El documento habla sobre los números reales. Define los números reales como el conjunto formado por los números racionales e irracionales, los cuales pueden representarse en una recta numérica. Explica que los números reales forman un cuerpo conmutativo con las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Además, describe propiedades como el valor absoluto y las desigualdades de los números reales.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara
“Andrés Eloy Blanco”
NÚMEROS REALES Y PLANO NÚMERICO
Integrante:
Franklin Duran C.I. 29.976.252
Sección: DE0101

2. Definición de conjuntos
El conjunto formado por los números racionales y los números irracionales se
denomina conjunto de los números reales. Tanto los números racionales como los
números irracionales son números reales.
Una de las propiedades más importantes de los números reales es poderlos representar
por puntos en una línea recta. Se elige un punto llamado origen, para representar el
$$0$$, y otro punto, comúnmente a la derecha, para representar el $$1$$.
Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los
números reales, es decir, que cada punto de la recta representa un único número real y
a cada número real le corresponde un único punto de la recta. Llamamos a esta recta la
recta real.
Operaciones con Conjuntos
La suma es una operación interna en R y sus propiedades se enumeran a continuación.
Dados a, b y c ∈ R se verifica:
Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro: es el número 0, ya que a + 0 = 0 + a = a
Elemento simétrico: Dado a, su elemento simétrico, llamado opuesto es –a, ya que se
cumple a + (-a) + a = 0
Conmutativa: a + b = b + a
Con estas propiedades se puede decir que el conjunto de los números reales con la
operación suma en un grupo conmutativo.

3. El hecho de que dado cualquier número real exista su elemento opuesto permite que
la resta en R, definida por a – b = a + (-b), sea una operación interna.
El producto es una operación interna en R y sus propiedades se enumeran a
continuación. Dados a, b y C ∈ R se verifica:
Asociativa: (a. b). c = a. (b .c)
Elemento neutro: es el número 1, ya que 1, a = a. 1 = a
Elemento simétrico: Dado a ≠ 0, su elemento simétrico, llamado inverso, es a-1
=
1
a
ya
que se cumple a.
1
a
=
1
a
.a = 1
Conmutativa: a. b = b. a
Distributiva respecto a la suma: a. (b .c) = a .b + a. c
Con estas propiedades y las enumeradas para la suma se puede decir que el conjunto
de los números reales con las operaciones suma y producto es un cuerpo conmutativo.
El hecho de que dado cualquier número real no nulo exista su elemento inverso
permite que la división en R, definida por a:b = a.b-1
= a .
1
b
=
a
b
, exista siempre que b sea
no nulo.
Números Reales
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta
real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e
irracionales. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre
menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.

4. Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente
dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que
tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R
Los números reales son todos aquellos que pueden representarse en una recta
numérica, por lo tanto, números como -5, -6/2, 0, 1, 2 o 3.5 son considerados reales
porque se puede plasmar en una representación numérica sucesiva en una recta
imaginaria.
Desigualdades
∙ Dado que el conjunto de los números reales R es totalmente ordenado, dados dos
números reales a y b, siempre es cierta alguna de las tres relaciones siguientes:
∙ a < b ó a > b ó a = b
∙ Los dos primeros se llaman desigualdades
∙ Entrelas desigualdades numéricas se cumplen las tres transformaciones de
equivalencia siguiente:
1) Sia los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo número, la
desigualdad se conserva en el mismo sentido, es decir:
a < b a + c < b + c
a > b a + c > b + c

5. 2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo
número positivo, la desigualdad conserva el sentido, es decir:
SI c ∈ R+
a < b ac < bc
a > b ac > bc
∙ Silos dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo
número negativo, la desigualdad cambia de sentido es decir:
SI c ∈ R-
a < b ac > bc
a > b ac < bc
Dados cuatro números reales a, b, c y d, cualesquiera, se cumple la compatibilidad de
la ordenación con la suma, es decir:
a < b a + c < d + d
c < d
∙ Dados dos números reales, si el primero es menor que el segundo, el inverso del
primero es mayor que el del segundo y viceversa, es decir:
a < b
1
a
>
1
b

6. ∙ Siun número real es menor que otro, con los opuestos de ambos la desigualdad
cambia de sentido es decir:
a < b a > - b
Valor Absoluto de un Número Real
Para todos los números reales los valores absolutos “x” satisfacen las siguientes
condiciones:
 |x| = x ; si x ≥ 0
 |x| = -x ; si x < 0
En una recta numérica, las representaciones de los valores absolutos de un número
real es la distancia entre número y el cero u origen.
El valor absoluto de un número real “x “, es siempre positivo o cero, pero nunca
negativo.
El valor absoluto está vinculado con las nociones
de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El
concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros
objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Desigualdades con Valor Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro.

7. Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Para cualquier valor absoluto positivo de a:
× ≤ a es equivalente –a ≤ x ≤ a (esta regla también aplica a x < a ) x
X ≥ a es equivalente a x ≤-a o x ≥a (esta regla también aplica a x <a) x
Ejercicio de números reales:
√0,125
3
=