Este documento define los números reales y describe sus propiedades. Explica que los números reales incluyen números racionales e irracionales y pueden expresarse como decimales periódicos o no periódicos. También describe los conjuntos de números naturales, enteros, fraccionarios, algebraicos y trascendentales, y cubre propiedades como conmutatividad, asociatividad y valor absoluto. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar conceptos como desigualdades.

1. NÚMEROS REALES Y PLANO
NUMÉRICO.
ALUMNO:
JOSE M. SIVIRA – SECCIÓN: 0102

2. NÚMEROS REALES:
Son aquellos números que tienen
expansión decimal periódica o tienen
expansión decimal no periódica.
Ejemplos:
1. 3 es un número real ya que 3 =
3,00000000000….
2. ½ es un número real ya que ½ =
0,5000000000…
3. 1/3 es un número real ya que 1/3 =
0,3333333333333….
• Algunos tienen expansión decimal
periódica a, b y c y otros tienen
expansión decimal no periódica d, e, f y
g.
• Los números que tienen expansión
decimal periódica se llaman números
Racionales (denotados por Q) y los
números que tienen expansión decimal
no periódica se llaman Irracionales
(denotados por I)
• Lo que quiere decir que a, b y c son
números racionales y d, e, f y g son
números irracionales.
• Un número real es racional o irracional,
nunca ambos.

3. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES:
Números Naturales (N)
Son los que usamos para contar. Por
ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10…
Números Enteros (Z):
Son los números naturales, sus
negativos y el cero. Por ejemplo: -3, -
2, -1, 0, 1, 2, 3,…
Números Fraccionarios
Son aquellos números que se pueden
expresar como cociente de dos
números enteros, es decir, son
números de la forma a/b con a,b
enteros y b ≠ 0.
Son aquellos que provienen de la
solución de alguna ecuación
algebraica y se representan por un
número finito de radicales libres o
anidados. Todas las raíces no exactas
de cualquier orden son irracionales
algebraicos.
No pueden representarse mediante un
número finito de raíces libres o
anidadas; provienen de las llamadas
funciones trascendentes:
trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales.
Números
Trascendentales
Números Algebraicos
Los números racionales se clasifican en:
Se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los números
racionales, los números irracionales.

4. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
REALES:
-Se cumple la propiedad conmutativa de la suma: el orden de los sumandos no altera la
suma. Si a y b son dos números reales, siempre se cumple que: a + b = b + a
-El 0 es el elemento neutro de la suma: a + 0 = a
-El opuesto de un número real a es -a.
-El valor absoluto o módulo de un número real es la distancia entre dicho número y
el 0.
Los números reales incluyen a los números naturales, los enteros,
los racionales y los irracionales.
-Para la suma se cumple la propiedad asociativa. Si a, b y c son números reales: (a + b) + c = a + (b+c).

5. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
REALES:
-El 1 es el elemento neutro de la multiplicación: a.1 = a
-Es válida la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición: a.
(b+c) = a.b + a.c
-Si a es un número real: a0 = 1 y a1 = a.
-La resta se define como la suma del opuesto: a – b = a + (-b).
-En el producto también se aplica la propiedad asociativa: (a.b).c = a.(b.c)
-Cualquier número real a, excepto el 0, tiene inverso multiplicativo a-1 tal que a.a-1 = 1.
-Se cumple la propiedad conmutativa del producto: el orden de los factores no altera el
producto: a.b = b.a

6. VALOR ABSOLUTO
¿Qué es el valor
absoluto?
• El valor absoluto de un número real se
define como la distancia que hay entre
ese número y el 0 de la recta real. Por
ser una distancia, su valor es siempre
positivo o cero e igual a la figura del
número.
Desigualdades:
Los enunciados a > b y a < b, junto con las
expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a >
b o a = b) se conocen como
desigualdades. Las primeras se llaman
desigualdades estrictas y las segundas,
desigualdades no estrictas o amplias.
En numerosas oportunidades y situaciones
cotidianas surge la necesidad de
comparar dos cantidades y establecer una
relación entre ellas. Las desigualdades se
comportan muy bien con respecto a la
suma, pero se debe tener cuidado en el
caso de la división y la multiplicación.
Ejemplo: : Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 +
4, es decir, 6 < 9.

7. EJERCICIOS:
• Ejercicio
La oficina de correos solamente acepta paquetes para los cuales el largo, más la
medida del contorno, no exceda 108 pulgadas. Por lo tanto, para que el paquete
mostrado sea aceptado, se debe cumplir que:
L + 2(x+y) ≤ 108
a) ¿Logrará pasar un paquete que mide 6 pulgadas de ancho, 8 pulgadas de alto y
5 pies de largo?
b) ¿Qué hay de uno que mida 2 x 2 x 4 pies3?
c) ¿Cuál es el mayor alto aceptable para un paquete cuya base es cuadrada y
mide 9 x 9 pulgadas2?

8. EJERCICIOS:
Respuesta a
L = 5 pies = 60 pulgadas
x = 6 pulgadas
y = 8 pulgadas
La operación a resolver es:
L + 2(x+y) = 60 + 2 (6 + 8) pulgadas = 60 + 2 x 14 pulgadas = 60 + 28 pulgadas = 88 pulgadas
El paquete es aceptado.
Respuesta b
Las dimensiones de este paquete son menores que las del paquete a), así que ambos logran pasar.
Respuesta c
En este paquete:
x= L = 9 pulgadas
Se debe cumplir que:
9+ 2(9+y) ≤ 108
27 + 2y ≤ 108
2y ≤ 81
y ≤ 40.5 pulgadas

9. EJERCICIOS:
• Ejercicio 2: Valor Absoluto
Evaluar las siguientes expresiones algebraicas con valor absoluto:
a) │2x−5│ + │−x+1│ en x = 3
b) │(x−5)÷(x+4)│ en x = −1
Solución a
│2⋅3−5│ + │−3+1│=│6−5│ + │−2│=│1│+2 = 3
Solución b
│(−1−5)÷(−1+4)│= │(−6)÷(3)│=│−2│=2

10. EJERCICIOS:
• Ejercicio 3: Desigualdad
• ¿Cuál es el conjunto de valores que representa la siguiente desigualdad?
• │x│≤ 3
• Solución
• La desigualdad representa todos los números reales cuyo valor absoluto es menor o
igual que 3, por lo tanto es el conjunto de todos los números comprendidos entre –3
y +3, incluyendo a estos.
• En la notación de intervalo queda:
• [–3,3]

11. BIBLIOGRAFIAS:
https://www.lifeder.com/numeros-
reales/#:~:text=Con%20los%20n%C3%BAmeros%20reales%20se%20pueden%20hacer%20las,resta%2C%20
multiplicaci%C3%B3n%2C%20divisi%C3%B3n%2C%20potenciaci%C3%B3n%2C%20radicaci%C3%B3n%2C
%20logaritmos%20y%20m%C3%A1s.
https://www.fca.unl.edu.ar/Limite/1.2%20Desigual.htm#:~:text=Una%20inecuaci%C3%B3n%20
es%20una%20desigualdad,para%20los%20cuales%20es%20verdadera.&text=Todos%20los%20n
%C3%BAmeros%20que%20satisfacen,Ejemplo.
Zapata, Fanny. (10 de diciembre de 2020). Valor absoluto. Lifeder. Recuperado de
https://www.lifeder.com/valor-absoluto/.
https://www.upaebvirtual.edu.ve/ead_cot/mod/book/view.php?id=12058