área no es geométricamente correcta cuando está implicado el signo menos y sólo pueden
ser representadas expresiones sencillas que contengan dicho signo.
A continuación se presenta un ejemplo para utilizar las piezas de “Algebra Tiles”. Para
realizar la operación 5 − (−2) se toman cinco cuadrados amarillos (positivos) y como no se
tienen cuadrados rojos (negativos) para retirar dos (restar), se adicionan dos parejas de
cuadrados rojos y amarillos (que equivale a sumar cero) (Fig. 3a) y así poder quitar dos rojos
(restar -2) (Fig. 3b). La respuesta es 7 que corresponde a los cuadrados amarillos que quedaron.
+ + =
Figura 3a. Ejemplo de “Algebra Tiles”: 5 + (−2) + 2 = 7 + (−2) = 5

=
Figura 3b. 𝟓 − (−2) = 7
2.3.3 Algeblocks
Está formado por piezas que representan las variables 𝑥, 𝑦, 𝑥2
, 𝑦2
, 𝑥𝑦, 𝑥2
𝑦, 𝑥𝑦2
, 𝑥3
,
𝑦3
, así como las unidades.
Figura 4. Piezas del material manipulativo Algeblocks.
La pieza 𝑥 es el prisma amarillo de dimensiones 1 × 1 × 𝑥 (parte inferior derecha de la
Fig. 4). La pieza 𝑥2
es el prisma amarillo de dimensiones 𝑥 × 𝑥 × 1 (parte central de la Fig. 4).
La pieza 𝑥3
es el cubo amarillo de dimensiones 𝑥 × 𝑥 × 𝑥 (encima del cubo naranja en la
parte superior de la Fig. 4). La pieza 𝑦 es el prisma naranja de dimensiones 1 × 1 × 𝑦 (parte

central inferior de la Fig. 4). La pieza 𝑦2
es el prisma naranja de dimensiones 𝑦 × 𝑦 × 1 (parte
izquierda central de la Fig. 4). La pieza 𝑦3
es el cubo naranja de dimensiones 𝑦 × 𝑦 × 𝑦 (parte
superior de la Fig. 4, debajo del cubo amarillo). La pieza 𝑥𝑦 es el prisma mostaza de
dimensiones 𝑥 × 𝑦 × 1 (parte superior izquierda de la Fig. 4). La pieza 𝑥2
𝑦 es el prisma
mostasa de dimensiones 𝑥 × 𝑥 × 𝑦 (parte superior derecha de la Fig. 4, cerca de 𝑦3
). La pieza
𝑥𝑦2
es el prisma mostasa de dimensiones 𝑥 × 𝑦 × 𝑦 (parte central derecha de la Fig. 4, arriba
de 𝑥).
Está diseñado para que el estudiante desarrolle conceptos matemáticos desde una
perspectiva constructivista. Mediante el uso de dichas piezas, los estudiantes exploran y
conceptualizan las nociones básicas de Preálgebra y Álgebra, pueden crear reglas en forma
inductiva, es decir, van de lo concreto a lo abstracto.
Con este material se pueden trabajar las operaciones básicas con números enteros,
adición, sustracción, multiplicación, división y factorización de polinomios, traducción de
expresiones lingüísticas a expresiones matemáticas, resolución de ecuaciones lineales, de
inecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales en dos variables (Hernández et al, 2008).
2.3.4 Puzzle Algebraico
El Puzzle Algebraico está formado por 132 fichas que se distribuyen en 66 positivas de
color azul claro y 66 piezas negativas de color azul oscuro. Cada pieza positiva tiene su
correspondiente pieza negativa. Las 132 piezas rectangulares se clasifican en 11 fichas diferentes
y se denominan, de acuerdo a sus dimensiones, así:

Figura 5. Piezas del Puzzle Algebraico.
Doce cuadrados de medidas 1 × 1 son las fichas 𝟏 • 𝟏, doce rectángulos de medidas 𝑥 ×
1 son las fichas 𝒙 • 𝟏, doce rectángulos de medidas 𝑦 x 1 son las fichas 𝒚 • 𝟏, doce rectángulos
b•1
1•1 -1.1 X•1
1
-X•1 -Y•1Y•1
-b•1
X•X -X•X b•X -b•X
(b/2)•X -(b/2)•X −
𝑏
4
. 𝑋𝑏
4
•X
(b/2)•(b/2) -(b/2)•(b/2)
b•b -b•b
𝑏
4
.
𝑏
4
−
𝑏
4
.
𝑏
4

de medidas 𝑏 × 1 son las fichas 𝒃 • 𝟏, doce cuadrados de medidas 𝑥 × 𝑥 son las fichas 𝒙 • 𝒙,
doce rectángulos de medidas 𝑏 × 𝑥 son las fichas 𝒃 • 𝒙, doce rectángulos de medidas 𝑏
2⁄ × 𝑥
son las fichas 𝒃
𝟐⁄ • 𝒙, doce rectángulos de medidas 𝑏
4⁄ × 𝑥 son las fichas 𝒃
𝟒⁄ • 𝒙, doce
rectángulos de medidas 𝑏
2⁄ × 𝑏
2⁄ son las fichas 𝒃
𝟐⁄ • 𝒃
𝟐⁄ , doce rectángulos de medidas
𝑏 × 𝑏 son las fichas 𝒃 • 𝒃 y doce rectángulos de medidas 𝑏
4⁄ × 𝑏
4⁄ son las fichas 𝒃
𝟒⁄ •
𝒃
𝟒⁄ . En cada clase de fichas hay 6 positivas y 6 negativas (Fig. 5).
El Puzzle es una representación semiótica de carácter bidimensional no paradigmática, es
decir que no se ajusta a algún modelo estandarizado. Está basada en la noción de magnitud
orientada, que permite abordar el tratamiento de los siguientes objetos matemáticos: cantidades
numéricas positivas y negativas, expresiones algebraicas elementales, ecuaciones lineales,
ecuaciones de segundo grado y otras situaciones (sistemas de ecuaciones e inecuaciones).
Aunque se trata de una representación semiótica no paradigmática, o sea que no es el
resultado de modelos que se hayan estado usando comúnmente, respeta el principio de
extensión algebraica, especialmente con la regla de los paréntesis, en la que aparece asociada a
dos ideas: la resta como acción de quitar (formación de ceros, ceros relativos,…) y la resta como
suma del opuesto. La regla de los paréntesis dice que: + (𝑥) = 𝑥; +(−𝑥) = −𝑥; −(𝑥) =
−𝑥; −(−𝑥) = 𝑥. Además, también respeta la regla de los signos y el Álgebra geométrica griega,
es decir, que permite resolver ecuaciones de hasta 2º grado.
Como ejemplo se va a calcular (+4) − (−1) utilizando la idea de quitar.
Representamos (+4). A (+4) no podemos quitarle (−1). Se crean tantos ceros como sea
necesario hasta poder quitar (−1). Para ello se adicionan dos unidades más, una positiva y una
negativa, que se anulan (Fig. 6).

Figura 6. (+4) − (−1) = 5, utilizando la idea de quitar.
Ahora si se calcula (+4) − (−1) utilizando la idea de opuesto. Se representa (+4) y el
opuesto de (−1). Se hace la suma y se aplica la regla de simplificación si es necesario (en este
caso no lo es) (Fig. 7).
Por tanto, (+4) − (−1) = (+4) + (+1) = 5
Figura 7. (+4) − (−1) = (+4) + (+1) = 5 utilizando la idea de opuesto.
El Puzzle no es una estrategia de enseñanza. Es una representación más del objeto
algebraico que se quiere estudiar, que puede ser utilizada con cualquier método, y bajo cualquier
concepción que se tenga de la enseñanza y aprendizaje del Álgebra (Hernández et al, 2007b).
La factorización, que es la base de este proyecto no está dentro de las aplicaciones de “El
Puzzle Algebraico”, por lo tanto no es del caso profundizar en los otros temas.
-1•1
1•1
1•1 1•1 1•1 1•1
1•1
1•1 1•1 1•1 1•1

2.3.5 Tabletas Algebraicas
Este trabajo titulado “Propuesta didáctica: Tabletas Algebraicas como una alternativa de
enseñanza del proceso de factorización de algunos polinomios de segundo grado” escrito por
Jiménez y Salazar (2013) va dirigido a aquellos docentes de matemáticas y maestros en
formación interesados en el tema de factorización de algunos polinomios de segundo grado. La
idea se inspira en el trabajo de los árabes (e incluso Euclides, sin ser explícito) al relacionar
términos de un polinomio con áreas, usar figuras para representarlas y posteriormente encontrar
sus factores y la solución a algunas ecuaciones relacionadas con problemas propios de su
cotidianidad.
.
Figura 8. Tabletas Algebraicas y un ejemplo de unión correcta.
El objetivo de cada configuración es formar rectángulos con las Tabletas Algebraicas de manera
tal que no queden espacios vacíos entre ellas. Una vez formado el rectángulo, se debe deducir las
longitudes de los lados (comúnmente llamados base y altura) de acuerdo a las longitudes de los
lados de los rectángulos que lo conforman; para esto, se sumará la longitud de cada uno de los
lados que componen el lado total, ... (Jiménez & Salazar, 2013, p.72)

Las Tabletas Algebraicas son 65 fichas planas que especifican el tamaño, el color y el
área de cada una.
2.3.6 Álgebra Geométrica
“El álgebra geométrica como recurso didáctico para la factorización de polinomios de
segundo grado” es una propuesta de Ballén (2012). En su tesis de grado Ballén afirma:
La experiencia desde el aula nos muestra que los estudiantes de octavo grado de la educación
básica secundaria presentan dificultades en el aprendizaje de polinomios y, sobre todo, en su
factorización. En la historia de la matemática y en especial en el álgebra geométrica encontramos
un recurso didáctico que permite visualizar la factorización de polinomios cuadráticos que tienen
raíces enteras, para mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje en la resolución de problemas
que involucran ecuaciones de segundo grado. A partir del álgebra geométrica, como recurso
didáctico y ambientación a diferentes temas, se pueden mejorar los procesos de enseñanza
aprendizaje. (p.6)
Se plantean ejercicios para tener un acercamiento al álgebra geométrica a partir de
situaciones reales relacionadas con geometría. A continuación se presenta un ejemplo:
Figura 9. Terreno cuadrangular que se va a cultivar (azul).

Los antiguos egipcios cultivaban la estrecha franja de tierra junto al río Nilo, que
atraviesa el desierto del Sáhara. El Nilo se desbordaba cada invierno, inundando los campos.
Año tras año, los egipcios tenían que delimitar de nuevo sus terrenos. Por eso se convirtieron en
excelentes topógrafos. Si en la gráfica (Fig. 9), 𝑥 nos representa el lado del terreno cuadrangular
que se va a cultivar, y 𝑧 el lado de terreno que es arrasado por el invierno, ¿cuál podría ser la
expresión que represente el área cultivada por los egipcios? El propósito es acudir a estrategias
que resulten llamativas para los estudiantes como plantear problemas que involucren
representaciones geométricas que se relacionen con el álgebra. En términos del propio autor:
Los temas de enseñanza del álgebra, en especial los que tienen que ver con los procesos de
factorizar, con nuestros estudiantes no son fáciles de abordar, por lo que debemos acudir a diferentes
estrategias que nos permitan mejorar los resultados con nuestros niños. El álgebra geométrica realmente
logra que exista una mejor comprensión de los temas a pesar de las limitaciones que pueda tener, pero la
parte visual que tiene este recurso genera una mayor motivación porque se logra manipular los conceptos
algebraicos de una manera más atractiva sin dejar a un lado su fundamentación teórica. La historia nos
permite comprender y enriquecer nuestros saberes para generar nuevos materiales que ayudarán a
nuestros estudiantes en su aprendizaje. (Ballén, 2012, p.49)
Se plantea también la factorización con álgebra geométrica a partir de varias actividades.
A continuación se presenta la actividad 1:
La compañía casa segura quiere ofrecer tres tipos de vivienda, para este fin ha comprado
un terreno rectangular el cual debe dividir de tal forma que se utilice la totalidad del área. Una de
las condiciones es que se deben respetar los modelos tipo A (Fig. 10), B (Fig. 11) y C (Fig. 12).

Fig. 10. Modelo A. Fig. 11. Modelo B. Fig. 12. Modelo C.
Para este fin se ha hecho una convocatoria en un colegio a los alumnos del grado octavo
con el fin de que hagan la distribución del terreno teniendo en cuenta las siguientes
características: Una casa de tipo A, 6 casas de tipo B y 8 casas de tipo C. Una de 15 soluciones
fue la siguiente.
Figura 13. Terreno con 15 casas.
El área de la distribución anterior (Fig. 13) se relaciona con el polinomio 𝑥2
+ 6𝑥 + 8 y
los lados con las expresiones (𝑥 + 4) y (𝑥 + 2). Por lo tanto 𝑥2
+ 6𝑥 + 8 = (𝑥 + 4)(𝑥 + 2).
2.3.7 El Álgebra es un Juego
Los estudiantes presentan muchos errores tanto conceptuales como procedimentales
cuando están aprendiendo conceptos algebraicos, estos se perciben usualmente como complejos,
en exceso abstractos para su edad e inclusive desarticulados. Cuando deben aplicarlos en grados

posteriores se evidencia la falta de comprensión de los procesos a pesar de reconocer la
importancia que tienen en trigonometría y cálculo para eliminar indeterminaciones. Al observar
esta situación surge la pregunta: ¿Es posible, a través del lenguaje geométrico y representaciones
físicas, contribuir a mejorar el aprendizaje del álgebra, o por lo menos, encontrar una alternativa
de enseñanza que sirva como instrumento de mediación entre el pensamiento concreto y el
abstracto?
A pesar de conocer el problema de los estudiantes, para el autor de este trabajo pasó
mucho tiempo antes de que surgiera una solución. La idea de utilizar un material manipulativo,
con figuras de diferente color, forma y tamaño, surgió en el Colegio Granadino, utilizando textos
en Inglés donde apareció un ejercicio de investigación: Hall y Fabricant (1993), en su texto
Algebra with Trigonometry, dan un ejemplo y proponen una serie de ejercicios como este:
Investigation. Did you know that the product of two polynomial can be represented by a
rectangle?
The length and width of the rectangle represent the factors, and their product is the area of the
rectangle. The large rectangular region can be separated into smaller rectangular regions, and
the sum of the areas of these rectangles is equal to the area of the large rectangle (Hall &
Fabricant, 1993).
El ejemplo y los ejercicios se pueden consultar en el anexo 7.1.1 (p. 143).
Esta situación desencadenó una serie de acciones. Primero se construyó un plano
cartesiano con cartón paja y fichas planas. Luego fueron 150 fichas de madera que simbolizan la
unidad y las variables 𝑥, 𝑦, 𝑥2
, 𝑥3
𝑦 𝑥4
. Después se cambió el tablero por uno de madera con
las mismas dimensiones (21 cm × 21cm) y se conservaron las 150 fichas: 72 unidades,

18 𝑥, 18 𝑦, 24 𝑥2
, 12 𝑥3
𝑦 6 𝑥4
(Fig. 14). La explicación de los ejercicios realizados en la
figura 14 se pueden ver en el anexo 7.1.5 (p. 151).
Figura 14. Planos cartesianos de versiones anteriores.
Figura 15. “El Álgebra es un Juego” versión 2005.
El juego se aplicó para resolver operaciones básicas (+, −,×,÷) con enteros y expresiones
algebraicas, raíz cuadrada de enteros y expresiones algebraicas, productos y cocientes notables,
factorización y ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas de ecuaciones 2× 2.
Se encontró mucha similitud entre “El Álgebra es un Juego” con los manipulativos de
Lab Gear y Algeblocks y con los principios de las Tabletas Algebraicas y el Álgebra
Geométrica, con la diferencia que “El Álgebra es un Juego”, en este trabajo, tiene mayor

número de aplicaciones puesto que trabaja con exponentes de grado mayor que tres (Ver anexo
7.1.4, página 147, con ejercicios que incluyen 𝑥4
, 𝑥5
y 𝑥6
).
“El Álgebra es un Juego” se presentó en varios eventos nacionales e internacionales:
Conferencias, Talleres de Capacitación y Ponencias con el tema “El Álgebra es un Juego”.
Además, recibió mención de Honor del Premio Compartir al Maestro en los años 2001 y 2003.
La propuesta “El Álgebra es un Juego” fue una de las 2316 postulaciones que se estudiaron
dentro del proceso de selección en el Premio Compartir al Maestro 2003. La primera fase
consistió en seleccionar las 73 propuestas más sobresalientes y ésta fue una de esas 73
postulaciones seleccionadas o sea que superó al 96.8% de los trabajos presentados (Ver anexo
7.6, figuras 53, 54, 55, 56 y 57).

3. METODOLOGÍA Y ESTRATEGIAS SEGUIDAS POR LA INVESTIGACIÓN
3.1 METODOLOGÍA
3.1.1 Tipo de estudio
Este trabajo se puede considerar como de investigación – acción y descriptiva. El
docente autor realiza una aplicación de la propuesta y evalúa los hallazgos particulares al
aplicar un material en unos temas específicos en un grado específico, en este sentido esta acción
metodológica estará ligada a utilizar el material didáctico “El Álgebra es un Juego” con el tema
de factorización. En la fase descriptiva se tiene la acción de documentar de manera global lo
que ocurre al plantear unas actividades específicas con un grupo de estudiantes particular de
acuerdo a un cronograma de intervención propuesto.
3.1.2 Propuesta Metodológica
La propuesta se desarrolló en tres fases:
Primera fase: En la práctica docente del autor a lo largo de muchos años se detectaron los
problemas principales que presenta el estudiante de Álgebra. Por las experiencias vividas, se
coincide con Ballén (2012) al afirmar:
La enseñanza del álgebra en el contexto escolar está acompañada de algunas dificultades que
presentan los niños; éstas pueden ser de tipo cognitivo, pues no todos los estudiantes que inician el
curso de álgebra cuentan con sólidos dominios en aritmética y en este sentido surgen errores como
consecuencia del uso abusivo de la generalización. Otras son de tipo actitudinal, ya que muchos
consideran que es difícil y que basta con operar aritméticamente unas letras; situación que no permite
ver en el lenguaje algebraico, un elemento dinamizador del lenguaje de las matemáticas, ni el
verdadero significado de la variable, de las expresiones equivalentes, y de las operaciones con

expresiones equivalentes. Más aun deja el álgebra en un escenario árido y descontextualizado. Como
consecuencia, los estudiantes se limitan a memorizar conceptos sin comprender su significado ni
establecer relaciones entre ellos. (p. 4)
Segunda etapa: Se diseñó el material concreto de “El Álgebra es un Juego” para
representar, visualizar y manipular unas fichas que simbolizan las variables y los números
enteros. Al principio se escribió una cartilla (Fig. 15, p.66) con instrucciones, ejemplos y
ejercicios, luego se dio paso a una versión más completa del libro (Fig. 16).
Figura 16. “El Álgebra es un Juego” versión 2007.
Tercera etapa: Se aplicó durante varios años en las clases de Algebra la propuesta
presentada y para adelantar el presente trabajo de maestría se realizó una práctica con un grupo
de estudiantes que hacía parte de unas actividades extracurriculares denominada Tiempo libre
“El Álgebra es un Juego” (ver informe en anexo 7.3, p. 161). Se analizaron los resultados y se
extractaron algunas conclusiones.

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