Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría. Define las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo como las divisiones de los lados. Explica las propiedades de las razones trigonométricas como sus valores en ángulos notables y ángulos complementarios. Finalmente, proporciona ejercicios de aplicación.

1. Trigonometría

2. TRILCE
9
Capítulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO AGUDO - I
1
DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo.
En el triángulo adjunto, tenemos:
A B
C
a
b
c
a y c : catetos
b : hipotenusa
B : recto
A y C : s agudos
2
2
2
b
c
a 

A + C = 90º
A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico;
para  tenemos:
a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA)
Luego se definen :
b
a
H
CO
SenA 

b
c
H
CA
CosA 

c
a
CA
CO
TanA 

a
b
CO
H
CscA 

c
b
CA
H
SecA 

a
c
CO
CA
CotA 

Por ejemplo:
13
5
12

5
12
Cot
;
13
12
Cos
12
5
Tan
;
13
5
Sen








* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales
conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados de
dicho triángulo. Dos de los más usados son :
45º
45º
1
1
2
30º
60º
1
2
3
Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º.
37º
53º
3
5
4

3. Trigonometría
10
A partir de estos se determinarán otros adicionales como:
22º30'
67º30'
1
4 + 2 2
2 +1
15º
75º
6 - 2
4
6 + 2
18º30'
71º30'
1
10
3
26º30'
63º30'
1
5
2
8º
82º
1
7
16º
74º
7
25
24
5 2
No olvide además:
30º 37º 45º 53º 60º
Sen
2
1
5
3
2
2
5
4
2
3
Cos
2
3
5
4
2
2
5
3
2
1
Tan
3
3
4
3
1
3
4
3
Cot 3
3
4
1
4
3
3
3
Sec
3
3
2
4
5
2
3
5
2
Csc 2
3
5
2
4
5
3
3
2
* PROPIEDADES:
I. Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los lados del
triángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo:

A
Q
M
N
P B
C
Iguales
AC
BC
Sen
AN
MN
Sen
AQ
PQ
Sen















II. R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo, que
existen tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estas
parejas son las siguientes:
1
Cot
Tan
1
Sec
Cos
1
Csc
Sen 








Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que :
Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1; para calcular "x" diremos :
Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1  3x - 10º = x + 30º  x = 20º
III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométricas de los 2 ángulos agudos
de un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. Esta
característica la vamos a indicar de la siguiente manera:

4. TRILCE
11
Si: son agudos; tales
que: + = 90º
entonces:
 
 
Sen = Cos
Tan = Cot
Sec = Csc
 
 
 
Por ejemplo:
Sen10º = Cos80º
Tan20º = Cot70º
Sec40º = Cos 50º
Cos24º = Sen 66º
Tan = Cot (90º )
Sen( + 10º) = Cos (8 )
 
 0º 
Si: son agudos; tales
que:
entonces:
 
 = 90º
Sen = Cos
Tan = Cot
Sec = Csc
 
 
 
Por ejemplo: hallar "x", si:
Sen (2x + 10º) = Cos3x
2x + 10º + 3x = 90º
5x = 80º x = 16º
Otro ejemplo; hallar "x" si:
Tan (2x + y) = Cot (x - y)
o
2x + y + x y = 90º

3x = 90º x = 30º

5. Trigonometría
12
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si "  " es la medida de un ángulo agudo y se cumple
que:
3
2
Tg 
 ; calcular: 


 Cot
12
Sen
13
T
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
02. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C" se cumple
que: 4SenA=7SenB; calcular: TgB
42
A
Sen
65
E 2


a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
03. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la
cosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6.
Calcular la longitud del mayor cateto.
a) 20 u b) 30 u c) 40 u
d) 50 u e) 60 u
04. Del gráfico mostrado, calcular: "
Cot
.
Cot
" 



A
B
C
E
F
a
2a
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 3/2
05. Del gráfico mostrado, calcular: "
Tgw
Tg
" 
 , si: ABCD
es un cuadrado.
A
B C
D
E

2a
3a
w
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3
d) 0,4 e) 0,5
06. Del gráfico, calcular: "
Cot
"  , si: 4
,
2
Cot 

A
B C
D
E


a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. Del gráfico, calcular: "
Tg
"  , si:
12
5
Tgw 
w

a) 0,5 b) 1 c) 1,5
d) 2 e) 2,5
08. Calcular:
3
Cos
3
6
Sen
6
4
Tg
4
E 





a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5
d) 8,5 e) 9,5
09. Calcular:
º
45
Sec
º
30
Tg
2
º
45
Cot
º.
60
Sec
º.
30
Cot
E
2
2
2


a) 2 b) 2,25 c) 2,5
d) 2,75 e) 3
10. Del gráfico, calcular: 
Cot

A
O B
E
F
37º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Si ABC es un triángulo equilátero, calcular: "
Tg
" 
A
B
C
M 8
N
2

a)
5
3
b)
5
3
2
c)
7
3
d)
7
3
2
e)
7
3
3

6. TRILCE
13
12. Del gráfico mostrado, calcular: 
Tan
11
A
B C
D
E

F
45º
37º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Del gráfico mostrado, calcular: "
Cotw
" .
a
4a
45º
w
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
14. Del gráfico mostrado, calcular: "
Tg
"  , si: ABCD es un
cuadrado.
A
B C
D

E F
37º
a) 3/4 b) 3/7 c) 4/7
d) 3/5 e) 3/8
15. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x" agudo,
calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º).
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
16. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1
Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
17. Calcular: E = (3Tg10º+8Cot80º)Cot10º
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
18. Calcular: E = (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-2Sec70º)
a) 20 b) 22 c) 24
d) 26 e) 28
19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1
Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º)
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
20. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.
Calcular: Tgy
.
Tgx
).
3
y
x
(
Cot
).
2
y
x
(
Tg
E



a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
21. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden
3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dicho
triángulo mide "  ".
Halle el valor de: 1
Sen
17
W 2



a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5
d) 4,5 e) 5,5
22. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe :
3
2
SecB
SecA 
Calcular :
CtgB
3
CosA
13
E 



a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
23. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno de sus
ángulos agudos es 0,96.
Si su hipotenusa mide 50 m.
Hallar el perímetro de dicho triángulo.
a) 112 m b) 224 m c) 96 m
d) 52 m e) 412 m
24. Calcule el área de la región triangular ABC .
Donde: AC = 36m; si, además
26
CscC
17
CscA 


a) 72 m2 b) 144 m2 c) 108 m2
d) 18 m2 e) 360 m2
25. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m.
Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4.
¿Cuánto mide el cateto menor?
a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m
d) 56,33 m e) 55 m

7. Trigonometría
14
26. De la figura, hallar
2
)
2
Tan
( 


m
n
2 mn
a) 1 b) 4 c) 2
d) 3 e) 0
27. Determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y el
producto de los Senos de los ángulos agudos es 0,22.
a) 3 m b) 4 m c) 5 m
d) 6 m e) 7 m
28. Del gráfico, calcule : 
Tan .
Si: BN = 2AN
A N B
C
45º 
M
a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6
d) 0,8 e) 0,75
29. Si en el gráfico : AB = BC.
Calcule: 
Tan
A
B
C
 53º
M
a)
9
2
b)
9
4
c)
3
2
d)
3
1
e)
5
2
30. Del gráfico, obtener 
Tan
M
37º
A
B
O

a)
3
4
b)
4
3
c)
4
5
d)
3
2
e)
5
4
31. Si:
1
n
Cos
2
n
2
Tan
n
3
Csc
f
)
x
( 







Calcular: )
2
(
f
a) 0
2 b) 1
2 c) 2
2
d) 3
2 e) 0
32. Si en el triángulo ABC, equilátero, M, N y P son puntos
medios de AB, BC y AC, respectivamente.
Además: NQ = 2QP
Calcular:





Tan
Tan
5
Tan
7
K
P
A C
B
M N
Q
 

a) 3 b) 4 c) 6
d) 8 e) 14
33. Si:
2
x 


 y 1
)
Tanx
( 2
3
Sen



El valor de "q" es:
x
Ctg
1
x
Tan
1
q
2
2



a) 2 b)
3
2
c) 3
d)
2
1
e)
3
1
34. Del gráfico, calcular: 
Cot
Si: ABCD: cuadrado.
A
B C
D
37º

a) 6 b) 12 c) 9
d) 18 e) 14

8. TRILCE
15
35. Si:
Sen 3x . Cscy = 1
Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º)
Determinar "y - x"
a) 12º b) 18º c) 20º
d) 24º e) 32º
36. Si: Tgx . Tgy = 1
Determinar:





 






 






 

3
y
x
2
Sec
3
y
x
Tan
2
y
x
Sen
E
a)
3
6
b)
6
6
c) 1
d)
3
5
e)
6
2
37. Calcular:
E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º)
a) 12 b) 10 c) 8
d) 6 e) 16
38. Calcule el valor de la expresión:
º
80
Csc
...
º
30
Csc
º
20
Csc
º
10
Csc
º
80
Sec
...
º
30
Sec
º
20
Sec
º
10
Sec
W









a) 1 b) 2 c) 2
d) 3 e) 2
3 
39. Hallar los ángulos agudos  y  tales que:
)
º
90
(
Ctg
)
º
35
3
(
Tan 




º
15
2 



a) 11º y 10º b) 15º y 13º
c) 20º y 17º30' d) 35º y 25º
e) 17º y 16º
40. Siendo:
Sen(2x+y) . Sen(x-y+10º) = Cos (x+2y) . Cos (80º -
x + y)
Calcule:
K = Cot(x+y) . Cot(5x-2y) . Cot(5y-2x)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 3 e)
3
3
41. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormente
con radios R y r.
Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo
formado por la recta tangente a ambas circunferencias
y la recta que une los centros.
a) 2
)
r
R
(
Rr
4

b) 2
)
r
R
(
Rr
4

c) 2
)
r
R
(
Rr
2

d) 2
)
r
R
(
Rr
2

e) 2
)
r
R
(
Rr

42. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos a y b.
Hallar su área en términos de "m" si:
6
Sen
2
3
tSec
t
a 2 




3
Cos
2
6
tCsc
t
b 2 




2
2
m
4
Tan
mt
2
t 





 

a) 1
m2
 b)
2
2
2
1
m







 
c)
2
2
2
1
m







 
d)
2
)
1
m
( 2
2 
e) 1
m2

43. En la figura, calcular el valor de x, si se cumple la
siguiente condición:
0
)
3
º
30
(
Ctg
)
º
30
(
Tan 





20m


x
a) m
2
10 b) 10 m c) m
3
5
d) 5 m e) m
3
10
44. Una semicircunferencia de radio )
3
1
(  cm. se divide
en treinta arcos iguales.
Calcular la proyección del arco comprendido entre la
quinta y décima división sobre el diámetro horizontal
en centímetros.
a)
4
1
b)
2
1
c) 1
d)
4
5
e) 2
45. Si para un observador en la Tierra, el Sol aparece bajo
un ángulo de 32' y si la distancia del observador a la
superficie de Sol es 150 millones de kilómetros.
Determinar el radio del Sol en millones de kilómetros
sabiendo que:
Sen16' = 0,00465

9. Trigonometría
16
a) 0,70 b) 0,819 c) 1,395
d) 2,629 e) 1,402
46. En un triángulo isósceles, las medianas trazadas de sus
vértices de ángulos iguales se intersecan
perpendicularmente.
Entonces, el Coseno de uno de los ángulos iguales es:
a)
3
1
b)
2
1
c)
2
3
d)
10
1
e)
3
2
1
47. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"
en direcciones que forman un ángulo "  " uno a
5 km/h y el otro a 12 km/h.
Calcular el 
Cos sabiendo que al cabo de 1 hora la
distancia desde el punto "P" al punto medio del
segmento que separa ambos autos es de 7 km.
a)
8
5
b)
16
7
c)
80
3
d)
40
9
e)
25
13
48. En el trapecio ABCD : BC // AD.
Si: AB = BC = 8; CD = 15 y AD = 25 y la medida del
ángulo D
A
D̂
C  ; el valor de:
K = CscD + CtgD ; es:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
49. En un triángulo rectángulo ABC )
º
90
B̂
(  señale el
equivalente de:
















 1
2
A
Cot
TanA
1
2
A
Tan
TanA
K
a) A
Sen2
b) A
Cos2 c) A
Tan2
d) A
Cot2
e) A
Sec2
50. Si: 
3 es un ángulo agudo, tal que:
5
2
3
Cot 

Calcule: 


 2
Cos
6
Csc
5
K
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
51. Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláteros.
Calcule:
Tany
Tanx
Si:
2
EG
3
CE
AC 

A
B
C
D
E
F
M N
x y
G
a)
66
35
b)
77
65
c)
72
55
d)
11
13
e)
7
5
52. Del gráfico, hallar: 
Tan
n
m

A
B C
D
E F p
a)
m
n
p
n


b) p
n
m
n


c)
n
m
p
m


d) p
m
n
m


e) n
p
n
p


53. Si:
Tan(x+10º)+Tan(y+10º)=Cot(x+10º)+Cot(y+10º)
2
)
y
4
º
100
(
Sen
)
º
10
y
4
(
Cos
)
y
x
(
Cos





Calcular:
)
º
10
y
x
(
Cos
y
3
Sec
)
º
10
x
(
Sec
K
2
2





a) 4 b) 8 c) 16
d) 24 e) 32
54. Del gráfico, calcular:



 Tan
5
Cot
3
2
K
Si: CD se dibuja con centro en "E"

60º

C
B
A D
P
Q
E
a) 3 b) 5 c) 7
d) 8 e) 10

10. TRILCE
17
55. En el cuadrado ABCD; calcular:



 Tan
9
Tan
3
K


B C
A D
E
8º
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
56. Sabiendo que:
Tan(40º+x) . Sen(50º-x) = Cos(10º+x) ..... (1)
Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º . Tan2º . Tan3º ...... Tan 89º
Calcule:
2
2
2
Csc
)
º
5
y
(
Tan
)
º
5
x
2
(
Sec
W 




)
º
5
x
y
( 

a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 11
57. En el cuadrado ABCD, calcular:



 Cos
5
Cos
2
2
W
Si: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD
M
A
B C
D
F


N
E
a) 11 b) 13 c) 6
4
d) 19 e) 17
58. Sabiendo que:









 y
2
2
x
3
Cos
)
º
20
y
x
2
(
Sen
1
y
3
4
x
Tan
y
3
2
x
Tan 














Calcule:
y
3
Csc
)
y
x
(
Csc
W 2
2



a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 5
59. Del gráfico calcular:
)
1
Csc
)(
1
Csc
)(
1
Csc
)(
1
Csc
(
W 








O1 O2 O3
   
a) 4 b) 9 c) 16
d) 81 e) 100
60. Del gráfico calcule:








 Cos
Cos
)
1
Sec
)(
1
Sec
(
W
Siendo "A" centro del arco BD.


D T
O
A C
B
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e)
2
3

11. Trigonometría
18
Claves
Claves
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
e
d
e
c
b
e
c
d
b
b
d
c
b
c
c
a
b
c
e
c
c
e
a
a
d
d
c
e
b
e
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
c
d
e
b
d
a
a
a
e
d
a
d
b
c
a
d
d
d
e
c
b
a
c
e
d
d
e
c
c
c

12. TRILCE
19
Capítulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO AGUDO - II
2
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo
rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce.
Criterio:
conocido)
.(
T
.
R
conocido
Lado
o
desconocid
Lado 

Casos:
1.

A B
C
L



 BC
Tan
L
BC


 AC
L
AC
I)
II)
2.

A B
C
L



 AB
Cot
L
AB


 AC
L
AC
I)
II)
3.

A B
C
L 


 BC
Sen
L
BC



L
AB
I)
II)

13. Trigonometría
20
* SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de las
medidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados.
a
b
c
A
B
C
h
2
h
b
SABC


2
aSenC
b
SABC


Sabemos:
pero: h = aSenC
luego:
SenC
2
ab
SABC

SenB
2
ac
SABC
 SenA
2
bc
SABC

Análogamente

14. TRILCE
21
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Hallar el área del triángulo, de la figura mostrada:

K
a) 
 Cos
.
Sen
K2 b) 
 Cos
.
Sen
)
2
/
K
( 2
c) 
 Cos
.
Sen
)
3
/
K
( 2 d) 
 Cos
.
Sen
)
4
/
K
( 2
e) 
 Cos
.
Sen
)
5
/
K
( 2
02. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se sabe que
los ángulos congruentes miden "  " mientras que el
lado desigual mide "L". Hallar uno de los lados
congruentes.
a) 
Sec
2
L
b) 
Csc
2
L
c) 
Tg
2
L
d) 
Ctg
2
L
e) 
Cos
2
L
03. Obtener "x", en:

m
a) mSen  b) mCos  c) mSec 
d) mCsc  e) mTg 
04. Obtener "x"
A
B
O
R

H
x
a) )
Sen
1
(
R 
 b) )
1
Sec
(
R 

c) )
Cos
1
(
R 
 d) )
1
Csc
(
R 

e) )
Tg
1
(
R 

05. En la figura, halla "x".
A
B
C
m n
 
x
a) 

 nCos
mSen b) 

 nCos
mCos
c) 

 nSen
mCos d) 

 nSec
mSec
e) 

 nSec
mSen
06. Halla "x" en:
A C
B
D
x
m

a) 
Tg
mSec b) 
Csc
mCos
c) 
Ctg
mCos d) 
Cos
mSen
e) 
mTg
07. Halla "x":
m
 
x
a) 
 Cot
.
mSen b) 
 Tan
.
mSen
c) 
 Sen
.
mSen d) 
 Cot
.
mCos
e) 
 Tan
.
mCos
08. Hallar "x":
B
A
D
H
C
m
x

a) 
2
mSen b) 
2
mCos
c) 
Cos
mSen d) 
Tg
mSen
e) 
Csc
mSec

15. Trigonometría
22
09. Hallar "x", de la figura:
x
m

a) 
 Cos
.
mSen b) 
 Cos
.
Sen
c) 
mSen d) 
mCos
e) 
mTg
10. Del gráfico, hallar: AC .
B
C A
m n
x y
a) mSenx+nSeny b) mCosx+nSeny
c) nSenx+mCosy d) mCosx+nCosy
e) mSeny+nCosx
11. Del gráfico, hallar "x", si: ABCD es cuadrado.
A B
C
D

x
m
a) )
Sen
1
(
m 
 b) )
Cos
1
(
m 

c) )
Tg
1
(
m 
 d) )
Ctg
1
(
m 

e) )
Ctg
Tg
(
m 


12. Obtener "AB":
A
C
B
R
O

a) )
Ctg
Csc
(
R 

 b) )
Ctg
1
(
R 

c) )
Csc
1
(
R 
 d) )
Sen
1
(
R 

e) 2R+1
13. Hallar "x", siendo "O" centro del sector AOB.
A B
O
R

x
a) 
RSen b) 
RCos
c) )
Sen
1
(
R 
 d) )
Cos
1
(
R 

e) )
Cos
2
1
(
R 

14. Hallar "x".
m

x

a) 
Sen
mSen b) 
Cos
mSen
c) 
Cos
mCos d) 
Sen
mCos
e) 
Ctg
mTg
15. Hallar la distancia mínima del punto "P" a la
circunferencia:
P
2
R
a) 
RCsc b) )
1
Csc
(
R 

c) )
1
Tg
(
R 
 d) )
1
Ctg
(
R 

e) )
1
Csc
(
R 

16. Determine "x" en:

A
C
B
D

m
x
a) 
 Cos
.
mSen b) 
 Sec
.
mSen
c) 
 Ctg
.
mSen d) 
 Ctg
.
mCos
e) 
 Tg
.
mCos

16. TRILCE
23
17. Hallar "x".
A
B
C
D

a
b
x
a) 

 aCos
Sen b) 

 Cos
bSen
c) 

 aCos
bSen d) 

 bCos
aSen
e) 

 bTg
aSec
18. Determine el perímetro del triángulo ABC.

A
B
C
m
a) )
Cos
Sen
1
(
m 



b) )
Tg
Sec
1
(
m 



c) )
Ctg
Csc
1
(
m 



d) )
Csc
Sec
1
(
m 



e) )
Ctg
Tg
1
(
m 



19. Hallar: "x" en:

m
x
a) 
Cos
mCtg b) 
 Cos
.
mTg
c) 
Sen
mTg d) 
mTg
e) 
mSen
20. Del gráfico, hallar: "Ctgx".

x
a)




Sen
Cos
Sec
2
b)




Sen
Cos
Sen
c)




Sen
Cos
Sec
d)




Cos
Sen
Csc
e)




Sen
Cos
Sec
21. Del gráfico, determine "x".

m
x
a) 
 Sen
m b) 
Cos
m c) 
 Sec
m
d) 
 Csc
m e) 
 Tan
m
22. Determinar CD .


A
B
C D
m
a) 

 Sen
mTan b) 

 Cos
mCtg
c) 

 Cos
mTan d) 

 Csc
mTan
e) 

 Sen
mCtg
23. Del gráfico, hallar "x".

m
45°
x
a)
1
Tan
m


b) 1
Ctg
m


c) 
 Ctg
1
m
d)

 Tan
1
m
e) )
Tan
1
(
m 

24. Determine "x" en :


m x
a) 


 Sen
Sen
m b) 


 Cos
Sen
m
c) 


 Sec
Sen
m d) 


 Sec
Cos
m
e) 


 Sen
Cos
m

17. Trigonometría
24
25. Determine "x" en:

m
x
a) 
 2
Sec
m b) 
 2
Cos
m
c) 
 2
Sen
m d) 
 2
Csc
m
e) 


 Csc
Sec
m
26. Si ABCD es un cuadrado, determine "x".
A
B
C
D
x
L

a) 
 2
Sen
L b) 
 2
Cos
L
c) )
Cos
Sen
(
L 


 d) 


 Cos
Sen
L 2
e) 


 2
Cos
Sen
L
27. Del gráfico, hallar "x":
m
x


a) )
1
Sec
(
m 2


 b) )
1
Csc
(
m 2



c) )
1
Tan
(
m 2


 d) )
1
Ctg
(
m 2



e) )
Ctg
Tan
(
m 2
2




28. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadrado.

n
A B
C
D
x
a) 
nSen b) 
nCos c) 
Csc
nTan
d) 
nCsc e) 
nCtg
29. Del gráfico, hallar: ED.

A B
C
D
E m

a) 
mCtg b) 
mSec c) 
2
mSec
d) 
2
mCtg e) 
2
mTan
30. En el gráfico, hallar MP
, en términos de "  " y "  "; "  "
y "  ".


M
N
R P
b
a
a) 



 Sec
)
Cos
b
a
( b) 



 Csc
)
Cos
b
a
(
c) 



 Ctg
)
Tan
b
a
( d) 


 Tan
)
bSec
a
(
e) 


 Csc
)
bSen
a
(
31. En un triángulo BAC, recto en A; la mediana BM y el
cateto AC forman un ángulo agudo x. Luego Tanx es
igual a:
a) 2TanC b) TanB + TanC
c) 2TanB d) TanC + CtgC
e) 2(TanC + TanB)
32. En la figura el área del triángulo ACD es igual al área
del triángulo ABC.
El valor de  será:


A B
C
D
a) 





2
1
ArcTan b) 





2
1
ArcCtg
c) 







2
1
ArcTan d)








2
1
ArcCtg
e) 2
ArcTan

18. TRILCE
25
33. En la región limitada por una circunferencia de radio R
y dos tangentes a ésta; se quiere inscribir otra
circunferencia (de radio menor que R). Si las tangentes
se intersectan en un ángulo de 2a radianes, ¿A qué
distancia de la intersección de éstas, debe encontrarse
el centro de la circunferencia inscrita?
a) 







Sena
1
Sena
1
Sena
R b) 







Sena
1
Sena
1
Sena
R
c)  
Sena
1
R
Sena  d)  
Sena
1
Sena
R 
e)  
Sena
1
Sena
R 
34. En la figura, expresar OB y BC, en términos de x, y, 

O A
B
C
OA = x
AC = y
a) 


 ySen
xCos
OB



 yCos
xSen
BC
b) 


 ySen
xCos
OB



 xCos
ySen
BC
c) 


 ySen
xCos
OB



 yCos
xSen
BC
d) 


 ySen
xCos
OB



 xSen
yCos
BC
e) 


 ySen
xCos
OB



 yCos
xSen
BC
35. En la figura: ABCD es un rectángulo inscrito en la
circunferencia de centro O, 

ARD ; AB
//
RS , AB=a.
Hallar el radio de la circunferencia.
O
A
B C
D
S
R
a) 
 Cos
2
a b)

Cos
2
a
c)

Sen
2
a
d) 
aSen
e) 
 Cos
2
1
a
36. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las áreas de los
triángulos FAE, EDC y CBF son iguales, luego 
Sen
es:
A B
C
D
E
F

a)
6
5
3 
b)
6
5
3 
c)
6
5
3 

d)
6
5
3 
e)
6
5
3 
37. En la figura mostrada, son conocidos:  ,  y h.
Entonces los valores de x e y son dados por:
y
h


x
a)









Tan
Tan
Tan
h
y
;
Tan
Tan
h
x
2
2
b)









Tan
Tan
Tan
h
y
;
Tan
Tan
h
x
c)









2
2
2
2
2
2
2
Tan
Tan
Tan
h
y
;
Tan
Tan
h
x
d) 2
2
2
2
2
)
Tan
Tan
(
Tan
h
y
;
)
Tan
Tan
(
h
x









e) 




 Tan
Tan
h
y
;
Tan
hTan
x 2
38. En la siguiente figura, hallar (x + y) si:
AB = 3 y
16
27
AC 
 



x
y
A
B
C
a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29
d) 4,19 e) 3,19

19. Trigonometría
26
39. De la figura hallar:
nz
CtgxTanyTa
Tany
3
Tanz
6
F


y
z
k
k
x
a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30
d) 3,00 e) 3,20
40. En un triángulo rectángulo BAC, se cumple que
4
2
CosBCosC  .
Hallar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que
esta mide m
2
6 .
a) m
2 b) m
3 c) 3 m
d) m
5 e) m
7
41. La figura muestra un cuadrado cuya área es 2
m
64 y
tal que PC = BP'.
Hallar: AM
Si: AP = 6 m
M
P
P'
A B
C D
O
6m
a) m
5
12 b) m
3
5
12
c) m
3
5
16
d) m
5
5
12
e) m
3
12
42. En la siguiente figura, G es el baricentro del triángulo
ABC, AD = BD y 3
Cos
Sen
3 



Hallar la tangente del ángulo DCG.
G
A
B
C
D

a) 3 b)
3
2
c)
3
1
d)
2
3
e)
2
1
43. En la figura mostrada, calcular: E = Tanx Ctgy
Si: AB = AD = 1 ; DC = 2
D
A
B
C
x
y
a)
2
1
b)
3
1
c) 2
d)
4
1
e) 1
44. En la figura mostrada, ¿a qué distancia se encuentra el
globo respecto del lago?
H
Lago
Imagen
Globo

a) 
2
HCos b) 
2
HSen
c) 
2
HSec d) 
2
HCsc
e) 
2
HCtg
45. En la figura: DC = 2AB = 2.
Calcular el área del triángulo EFG.
G
A
B
E
F C
D

a) 
Tan
18
1
b) 
Ctg
45
2
c) 
Tan
45
2
d) )
Ctg
Tan
(
18
1 


e) )
Ctg
Tan
(
9
1 


46. En un sector circular, cuyo ángulo central es  , está
inscrito un cuadrado de lado L.
El radio de la circunferencia correspondiente es:
a)
2
1
2 5
2
Ctg
2
Ctg
2
L












 






 

20. TRILCE
27
b)
2
1
2 5
2
Ctg
2
2
Ctg
2
L












 






 
c)
2
1
2 5
2
Ctg
4
2
Ctg
2
L












 






 
d) 











  2
2
Ctg
2
L
e)
2
1
2
2
Ctg
2
L












 
47. Se tiene un triángulo ABC en el que se conocen el lado
AC (opuesto al vértice B, de longitud b), y la bisectriz
de longitud w relativa al vértice B.
Hallar el área del triángulo ABC.
a) 




 

3
C
A
Cos
3
w
b
b) 




 

2
C
A
Cos
2
w
b
c) 




 

2
C
A
Cos
3
w
b
d) 




 

3
C
A
Cos
2
w
b
e) 




 

4
C
A
Cos
2
w
b
48. Se tiene una poligonal ABCD tal que los ángulos ABC
y BCD miden
6
5
y
4
3
, respectivamente.
Hallar la longitud del radio de la circunferencia tangente
a los tres segmentos de la poligonal si cumple que :
m
8
3
Ctg
12
5
Ctg 



y BC = n
a)
m
n
2
b)
m
n
c)
m
2
n
d)
m
n
m
n


e) nm
49. En la figura, el triángulo NST es isósceles de base 6, KH
es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo
equilátero de lado 6.
Hallar el radio R.
R
K N H T
S

2
L
a) 




 


4
Ctg
3
2 b) 




 


4
Tan
3
2
c) 




 


3
Tan
3
2 d) 




 


4
Tan
3
4
e) 




 


3
Ctg
3
2
50. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD con
uno de sus vértices en el origen de coordenadas cuyo
lado tiene la longitud a unidades. Si el segmento DM
divide al cuadrado en un triángulo y en un trapecio
cuyas áreas están en la relación de 1 : 4.
Calcule la tangente del ángulo MDC.
M

A B
C
D
a)
4
1
b)
5
2
c)
3
1
d)
4
3
e)
5
3
51. Dado un polígono regular convexo de n lados, se trazan
dos circunferencias, la primera de radio r que es
tangente a todos los lados del polígono, y la segunda
de radio R que pasa por todos sus vértices.
El valor de la razón
R
r
es :
a)
n
Sen  b)
n
2
Sen  c)
n
2
Sen 
d)
n
Sen
2
1  e)
n
Cos 
52. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden 
 2
2 ,
está inscrito en una circunferencia.
Calcular la distancia del punto Q al punto medio del
arco MN.
a) 
5
,
0 b) 
1 c) 
5
,
1
d) 
2 e) 
2
2

21. Trigonometría
28
53. En la siguiente figura:
A
B
C
c
r

O
La relación 2
2
c
r
4
es equivalente a:
a) 




 

2
Cos
1
2 b)  

 Cos
1
2
c)  

 Sen
1
2 d) 




 

2
Cos
1
2
e) )
Sen
-
)(1
Cos
-
1
(
2 

54. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es punto
medio del lado AB.
Determine 
Csc

A B
C D
Q
a) 2 b)
4
5
c) 3
d) 4 e) 5
2
55. En la figura, hallar "x":

k
x
a) 

 Sen
kSec5 b) 

 Tan
kSec
6
c) 

 7
Sec
kCtg d) 


6
Cos
kTan
e) 

 Cos
kSec5
56. En el cuadrado ABCD, las áreas de los triángulos OAP
,
PDC y CBO son iguales.
Luego 
Csc es:
A B
C D
O
P

a) 5
3
6
 b) 3
5
6

c)
5
3
6

d) 5
3
6

e)
5
3
6

57. En la figura hallar el valor de "h" en función de  ,  y
 . Si : c

 , 

 , 

B̂
h
A B
C
D
a)




Ctg
Ctg
b)




Tan
Tan
c)





Sen
Sen
Sen
d) 



Ctg
Ctg
e)




Sen
Cos
58.En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y el
cateto BA forman un ángulo agudo  . Entonces, 
Tg
es:
a) 2 TanA b) 2 CtgA
c) 2TanC d) TanA + TgC
e) 2(TanC + CtgA)
59. En la semicircunferencia mostrada, halle:



2
Sen
2
Sen
K
1
3
A B
C
Q
O


P
a) 2 b) 3 c) 4
d)
4
1
e)
3
1

22. TRILCE
29
60. Del gráfico, hallar 
Tan
Si:
n
PB
m
AP 

M
A
O B
P N
a) )
n
m
2
(
n
m
 b) )
n
m
2
(
m
n

c) )
m
n
2
(
m
n
 d)
m
n
2
n
m
2


e)
n
m
2
m
n
2



23. Trigonometría
30
Claves
Claves
b
a
c
c
b
d
a
a
a
d
c
c
d
b
b
c
c
c
c
a
b
e
b
c
d
c
d
c
d
e
a
a
c
b
d
b
e
b
b
d
c
d
c
a
c
b
b
b
b
b
e
b
e
b
b
d
a
a
c
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

24. TRILCE
31
ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira)
y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos de
elevación y ángulos de depresión.
(ver gráficos).
Línea Horizontal
Línea Visual

h
 : Ángulo de Elevación
H

Línea Horizontal
Línea Visual
 : Ángulo de Depresión

Consideración: En el gráfico adjunto, " " es
el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note
que deben trazarse las dos visuales; una hacia
la parte alta y la otra hacia la parte baja.
Luego " " es el ángulo formado por las dos
visuales.


ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica.
Rosa Náutica: (compás marino), es un instrumento de orientación que permitirá localizar una ciudad, persona o punto;
respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones :
Dirección
Dirección
Dirección
A
B
C
P
Referencia
Oeste (O) Este (E)
Norte (N)
Sur (S)
42º
40º 30º
Note que dichas direcciones en este caso para A;
B y C; forman con los ejes principales ciertos
ángulos; con quienes se van a denotar dichas
direcciones.
Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P"
"B" se halla al O40ºN de "P"
"C" se halla al S42ºO de "P"
Capítulo
ÁNGULOS VERTICALES
ÁNGULOS HORIZONTALES
3

25. Trigonometría
32
Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se van
a denotar dichas direcciones.
Por ejemplo:
"A" se halla el E30ºN de "P" .
"B" se halla al O40ºN de "P" .
"C" se halla al S42ºO de "P" .
30º 66º
24º
10º
Q
N
P
E
O
S
S
R



R"
"
de
N
E66º
al
Está
R"
"
de
E
N24º
al
Está
P



R"
"
de
al
Está
R"
"
de
N
O30º
al
Está
Q



R"
"
de
al
Está
R"
"
de
E
S10º
al
Está
S
Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando bisectrices sucesivas, a partir de los ejes
principales; por lo que su notación será también particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y usted
concluye los restantes por analogía.
E E
E
E
O O
O
O
S S
S S
N N
N N




NE
4
1
N
NNE
N
4
1
NE
NE
E
4
1
NE
ENE
NE
4
1
E
En cualquiera de los casos : '
15
º
11

 ó rad
16




26. TRILCE
33
SITUACIONES COMBINADAS
Cuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales
(uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asume una posición más real; es decir,
ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación:
"Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación "  ". Si luego nos desplazamos
hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para su parte más alta sería "  ". Ahora, note la
representación gráfica:

 60º
N60ºE

27. Trigonometría
34
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificio
con ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m,
determinar la altura de edificio.
a) 3 m b) 12 c) 15
d) 18 e) 24
02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de un
poste con un ángulo de elevación de 45º. Si la altura
del poste es de 20 m. ¿A qué distancia de el se halla la
persona?
a) 18 b) 20 c) 22
d) 24 e) 32
03. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisa
su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º.
¿Cuál es la altura de la torre?
a) 24 b) 36 c) 32
d) 42 e) 48
04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste
con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del
poste es de 30 m. ¿A qué distancia del poste se
encuentra el punto de observación?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la parte
alta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulos
de elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol.
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la parte
alta y baja un poste con ángulos de elevación y
depresión 60º y 30º respectivamente. Determine la
altura del poste.
a) 15 m b) 24 c) 30
d) 36 e) 48
07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con
un ángulo de elevación "  " (Tg  =1/4). ¿A qué
distancia de la torre se halla el punto de observación, si
la altura de la torre es 7 m?
a) 14 b) 28 c) 56
d) 21 e) N.A.
08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste
con un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamos
una distancia igual a la altura del poste, el ángulo de
elevación es "  ". Calcular: "Tg  ".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve su
parte más alta con un ángulo de elevación de 53º.
Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo de
elevación para su parte más alta es "  ". Calcular:
"Ctg  ".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
10. Una hormiga observa la copa de un árbol con un
ángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m y
observa el mismo punto con un ángulo de elevación
de 53º. Calcular la altura del árbol.
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 20
11. Desde dos puntos separados 52 m se observa lo alto
de un poste con ángulos de elevación 53º y 








5
2
Tg . Si el poste se encuentra entre los dos
puntos. Determine su altura.
a) 12 m b) 16 c) 18
d) 9 e) 11
12. Se observa un poste con ángulo de elevación "  " nos
acercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si la
altura de poste es "2 L". Determinar: Tg  .
a) 1/3 b) 2/3 c) 1
d) 1/2 e) 3/2
13. Desde un edificio de 12 m de altura se observa un
automóvil con ángulo con ángulo de depresión "  "








3
1
Tg . Luego se observa una señal más cerca del
edificio con ángulo de depresión 45º. Determine la
distancia entre la señal y el automóvil.
a) 12 m b) 18 c) 24
d) 36 e) 10
14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste
con un ángulo de elevación de 45º, y desde otro punto
ubicado en la mitad de la distancia que hay entre el
primer punto y el poste, el ángulo de elevación es "  ".
Calcular: "Tg  ".
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 16
15. Desde un punto ubicado a 30 m de una torre se divisa
su parte más alta con un ángulo de elevación "  "
(Tg  =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la
altura de la torre, el ángulo de elevación es "  ".

28. TRILCE
35
Calcular: "Ctg  ".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
16. Desde las partes superiores del primero, segundo y
tercer piso de un edificio se observa lo alto de otro
edificio con ángulos de elevación  ,  ,  , respectiva-
mente. Si: Tg  -Tg  = 0,1 y Tg  =2,7. ¿Cuántos pisos
tiene el segundo edificio?
a) 10 b) 15 c) 20
d) 30 e) 40
17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un punto
en tierra con un ángulo de depresión de 45º. Cuánto
mide cada piso del edificio, si el punto observado se
halla a 24 m del mismo?
a) 2 b) 2,5 c) 3
d) 3,5 e) 4
18. Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio de 28 m
de altura, se divisa su parte más alta con un ángulo de
elevación de 53º. Señale la distancia de un punto a la
base del edificio.
a) 20 b) 21 c) 35
d) 32 e) 49
19. Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48 m
de altura se observa que el ángulo de depresión de un
bote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta el
barco.
a) 48 b) 48 3 c) 12
d) 24 e) 6 3
20. Desde el pie de un poste se observa la parte más alta
de una torre con un ángulo de elevación de 45º, el
mismo punto es observado desde la parte más alta del
poste con un ángulo de elevación de 37º. Calcular la
longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre
es de 120 m.
a) 10 b) 15 c) 20
d) 30 e) 40
21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de un poste con
un ángulo de elevación "  " )
6
1
Tan
( 
 ; y si nos
acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º.
¿Cuál es la altura del poste?
a) 5 m b) 6 m c) 4 m
d) 8 m e) 12 m
22. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidad
de 4 m/min; y en un primer momento, observa su parte
más alta con un ángulo de elevación de 37º. Si la torre
mide 192 m, ¿después de qué tiempo el ángulo de
elevación tiene como tangente 8?
a) 29 min b) 48 min c) 1h 12 min
d) 1h 18 min e) 58 min
23. Un niño observa los ojos de su padre con un ángulo
de elevación  , y su padre observa sus pies con un
ángulo de depresión )
º
90
( 
 .
Obtener la relación entre sus alturas.
a) 
 2
Tan
1 b) 
 2
Tan
1
c) 
 2
Cot
1 d) 
 2
Cot
1
e) 1
Tan2


24. Se tiene una torre en el borde de un acantilado; cuyas
partes alta y baja son vistas desde un punto de la
superficie horizontal con ángulos de elevación "  " y
"  ", respectivamente )
Tan
4
Tan
3
( 

 . La altura del
acantilado es de 212,31 m.
¿Cuál es la altura de la torre?
a) 141,54 m b) 28,308 m
c) 159,2325 m d) 70,77 m
e) 35,385 m
25. Subiendo por un camino inclinado, de ángulo "  "
respecto a la horizontal; se observa lo alto de una torre
con un ángulo de elevación " 
2 "; verificándose que la
torre mide 3 m y la visual 7 m.
¿Cuál es el valor de " 
Tan "?
a)
7
3
b
7
6
c)
14
3
d)
7
4
e)
7
2
26. Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de una
torre de 24 m de altura, se ve su parte más alta con
ángulo de elevación de 45º y 37º respectivamente.
¿Cuál es la distancia entre los puntos de observación?
a) 32 m b) 36 m c) 56 m
d) 48 m e) 40 m
27. Desde dos puntos ubicados al Sur y Oeste de un poste,
se divisa su parte más alta con ángulos de elevación
"  " y " 

º
90 ", respectivamente. Si la distancia entre
los puntos de observación es el doble de la altura del
poste, calcular: 


 Cot
Tan
P
a) 3 b) 3
2 c) 6
d) 6
2 e) 2
3

29. Trigonometría
36
28. El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de
60º a 72 metros de ella. Estando el ojo del observador
a 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es
aproximadamente.
a) 72 m b) m
3
73 c) 71 m
d) 73 m e) m
3
72
29. Desde el pie de un poste el ángulo de elevación de la
parte más alta de un campanario es 45º. Desde la parte
superior del poste que tiene 9 m de altura, el ángulo de
elevación es de 30º.
¿Cuál es la altura del campanario?
a)
2
3
9
b)
2
1
2
7

c)
1
3
3
5

d)
1
3
3
9

e)
1
3
3
9

30. Un niño está volando su cometa soltándole cuerda, la
misma que se mantiene tensa y haciendo un ángulo 
con la horizontal. A 120 m detrás del niño hay un
hombre. Cuando la cometa se encuentra a 20 m de
altura, el hombre la observa con un ángulo  respecto
a la horizontal.
¿A cuántos metros de altura se encontrará la cometa
para que sea observada por el hombre con un ángulo

2 ?
Considere :
3
1
Tg 

a)
23
637
b)
17
1285
c)
13
1080
d)
19
1561
e)
13
637
31. Una balsa se aproxima hacia un faro. En un
determinado instante, el faro es observado por el
tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de
12

. Al recorrer 36m adicionales vuelve a observar,
,
encontrando esta vez un ángulo de
6

.
Encuentre la altura del faro (desprecie la altura del
tripulante que hizo la observación)
a) 10 m b) 15 m c) 12 m
d) 14 m e) 18 m
32. Desde lo alto de un edificio se observa a un automóvil
con un ángulo de depresión de 37º. Dicho automóvil
se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza
28 m acercándose al edificio es observado con un
ángulo de depresión de 53º. Si desde esta posición
tarda en llegar al edificio 6 segundos, calcular la
velocidad del automovil.
a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s
d) 12 m/s e) 4 m/s
33. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 180
km/h. En cierto instante, el piloto ve una señal en tierra
con un ángulo de depresión de 30º. Dos minutos
después, estando sobre la señal, el piloto observa a
una distancia de 1000 metros un aerostato con un
ángulo de elevación de 60º.
¿A qué altura está volando el aerostato en ese instante?
a) km
3
2 b) km
3
5
,
2 c) km
3
3
d) km
3
5
,
3 e) km
3
4
34. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y en
el mismo sentido. En la primera observación desde el
barco se ve al avión adelante con un ángulo de
elevación de 53º, marcando con una boya dicho lugar.
En la segunda observación se le ve con un ángulo de
37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco.
Calcular la cotangente del ángulo con la que el avión
en la segunda posición observa la boya.
a)
12
17
b)
11
15
c)
17
11
d)
4
3
e)
7
5
35. Dos puntos están ubicados en un mismo nivel del suelo.
Desde uno de ellos se observa el extremo superior de
un poste con un ángulo de elevación  y desde otro
punto se observa el punto medio del poste con un
ángulo de elevación  . Si la suma de las distancias del
poste a cada uno de los puntos es d, calcular la altura
del poste.
a) 

 dTan
2
dTan b) 

 Ctg
Ctg
2
d
2
c) 

 dCtg
dCtg
2 d) 

 Tan
Tan
2
d
2
e) )
Tan
2
Tan
(
d 


36. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P"
en direcciones que forman un ángulo "  " uno a
5 km/h y el otro a 12 km/h.
Calcular el 
Cos sabiendo que al cabo de una hora la
distancia desde el punto "P" al punto medio del
segmento que separa ambos autos es de 7 km.
a)
8
5
b)
16
7
c)
80
3
d)
40
9
e)
25
13

30. TRILCE
37
37. Un niño de estatura "h" está parado sobre la banca y
observa los ojos de su padre; de estatura "H", con un
ángulo de elevación "  " y sus pies con un ángulo de
depresión "  ". Si el padre divisa los pies de su hijo
con un ángulo de depresión "  ".
Hallar:
h
H
a)






Tan
Tan
Tan
Tan
b)






Tan
Tan
Tan
Tan
c)






Tan
Tan
Tan
Tan
d) 





Tan
Tan
Tan
Tan
e)






Tan
Tan
Tan
Tan
38. Desde la parte superior del tercer piso de un edificio de
9, se ve un momento de menor altura, con un ángulo
de elevación "x", su parte más alta y un ángulo de
depresión "y" su base. Si desde lo alto del edificio, la
tangente del ángulo de depresión con la que se ve la
base del monumento, es sextuplo de la tangente del
ángulo con que se ve la parte más alta.
Calcular: E= 4Coty· Tanx
a) 2 b) 4 c) 5
d) 8 e) 6
39. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en Tierra,
a un mismo lado, con ángulos de depresión  , 45º y


º
90 )
º
45
( 
 . Si el punto intermedio dista del
más alejado, el doble del más cercano, calcular:



 2
Cot
Tan
6
N
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
40. Un poste, una persona y una torre están ubicados del
modo que se mencionan y sus alturas están en la
proporción 3; 1; 5. Si de lo alto del poste se divisa lo
alto de la persona con un ángulo de depresión "  ";
mientras que la persona divisa lo alto de la torre con un
ángulo de elevación  , desde lo alto de la torre se ve
la base del poste con un ángulo de depresión "  ". Si
se verifica que:




 nCot
mCot
Cot
Calcular: K = m + 2n
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
41. Se tiene un poste PQ ("P" en el suelo) y tres puntos en
la superficie horizontal A, B y C, perfectamente
alineados; desde los cuales se ve "Q" con ángulos de
elevación  ,  y  respectivamente. Si BP es bisectriz
del ángulo C
P̂
A que mide 60º, calcular:





Tan
Tan
Tan
J
a) 2 b) 3
2 c) 3
d) 3 e)
3
3
42. Desde la parte más alta de un árbol de 5 metros de
altura se observa a otros dos de 1 metro y 4 metros de
altura con ángulos de depresión  y )
º
90
( 
 , si estos
están al Este y al Sur del árbol más alto, respectivamente.
Calcular: " 
Tan ", si además desde la parte más alta del
árbol más pequeño, se observa la parte más alta del
árbol de 4 metros con un ángulo de elevación de
)
º
90
( 

a) 4 2
1
b)
2
1
c) 4 2
d) 2 e) 2
2
43. Un barco se encuentra al Sur de un helicóptero, el barco
permanece inmóvil; pero el helicóptero avanza cierta
distancia hacia el Este. Desde el barco se observa al
helicóptero en la segunda posición con un ángulo de
elevación "  ". Si el ángulo de elevación en la primera
posición es de 45º y el helicóptero avanzó 2km, calcular
"  ", si además el helicóptero se encuentra a una altura
de km
2 .
a)
2
1
ArcTan b)
3
1
ArcTan
c)
4
3
ArcTan d) 30º
e) 45º
44. Se tienen tres puntos en tierra A, B y C (AB = BC); y un
poste PQ ("Q" en el suelo, al interior del triángulo ABC),
desde los cuales se ve lo alto del poste con ángulos de
elevación  ,  y  respectivamente.
Si : y
C
Q̂
B
x
B
Q̂
A 


Señale el equivalente de:







2
2 Cot
Cot
Cosy
Cot
Cosx
Cot
J
a) 
Tan b) 
Tan
2 c) 
Cot
2
d) 
Cot
2
1
e) 
Tan
2
1
45. Luciano observa a Luciana en la dirección NE y a
m
2
18 de distancia; a su vez Luciana observa a Lucio
en la dirección E37ºS.
Determine la distancia que separa a Luciano y a Lucio,
si Lucio se encuentra al Este de Luciano.

31. Trigonometría
38
a) 41 m b) 40 m c) 24 m
d) 18 m e) 42 m
46. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C"
en las direcciones O80ºN y E40ºN, respectivamente.
Además desde "B" se divisa a "C" al E50ºS a una
distancia de 173 km.
¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"?
a) 100 km b) 200 km c) 150 km
d) 273 km e) 300 km
47. ¿Cuál es la dirección de la bisectriz del menor ángulo
formado por las direcciones N20ºE y S80ºO?
a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºO
d) N40ºO e) N50ºO
48. Calcular el menor ángulo que forman la bisectriz de SO
y S
4
1
SO con la bisectriz de SE y S
4
1
SE
a) 50º b) 78º45' c) 77º
d) 67º30' e) 90º
49. Se tiene una torre en el borde de un acantilado, cuyas
partes alta y baja son vistas desde un punto de la
superficie horizontal con ángulos de elevación "  " y
"  " respectivamente )
Tan
4
Tan
3
( 

 . La altura del
acantilado es de 212,31 m.
¿Cuál es la altura de la torre?
a) 141,54 m b) 28,308 m
c) 159,2325 m d) 70,77 m
e) 35,385 m
50. Una persona camina 2
5 (aprox.) al norte de su casa,
luego 13 m en la dirección E
S , si ahora se encuentra
en la dirección NE de su casa.
Hallar: 
Csc
a)
5
13
b)
17
2
13
c)
13
17
d)
13
2
10
e)
17
13
51. Desde dos puntos A y B, situados al Oeste y al Norte de
una torre, se observa la parte más alta de ésta con
ángulos de elevación  y  , respectivamente; y desde
el punto medio de AB, el ángulo de elevación es "  ".
Calcular: 

 Cot
Tan
a)
2
3
b) 1 c) 3
d) 2 e) 3
2
52. Un niño sostiene dos globos. El ángulo de elevación
que tiene en la mano derecha es de 21º y la cuerda
mide "a" metros. El ángulo de elevación del globo que
sostiene en la mano izquierda es de 24º y la cuerda
mide 2
a metros.
¿Cuál es la distancia que hay entre los globos?
a) )
2
1
(  a metros b) )
2
2
(  a metros
c) 5
a
2 a metros d) 5
a a metros
e) a
)
5
2
(  metros
53. "Moshé" divisa los ojos de su padre con un ángulo de
elevación "  " y sus pies con un ángulo de depresión
"  "; mientras que su padre divisa los pies de "Moshé"
con un ángulo de depresión "  ". Sabiendo que las
estaturas de "Moshé" y su padre son "h" y "H"
respectivamente, señale el equivalente de:
H
h
h
H
J 

a)



2
Cot
Cot
Cot
b)



Cot
Cot
Cot2
c)



Cot
Cot
Cot
d) 


Cot
Cot
Cot
e)



Tan
Tan
Tan
54. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de un poste,
con un ángulo de elevación de 10º. Nos acercamos
una distancia " 1
d " y el ángulo de elevación es de 40º;
y si nos desplazamos una distancia " 2
d " hasta
ubicarnos al otro lado del poste, el ángulo de elevación
es de 20º.
Calcular:
2
1
d
d
(Sug. Cos10º = 0,9848)
a) 1,137 b) 1,232 c) 1,321
d) 0,957 e) 0,352
55. Un observador divisa un poste vertical bajo un ángulo
"  " notando que sus visuales son iguales. Se acerca
una distancia igual a las dos terceras partes de la
distancia que inicialmente lo separaba del poste y divisa
a éste. ahora bajo un ángulo "  ".
Calcular "n" en la igualdad.
2
Sen
2
nSen
Sen
Sen
2
2





a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

32. TRILCE
39
56. Una persona camina, por un camino inclinado que
forma un ángulo "x" con la horizontal y observa la parte
superior de una torre con un ángulo de inclinación
"2x". Luego de caminar una distancia de 15 veces la
altura de la torre, observa nuevamente su parte superior
con un ángulo de elevación de "3x".
Calcular: E = Cscx - 15
a) 10 b) 20 c) 12
d) 15 e) 25
57. Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados en
lados opuestos de ella. Desde "A" se divisa un punto
de la torre con un ángulo de elevación "  "; notándose
que la distancia de dicho punto observado a lo alto de
la torre es igual a la visual trazada para dicha
observación; mientras que, desde "B", se divisa un punto
ubicado 1 m, más abajo que al anterior con un ángulo
de elevación "  " . Notándose que la visual trazada es
igual a la distancia del nuevo punto observado a lo alto
de la torre, hallar la altura de la torre.
a)







Tan
Tan
)
1
Tan
)(
1
Tan
(
b)







Sen
Sen
)
1
Sen
)(
1
Sen
(
c)







Sen
Sen
)
Sen
1
)(
Sen
1
(
d)







Cos
Cos
)
1
Cos
)(
1
Cos
(
e)







Tan
Tan
)
1
Tan
)(
1
Tan
(
58. Desde cuatro puntos colineales de la superficie A, B, C
y D se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el piso)
con ángulos de elevación  ,  ,  y  respectiva-
mente.
Si: º
10
D
Q̂
C
C
Q̂
B
B
Q̂
A 

 y
173648
,
0
º
10
Sen  .
Calcular:











Tan
Tan
Tan
Tan
Tan
Tan
Tan
Tan
J
a) 1,1983 b) 2,2343 c) 1,7124
d) 2,5783 e) 2,8794
59. Desde un punto del suelo, ubicado al O30ºS de una
torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de
elevación 53º. De esta ubicación nos desplazamos al
S30ºE hasta ubicarnos al Sur de la torre. Observaríamos
su parte más alta con un ángulo de elevación "  ".
Calcular: 
Tan
a)
3
1
b)
3
2
c)
4
3
d)
2
3
e)
4
1
60.Un reflector situado al ras del suelo ilumina un
monumento bajo un ángulo de 30º. Si trasladamos el
reflector 2 m más cerca del monumento, éste se ve bajo
un ángulo de 45º.
¿Cuál es la altura (y) del monumento y cuál es su
distancia (x) al segundo lugar de iluminación?
a)
3
3
3
2
x
;
3
3
3
2
y




b)
3
3
3
2
x
;
3
3
3
2
y




c)
3
3
3
2
x
;
3
3
3
2
y




d)
3
3
3
2
x
;
3
3
3
2
y




e) 3
3
x
;
3
3
y 




33. Trigonometría
40
Claves
Claves
d
a
c
d
e
b
b
c
a
b
b
b
c
a
d
b
c
e
b
d
b
e
b
b
a
e
c
b
d
c
e
b
b
a
b
c
b
e
d
c
c
c
d
e
e
b
d
b
d
b
c
d
c
a
c
d
b
e
b
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
jhsf

34. TRILCE
41
Capítulo
SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR
4
SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR
Denominado también cartesiano, en honor al matemático René Descartes (1596-1650).
Se determina trazando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí que se intersectan en un punto "O" y divide al plano en
cuatro semiplanos denominados cuadrantes.
* La recta horizontal se llama eje "x" o eje de abscisas.
* La recta vertical se llama eje "y" o eje de ordenadas.
* El punto "O" se denomina origen de coordenadas.
Cuadrante II Cuadrante I
Cuadrante III Cuadrante IV
y
x
O (0;0)
y
1
x1
y2
x
2
Q( ;y )
x
2 2
P( ;y )
x
1 1
Distancia entre dos puntos del plano cartesiano
Sean )
y
;
x
(
P 1
1
1 y )
y
;
x
(
P 2
2
2 dos puntos del
plano cartesiano, entonces la distancia "d" entre
los puntos 1
P y 2
P está dada por:
2
1
2
2
1
2 )
y
y
(
)
x
x
(
d 



d
P ( ;y )
x
1 1
1
P ( ;y )
x
2 2
2
y
2
y
1
x
1
x
2 x
y
* Radio Vector
Es la distancia del origen de coordenadas a un punto
cualquiera del plano cartesiano.
Si: )
y
;
x
(
P 0
0
es un punto del plano cartesiano el radio
vector se calcula así:
2
0
2
0
y
x
r 

y0
x
y
x
0
r
P( ;y )
x
0 0

35. Trigonometría
42
División de un segmento en una razón dada:
Sea )
y
;
x
(
P 0
0
0 un punto cualquiera sobre un segmento de
extremos )
y
;
x
(
P 1
1
1
y )
y
;
x
(
P 2
2
2
tal que:
)
razón
(
b
a
P
P
P
P
2
0
0
1 
Las coordenadas de 0
P son:
b
a
by
ay
y
b
a
bx
ax
x 1
2
0
1
2
0 





Punto Medio de un Segmento
Las coordenadas del punto medio M del segmento de
extremos )
y
;
x
(
P 1
1
1 y )
y
;
x
(
P 2
2
2
se calcula así:
y
2
x
x
x
0
2
1
0



2
y
y 2
1

Coordenadas del baricentro de un triángulo:
En el triángulo cuyos vértices son )
y
;
x
(
A
1
1
; )
y
;
x
(
B
2
2
y
)
y
;
x
(
C
3
3
, las coordenadas del baricentro están dadas por:







 



3
y
y
y
;
3
x
x
x
G 3
2
1
3
2
1
G: baricentro
x
y
a
b
P ( ;y )
x
0 0
0
P ( ;y )
x
1 1
1
P ( ;y )
x
2 2
2
x
y
M( ;y )
x
0 0
P ( ;y )
1 1 1
x
P ( ;y )
2 2 2
x
x
y
G
A( ;y )
x1 1
B( ;y )
x
2 2
C( ;y )
x
3 3
Área de una región triangular:
Para calcular el área "S" de una región triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y seguimos el sentido
antihorario hasta cerrar la figura y volver a colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como a continuación se
indica.
x
y
A( ;y )
x
1 1
B( ;y )
x
2 2
C( ;y )
x
3 3
S
A
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
B
y
x
y
x
y
x
1
3
3
2
2
1
1
1
3
3
2
2
1
1
3
1
2
3
1
2
















Luego :
2
B
A
S 


36. TRILCE
43
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Determine el radio vector de (2,-3).
a) 5 b) 11 c) 13
d) 17 e) 19
02. Determinar el radio vector de )
7
,
2
( 
a) 3 b) 10 c) 3
d) 4 e) 5
03. Determinar el radio vector del punto medio del
segmento formado al unir los puntos (3,1) y (7,9).
a) 5 b) 2 5 c) 5 2
d) 10 e) 15
04. Si: (-1,2) es el punto medio del segmento formado al
unir los puntos, (-3,-1) y (a,b). Determinar: "a+b".
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
05. Del gráfico, calcular: "d".
d
(3,5)
(5,2)
(-11,1)
a) 37 b) 41 c) 53
d) 61 e) 82
06. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son (-7,3) y
(-1,-5), determine su perímetro.
a) 60 b) 40 c) 20
d) 12 3 e) 15 2
07. Se tiene una circunferencia de centro (-3,7) que pasa
por (2,-5), determinar su diámetro.
a) 13 b) 15 c) 26
d) 30 e) 35
08. Si: (4,2) es el punto medio del segmento formado al
unir los puntos (a,-3) y (5,b). Determinar: a
b
E 

a) 2 b) 3 c) 2
d) 3 e) 5
09. Determine el producto de las coordenadas del punto
del segmento formado al unir los puntos (-7,3) y (1,5).
a) 6 b) -6 c) 12
d) -12 e) 15
10. Al unir los puntos A(-5,1), B(-1,7) y C(5,-1). Se forma
un triángulo ABC. Determine la longitud de la mediana
AM , (M en BC ).
a) 47 b) 51 c) 53
d) 57 e) 61
11. Determine las coordenadas del baricentro de un
triángulo que se forma al unir los puntos. A(-1,5); B(3,9)
y C(7,1).
a) (3,2) b) (-7,3) c) (3,5)
d) (5,3) e) (-3,5)
12. En el gráfico, hallar "x+y":
A(-2;3)
B(10;6)
K
2K
P
a) (2,3) b) (2,4) c) (1,3)
d) (-1,2) e) (-2,4)
13. Según el gráfico, halle "p":
2S 3S
A(1;9)
B(-2;5) C(8;10)
a) (1,8) b) (2,7) c) (3,5)
d) (3,7) e) (4,6)
14. Los vértices de un triángulo son A(3,1); B(9,1) y C(3,7).
Determine su área.
a) 36 2
 b) 18 2
 c) 24 2

d) 16 2
 e) 9 2

15. Los vértices de un triángulo son A(1;2), B(3;6) y
C(-1,0). Calcular la longitud de la mediana relativa al
lado AB .
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

37. Trigonometría
44
16. Determine en el eje "x" un punto que tenga una
distancia de 5 unidades del punto (2,4).
a) (-1,0) b) (1,0) c) (5,0)
d) (6,0) e) a y c
17. Si ABCD es un paralelogramo donde A(3,2), B(1,5),
C(-2,3). Halle el punto D.
a) (0,0) b) (1,7) c) (-1,3)
d) (-2,2) e) (-5,1)
18. Los puntos A(4,-2); B(1,2) y C(5,5) son los vértices de
un triángulo:
a) Isósceles. b) Equilátero.
c) Rectángulo. d) Rectángulo Isósceles.
e) Oblicuángulo.
19. Hallar en el eje de ordenadas un punto A cuya distancia
hasta el punto B(-8,13) sea igual a 17.
a) (0,-1) b) (0,-2) c) (1,2)
d) (2,8) e) (0,-28)
20. Si P(a;a+1) es un punto que equidista de A(2,1) y
B(-6,5). Hallar el valor de "a".
a) 6 b) -6 c) 0
d) 1 e) -1
21. Se tienen dos vértices opuestos de un cuadrado (-5,8)
y (1,2); determinar su centro de gravedad.
a) (-1,3) b) (-2,3) c) (-2,5)
d) (-1,5) e) (1,3)
22. El centro de una circunferencia es (-4, 5 ), determinar
su área si pasa por el origen de coordenadas (usar:
)
7
22
( 
 .
a) 2 2
 b) 3 2
 c) 44 2

d) 66 2
 e) 81 2

23. Si P es punto medio de MN ; M y N son puntos medios
de AC y BC respectivamente, determine el radio vector
del punto P; siendo A(-4,5); B(2,5) y C(6,-3).
a) 7 b) 10 c) 2 3
d) 3 2 e) 15
24. Si (-5,3) es punto medio entre (x,0) y (0,y); calcular:
x
y
E 
 .
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
25. Hallar las coordenadas de un punto "A" cuya distancia
al origen es igual a 13u; sabiendo además que su
ordenadas tiene 7u más que su abcisa.
(Dar la suma de coordenadas).
a) 17 b) 16 c) -17
d) a y b e) a y c
26. Si (2,3) es el punto medio del segmento AB siendo
A(-3,5) y B(a,b). Calcular: a+b.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
27. El segmento que une A=(-2,1) con B=(2,2) se
prolonga hasta C sabiendo que BC=3AB. Hallar las
coordenadas de C.
a) (14,11) b) (11,14) c) (1,7)
d) (14,-11) e) (-14,11)
28. Si un vértice de un triángulo ABC, es A=(1,3) y el
baricentro del triángulo es G=(3,1). ¿Cuál es la suma
de coordenadas del punto medio "M" opuesto al vértice
"A"?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
29. Dados dos vértices consecutivos de un cuadrado
A(3 ; 7) y B(1 ; 4), calcule su área.
a)
2
127 b)
2
137 c)
2
147
d) 2
81 e) 2
100
30. Señale las coordenadas del punto "P" ubicado en el eje
de abscisas que equidista de A(1 ; 5) y B(7 ; 3)
a) 




 0
;
3
7
b 




 0
;
3
8
c) 




 0
;
3
4
d) 




 0
;
2
11
e) 




 0
;
4
11
31. En un triángulo ABC, los vértices son A(3 ; 1), B(1 ; 5)
y C(1 ; 3).
Calcule la longitud de la mediana relativa al lado BC.
a) 5 b) 7 c) 3
2
d) 13 e) 15
32. Si tres vértices consecutivos de un paralelogramo son
A(1 ; 1) , B(1 ; 5) y C(9 ; 7).
Halle la suma de coordenadas del cuarto vértice "D"
opuesto a B.
a) 5 b) 6 c) 9
d) 10 e) 12

38. TRILCE
45
33. Se traza un segmento desde A(1;1) hasta B(3;5). ¿Hasta
qué punto "C" será necesario prolongarlo para que
5
BC
6
AC  ?
(Señale la suma de coordenadas de "C")
a) 35 b) 38 c) 42
d) 23 e) 27
34. En un triángulo ABC se sabe que A(3 ; 5) y el baricentro
es G(1 ; 3). Hallar la suma de coordenadas del punto
medio de BC.
a)  3 b)  5 c)  7
d) 5 e) 7
35. Del esquema mostrado, determine las coordenadas del
punto M.
Si: ABCD es un paralelogramo.
y
x
M
N
B
C(4 ; 9)
D(6 ; 1)
A( 8 ; 5)

a) 




 8
;
2
11
b) ( 6 ; 5)
c) 




 5
;
2
9
d) ( 6 ; 4)
e) ( 5 ; 7)
36. Se tiene el triángulo formado por los vértices A(1;9),
B(6 ; 8) y C(2 ; 4), calcule la superficie del triángulo.
a) 2
35 b) 2
28 c) 2
14
d) 2
24 e) 2
40
37. Si A(-1;3) , B(3;1) y C(2;4), calcule el Seno del ángulo
CAB.
a)
10
3
b)
10
10
c)
5
5
d)
5
2
e)
2
2
38. Del gráfico, halle :
1
2
S
S  .
(10 ; 1)
(5 ; 8)
(6 ; 2)

( 3 ; 1)


S2
S1
a)
2
10 b)
2
5
,
10  c) 2
6

d)
2
5
,
11  e)
2
12
39. Los puntos P(-4;0); )
3
3
;
5
(
Q , R(x;0) son los vértices
de un triángulo rectángulo recto en Q, la suma de los
valores que indican el perímetro y el área del triángulo
es:
a) 24
3
18  b) 3
18
18 
c) 3
24
18  d) 3
12
12 
e) 6
6
12 
40. La base mayor de un trapecio isósceles une los puntos
(-2;8) y (-2;-4). Uno de los términos de la base menor
tiene por coordenadas (3;-2).
La distancia o longitud de la base menor es:
a) 8 b) 6 c) 9
d) 12 e) 10
41. Un cuadrilátero tiene sus vértices en los puntos
coordenados :
A(0;0) , B(2;2) , C(7;2) y D(5;0)
PROPOSICIÓN 1:
Si sólo los valores de las abscisas se multiplican por 2
entonces este cuadrilátero es semejante al original.
PROPOSICIÓN 2:
Si los valores de las abscisas y ordenadas se multiplican
por un mismo número, entonces este cuadrilátero es
semejante al original.
PROPOSICIÓN 3:
Si los valores de las abscisas se multiplican por 2 y las
ordenadas por 3 entonces el área de este nuevo
cuadrilátero es 5 veces mayor que el original.
a) FVV b) FFV c) VFF
d) FFF e) VVF

39. Trigonometría
46
42. Los vértices de un cuadrado son A(0 ; -3); )
b
;
b
(
B 2
1
,
C(3;4), )
d
;
d
(
D 2
1
.
Calcular el área del rectángulo cuyos vértices son los
puntos B, P
, D, Q donde )
b
;
d
(
P 2
1 y )
d
;
b
(
Q 2
1
.
a) 58 b) 29 c) 25
d) 21 e) 19,5
43. En la figura mostrada las coordenadas del punto R son
8)
;
3
6
( .
Hallar la distancia del baricentro de la región triangular
MON al punto R.
y
x
M
30º
O N
R
a) 21
2 b) 21 c) 21
4
d) 21 e) 42
2
44. Si A(-3;4), B(4;5), C(1;-4) son los vértices de un
triángulo. Calcular las coordenadas del circuncentro del
triángulo.
a) (1 ; 1) b) (1 ; -1) c) (2 ; -1)
d) (-3 ; -1) e) (-1 ; -1)
45. Sean los puntos del plano cartesiano:
A(3 ; 10), B(13 ; 2) , C(0 ; a) y D(b ; 0).
Hallar los valores de a y b de tal forma que la suma de
las longitudes de los segmentos AC, CD y DB sea lo
menor posible y dar como respuesta el valor de 12ab.
a) 961 b) 828 c) 780
d) 1020 e) 605
46. Sean los puntos del plano cartesiano A(1;2) B(10;0) y
C(8;4). Desde el punto C se baja la perpendicular CP
al segmento AB, entonces las coordenadas de P son :
a) 


















7
6
2
-
2
;
7
6
9
1
b) 



















85
59
2
2
;
85
59
9
1
c) 


















85
59
2
-
2
;
85
59
9
1
d) 



















13
6
2
2
;
13
6
9
1
e) 



















13
6
2
2
;
13
6
9
1
47. Las coordenadas de los vértices A y B de un rectángulo
ABCD son (12 ; 3) y (4 ; 9), respectivamente. Si el área
de la región rectangular es 2
u
80 , determinar la suma
de las abscisas de los vértices C y D.
a) 25 b)
5
126
c) 26
d)
5
127
e)
5
128
48. Si los puntos (1 ; 6) y (5 ; 2) son los vértices opuestos
de un cuadrado, entonces el área del cuadrado es:
a) No se puede determinar.
b) 50 c) 4
d) 16 e) 8
49. Los puntos A(-2 ; 2), B(0 ; 4), )
C
;
C
(
C 2
1
son los vértices
de un triángulo equilátero.
Si C está en el segundo cuadrante, entonces
)
C
C
(
3 2
1
 vale:
a) - 9 b) - 8 c) - 6
d) - 5 e) 3
2
50. Dados los puntos A(-2;-3) , B(2;1), C(4;-9) y M punto
medio de BC , la distancia de M al segmento AC es:
a) 2 b) 2
2 c) 4
d) 2
4 e) 6
51. En la gráfica, si AC = 5, la suma de las coordenadas de
C es:
x
y
A(1;2) B(4;2)
C(x;y)
O
a) 4 b) 10 c) 8
d) 6 e) 9

40. TRILCE
47
52. Los extremos de la base de un triángulo son los puntos
A(0 ; 0) y B(3 ; 0).
Determinar la ordenada del vértice opuesto 





y
;
2
1
C
de tal manera que la medida del ángulo CAB es igual al
doble de la medida del ángulo CBA.
a) 15 b)
2
15
c)
4
15
d)
6
15
e)
8
15
53. A(a ; b), B(a ; -b), C(-a ; -b), D(-a ; b) son los vértices de
un rectángulo. Si: P(x;y) cumple que 
 6
DP ,

 7
CP y 
 5
BP , entonces el valor de AP es:
a) 
5 b) 
3
2 c) 
3
d) 
4 e) 
2
3
54. En el gráfico: BD = 3AD y EC = 2BE.
Calcule:
1
3
2
h
h
h
W


x
y
A(1;1)
C(8;2)
B(5;5)
h3
h1
h2
E
D
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e)
3
2
55. Del gráfico, calcule "x" si "  " es máximo.
.
x
y
(1;1)
(3;3)
P(x;0)

a) 2 b) 2
2 c) 3
d) 3
2 e) 6
56. A partir del gráfico, calcule:





2
2
2
Sen
Sen
Sen
W



B(3;9)
C(5;7)
A(1;3)
a) 1 b) 2 c) 3
d)
3
2
e)
2
3
57. Del gráfico, halle la suma de coordenadas del punto
"P". Si :
5
DC
3
BD 
S
7S
A(2;0)
C(7;5)
B(3;9)
D
P
a) 8 b) 10 c) 12
d) 16 e) 7
58. De todos los puntos del plano cuya suma de distancia
a los puntos A(1;5) y B(7;5) es igual a 10. Señale la
suma de coordenadas de aquel punto de ordenada
máxima.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
59. Señale las coordenadas del vértice C, del triángulo ABC,
si las coordenadas de los vértices del triángulo formado
al unir los puntos medios de sus lados son:
)
0
;
1
(
AM
 , )
3
;
2
(
BM
 y )
7
;
6
(
CM
C
A
B
x
y
BM
AM
CM
a) (-9 ; -4) b) (-7 ; - 2) c) (-10 ; -5)
d) (-8 ; -5) e) (-6 ; -7)

41. Trigonometría
48
60. Si ABCD es un paralelogramo, halle: 2
1
S
S 
x
y
S1
S2
A(-5;-5)
B(2;-1)
C(x;y)
D(-3;2)
a) 2
4
41  b) 2
2
41  c) 2
2
21 
d) 2
4
21  e) 2
41

42. TRILCE
49
Claves
Claves
c
c
c
d
e
b
c
c
d
c
c
b
b
b
d
e
a
d
a
b
c
d
b
c
e
d
a
d
b
b
d
d
b
c
a
c
e
c
c
a
a
d
a
a
a
c
e
d
e
b
b
b
b
c
e
a
b
d
a
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

43. TRILCE
51
Capítulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
5
Definiciones Previas:
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Llamado también en posición canónica o stándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen
del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo.
Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice
que éste pertenece a tal cuadrante.
Lado Final
Lado Inicial
Vértice
 (+)
x
y
Del gráfico :
*  : es un ángulo en posición normal
* 0
;
IIC 



Lado Final
Lado Inicial
Vértice
(-)
x
y

*  : es un ángulo en posición normal
* 0
;
IIIC 



Definición de las Razones Trigonométricas:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto )
y
;
x
(
P 0
0 perteneciente a su
lado final.
x
y
P( )
x ;y
o o
r
x
o
y
o

'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen






o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot






*
2
o
2
o
y
x
r 
 * '
 : se denomina ángulo de referencia

44. Trigonometría
52
Signo de las R.T. en los cuadrantes
Dependiendo del cuadrante al que
pertenezca un ángulo en posición
normal, sus R.T. pueden ser positivas
o negativas. Es así como se obtiene
el cuadro adjunto.
Cosecante
y
Seno
(+)
Cotangente
y
Tangente
(+)
positivas
son
Todas
(+)
Secante
y
Coseno
(+)
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
 radianes  (grados) Sen  Cos  Tan  Cot  Sec  Csc 

 2
0 0 0 1 0 N. D. 1 N. D.
2

90º 1 0 N. D. 0 N. D. 1
 180º 0 - 1 0 N. D. - 1 N. D.
2
3
270º - 1 0 N. D. 0 N. D. - 1
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales:
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:

Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ; )
x x
o o
x
y
Se tiene que :
*  y  : son coterminales
*  y  : son coterminales (están en P
. N.)
Propiedades:
Si  y  son coterminales se cumple que:
I. II.
 
- = 360ºn ; n Z R.T. ( 
) = R.T.( )

45. TRILCE
53
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Del siguiente gráfico, calcular: 


 Cot
12
Sen
10
E
x
y

(1;-3)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
02. Por el punto )
5
;
2
(
P  pasa el lado final de un ángulo
en posición normal cuya medida es "  ". Calcular:
Cos  .
a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4
d) -4/3 e) -3/2
03. Si:
3
2
Sen 

 y 
 IIIC. Calcular:
)
Sec
Tan
(
5
E 



a) -1 b) -2 c) -3
d) 2 e) 3
04. Indicar el signo de cada expresión:
I. Sen200ºTan240º
II. Cos120ºTan100º
III. Sen150ºCos340º
a) +, +, + b) , ,  c) , +, +
d) +, ,  e) +, , +
05. ¿A qué cuadrante pertenece "  ", si: 0
Tan 
 y
0
Cos 
 .
a) IC b) II c) IIIC
d) IV e) IC y IIC
06. De la figura, calcular: "
Tan
" 
x
y

17
(1-x;2x)
a) 1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
07. Calcular:
270
abCsc
2
180
Cos
)
b
a
(
º
360
Sec
)
b
a
(
E
2
2 



a) 1 b) 2 c) 3
d) -3 e) -2
08. Si: IVC
x  y 0
6
Sen
4
|
Cscx
| 


Calcular: E = Senx + 3 Cosx
a) 1 b) 1/2 c) 1/3
d) 2/3 e) 3/2
09. Si: 3
,
0
Cos


 y IIC


Calcular: 


 Sec
Tan
E 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10. Si: f(x)=2Sen2x+3Cos3x+4Tan4x.
Calcular: )
2
(
f 
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
11.Una raíz de la ecuación: 0
3
x
2
x2


 es un valor de
"Tan  ", si: IIIC

 . Calcular: )
Cos
Sen
(
10
E 



a) -1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
12. Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x.
Calcular: )
2
(
f 
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
13. Si:  y  son medidas de ángulos coterminales y se
cumple que: Tan  <0 y |Cos  |=-Cos  . ¿A qué
cuadrante pertenece " "?
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) IC y IIC

46. Trigonometría
54
14. Calcular: 


 Tan
Sen
25
E , a partir de la figura
mostrada:
x
y


(24;7)
(-4;-8)
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
15. Por el punto )
7
;
2
(
P 
 pasa por el final de un ángulo
en posición normal cuya medida es "  ". Calcular:

Csc
7 .
a) 1 b) 2 c) 3
d) -3 e) -2
16. Calcular: 1
Cosx
Senx
E 


a) 0 b) 1 c) 2
d) 2 e) 2 2
17. Si: IV

 , determine el signo de:







Cos
Sen
)
Cos
1
(
Tan
E
a) + b) - c) + ó -
d) - y + e) Todas son correctas
18. Con ayuda del gráfico mostrado, calcular:
)
2
(
Sen
3
)
(
Sen
)
6
(
Cos
3
E













a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4
d) 4/3 e) 3/2
19. De la figura, calcule: "Tan  "
x
y

37º
a) -3/7 b) -4/7 c) -5/7
d) -6/7 e) -7/4
20. Del gráfico, calcule: "
Tan
"  .
x
y
(2;-3)

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4
d) 4/3 e) 3/2
21. De acuerdo al gráfico calcular:



 Cos
Cos
5
K
y
x
(-24;7)
(-4;-3) 

a) 2 b)  3 c)  4
d) 2 e) 4
22. Si el punto Q(8; 5) pertenece al lado final de un ángulo
canónino "  ".
Calcular:



 Cot
Csc
R
a) 0,4 b)  0,4 c) 0,6
d)  0,6 e)  0,3
23. Simplificar:
2
bCos
2
3
aSen
Cos
)
b
a
(
2
Sen
)
b
a
(
L
2
5
2
3
2











 


a) 2a b)  2a c) 4a
d)  4a e)  4b
24. Señale los signos de:
º
260
Tan
º
300
Tan
º
140
Cos
º
140
Sen
M 
 y
º
348
Sen
º
248
Cos
º
116
Tan
º
217
Cos
º
160
Tan
R



a) () No se puede precisar.
b) (+) ; (+)
c) (+) ; ()
d) () ; ()
e) () ; (+)

47. TRILCE
55
25. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda
en:
I. Si: 0
Cos
0
Sen 



 , entonces IV

 .
II. Si: 0
Sec
0
Tan 



 , entonces IIIC

 .
III. Si: 0
Cot
0
Csc 



 , entonces IIC

 .
a) VVF b) VVV c) VFV
d) FFV e) FVV
26. Sabiendo que:
0
Sen 

0
Sec
Tan 


¿A qué cuadrante pertenece el ángulo canónico  ?
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) No se puede precisar.
27. Señale el cuadrante al que pertenece "  " si:




 Tan
Cos
a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) No se puede precisar
28. Señale Verdadero (V) o Falso, según corresponda en:
I. Si: 180º
;
º
90

 , entonces IIC

 .
II. Si: IIC

 , entonces 180º
;
º
90

 .
III. Si: IIIC

 , es positivo y menor que una vuelta,
entonces 270º
;
º
180

 .
a) VVF b) VFV c) VFF
d) FVV e) VVV
29. Sabiendo que:
3
2
Tan 


IIC


Calcular: 


 Cos
Sen
Q
a)
13
1
b)
13
13
 c)
13
5

d)
13
13
5
e)
13
3
30. Si el lado final de un ángulo canónico "  " pasa por los
puntos P(m+n; n) y Q(n;mn),
Calcular: 


 2
2
Tan
Cot
K
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 12
31. Sabiendo que "  " es un ángulo positivo menor que
una vuelta perteneciente al IIIC señale el signo de:
5
3
Tan
3
2
Cos
2
Sen
Q 





 



a) (+) b) () c) (+) o ()
d) (+) y () e) No se puede precisar.
32. Del gráfico, calcular :
1
Tan
3
E 


y
x
53º

a) 0 b) 1 c)  1
d) 2 e)  2
33. Tomando 236
,
2
5  y sabiendo que:
Ctgx = - 0,5 y que IVC
x  .
¿Cuál es el valor de Cscx?
a)  2,236 b) 2,236 c)  0,4472
d) 1,118 e)  1,118
34. Los cuadrantes en los que el Coseno y Tangente tienen
el mismo signo son:
a) 1º y 2º b) 1º y 3º c) 2º y 3º
d) 2º y 4º e) 1º y 4º
35. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor
es al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendida
entre 2820º y 3100º.
¿Cuál es la medida del mayor?
a) 2540º b) 2760º c) 2820º
d) 2420º e) 3000º
36. Siendo:
130
1
70
1
28
1
4
1
Sen
5
4 







 Cos
Cos
Calcular:



 Cos
3
Sen
2
K
a) 1 b)  1 c) 2
d)  2 e)  3
37. El valor numérico de la expresión:
Sen180º+2Cos180º+3Sen270º+4Cos270º- 5Sec180º-6Csc270º
es:
a)  4 b) 12 c) 6
d) 16 e) 8

48. Trigonometría
56
38. Indicar los signos de las siguientes expresiones en el
orden F. G. H.
º
338
Ctg
º
215
Csc
º
210
Sen
º
138
Tan
º
285
Sec
F
3
3
2

2
3
2
3
º
336
Tan
º
195
Csc
º
116
Cos
º
115
Ctg
º
260
Sen
G 
3
3
º
298
Sec
º
135
Tg
º
128
Csc
º
340
Ctg
º
195
Sen
H 
a)  , + ,  b)  ,  , + c)  ,  , 
d) + ,  ,  e) + , + , +
39. Si:







 2
Cos
)
2
(
Sen
1
)
3
(
Cos
)
(
f 2
Calcular:
1
3
f
3
f 





 






 

a) 2 b)
2
3
2  c) 5
d) 3
2
3  e)
2
3
3
2 
40. Determinar el signo de S en cada uno de los cuadrantes
(I, II, III, IV).
S = Ctgx + Senx - Cscx
I II III IV
a) + + + +
b) +  + +
c) +  + 
d)  +  +
e) + +  
41. Determinar el signo de:
Q
QCtg
QSec
Sen 4
5
3
a)  ; si Q pertenece al IC.
b) + ; si Q pertenece al IIC.
c) + ; si Q pertenece al IIIC.
d) + ; si Q pertenece al IVC.
e)  ; si Q pertenece al IIC.
42. Dado:
2
2
2
2
q
p
q
p
Cosx



 ; p > q > 0
Calcular Tgx, con x en el segundo cuadrante.
a) 2
2
p
q
pq
2

 b) 2
2
p
q
pq
2

c) 2
2
p
q
pq
2

 d) 2
2
p
q
pq
2

e) 2
2
2
2
p
q
p
q


43. Sabiendo que:
4
1
CosQ 
270º < Q < 360º
Calcular el valor de la expresión:
CtgQ
1
CscQ
SecQ


a) 0,25 b) 0,50 c) 2,50
d) 4,00 e) 4,50
44. Si  es un ángulo del tercer cuadrante, tal que:
8
Ctg
1 2



Calcular: 3
)
Sec
8
( 
a) 63
83
b)
63
83
 c)
63
83
d)
63
3
83
 e)
63
63
86

45. Si el ángulo x es positivo, pertenece al cuarto cuadrante
y es tal que: 

 2
x
0 . Entonces, hallar el signo de
las siguientes expresiones trigonométricas.
I.


















4
x
sec
Co
2
x
Sen
4
x
Tan
II.


















5
x
Cos
4
x
3
Sec
3
x
Cot
III.


















4
x
3
Sec
3
x
2
Tan
3
x
Sen
a) (+) (+) (+) b) () () ()
c) (+) (+) () d) () () ()
e) () () (+)
46. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, en
el orden dado:
3
25
Cos
3
52
Sen 

;
3
22
Cot
5
32
Sen 

;
10
73
Cot
3
205
Sen 





 

a) (+) (+) () b) () (+) ()
c) () (+) (+) d) () () (+)
e) (+) () (+)

49. TRILCE
57
47. Si  es un ángulo en el primero cuadrante y
25
,
0
Sen 
 .
¿Cuál es el valor de 

 2
Ctg
Csc ?
a) 15 b)
19
21
c)
15
19
d)
21
19
e) 19
48. Si 5
,
1
Tg 
 , siendo  un ángulo en el III cuadrante,
el valor de la expresión:
)
Csc
Sec
(
13
1
M 


 es :
a)
6
1
 b)
6
1
 c)
6
1
d)
6
5
 e)
6
1
49. Calcular el Coseno del ángulo  del segundo
cuadrante, tal que
5
3
Sen 
 .
a)
5
4
b)
5
3
c)
3
2

d)
5
4
 e)
3
1

50. Si
3
1
Tan 

 y  está en el segundo cuadrante.
Hallar :





Ctg
2
)
Sen
5
Cos
(
3
K
a) 10 b)
10
10
 c)
10
10
d)
5
10
2 e)
5
10
2

51. En la figura adjunta, hallar:





 Tan
Cos
15
Sen
5
V
24
- 7 0

x
y
a)
35
141
b)
7
29
c)
35
99
d)
7
39
e)
4
1
52. Indicar la alternativa correcta para el signo de las
siguientes expresiones:
I. Sen(361º)  Cos(455º)
II. 




 






 
4
3
Cos
4
3
Sen
III. )
º
315
(
Sec
4
5
Tan 





 
a) + ;  ; + b) + ; + ;  c)  ;  ; +
d) + ;  ;  e) + ; + ; +
53. Sea  un ángulo del tercer cuadrante.
Indicar la alternativa correcta al simplificar:












 Cos
Sen
1
1
E 2
a) 
 2
Sen
2 b) 
 2
Sen
c) 
 2
Cos
1 d) 
2
Sen
e) 
2
Cos
54. Si: Senx = 0,6, ¿cuál es el valor de Cosx, sabiendo que
x es un ángulo del segundo cuadrante?
a) Cosx = 0,8 b) Cosx = 0,6
c) Cosx =  0,7 d) Cosx = 0,9
e) Cosx =  0,8
55. Si "  " y "  " son ángulos cuadrantales, positivos y
menores que una vuelta, tales que: 

 Cos
Cot
Calcule:







Cos
2
Sen
2
Sen
Cos
K
a) 2
2  b) 1
2  c) 1
2 
d) 2
2  e) 1
56. Si  y  son ángulos positivos, que no son agudos;
0
Cos 
 ; 0
Tan 
 ; )
º
360
( 



Sean:
a = )
(
Sen 



b = 
 2
Sen
c = 
2
Sen
Entonces, son positivas.
a) a y b. b) a y c. c) a , b y c.
d) a. e) b y c.

50. Trigonometría
58
57. Si: 3
2
b
a
Tanx 






Calcular el valor de:
IC
x
;
aCosx
b
bSenx
a
E 


a)
3
3
1
3
1
3
1
3
1
a
b
b
a













b)
a
b
b
a 
c)
2
1
2
2
2
2
a
b
b
a








 d)
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
a
b
b
a













e)
3
1
3
3
3
3
a
b
b
a









58. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo 
del primer cuadrante, cuyo ángulo doble está en el
segundo cuadrante, su ángulo triple está en el tercer
cuadrante y su cuádruple en el cuarto cuadrante; pero
inferior a 
2
a)
2
4





b)
2
3





c)
2
12
5 




d)
2
8
3 




e) Faltan datos
59. Si: IIC

 y




 Cos
3 4 2
)
Sen
(
Sen
Calcular: 

 Sen
Tg
a) 143
12
11
 b) 143
12
13
c) 143
12
13
 d) 143
12
9
e) 143
12
11
60. Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múltiplo
de 360º. Se sabe que el cuádruple del menor es a la
suma del ángulo menor más el triple del mayor de los
ángulos, como 4 es a 5. Hallar el menor de los ángulos,
si se sabe que está comprendido entre 1080º y 3240º.
a) 1280º b) 2160º c) 3200º
d) 3210º e) 3230º

51. TRILCE
59
Claves
Claves
b
b
a
c
d
d
e
a
e
a
d
b
b
e
d
a
a
e
b
b
c
c
e
d
a
b
d
b
b
c
b
c
e
a
b
d
c
a
c
c
c
b
d
e
c
b
e
a
d
b
d
e
d
e
a
e
d
d
c
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

52. TRILCE
61
Capítulo
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
6
OBJETIVO: El objetivo del presente capítulo es:
* Calcular las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que sí lo sea; reconociendo
previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar.
* Simplificar correctamente expresiones del tipo: Z
n
;
2
n
.
T
.
R 









* Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ángulos cuya suma de medidas es 180º ó 360º
CASOS
I. Ángulos cuyas medidas están en <90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "  " se descompone como la
suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo que sea agudo; para luego aplicar :
)
.(
T
.
R
Co
220
90
R
)
.(
T
.
R
360
180
R
)
(
RT































Donde el signo )
( que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original "  "
Por ejemplo; calculemos:
*
2
3
º
30
Cos
)
30
º
90
(
Sen
º
120
Sen
)
(










* 2
1
º
60
Cos
)
º
60
º
180
(
Cos
º
120
Cos
)
(











* 3
º
30
Cot
)
º
30
º
270
(
Tan
º
240
Tan
)
(










* 2
º
30
Csc
)
º
30
º
360
(
Csc
º
330
Csc
)
(











* 
 )
(
Sen
º
170
Sen 




* 
 )
(
Cos
º
200
Cos 




* 
 )
(
Tan
º
260
Tan 




* 
 )
(
Sen
º
320
Sen 




II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º: En este caso, se procede de la siguiente manera:
R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º
  
q
Residuo

53. Trigonometría
62
Por ejemplo, calculemos:
*
2
3
º
60
Sen
º
2580
Sen 
 * Tan 3285º = Tan45º = 1
2580º 360º
2520º 7
60º
3285º 360º
3240º 9
45º
* Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2
 
1200º 360º
1080º 3
120º

 

 

( )

* Sen 3180º =
Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera:
*
133 4
132 33
1
127 6
126 21
1
1
2
1
Sen
2
Sen133 



2
1
3
1
Cos
3
127
Cos 



*
Es decir, si fuese: 2b
a
;
b
a
.
T
.
R 





 
Se divide: a 2b
q
r este residuo reemplaza al numerador "a"
*
1315 8
51 164
35
3
1345
3
1345
Sen 
*
4
3
Tan
4
1315
Tan 


III. Ángulos de medida negativa: Se procede de la siguiente manera:
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx
Por ejemplo, calculemos:
*
2
2
º
45
Sen
)
º
45
(
Sen 



 *
2
1
º
60
Cos
)
º
60
(
Cos 


* 3
)
º
30
Cot
(
)
º
30
º
90
(
Tan
º
120
Tan
)
º
120
(
Tan
)
(















* Cos (- 200º) =
IV. Ángulos relacionados:
1.












Tany
Tanx
Cosy
Cosx
Seny
Senx
180º
y
x
:
Si
2.

54. TRILCE
63












Tany
Tanx
Cosy
Cosx
Seny
Senx
360º
y
x
:
Si
Por ejemplo, calculemos:
7
6
Cos
7
5
Cos
7
4
Cos
7
3
Cos
7
2
Cos
7
Cos
C 











En esta expresión note que:
7
6
Cos
7
Cos
7
6
7










7
5
Cos
7
2
Cos
7
5
7
2 









7
4
Cos
7
3
Cos
7
4
7
3 









Luego:
7
6
Cos
7
5
Cos
7
4
Cos
7
4
Cos
7
5
Cos
7
6
Cos
C 












Reduciendo, quedaría C = 0

55. Trigonometría
64
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Señale el valor de: Sen120º
a) 1/2 b) -1/2 c)
2
3
d)
2
3
 e)
2
2
02. Hallar: Cos330º
a) 1/2 b) -1/2 c)
2
3
d)
2
3
 e)
2
2
03. Calcule: E = Tg150º.Sen315º
a)
4
6
b)
4
6
 c)
6
6
d)
6
6
 e)
4
2

04. Hallar el valor de: Sen1680º
a) 1 b) -1 c) 1/2
d) -1/2 e)
2
3

05. Determinar el valor de: Cos1200º
a) 1 b) 0 c) 1/2
d) -1/2 e)
2
3
06. Hallar: )
º
45
(
Tg
)
º
60
(
Cos
E 


a) 1/2 b) -1/2 c) 0
d) 1 e) 2
07. Hallar: E = Sen(-30º)+Tg(-53º)
a) 11/6 b) 6/11 c) -11/6
d) 0 e) 1
08. Señale el equivalente de: Cos(180º+x)
a) Cosx b) -Cosx c) Senx
d) -Senx e) -Secx
09. Determinar el equivalente de: Sen(360º-x)
a) -Senx b) Senx c) Cosx
d) -Cosx e) Cscx
10. Determina el equivalente de:
2
].
32
]
Sen 
a) 1 b) -1 c) 0
d) 1/2 e) -1/2
11. Hallar el valor de: Cos1741 
a) 1 b) -1 c) 0
d) 1/2 e) -1/2
12. Hallar:
3
.
17
Tg 
a) 1 b) -1 c) 3
d)  3 e)
3
3

13. Del gráfico, calcule: Tg 
A
C
B
M
45º

a) 1 b) 2 c) -1
d) -2 e) 3/4
14. Del gráfico, hallar: Tg 
A
C
B
37º
D

a) 3/4 b) -3/4 c) 3/7
d) -3/7 e) -4/7
15. Hallar el equivalente de:
)
º
90
x
(
Cos
)
º
180
x
(
Sen
M



a) 1 b) -1 c) Tgx
d) Ctgx e) -Tgx

56. TRILCE
65
16. Si: Sen(-x) + 2Cos(-x) = 2Senx ;
x es agudo
Calcular: M = Sec(-x) + Csc(-x)
a)
2
5
b)
2
5
 c)
6
13
d)
6
13
 e)
5
5

17. Reducir:
)
x
º
180
(
Cot
)
x
º
360
(
Sec
)
x
º
180
(
Cos
)
x
º
270
(
Csc
)
x
º
180
(
Tan
)
x
º
90
(
Sen
A







a) 1 b) 1 c) x
Tan2
d) x
Cot2
e) x
Tan2

18. Simplificar:
)
(
Tan
2
3
Sec
)
2
(
Cot
)
(
Sen
C








 









a) 
2
Tan b) 

2
Tan c) 
2
Ctg
d) 
 2
Ctg e) 1
19. Simplificar:





 








 




x
2
3
Cos
)
x
(
Tan
x
2
3
Tan
)
x
(
Sen
C
a) Cotx b) x
Cot2 c) x
Cot2

d) - Cotx e) x
Cot3
20. Si :
2
A
0 


Evaluar:





 










 

 A
2
3
Tan
)
A
(
Cos
A
2
Sen
F
)
A
(
Csc
)
A
2
(
Ctg
A
2
Sec 














a) 2 SenA b)  2SenA c) 2CscA
d)  2CscA e)  2SecA
21. Calcular:
º
240
Tan
3
1
º
315
Tan
4
1
º
120
Sec
2
M 



a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 2
22. Calcular:
º
300
Cos
º
210
Cos
º
150
Tan
º
240
Sen
º
135
Sen
C



a)
3
6
b)
3
6
 c)
3
6
2
d)
3
6
2
 e)
3
2

23. Calcular:
1
º
4920
Cos
2
)
1
º
3383
Sen
2
)(
1
º
3000
Sec
2
(
U




a)
2
1
b)
2
1
 c)
4
1
d)
4
1
 e)
4
3

24. Marque Ud. la afirmación correcta:
a)  Sen ( 750º) =  0,5
b) 3
5
,
0
)
º
1110
(
Cos 



c)
3
3
)
º
1830
(
Tan



d) 3
)
º
3270
(
Ctg 



e) + Sen2534º = Cos14º
25. Hallar el valor numérico de:
º
225
Ctg
º
330
Tan
º
780
Tan
º
780
Sen
º
330
Tan
º
225
Sen
F
2
2
2
2
2
2





a)
12
31
b)
20
33
c)
44
1
d)
20
33
 e)
12
31

26. Simplificar las expresiones:
)
(
Sen
)
º
360
(
Sen
)
º
180
(
Cos
)
(
Cos
a



















Sen
)
º
90
(
Cos
)
(
Cos
)
º
90
(
Sen
b
a) a = 0 y b =  2
b) a =  1 y b =  2
c) a =  2 y b = 2
d) a = 0 y b = 0
e) a =  1 y b = 2
27. Si: x + y = 180º  y + z = 270º
Calcule el valor de:
Ctgz
Tany
Seny
Senx
J 


57. Trigonometría
66
a) 1 b) 0 c) - 3
d) 2 e) - 5
28. Si: Tanx + Ctgy = 2 ; 

 y
x
Hallar: Ctgx
a) 1
2 
 b) 2
1 c)
2
1
2 

d)
2
2
1 e) 1
2 

29. Simplificar la expresión:
)
º
360
(
Tan
)
º
450
(
Sen
)
º
540
(
Cos
)
º
2160
(
Tan
)
º
90
(
Cos
)
º
180
(
Sen
E













Sabiendo que : 2
Sec2


Entonces E es igual a :
a) 2 b) 1 c)  1
d)  2 e) 0
30. El valor de la expresión:





 














 












 



2
Csc
)
(
Sec
)
2
(
Ctg
6
Tan
)
(
Cos
2
3
Sen
E
Cuando :
6


 es:
a) 1 b)  1 c) 0
d) 2 e)  2
31. Calcular el valor de:
Cos10º+Cos30º+Cos50º+.... +Cos170º
a)
2
1
b) 0 c)
2
3
d) 1 e)
4
3
32. Calcular: 






 







 

términos
20
30
29
Cos
...
30
3
Cos
30
2
Cos
30
Cos
T 








a) 0 b) 1 c) - 1
d) 2 e) - 2
33. El valor de la siguiente expresión:





 





 






 





 
12
7
Cos
12
Sen
12
Cos
12
7
Sen
Es igual a:
a) 0 b) 1 c) - 1
d) 2 e) - 2
34. Simplificar:
)
9
(
Ctg
)
7
(
Csc
)
5
(
Cos
2
9
Sec
2
7
Sen
2
5
Tan
K














 







 







 



a) 0 b)  1 c) 1
d)  2 e) 2
35. En un triángulo ABC se cumple:
Sen (B + C) = CosC
Dicho triángulo es :
a) Escaleno b) Rectángulo
c) Isósceles d) Acutángulo
e) Equilátero
36. En un triángulo ABC, se cumple que:
Cos (A + B) = CosC
Entonces el valor de A + B es :
a)
4

b)
3

c)
3
2
d)
6

e)
2

37. Calcular:
B
Sen
A
Cos 2
2

Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios.
a)  1 b)
2
1
 c) 0
d)
2
1
e) 1
38. Si A y B son ángulos complementarios, al simplificar:
)
B
3
A
4
(
Tan
)
B
A
2
(
Cos
)
B
3
A
2
(
Tan
)
B
2
A
(
Sen
E





Se obtiene:
a) 3 b) 2 c) 2

d) 1
 e) 1
39. En un triángulo ABC, cuales de las siguientes
proposiciones se cumplen:
I. SenA = Sen(B+C)
II. CosA = Cos(B+C)
III. SenB = -Sen(A+2B+C)
a) VVV b) VFV c) VFF
d) FVF e) FFF
40. Si :
2
c
b
a 


 y Sen(a + b) = - Senc
¿Cuál de los siguientes resultados es verdadero?
a) 0
4
c
4
2
Cos 





 


58. TRILCE
67
b) 0
4
c
4
Cos 





 


c) 0
2
c
4
Cos 





 

d) 0
4
c
4
Cos 





 

e) 0
)
c
4
(
Cos 


41. Calcule el valor de:
4
175
Sec
4
37
Tan
R 



a) 2
1
 b) 2
2 c) 2

d)  2 e) 2
1
42. El valor que asume la expresión:





 











 















 


6
Csc
)
(
Sec
2
3
Ctg
)
(
Tan
)
2
(
Cos
2
Sen
Cuando :
3


 es:
a)
13
1
3
3 
b)
13
3
3
1
c)
3
1
3
3 
d)
3
1
3
3 
e)
3
3
3
1
43. Sabiendo que:
1
2
77
Cos
2
55
Sen
m 


















Calcular:



 Ctg
Tan
E
en términos de m.
a) 2
m b)
2
m
 c) 2m
d)  m e) m
44. Si : º
1035
º
360
)
k
1
( 


 , Z
k 
El valor de : )
º
5
,
22
(
Sen 
 será:
a)
2
3
2  b)
2
3
2 
c)
2
2
2 

d)
2
2
2 
e)
2
2
2 
45. Qué relación existe entre a y b sabiendo que:
0
4
b
2
a
3
6
Ctg
8
b
3
a
2
Tan 





 








 
a)
2
1
b)
3
1
c)
4
1
d)
5
1
e)
6
1
46. Si : SenA  2CosA = 0
Entonces el valor de:
)
A
º
180
(
Cos
)
A
º
180
(
Csc
)
A
º
360
(
Sen
)
A
º
270
(
Ctg
)
A
º
180
(
Sec
)
A
º
90
(
Tan
E







es:
a)  5 b) 5 c)
4
5
d)
4
5
 e)  4
47. Hallar  sabiendo que está en el tercer cuadrante, es
positivo, mayor que una vuelta y menor que dos vueltas
y:
11
Sen
Cos 



a)
22
75
b)
22
73
c)
22
71
d)
22
69
e)
22
67
48. Si  es la medida de un ángulo agudo tal que:


 Sen
º
1996
Cos
Calcular el valor de:



 15
Sen
15
Csc
E
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
49. Sabiendo que:
Z
k
;
2
k
Tan
M 





 





Z
n
;
(-1)
n
Csc
N n 





 



Calcular:
MN
N
M
E
2
2


a) 
Sen
Tan b) 

 Sen
Tan
c) 
Cos
Ctg d) 

 Cos
Ctg
e) 1


59. Trigonometría
68
50. Del gráfico.
x
a
b
y
Determinar:
Cosb
Cosa
6
b
a
Cos
6
Senb
Sena
3
b
a
Sen
3
K







 







 

a)
2
1
 b)
3
1
 c)
4
1

d)
2
1
e)
3
1
51. Sabiendo que:
 




56
2
n
n
Cotx
2
)
x
)
1
(
!
n
(
Tan
Donde: IC
x 
Calcule: W = Secx . Tanx
a) 3
2 b) 6 c) 2
3
d) 6
2 e)
6
6
52. Si : ABCD: cuadrado
Calcule: 


 Tan
Tan
W
26º30'
P
B C
A D
 
N
M
a) 2 b) 1 c) - 2
d)  1 e)
2
3

53. Del gráfico calcule:
55
Cot
3
W 


Si: OA = OB
A
B
O
2
3
4

a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
54. Del gráfico, hallar " 
Cot " en función de "  ".
Si: AB = BC


B
C
A x
y
a) 1
Tan 
 b) 1
Tan 
 c) 1
Tan 


d) 1
Cot 

 e) 1
Cot 

55. Del gráfico, calcule: 
Cos

r
R
a)
R
2
r
b)
R
2
r
 c)
r
2
R
d)
r
2
R
 e)
r
4
R

56. En un triángulo ABC, se sabe que:
SenC
)
C
B
(
Cos
2
)
B
A
(
Sen 



Calcular:
C
4
Sen
B
4
Sen
A
4
Sen
1
A
2
Cos
C
2
Cos
B
2
Cos
1
W







a) 1 b) 2 c) 4
d)  1 e)
2
1

60. TRILCE
69
57. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo "  " que cumple:



 Cos
7
2
Sen
Si es mayor que 3 vueltas, pero menor que 4 vueltas.
a)
14
97
b)
14
101
c)
14
103
d)
14
95
e)
14
99
58. De acuerdo al gráfico, calcule:





 









 










 





6
Tan
4
3
Cos
3
2
Sen
K

 

y
x
a)
12
6
b)
12
3
c)
12
6

d)
12
3
 e)
6
6

59. Reduzca:



























2
79
Cos
5
)
82
(
Sen
4
2
57
Cot
3
)
57
(
Tan
2
G
a) 
Sec
9
5
b) 
 Sec
9
1
c) 
Sec
5
d) 
Csc e) 
 Csc
9
2
60. Señale el signo de cada una de las expresiones:
11
12
Tan
1
7
36
Cos
7
20
Sen
R






8
21
Cot
7
27
Csc
8
25
Sen
H 





5
9
Sec
9
44
Csc
G 



a) (+) ; () ; () b) (+) ; () ; (+)
c) (+) ; (+) ; (+) d) () ; () ; (+)
e) () ; (+) ; (+)

61. Trigonometría
70
Claves
Claves
c
c
c
e
d
b
e
b
a
a
b
d
d
d
b
d
e
d
b
d
d
b
a
c
c
c
d
e
b
d
b
a
a
c
b
e
e
e
b
b
e
a
e
d
c
a
a
b
a
a
b
d
b
e
b
b
d
c
c
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

62. TRILCE
71
Capítulo
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
7
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
DEFINICIÓN
Es aquella circunferencia canónica; es decir, con centro en el origen del sistema cartesiano; y con radio igual a la unidad del
sistema. En el gráfico adjunto, destacaremos los siguientes elementos:
A (1; 0) : origen de arcos
B (0; 1) : origen de complementos de arcos
A' (-1; 0) : origen de suplementos de arcos
B' (0; -1) : anónimo
El punto A(1;0) se denomina origen de arcos, ya que a partir de él se van a dibujar arcos orientados, con un signo
asociado, tan igual que en el caso de los ángulos trigonométricos; por ejemplo, en el gráfico:
 : es un arco positivo
(sentido antihorario)
 : es un arco negativo
(sentido horario)
Ahora bien, los puntos "M" y "N" se denominan extremos de arco; y dichos
arcos se denominarán arcos en posición nomal.
Si observamos en la siguiente C.T., notaremos que entre el arco y el ángulo central correspondiente, se cumple que
numéricamente son iguales; lo cual permitirá establecer una relación entre los números reales y el ángulo central
correspondiente, en radianes.
En el sector circular AOM; por longitud de un arco:
AOM = rad
 , esto es:
AOM (en rad) = AM (numéricamente)
Debido a esta relación, a cada arco le corresponde un ángulo central del mismo valor,
pero expresado en radianes.
y
B
x
A
A'
B'
R=1
C.T.
1
x + y =1
2 2
O
y
x
M
B
A' A


B'
N
1
O


y
x
C.T.
A'
O 1
A
M
N
1
rad
rad
B
B'

63. Trigonometría
72
Así mismo, podemos establecer: R.T. (  rad) = R.T. (  ) ; R


Con lo cual queda claro que las Razones Trigonométricas (R.T.) de un número real, son calculables al asociarles un ángulo
cuya medida está expresada en radianes, numéricamente igual considerado.
Es decir; por ejemplo:
Sen 2 = Sen 2 rad
Tan 3 = Tan 3 rad
Cos (-1) = Cos (-1 rad)
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Son segmentos dirigidos (de medida positiva o negativa) que van a representar el valor numérico de una Razón Trigonométrica
de un cierto número (expresado graficamente como un arco); así como también permitirán analizar las variaciones de estas
R.T., así como su comportamiento.
Para comenzar con el análisis, se recomienda tener en cuenta las siguientes observaciones para la ubicación de arcos.
a) Para arcos representados por números enteros:
x
y
O
C.T.
1,57=
2
3,14=
2 =6,28

O
4,71=
3
2

1
y
x
1
2
3
4 5
6
b) Para arcos con extremos en A, B, A' ó B' ( Z

n )
2
n
2
)
1
n
2
(
2
)
3
n
4
(
:
'
B
2
)
1
n
4
(
:
B
n
)
1
n
2
(
:
'
A
n
2
:
A






























I. Línea Seno.-
Representación: Variación :

2
0

 


2 2
3

 


2
2
3
Sen  0  1 1  0 0  -1 -1  0
Esto es:
1
Sen
1 


 ; R








1
:
mínimo
1
:
máximo
Sen
y
x
A; 0; 2 ; 4 ; ...
 
B':
A'
..., 3
3
2
 
2

2
; ; ; ....
B:

2

2

2
; ; ; ....
y
x
M
N
A' A
B
B'
-1
1
C.T.
(+)
(-)
(-)
Sen
(+)
Sen



64. TRILCE
73
II. Línea Coseno-
Representación: Variación :

2
0

 


2 2
3

 


2
2
3
Cos 1  0 0  -1 -1  0 0  1
Esto es:
1
Cos
1 


 ; R








1
:
mínimo
1
:
máximo
Cos
Observación:
Si consideramos el extremo de un arco cualquiera, notaremos que por ser un punto del plano cartesiano, tiene sus
propias componentes:
Por ejemplo, para "M" se nota que:
abscisa = Cos
ordenada = Sen 
Luego:
M = (Cos ; Sen )
De manera similar, las componentes de N son (Cos ; Sen )
III. Línea Tangente.-
Representación: Variación :

2
0

 


2 2
3

 


2
2
3
Tan  0     0 0     0
Esto es:
 < Tan  < 
No hay máximo, ni mínimo
(-)
Cos
(+)
Cos 

x
y
M
N
B'
B
A
A'
C.T.
1
-1
(-) (+)


y
x
M
N
A' A
B'
B
Cos
Cos
Sen
Sen
Sen
Cos
C.T.
T
P
A'
C.T.
B' N


B
y
x
(+)
(-)
A
Tan 
Tan 
M
O
Consideración:
La L.T. tangente no está definida para arcos cuyo extremo esté en B ó B'; lo cual significa que la R.T. tangente no se define para
todo arco de la forma: Z
n
;
2
)
1
n
2
( 



65. Trigonometría
74
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Poner el signo en:
I. Cos80º ( ) Cos 100º
II. Cos200º ( ) Cos 300º
III. Cosx ( ) Cos(x+20º)
x ; agudo
a) < ; < ; > b) > ; > ; <
c) > ; < ; > d) > ; < ; =
e) < ; > ; <
02. Poner el signo > ; < o = en:
I. Sen20º ( ) Sen80º
II. Cos10º ( ) Cos40º
III. Sen200º ( ) Sen300º
a) > ; > ; < b) < ; < ; <
c) > ; > ; > d) < ; > ; >
e) > ; < ; <
03. Indicar con "V" lo verdadero y con "F" lo falso:
I. Tg50º > Tg200º
II. Tg100º > Tg300º
III. Tg135º = Tg315º
a) VVV b) VFV c) FFV
d) FVF e) FFF
04. Determine el área de la región sombreada en la C.T.
A’ A
O
B
B’

y
x
a) Sen  b) -Cos  c) Sen  /2
d) -Cos  e) -Cos  /2
05. Determine el área de la región sombreada en la C.T.
A’ A
O
B
B’

y
x
a)
2
Sen
 b)
2
Cos
 c)
2
Cos
d)
2
Sen
e)
2
Cos
.
Sen 


06. Determine el área de la región sombreada en la C.T.
A’ A
O
B
B’

y
x
L
a) Tg  b)
2
Tg
c) -Tg 
d) 
2
Tg
e) -Tg2

07. Determine la variación de: 1
Sen
4
E 


a) ]
3
;
3
[ b) ]
4
;
4
[ c) ]
5
;
3
[
d) ]
3
;
5
[ e) ]
5
;
2
[
08. Determine la variación de: 3
Cos
2
A 2



a) [3,5] b) [1,5] c) [-3,5]
d) [-1,3] e) [-3,3]
09. Sabiendo que IIC

 .
¿Cuál es la variación de :
?
1
Sen
3
L 


a) 2
;
0 b) 2
;
1
 c) 3
;
0
d) 1
;
1
 e)  
2
;
4

10. Sabiendo que IIIC

 ; sabiendo la variación de:
1
Cos
2
L 


a)  
3
;
1
 b) 3
;
1
 c) 1
;
1

d) 3
;
0 e) 2
;
2

11. Calcular el producto del máximo y mínimo valor de:








 Sen
|
Cos
|
3
Sen
2
)
,
,
(
f 2
Siendo  ,  y  independientes entre sí.
a) 0 b) 4 c) 8
d)  8 e)  12

66. TRILCE
75
12. Hallar el área de la región sombreada en la C.T.
y
x
C.T.
150º
a)
2
4
1
4
3 








 b)
2
3
4
1 





 

c)
2
2
1
6






 

d)
2
2
1
2






 

e)
2
2
1
3






 

13. Sabiendo que:
4
;
4
x 


 ; señale la variación de:
1
x
Tan
3
L 2


a) 1
;
0 b)  1
;
0 c) 4
;
1
d)  4
;
1 e)  4
;
2
14. Sabiendo que: 


 2
x
¿Cuál es la variación de :
?
1
2
x
Cos
3
L 

a)  
2
;
4
 b) 2
;
4
 c) 1
;
4

d) 1
;
4 
 e)  
1
;
4

15. Siendo
24
5
;
8
x 


Señale la variación de:
1
4
x
2
Sen
2
4
L






 


a) 2
;
1 b) 4
;
1 c) 4
;
2
d) 6
;
3 e) 8
;
4
16. Sabiendo que 




 


8
7
;
24
17
x
Señale la variación de:
3
12
x
2
Cos
4
L 





 


a)  
3
;
1 b)  
3
;
1
 c)  
5
;
1
d)  
3
;
3
 e)  
6
;
3
17. Señale Verdadero (V) o falso (F), según corresponda
en:
I. Si:
2
x
x
0 2
1



  2
1
Tanx
Tanx 
II. Si: 




2
1
x
x
2
 2
1
Tanx
Tanx 
III. Si: 




2
x
x
2
3
2
1  2
1
Tanx
Tanx 
a) VVV b) VVF c) FFV
d) VFV e) VFF
18. Hallar todos los valores que debe tomar "K" para que la
igualdad no se verifique:
5
3
K
2
Sec 


a) 4
K
1
K 


 b) 4
K
1 


c) 4
K
1 

 d) 4
K
1
K 



e) 4
K
1
K 



19. En la C.T. calcular un valor de:



 Cos
Sen
K
y
x
L : y-2x+1=0
1
x +y =1
2 2

a)
5
3
b)
5
4
c)
5
7
d)
5
1
e) 1
20. Sabiendo que:
12
35
x
12
11 

Señale la variación de;
1
8
2
x
Cos
4
C 





 



a) [ 3 ; 2] b) [ 3 ; 3] c) [ 2 ; 3]
d) [ 5 ; 6] e) [ 3 ; 5]
21. Si:
2




 ; 




2
; 



 2
Calcular la suma del máximo y mínimo valor de :





 Sen
4
Cos
3
Sen
2
E

67. Trigonometría
76
a) 1 b) 2 c) 0
d)  1 e)  2
22. De las cuatro proposiciones, indicar dos que son
imposibles:
I. 2
x
Sen
3 2

II. mn
2
Cosx
)
n
m
( 2
2

 , R
n
m 

III. 2
2
2
2
n
m
Cscx
)
n
m
( 

 ; 0
n
m 

IV. 3
Secx 
a) I y II b) I y III c) II y IV
d) II , III e) III , IV
23. Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los siguientes
enunciados:
I. La función Seno y Coseno son negativos en el ter-
cer cuadrante y crecientes en el cuarto cuadrante.
II. No existe función trigonométrica alguna de un án-
gulo del segundo cuadrante que sea positivo y au-
mente a medida que el ángulo crece.
III. Sólo existe una función que puede tomar el valor
de 3,8 y ser positiva en el tercer cuadrante.
a) FFF b) VFF c) VFV
d) VVV e) VVF
24. Cuando el ángulo "x" aumenta de 90º a 180º.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) El Seno aumenta.
b) El Coseno aumenta.
c) El Cosecante aumenta.
d) La Secante disminuye.
e) La Cotangente aumenta.
25. En un círculo trigonométrico se tiene:





2
1
x
x
2
De las siguientes proposiciones:
I. 2
1
Senx
Senx 
II.
1
2
Cosx
Cosx 
III. 1
2
Cosx
Cosx 
Es o son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo II
c) Sólo III d) Sólo I y II
e) Las 3 son correctas
26. En la circunferencia trigonométrica, se pide indicar el
valor de DB
OC  , en función del ángulo "  "
O
A
B
C
D

a) 

 Tan
Sec b) 

 Tan
Sec
c)



Sen
Cos
1
d)



Sen
Cos
1
e) 

 Csc
Sec
27. En el círculo trigonométrico, calcular el área de la región
sombreada.
O

a) )
1
Cos
Sen
(
2
1 



b) )
1
Cos
Sen
(
2
1 



c) )
Cos
Sen
1
(
2
1 


d) )
Cos
2
1
(
2
1 

e) )
Sen
2
1
(
2
1 

28. Calcular BQ en el círculo trigonométrico adjunto en
función de "  "
O

B
Q
a) 
 Sen
1 b) 
 Sen
1
c) )
Sen
1
(
2 
 d) )
Sen
1
(
2 

e) )
Cos
1
(
2 


68. TRILCE
77
29. Evaluar:
)
k
(
Tan
)
k
(
Cos
)
k
(
Sen 




k: número entero no negativo.
a) 1
 b) 2 c) 1
d)
k
)
1
( e)  1
30. Si  es un arco del segundo cuadrante, positivo menor
que una vuelta.
Hallar la extensión de:
)
(
Cos 


Si :
4
6





a)
2
1
)
(
Cos
2
1 





b)
2
1
)
(
Cos
1 






c)
2
1
)
(
Cos
2
2







d)
2
3
)
(
Cos
1 






e)
2
2
)
(
Cos
2
3







31. De las siguientes proposiciones:
I. Si : 0
x
x
2 2
1




 entonces:
2
1
x
Sen
x
Sen 
II. Si : 0
x
x
2 2
1




 entonces:
1
2
Senx
Senx 
III. Ctgx
Cosx
Tanx
Senx


Es positivo en el primer y tercer cuadrante y negativo
en el segundo y cuarto cuadrante.
Son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo II y III
d) Sólo III e) I , II y III
32. El mínimo valor de la función:
x
Tg
f 2
)
x
(  ;





 


6
5
;
3
x es :
a) 0 b)
3
1
c) 3
d) No existe mínimo f e) 1
33. Si: 




 



3
;
6
para que valores de "x" se cumple
que:
2
x
3
Sen
)
1
x
( 2




a) 







14
9
;
9
14
b) 







13
9
;
9
13
c) 







16
9
;
9
16
d) 







11
9
;
9
11
e) 







10
9
;
9
10
34. En la figura mostrada, halle el área de la región
triangular OQP
.
y
x

O
Q
P
(0;1)
(1;0)
a)
4
Cos
Sen 

 b)
8
Cos
Sen 


c)
16
Cos
Sen 

 d)
2
Cos
Sen 


e) 

 Cos
Sen
35. En la figura siguiente, calcular el área de la región
sombreada.
y
x

x +y =1
2 2
3
1
3
x
y 

a) 2
)
(
Cos 

 b)
2
)
(
Cos
2
1 


c)
2
)
(
Cos
3
1 

 d)
2
)
(
Cos
2
1 

e)
2
)
(
Cos
2
1 

36. En el círculo trigonométrico mostrado, halle el área de
la región sombreada.
y
x
O A
B
C
D


69. Trigonometría
78
a)
2
Sen2

b)
2
Tan
2

c)
2
Sen
Tan 

d)
2
Sen
Tan
2


e)
2
Sen
Tan
2


37. Según la figura, sólo una de las siguientes afirmaciones
es Verdadera para:
2
x
0 


y
x
O A
B
C
D
x
C.T.
a) Tanx
2
x
x
2
Sen 

b) Tanx
x
2
SenxCosx 

c) Cosx
x
Senx 

d) Senx
x
Cosx 

e) Tanx
x
SenxCosx 

38. Señale la variación de:
1
Sen
4
Tan
4
M
3






 


a) [5 ; 4] b) [4 ; 5] c) [3 ; 3]
d) [6 ; 4] e) [3 ; 5]
39. Señale la variación de:
2
Senx
x
Sen
1
Senx
x
Sen
M
2
2





a) 





2
3
;
7
3
b) 





4
3
;
7
3
c) 





7
4
;
7
2
d) 





1
;
7
3
e) 





4
3
;
7
1
40. Señale Verdadero (V) o Falso (F), según corresponda
en:
I. 2
1
2
1
x
x
/
2
;
0
x
;
x 


 y
)
Tanx
(
Sen
)
Tanx
(
Sen
2
1

II.
2
1
2
1
x
x
/
2
;
0
x
;
x 


 y
)
Senx
(
Tan
)
Senx
(
Tan
2
1

III.
2
1
2
1
x
x
/
2
;
0
x
;
x 


 y
)
Tanx
(
Cos
)
Tanx
(
Cos
2
1

a) VFV b) VVF c) FFV
d) FFF e) FVF
41. En la C.T. mostrada:
2
1
S
S
y
x
S2
S1
A
A'
B
B'

a)
2
)
1
Tan
Sec
(
Tan
2
1 





b)
2
)
1
Tan
Sec
(
Cos
2
1 





c)
2
)
1
Tan
Sec
(
Tan
2
1 




d)
2
)
1
Tan
Sec
(
Tan
2
1 





e)
2
)
1
Tan
Sec
(
Cos
2
1 





42. En la C.T. mostrada:
17
15
S
S
2
1 
Calcular: "S"
y
x
S1
A
A'
B
B'
S O Q
N
S2
T
S
a)
2
7
15  b)
2
17
12  c)
2
17
14 
d)
2
17
16  e)
2
17
20 

70. TRILCE
79
43. Señale Verdadero (V) o Falso (F) en:
I. Cos(Sen1) < Cos(Sen2)
II. Sen(Cos2) > Sen(Cos3)
III. |Tan(Sen4)| > |Tan(Sen5)|
a) VVF b) VFV c) FFV
d) FVF e) FVV
44. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda
en:
I. Sec (Sen1) > Sec(Sen2)
II. Sec(Cos1) > Sec(Cos2)
III Si : 







 Tan
Sec
2
a) FFF b) FFV c) VFV
d) FVF e) VVF
45. Del gráfico mostrado, hallar las coordenadas de P
.
y
x

x +y =1
2 2
P
a) 











Tan
1
Tan
;
Tan
1
Tan
b) 










 Tan
1
Tan
;
Tan
1
1
c) 










 Tan
1
Tan
;
Tan
1
1
d) 










 Tan
1
Tan
;
Tan
1
1
e) 









 Tan
1
Tan
;
Tan
1
1
46. Sabiendo que:




 Tan
Cot
2
Cot
Señale la variación de:
1
|
Sen
|
3
L 


a) [0 ; 2] b) [1 ; 2] c)  2
;
1
d) 
2
;
1 e) 
3
;
1
47. Sabiendo que: 





 2
2
3
Señale Verdadero (V) o Falso (F), según corresponda
en:
I. 

 Tan
Tan
II.    


 Sen
Tan
Sen
Tan
III. )
Cos
2
(
Tan
)
Cos
2
(
Tan 




a) FVF b) VVF c) FFV
d) FFF e) FVV
48. En la circunferencia trigonométrica mostrada, hallar el
área de la región sombreada, si AB
//
MN
y
x
A
A'
B'
B
C.T
N
M

a) 
Cov
Vers b) 
Cos
Vers
2
1
c) 
Cov
Vers
2
1
d) 
Sen
Cov
2
1
e) 
Cos
Vers
4
1
49. En la C.T. mostrada, calcular:



 Ctg
)
S
2
(
M
S: área de la región sombreada.
S
x
y
x +y =1
2 2

A
O
B
a)
4
1
b)
2
1
c) 2
d) 1 e)
3
2

71. Trigonometría
80
50. Siendo x un arco perteneciente al intervalo 0)
;
( 

Además:
2
3
Senx
1 



Hallar la variación de:
1
6
2
x
Tan
3
K 





 


a) 2
;
1 b) 2
;
2 c) 2
;
2
1
d) 1
;
2
1
e) 2
3
;
2
2
51. Dado: 

 



6
11
;
6
Calcular la variación de:



 Cos
Cos
T 2
a)







 
4
3
2
3
;
0 b)







 

4
3
2
3
;
4
1
d)







 

4
3
3
;
2
1
d)







 
2
1
;
4
3
3
e) 





2
1
;
0
52. Si: 



 2
Además:
4
15
Cos
4
7




Hallar la extensión de: 
2
Tan
a) 
;
7
9
b) 



;
15
1
c)  
;
5
1
d)  
;
7 e)  
;
7
53. Calcular el valor de 
Tan , para el cual:



 Tan
Csc
y
2
x
3 , toma su valor máximo,
, siendo x e y
las coordenadas del punto P
.
Además : 2AP = 3TP
y
x

x +y =1
2 2
A
P
T
a) 6
 b)
3
6
 c)
4
6

d)
2
6
 e)
3
6
2

54. Sabiendo que:
24
5
;
24
x 



Señale la variación de :
1
x
2
4
3
Csc
2
L 









a) 
4
;
2 b)  4
;
1 c) 
4
;
1
d) 
3
;
1 e)  3
;
1
55. En la C.T. mostrada, las áreas de las regiones sombreadas
son iguales.
Calcular: 


 3
Tan
Tan
L
y
x

A
B'
M
N
Q
S
P
A'
a)  2 b)  4 c)  3
d)  6 e)  8
56. En la C.T. mostrada, hallar: 
Tan
Si : MP es una vertical de longitud igual al diámetro de
la C.T. y además OQ = 0,5
y
x
A
B'
A'
C.T.
O
Q
B
M
P

a) 10
3
2
b) 10
2
3
c) 10
4
3
d) 10
5
3
e) 10
5
2
jhsf

72. TRILCE
81
57. Si en la C.T. mostrada, el área de la región sombreada
es igual a 2
2 .
Calcular: 


 2
2
Cos
Sec
L
y
x
B'
M
A' A
O
S
 B
a) 16 b) 8 c) 6
d) 18 e) 24
58. Del gráfico, hallar MN :
y
x
O
C.T.


M N
a)






Cos
Cos
Sen
Sen
b)






Cos
Sen
Sen
Sen
c)





Cos
Cos
Cos
Cos
d)






Sen
Sen
Cos
Cos
e)







Sen
Sen
)
Cos
Cos
(
Sen
59. De la figura, "G" es el baricentro del triángulo OPQ.
Calcular la ecuación de la recta que pasa por G y por el
origen del sistema de coordenadas, en términos de 
y  .
y
x
x +y =1
2 2
O
Q
P


a) x
2
Tan
y 





 



b) x
2
Tan
y 





 



c) x
)
(
Tan
y 




d) x
2
Cot
y 





 



e) x
)
(
Ctg
y 




60. Si "S" representa el área de la región sombreada,
reduzca:




 2
3
2
Sen
)
Cos
S
(
Sen
E
y
x
O
C.T.

y=x2
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e)
2
1

73. Trigonometría
82
Claves
Claves
361.
362.
363.
364.
365.
366.
367.
368.
369.
370.
371.
372.
373.
374.
375.
376.
377.
378.
379.
380.
381.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
388.
389.
390.
c
d
b
a
b
b
d
a
b
c
e
a
d
d
c
c
d
c
c
b
a
b
b
c
e
c
b
c
d
b
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.
401.
402.
403.
404.
405.
406.
407.
408.
409.
410.
411.
412.
413.
414.
415.
416.
417.
418.
419.
420.
a
b
d
e
c
e
e
e
b
d
a
b
d
d
e
d
e
a
d
a
b
b
d
e
a
c
d
e
b
b

74. TRILCE
83
Capítulo
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE UNA VARIABLE
8
* DEFINICIÓN: Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una variable; las cuales se verifican para
todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida.
* CLASIFICACIÓN:
I. I. T. RECÍPROCAS:





































Z
n
;
2
n
R
x
;
Tanx
1
Cotx
1
TanxCotx
Z
n
;
2
1)
(2n
R
x
;
Cosx
1
Secx
1
CosxSecx
}
Z
n
;
{n
R
x
;
Senx
1
Cscx
1
SenxCscx
II. I. T. POR DIVISIÓN:












 Z
n
;
2
)
1
n
2
(
R
x
;
Cosx
Senx
Tanx }
Z
n
;
n
{
R
x
;
Senx
Cosx
Cotx 





III. I. T. PITÁGORAS:




















































1
x
Csc
x
Cot
1
x
Cot
x
sc
C
Z
n
;
n
R
x
;
1
x
Cot
x
Csc
1
x
Sec
x
Tan
1
x
Tan
x
Sec
Z
n
;
2
1)
(2n
R
x
;
1
x
Tan
x
Sec
x
Sen
1
x
Cos
x
Cos
1
x
Sen
R
x
;
1
x
Cos
x
Sen
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

75. Trigonometría
84
IV. I. T. AUXILIARES:
Z
n
;
n
R
x
;
m
1
Cotx
Cscx
m
Cotx
Cscx
:
Si
Z
n
;
2
)
1
n
2
(
R
x
;
n
1
Tanx
Secx
n
Tanx
Secx
:
Si
c
b
osx
C
c
a
nx
Se
:
Entonces
b
a
c
c
bCosx
nx
aSe
:
Si
R
x
;
Senx)(1 Cosx)

2(1
)
Cosx
Senx
1
(
R
x
;
x
xCos
Sen
3
1
x
Cos
x
Sen
R
x
;
x
xCos
Sen
2
1
x
Cos
x
Sen
Z
n
;
2
n
R
x
;
x
xCsc
Sec
x
Csc
x
Sec
Z
n
;
2
n
R
x
;
SecxCscx
Cotx
Tanx
2
2
2
2
2
6
6
2
2
4
4
2
2
2
2













































































1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

76. TRILCE
85
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Reducir:
E = (1+Cosx)(Cscx-Ctgx)
a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Secx e) Cscx
02. Simplificar:
Ctgx
Tgx
Secx
Cosx
Cscx
Senx
E 


a) 1 b) x
Sec2 c) x
Csc2
d) Secx e) Cscx
03. Simplificar:
Cosx
.
Senx
1
)
Cosx
Senx
(
E
2



a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) 0
04. Determinar "k" en:
k
2
Senx
1
Cosx
Senx
1
Cosx 



a) x
Cos2 b) SenxCosx c) Senx
d) Cosx e) x
2
Sen
05. Reducir: Senx
)]
Tgx
1
(
Ctgx
)
1
Ctgx
(
Tgx
[
E 



a) 1 b) Ctgx c) Cosx
d) Tgx e) Secx
06. Simplificar:
Cosx
1
1
Cosx
1
1
E




a) 2 b) 2Secx c) 2Cscx
d) x
Sec
2 2 e) x
Csc
2 2
07. Simplificar: Tgx
Tgx
Secx
1
E 


a) Secx b) Cosx c) Cscx
d) Ctgx e) 2Tgx
08. Simplificar: )
IC
x
(
Senx
Senx
SenxCosx
2
1
E 



a) Senx b) Cosx c) 1
d) Tgx e) Ctgx
09. Reducir:
Senx
Ctgx
Cscx
.
Secx
E


a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Secx e) Cscx
10. Simplificar:
1
Cos
x
Sen
1
x
Cos
x
Sen
E
6
6
4
4





a) 5/3 b) -1 c) 2/3
d) 3/4 e) 1/3
11. Reducir: )
x
Cos
x
Sen
(
2
)
x
Cos
x
Sen
(
3
E 6
6
4
4




a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
12. Eliminar "x" a partir de: Senx = m, Cosx = n
a) 1
n
m 2
2

 b) 5
n
m 2
2


c) 3
n
m 2
2

 d) 7
n
m 2
2


e) N.A.
13. Si: Senx+Cosx = m
Calcular: E = (1+Senx)(1+Cosx)
a)
2
m
1 2

b)
2
m
1 2

c)
2
)
m
1
( 2

d)
2
)
m
1
( 2

e) 1+m
14. Si: Tgx+Ctgx = 3
Calcular: E = Secx+Cscx
a) 3 b) 9 c) 11
d) 15 e) 17
15. Reducir: E = (Tgx+Ctgx)Cosx
a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Secx e) Cscx
16. Determinar "x" para que la igualdad:
x
1
Cot
1
Tan
1
Cos
1
2
2
2






Sea una identidad
a) 
2
Sen b) 
2
Cos c) 
2
Tan
d) Secx e) Cscx
17. Reducir: Tgx
Senx
1
Cosx
E 


a) Senx b) Cscx c) Secx
d) Tgx e) Ctgx

77. Trigonometría
86
18. Si la igualdad es una identidad
Calcular: M+N
x
Ctg
4
M
Ctgx
Cscx
Ctgx
Cscx
Ctgx
Cscx
Ctgx
Cscx N







a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
19. Hallar A en la siguiente identidad:
1
Cscx
A
Senx
1
Senx
1




a) x
Sen2 b) x
Cos2
c) x
Tg2
d) x
Ctg2
e) x
Sec2
20. Eliminar "x" a partir de:
Tgx + Ctgx = a
Tgx - Ctgx = b
a) 3
b
a 2
2

 b) 3
b
a 2
2


c) 4
b
a 2
2

 d) 4
b
a 2
2


e) 8
b
a 2
2


21. Si:
6
7
Cosx
Senx 

Calcular :
C = Senx Cosx
a)
7
1
b)
6
1
c)
14
1
d)
12
1
e)
9
1
22. Si: 2
3
Cotx
Tanx 

Calcular:
x
Csc
x
Sec
C 2
2


a) 9 b) 12 c) 16
d) 18 e) 36
23. Simplificar:
Senx
CosxCotx
Cosx
SenxTanx
C



a) 1 b) Tanx c) Cotx
d) x
Tan2
e) x
Cot2
24. Reducir:
Cosx
Senx
x
Cos
x
Sen
C
4
4



a) 1 b) Senx c) Cosx
d) Senx + Cosx e) Senx - Cosx
25. Simplificar:
x
Sen
)
x
Cot
1
(
x
Cos
)
x
Tan
1
(
C 4
2
4
2




a) 1 b) x
xCos
Sen 2
2
c) x
Sen2 d) x
Cos2
e) 2
26. Simplificar:
C = (Secx Cscx - Cotx) (Secx Cscx - Tanx)
a) 1 b) x
Tan2 c) x
Cot2
d) SenxCosx e) Secx Cscx
27. Si:
9
7
x
Cos
x
Sen 4
4 

Calcular: x
Cos
x
Sen
C 6
6


a)
3
1
b)
3
2
c)
9
1
d)
9
2
e)
9
4
28. Eliminar "x" de:
Senx + Cosx = m ; Tanx + Cotx = n
a) 2
)
1
m
(
n 2

 b) 2
)
1
n
(
m 2


c) 1
)
1
m
(
n 2

 d) 4
)
1
m
(
n 2
2


e) 2
)
1
m
(
n 2
2


29. Demostrar las siguientes igualdades:
1.1 Senx Cotx + Cosx Tanx = Senx + Cosx
1.2 SenxCosx
2
xTanx
Cos
xCotx
Sen 2
2


1.3 )
1
x
Csc
(
)
x
Sen
1
)(
1
x
Sec
( 2
2
2




1
)
x
Cos
1
( 2


1.4 1
1
Cotx
Cosx
Senx
1
Tanx
Cosx
Senx
2
2


















1.5 Cotx
x
Cos
Cosx
x
Sen
Senx
3
3



30. Reducir: 3
Senx
Cscx
Cosx
Secx
W



a)
2
Cotx
b) Secx c) Cscx
d) Tanx e) Senx
31. Si:
2
1
a
Cos
a
Sen 2
2 

Entonces : Tana + Cota es:
a)
3
10
b)
3
3
4
c)
10
2
13

78. TRILCE
87
d)
4
3
3
e)
13
10
2
32. Si:
)
Cosx
1
)(
Senx
1
(
A
)
Cosx
Senx
1
( 2





Calcular: "A"
a) 1 b) 2 c)  1
d)  2 e) 4
33. Hallar el valor numérico de la expresión:
T = (Tan35º + Tan55º) (Sen35º + Sen55º + 1)
(Cos35º + Cos55º - 1)
a) 1 b) 2 c)  2
d) 2 e) 2

34. Si:
2
5
Csca
Sena 

Calcular : E = Cota + Cosa
a) 3
3 b) 3
2 c)
2
3
3
d)
3
3
2
e)
3
3
35. Si: 



 Cos
4
Sen
Entonces el valor de:












Cot
Tan
2
1
Tan , es :
a)  1 b) 1 c) 3
d) 3
 e)
3
3
36. Calcular:
B
Sen
A
Cos 2
2

Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios
a)  1 b)
2
1
 c) 0
d)
2
1
e) 1
37. Si: x
Csc
x
Sec
)
x
Cot
x
Tan
(
f 4
4
2
2



Calcular: f (2) + f (3)
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
38. Si: 7
x
Csc
x
Sec 2
2


Calcular:
)
x
Cot
x
Csc
)(
x
Tan
x
Sec
(
C 2
2
2
2



a) 13 b) 14 c) 22
d) 16 e) 15
39. Si:
2
1
Cos
Sen
Cos
2
1 2






Entonces el valor de:


 Cos
Sen
E , es:
a)
4
1
b)
8
1
c)
8
3
d)
4
3
e)
2
1
40. Reducir:
)
Cotx
Tanx
)(
1
x
Cos
x
Sen
(
C 6
6




a) SenxCosx b) 3SenxCosx
c) - 3SenxCosx d) - 3
e) 3
41. Si: Tanx + Cotx = 2 y
Cotx
Tanx
x
n
Cot
x
n
Tan
x
n
Cot
x
n
Tan
n
n
x
Cot
x
Tan
E






Siendo "n" potencia de 2; entonces el valor de 2
E es :
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32
42. Si: Senx  Cosy = 0,5
Hallar : Cosy
y
Cos
x
Cos
P 2
2



a)
4
5
b)
4
3
c)
2
1
d)
2
3
e)
4
1
43. Calcular: 
Tan
Si: b
a
;
b
a
ab
bSen
aCos 4
4 





a)
b
a
b)
a
b
c)
b
a

d)
b
a
 e) ab
44. Dado:
Secy
2
Tanx
2
1 

Secx
2
Tany
2
1 

Calcular: E = Secx + Secy
a)
2
2
b) 1
2  c)
2
2
3
d)
3
2
e) 1
2 

79. Trigonometría
88
45. El valor de "E" en la identidad:




 Sen
ECos
Sen 2
3





 




2
;
2
, es :
a) 
2
Sen b) 
2
Cos c) 

 Cos
Sen
d) 
Cos e) 
Sen
46. Hallar el valor de "B" sabiendo que:







Cos
Sen
Cos
Sen
TanA


 Cos
-
Sen
BSenA
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2 e) 5
47. Si:
m
n
Tana 
Entonces:
n (2Cosa + Seca) - 2mSena
Es igual a:
a) mCosa b) mSeca c) mn
d) nSeca e) nCosa
48. Si : 2
x
Sec
x
Cos
a 2
2
2



Encontrar el valor de:
C = Senx Tanx + 2Cosx
a) 2
a2
 b) 2
a2

 c) a
d) a
 e) a

49. Si: nTanx
x
Sec2

Hallar:
3
3
3
)
Cosx
Senx
(
x
Cos
x
Sen
C



a)
2
n
1
n


b)
1
n
2
n


c)
2
n
1
n


d)
1
n
2
n


e)
1
n
2
n


50. Simplificar la expresión:
Senx
1
Cosx
1
Senx
1
Cosx
1
K





 ;
2
3
x 



a) 2
 b) Secx
2

c) Secx
2 d) Cosx
2
e) Cosx
2

51. Si: P
, Q y R son constantes que satisfacen la relación:
1
Cscx
1
Senx
1
1
x
QTan
P R





Calcular: P . Q . R
a)  6 b) 2 c) 4
d) 8 e) 12
52. Si:
2
4





y
9
7
Cos
Sen 4
4 



Calcular: 


 Cos
Sen
C
a) 3 b) 5 c)
3
3

d)
3
2
e)
3
3
53. Calcular el mínimo valor de:
x
Csc
x
Sec
E 4
4


a) 6 b) 4 c) 8
d) 10 e) 12
54. Hallar: y = Senx Cosx
Si:Tanx - Senx = 1
a) 2
1 
 b) 2
1 c) 2
1
d) 1
2  e) 2
55. Sabiendo que  es un ángulo agudo el cual satisface
la ecuación:
5
Csc
Ctg 



Determine el valor de la expresión :


 Sen
26
Tg
24
a) 10 b) 20 c) 15
d)
12
5
e)
13
5
56. Siendo: 2
Cotx
Tanx 

Calcular:
x
xCot
Cos
x
Tan
x
Sen
C 2
4
2
4



a)
3
5
b)
3
7
c) 2
d) 3 e)
3
4
57. Siendo: Senx + Cosx = n
Hallar:
1
Cotx
Cscx
1
Cotx
Cscx
1
Tanx
Secx
1
Tanx
Secx
C










a)
1
n
2

b)
1
n
2

c)
1
n
2
2

d)
1
n
2
2

e)
1
n
1


80. TRILCE
89
58. Siendo: Tanx + Cotx = 3
Calcular:
Cosx
Senx
x
Cos
x
Sen
S
7
7



a)
27
13
b)
27
19
c)
27
29
d)
27
25
e)
27
31
59. Siendo:
2
Cotx
Tanx 

Calcular:
Cscx
Secx
x
Csc
x
Sec
C
5
5



a) )
6
5
(
3  b) )
6
5
(
6 
c) )
6
3
(
6  d) )
6
3
(
3 
e) )
6
3
(
5 
60. Sabiendo que:
IVC
x
;
n
Cosx
Senx 


Reducir:
Cosx
1
Cosx
1
Senx
1
Senx
1
C






a)
1
n
1

b)
1
n
1

c)
1
n
2

d)
1
n
2

e)
1
n
2
2


81. Trigonometría
90
Claves
Claves
b
b
c
d
e
e
a
e
d
c
ba
c
d
e
a
c
d
d
c
d
d
b
d
a
a
b
a
-
d
b
b
b
b
c
e
d
e
c
c
b
b
e
c
e
b
d
e
c
b
c
e
c
d
b
b
b
c
b
d
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

82. TRILCE
9 1
Capítulo
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE
LA SUMA Y DIFERENCIA DE VARIABLES
9
I. Para la Suma:
Tany
Tanx
1
Tany
Tanx
)
y
x
(
Tan
Seny
Senx
Cosy
Cosx
)
y
x
(
Cos
Cosx
Seny
Cosy
Senx
)
y
x
(
Sen















II. Para la Diferencia:
Tany
Tanx
1
Tany
Tanx
)
y
x
(
Tan
Seny
Senx
Cosy
Cosx
)
y
x
(
Cos
Cosx
Seny
Cosy
Senx
)
y
x
(
Sen















PROPIEDADES:
I.
y
Sen
x
Cos
)
y
x
(
Cos
)
y
x
(
Cos
y
Sen
x
Sen
)
y
x
(
Sen
)
y
x
(
Sen
2
2
2
2










II.
Cosy
Cosx
)
y
x
(
Sen
Tany
Tanx




III.
:
donde
;
)
x
(
Sen
b
a
K
R
b
,
a
bCosx
aSenx
K
:
Si
2
2









 
b
a
a + b
2 2

IV.
2
2
mín
2
2
máx
b
a
L
b
a
L
R
x
,
b
,
a
;
bCosx
aSenx
L
:
Si









Donde :
a b : constantes
x : variables

83. Trigonometría
9 2
V.
)
y
x
(
Tan
)
y
x
(
Tan
Tany
Tanx
Tany
Tanx 






ó
)
y
x
(
Tan
)
y
x
(
Tan
Tany
Tanx
Tany
Tanx 






IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA TRES ÁNGULOS
* Propiedades:
I.
1
Ctgz Ctgx
·
Ctgy Ctgz
·
ii) Ctgx Ctgy
·
Tanx · Tany · Tanz
Tanz
Tany
i) Tanx
Z
n
;
n
ó
z
y
x
:
Si













II.
ii) Tan x · Tany + Tany · Tanz + Tanz · Tanx = 1
i) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgz
Z
n
;
2
1)
(2n
ó
2
z
y
x
:
Si









84. TRILCE
9 3
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Reducir:
J = Sen(30º+x)+Sen(30º-x)
a) 2Senx b) Cosx c) 2Cosx
d) Senx e) Senx
3
02. Reducir: J = Cos(45º+x)+Cos(45º-x)
a) Cosx b) Senx c) Cosx
2
d) Cosx
3 e)
2
2
03. Halle un valor agudo de "x" que verifique:
2
1
Senx
.
x
4
Sen
Cosx
.
x
4
Cos 

a) 6º b) 12º c) 18º
d) 21º e) 24º
04. Halle un valor agudo de "x" para que cumpla:
Sen4x.Cosx-Senx.Cos4x = 0,5
a) 5º b) 10º c) 15º
d) 20º e) 30º
05. Si: Tgx = 2  Tgy = 3
Calcular: Tg(x+y)
a) 1 b) -1 c) 2
d) -1/2 e) -2
06. Si:
5
2
Tan
;
3
1
Tan 



Calcular: )
(
Tan 


a) 1/7 b) -1/7 c) 1/17
d) -1/17 e) -1/19
07. Hallar el valor de: Sen7º
a)
10
4
3
3 
b)
10
4
3
3 
c)
10
3
3
4 
d)
5
4
3
3 
e)
2
4
3
3 
08. Calcular: Tg8º
a) 1/3 b) 1/5 c) 1/7
d) 1/9 e) 1/11
09. Si:
25
24
Senz
y
5
3
Senx 

Calcular: E =Sen(x+z); x  z son agudos.
a)
225
127
b)
117
125
c)
222
117
d)
125
117
e)
25
39
10. Simplificar:
)
x
º
30
(
Sen
)
x
º
30
(
Sen
)
x
º
30
(
Cos
)
x
º
30
(
Cos
M







a) 1 b) 2 c) 3
d)
3
3
e) 3
3
11. Sabiendo que:
Sen(2x+y)Cos(x-y)+Sen(x-y)
Cos(2x+y) =
5
4
Calcular: Ctg3x
a) 3/4 b) 4/3 c) 4/5
d) 5/4 e) 3/5
12. Obtener: Sen23º
a)
10
3
b)
10
4
3
3 
c)
10
4
3
3 
d)
10
3
3
4 
e)
10
3
3
4 
13. Del gráfico mostrado, calcular: "x".
x
1
4
37º
a) 17/13 b) 13/17 c) 51/13
d) 13/51 e) 3
14. Si:
Cosx
3
Senx
2 
Calcular: Tg(45º-x)
a) 1/4 b) 1/5 c) 5/3
d) 5 e) 3/7

85. Trigonometría
9 4
15. Hallar: )
x
º
45
(
Sen
2
M 

a) Cosx-Senx b) Senx-Cosx
c) Cosx+Senx d) 2(Cosx-Senx)
e)
2
2
16. Simplificar:
L=(Sen3x+Cos3x)(Sen2x+Cos2x)-Sen5x
a) Cosx b) Cos2x c) Cos3x
d) Cos4x e) Cos5x
17. Reducir:
º
40
Cos
º
10
Sen
2
º
50
Sen
C 

a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10º
d) Cot45º e) Sen30º
18. Si:
)
º
45
x
(
Cos
2
)
º
37
x
(
Sen
5 


Hallar : Cotx
a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37º
d) Csc37º e) 1
19. Simplificar:













Sen
Sen
)
(
Cos
Cos
Sen
)
(
Sen
C
a) 
Tan b) 
Tan c) 
Cot
d) 
Cot e) 1
20. Simplificar:
º
10
Sen
º
30
Sen
º
40
Cos
º
30
Cos
º
10
Sen
º
40
Sen
J



a) 3 b) 1 c)
3
3
e) 2 e)
3
3
2
21. Siendo:
x + y = 30º ; x  y = 37º
Calcular:
J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy)
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3
d) 1,4 e) 1,5
22. Del gráfico, calcular: 
Tan
37º
B
A
C
M

a)
16
3
b)
17
6
c)
19
7
d)
17
12
e)
19
14
23. Del gráfico, calcular: 
Tan

37º
A
B C
D
P
a)  4 b)  8 c)  16
d)  9 e) 32
24. Siendo: º
60




Calcular:
2
2
)
Sen
Sen
(
)
Cos
Cos
(
C 







a) 3
2  b) )
3
2
(
2  c) )
3
2
(
3 
d) 3
2  e) 3
25. Siendo:
x + y = 60º ;
4
3
Tany 
Calcular :
)
y
x
(
Tan
)
TanxTany
1
(
M 


a)
28
3
b)
28
3
5
c)
28
3
3
d)
14
3
3
e)
14
3
5

86. TRILCE
9 5
26. Señale el valor máximo que toma la expresión:
C = (Sen3x + Cos3x) (Sen2x  Cos2x) + Senx
a) 1 b) 1
2 c)  1
d) 1
4 e)
1
3
2







27. Sabiendo que:
Senx - 5Cosx = 0 ; 2Seny + 3Cosy = 0
Donde: IIC
y
;
IIIC
x 

Calcular:
L = Sen(x + y) + Cos(x  y)
a) 2
13
3
b) 2
13
6
c) 2
13
6

d) 2
13
3
 e) 2
13
5

28. Si:
5
3
)
c
b
a
(
Tan 

 y Tanb = 3
Calcular:
Tan (a  b + c)
a)
7
6
 b)
7
21
c)
11
27
d)
17
29
 e)
27
11

29. Si: A + B + C = 180º
El valor de:
E = TanA+ TanB+TanC  TanA TanB TanC
a) 1 b)  1 c) 2
d) 0 e)  2
30. Si x e y son ángulos complementarios (x > 0º),
encontrar el valor de "m" de modo que se verifique la
identidad.














 2
x
Tan
1
2
y
Tg
1
m
a) 1 b) 2 c)
2
x
Tan
d)
2
y
Tan e)
2
y
Tan
2
x
Tan
31. Hallar TanA en un  ABC, cuyos ángulos cumplen:
SenA = nSenB SenC
CosA = nCosB CosC
a) n b) 2
n c) n  1
d) 1
n2
 e) n + 1
32. Simplificar:
)
(
Ctg
Tan
1
)
(
Ctg
1
Tan
P











a) 

 Tan
Tan b) 

 Tan
Tan
c) 
Ctg d) 
Tan
e) 
Ctg
33. Calcular el valor de:
Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º
a) 2
2  b) 2
1
c)
2
2
1
d)
2
2
e) 1
34. Simplificar la siguiente expresión:
a
2
Ctg
a
5
Ctg
1
a
2
Tan
a
5
Tan
1



a)
a
3
Sen
a
7
Cos
b)
a
7
Sen
a
3
Cos
c) Ctg7a
d) Ctg3a e)
a
7
Sen
a
3
Sen
35. A partir de la figura, hallar "x".
x
7
2 3
30º
a) 3 b) 3 c) 4
d) 6 e) 7
36. Calcular: Sen75º + Cos75º
a)
2
6
b)
3
3
2
c)
2
2
6 
d)
3
6
e)
2
2
6 
37. Si:
b
a
b
a
)
y
x
(
Tan



 ; Tan(y  z) = 1
Entonces: Tan(x  z) es igual a:
a)
b
a
b)
a
b
c)
b
a
b
a



87. Trigonometría
9 6
d)
b
a
b
a


e)
a
b
a 
38. Los ángulos  ,  y  satisfacen la relación:








 Tan
Tan
Tan
Tan
Tan
Tan
Hallar la suma de: 




(K : Número entero)
a) 0 b) 
k
2 c) 

 k
2
d) 

 k
4
e) 
k
39. En la siguiente figura, la medida del lado x es:
x
2
6
4



a) 6
4 b) 23
4 c) 13
4
d) 17
3 e) 6
3
40. Hallar el valor de:





 

2
x
y
Cos
)
Seny
Cosx
(
Sabiendo que:
Rad
12
5
y
,
Rad
12
7
x 



a)
2
)
6
2
( 
 b)
4
)
3
3
( 

c) 0 d)
4
3
3 
e)
2
2
3 
41. El valor de la expresión:
(Tan80º  Tan10º) Ctg70º es :
a) 1 b)  1 c) 2
d)  2 e) 0
42. Nos situamos a una distancia de 500 metros de un
edificio de 100m de altura, que tiene 25 pisos idénticos.
Hallar el valor de la Tangente del ángulo  mostrado.
.

10mo. piso
9no. piso
500
a)
3143
5
b)
500
3143
c)
274
1
d)
3143
25
e)
3143
36
43. Si:
;
5
x
Seny
;
5
4
)
t
2
y
(
Sen 






 t
2
y
2
Expresar x en términos de Sen 2t y Cos2t solamente:
a) x = 4Cos2t + 3Sen2t
b) x = 3Cos2t  4Sen2t
c) x = Cos2t  Sen2t
d) x = 2Sen2t  3Cos2t
e) x = 2Cos2t + 3Sen2t
44. En la figura mostrada, se tiene un trapecio isósceles en
el que la longitud de la base menor es igual a la de su
altura y la longitud de su base mayor es igual a la de su
diagonal.
Hallar: 
Tan

A
B C
D
a) 2 b)
3
4
c)
7
1
d)
4
3
e)
3
1
45. Hallar el valor aproximado de:
º
86
Cos
º
4
Cos
D 2
2


a)
10
2
7
b)
10
2
9
c)
10
2
5
d)
10
2
e)
10
2
3

88. TRILCE
9 7
46. En un triángulo ABC, se cumple:
)
B
A
(
Sen
2
SenC 

6
2
3
3
TanB 

Hallar el valor del ángulo BAC.
a)
3

b)
12
5
c)
6

d)
10
3
e)
3
2
47. Si:
2
1
x
14
Tan 





 

Hallar:







 x
28
5
Ctg
a) 3 b) 2 c) 1
d)
2
1
e)
3
1
48. Determinar el mayor valor de A y el menor valor de B
tal que:
B
Cosx
2
Senx
A 


a) 3 y 3 b) 5
 y 5
c) 3
 y 3 d) 5
2
 y 5
2
e) 2
2
 y 2
2
49. En un triángulo rectángulo ABC recto en C, calcular el
valor de M.





 





 





 

2
C
Tan
1
2
B
Tan
1
2
A
Tan
1
M
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
50. En la figura adjunta, la longitud del segmento AB es:
2
4


3
A B
C
a) 3
2 b) 3
3 c) 3
4
d) 3
5 e) 3
6
51. En la identidad trigonométrica:
)
x
(
kCos
Cosx
3
Senx
2 



Determinar: 
Tan
a)
13
2
b)
3
2
c)
13
3
d)
2
3
e)
3
13
52. En la siguiente figura:
MD
MC
y
8
AB
4
CB
3
MC 


Calcular: Tgx
M
A B
C
D
x
a)
4
13
b)
7
22
c)
3
8
d)
5
24
e)
9
17
53. Si: 




 3Cos
Cos
y
Sen
2
Sen
Hallar el valor de: )
(
Cos 


a)
7
5
 b)
7
3
 c)
7
3
d)
7
5
e)
7
6
54. En la figura mostrada, calcular: 
Tan
2
3
1


a)
2
1
b) 2 c)
2
3
d)
2
5
e)
6
1
55. Si : º
60



 , el valor de la expresión:
2
2
)
Sen
Sen
(
)
Cos
Cos
(
A 






 es
a) 2 b)
4
3
c) 1
d) 0 e)
2
1

89. Trigonometría
9 8
56. Si:
Tan(x + 3y) = 5 y Tan(2y + x) = 4
Entonces el valor de Ctgy es :
a) 20 b) 21 c) 18
d) 14 e) 15
57. Si:
Tan(2a + b) = 8 y Tan(a + 2b) = 2
Entonces: Tan(a  b) es:
a)
17
12
b)
17
4
c) 6
d)
17
6
e) 10
58. Del gráfico calcular el valor mínimo de: 
Cot
Si: DC
3
ED
2
AE 


A B
C
D
E
a)
6
10
b)
5
10
3
c)
3
10
2
d)
9
10
2
e)
10
10
3
59. Del gráfico, calcular: Tanx
D
A B
C
F
1
4
45º
x
2
a)
241
17
b)
241
21
c)
241
23
d)
195
17
e)
195
21
60. Siendo:
2
m
Cos
Cos 



m
Sen
Sen 



¿Cuál es la variación de "m" para que se cumplan las 2
relaciones anteriores?
a)







 


2
1
5
;
2
1
5
b)







 


2
1
5
;
2
1
5
c)







 


2
1
5
;
2
1
5
d)







 


2
1
5
;
2
1
5
e)







 

2
2
5
;
2
5

90. TRILCE
9 9
Claves
Claves
b
c
b
b
b
d
a
c
d
c
a
e
c
b
a
a
e
c
a
c
c
b
e
e
b
a
d
c
d
b
e
d
e
d
b
a
a
e
a
b
c
d
a
c
a
a
a
b
e
e
b
b
d
a
c
b
d
d
b
d
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

91. TRILCE
101
Capítulo
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE LA VARIABLE DOBLE
10
x
Tan
1
Tanx
2
x
2
Tan
x
Sen
x
Cos
Cos2x
2SenxCosx
Sen2x
2x
de
Tangente
2x
de
Coseno
2x
de
Seno
2
2
2





También :
x
Sen
2
1
x
2
Cos 2


1
x
Cos
2
x
2
Cos 2


* Fórmulas de Degradación :
x
4
Cos
x
2
Cos
4
3
x
Cos
8
x
2
Cos
1
x
Cos
2
x
4
Cos
x
2
Cos
4
3
x
Sen
8
x
2
Cos
1
x
Sen
2
4
2
4
2










* Propiedades :
I.
x
2
Cot
2
Tanx
Cotx x
2
Csc
4
x
Csc
x
Sec 2
2
2




x
2
Csc
2
Tanx
Cotx 

II.
x
2
Sen
1
)
Cosx
Senx
(
x
2
Sen
1
)
Cosx
Senx
(
2
2






III.
Cosx
Senx
x
2
Sen
1
Cosx
Senx
x
2
Sen
1






IV.
1
x
2
Sec
Tanx
x
2
Tan
1
x
2
Sec
xTanx
2
Tan 




92. Trigonometría
102
* Triángulo del Ángulo Doble :











2
2
2
Tan
1
Tan
1
2
Cos
Tan
1
Tan
2
2
Sen

Tan
2

 2
Tan
1

 2
Tan
1
2
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE MITAD
Cosx
1
Cosx
1
2
x
Tan
2
Cosx
1
2
x
Cos
2
Cosx
1
2
x
Sen
2
x
de
Tangente
2
x
de
Coseno
2
x
de
Seno










Donde el signo )
( dependerá del cuadrante en el que se ubique
2
x
Cotx
Cscx
2
x
Cot
Cotx
Cscx
2
x
Tan
2
x
de
Cotangente
2
x
de
Tangente





93. TRILCE
103
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si "  " es un ángulo agudo y
3
2
Sen 
 .
Calcular: " 
2
Sen ".
a) 5
.
9
4
b) 5
9
2
c) 5
9
1
d) 5
4
9
e)
4
5
02. Simplificar:




 4
Cos
.
2
Cos
.
Cos
.
Sen
8
E
a) Sen2  b) Sen8  c) Sen16 
d) Sen4  e) Sen32 
03. Si:
5
2
Sen 
 , calcular: 
2
Cos
a) 2/5 b) 3/5 c) 4/5
d) -3/5 e) -4/5
04. Si:
3
1
Cos 
 , calcular: 
2
Cos
a) -1/3 b) 1/3 c) 2/3
d) -2/3 e)
3
3
05. Si:
2
1
Tg 
 , calcular: 
2
Tg .
a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3
d) 5/3 e) 7/3
06. Si:
2
3
Tg 
 , hallar: Sen2 
a) 11/13 b) 12/13 c) 14/15
d) 13/15 e) 11/15
07. Si:
5
1
Tg 
 , determinar: 
2
Cos
a) 1/3 b) -1/3 c) 2/3
d) -2/3 e) 3/4
08. Si: º
180
º
90
25
7
Sen 





Calcular: 
2
Sen
a)
625
336
b)
625
236
c)
625
236

d)
625
336
 e)
625
436

09. Si: º
270
º
180
13
5
Cos 






Calcule: 
2
Sen
a)
169
120
 b)
169
120
c)
169
60

d)
169
60
e)
169
140

10. Si: Tgx+Ctgx = n
¿A qué es igual Sen2x?
a) 2/n b) n/2 c) 2n
d) 1/2n e) 1/n
11. Si: º
180
x
º
90
3
2
Cosx 



Calcule el valor de: Sen
2
x
a)
6
6
b)
6
6
 c)
12
6
d)
12
6
 e)
3
6
2
12. Si: º
270
º
180
25
7
Sen 






Calcule el valor de:
2
Sen 
a)
10
2
b)
10
2
3
c)
10
2
5
d)
10
2
7
e)
10
2
5

13. Si: º
180
º
90
4
3
Cos 






Calcule el valor de:
2
Cos 
a)
2
2
b)
3
2
c)
4
2
d)
3
2
 e)
4
2


94. Trigonometría
104
14. Si:
3
1
2
Cos 

, calcule: 
Cos
a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4
d) -1/3 e) -2/3
15. Si: º
180
x
º
90
3
1
Cosx 




Calcular el valor de: Tg
2
x
a) 3 2 b) 2 c) -3 2
d) - 2 e) 5 2
16. Si: º
270
º
180
21
20
Tg 





Calcule:
2
Tg 
a) -5/4 b) -5/2 c) 3/4
d) -3/4 e) 1
17. A qué es igual:
4
x
Ctg
4
x
Csc
E 

a)
2
x
Tg b)
2
x
Ctg c)
8
x
Tg
d)
8
x
Ctg e)
8
x
Ctg

18. ¿A qué es igual: Ctg8º?
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 11
19. Reducir: E = Sec40º-Tg40º
a) Tg25º b) Ctg25º c) -Tg25º
d) -Ctg25º e) 1
20. Si:
4
3
Cos
2









Calcule:
2
Cos
2
Sen
.
7
E 



a) 0 b) 1 c) 2
d) 2 e) 2 2
21. Reducir :
H = (Tanx + Cotx) Sen2x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e)
2
3
22. Si :
3
2
x
2
Sen 
Calcule :
x
Cos
x
Sen
E 4
4


a)
9
7
b)
9
7
 c)
9
2
d)
9
2
 e)
7
2

23. Si :
16
3
Csc
Sec
1
Cos
Sen
2
2
6
6









,
el valor de 
2
Sen es :
a)
2
3
b)
2
1
3 
c)  1
d) 1 e) 1

24. Simplificar la función f definida por :





 x
2
;
x
Csc
x
Sec
f 2
2
)
x
(
a) 2Sec2x b)  2Sec2x
c) 2Csc2x d) Secx + Cscx
e)  2Csc2x
25. Indique la expresión simplificada de :
Z
K
;
2
K
;
4
Cos
1
2
Cos
1
M 








a) 
2
Cos
4 b) 
2
Cos
2
1
c) 
2
Sen
2
1 d) 
2
Csc
4
1
e) 
2
Sen
4
26. Si :
13
5
Cos 

 ;
2
3




Halle :
2
Cos 
a)
13
2
b)
13
3
 c)
13
2

d)
13
3
e)
26
5


95. TRILCE
105
27. Señale el valor de
8
Cos 
a)
2
2
2 
b)
2
2
2 
c)
2
1
2 
d)
2
1
2 
e)
2
2
4 
28. Reducir :
2
2
º
24
Cos
1
1
H



a) Cos6º b) Sen6º c) Sen3º
d) Cos3º e) Sen12º
29. Si :
270º
180º
y
5
4
Cos 




 ,
hallar :
2
Tan 
a) 3 b)
5
4
c)  3
d)
4
5
 e) 1
30. Si : n
2
x
Tan  , donde 


x ,
entonces cuál de las siguientes alternativas es la correcta.
a)
2
2
2
n
1
2n
Cosx
;
n
1
n
1
Senx





b)
2
2
2
x
1
2x
Cosx
;
x
1
x
1
Senx





c)
2
2
2
n
1
n
1
Cosx
;
n
1
n
2
Senx





d)
2
2
2
x
1
x
1
Cosx
;
x
1
x
2
Senx





e)
2
2
2
n
1
n
2
Cosx
;
n
1
n
1
Senx





31. Sabiendo que :
x
2
bCos
a
x
Cos
7
x
Sen
3 2
2



Halle el valor de :
M = 3a  2b
a) 9 b) 15 c) 13
d) 11 e) 7
32. Reducir :
M = Csc2x + Csc4x + Csc8x + Cot8x
a) Tanx b) Cotx c)
2
x
Tan
d)
2
x
Cot e)
4
x
ot
C
33. Reducir :
1
2
x
CscxTan
1
2
x
CscxCot
R



a)
2
x
Tan2 b)
2
x
Tan2
 c)
2
x
Cot2
d)
2
x
Tan
 e)
2
x
Cot2

34. Si se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B con
A ángulo menor, la relación de catetos es
7
5
.
Se tiene la relación :
E = 7Cos2A + 5Sen2A
Determinar el valor de E.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
35. Encontrar aproximadamente el valor de :
24
25
Tan 
a) 3
2
3
1  b) 2
6
5
1 

c)
3
1
3
2
1



d)
3
2
3
2
2



e) 6
2
3
2 


36. Sea : 


 c
b
a
Simplificar la siguiente expresión :
Sen(3a + 2b + 2c) Sen(a + 2b + 2c) + Cos(b + c)
Cos(b + 2a + c)
a)  1 b) 0 c) 1
d) Cos2a e) Cos2b
37. Si A, B y C son los ángulos internos de un triángulo y
Sen(A + B) Cos(A + B) =
2
1

¿Cuánto vale 1 + TanC?
a) 0 b) 1 c) 2
d)  1 e)
2
1

96. Trigonometría
106
38.














 
 SenA
2
A
Sen
2
A
Cos
SecA
U
2














 

2
A
Sen
4
A
Sen
4
A
Cos
SenA
N
2














 

K
A
Sen
K
2
A
Sen
2K
A
Cos
CosA
I
2
1
K 
Simplificar la expresión :
CosA
1
I
N
U 


a) SenA  CosA
b)
K
A
Cos
K
A
Sen 
c)
K
A
Sen
1
d) CosA  SenA
e)
K
A
Cos
K
A
Sen 
39. Hallar la suma de los valores máximos y mínimos de la
siguiente expresión :
BCosx
2
x
ACos
E 2








A, B son constantes reales.
a) B b) A c)
2
B
d)
2
A
e) 0
40. Si :
5
3
x
2
Sen  ;
4
;
0
x

 ,
calcular : x
Sen
x
Cos 4
4

a)  1 b)
5
4
c)
5
3

d) 1 e)
5
3
41. Halle el valor de la expresión :
º
40
Cos
º
40
Sen
º
20
Cos
3
º
20
Sen
W 

a) 2 b) 4 c) 1
d)
2
1
e)
4
1
42. Halle "m" en la identidad :
m
)
mx
(
Sen
x
4
Sen
x
4
xSen
2
Sen 





 






 

a) 2 b) 4 c) 8
d) 6 e) 3
43. El valor de :
2
2
)
Senb
Sena
(
)
Cosb
Cosa
( 


En función de 




 
2
b
a
Sen es:
a) 




 
2
b
a
Sen
2 b) 




 
2
b
a
Sen
4 2
c) 




 
2
b
a
Sen d) 




 
2
b
a
Sen2
e) 




 
2
b
a
Sen
2 2
44. Si : Tanx + Cotx  2 = Sen2y A
2
2
2
2
)
Cosy
Seny
(
)
Cosy
Seny
(
)
Cosy
Seny
(
)
Cosy
Seny
(
A







,
hallar : x
Cot
x
Tan
S
4
4


a) 4 b) y
2
Sen4
c) Sen2y
d) 1 e) 2
45. Sabiendo que :



 y
x
;
4
3
SenxSeny ,
hallar : Cos2(x  y)
a)
4
1
b)
4
1
 c)
2
1

d)
8
7
 e)
8
7
46. Si :
2
Cos
2
KSen 


Siendo : 0
Sen 






 Csc
Sen
Sen
1
2
P
2
Será :
a) )
K
K
( 2
2 
 b) 1
K
K 

c) 1
K
K 
 d) 1
K
K 

e) 1
K
K 


97. TRILCE
107
47. Expresar en función de Tanx, la expresión:
x
2
Tan
x
2
Sec
x
2
Cot
)
x
2
Sec
x
2
Tan
(
2
E
2
2




a)
2
Tanx
1
Tanx
1








b) 







Tanx
1
Tanx
1
c) 1  2Tanx d) Tanx + 1
e) 1  Tanx
48. Si : 0
n
;
n
m
Tan 

 ,
entonces el valor de 

 2
mSen
2
nCos es :
a) m + n b) 2m + n c) 2m  n
d) m e) n
49. Si :



 x
Csc
3
x
Sec
3
x
xSec
Tan
Y 2
2
2
2
x
xCsc
Cot
2
2
,
entonces :
a) x
Csc
16
y 4
 b) x
2
Csc
16
y 4

c)
4
x
16
Csc
y  d)
4
Cscx
16
y 
e) x
2
Csc
y 4

50. Sea la ecuación :
0
p
2
x
nCos
2
x
mSen 


¿Bajo cuál de las siguientes relaciones entre m, n y p, el
valor de
4
x
Tan es único?
a)
2
2
2
p
n
m 
 b) 2
2
2
n
p
m 

c)
2
2
2
m
p
n 
 d) p
2
n
m 2
2 

e) p
n
m 2
2


51. Si x es un ángulo en el primer cuadrante y
2
1
b
a
Tanx 





 ; encontrar el valor de la siguiente
expresión :
b
a
1
Senx
Cscx
x
2
Sen
E 








a)
b
a
a
2

b)
b
a
b

c)
b
2
a
b
2

d)
b
a
2
a
2

e)
b
a
ab

52. El valor de X al simplificar la expresión :





















2
Sen
1
2
Sen
1
Tan
1
Tan
1
X
2
a) 
 2
Sen
1 b) 
 2
Sen
1
c) 1 d)  1
e) 
2
Sen
53. Si :
1
a
1
a
)
º
45
A
(
Tan



 ,
hallar : Sen2A
a) 2
a
1
a
2

b)
1
a
a
2
2

c) 2
a
1
a

d) 2
a
1
a
2

e)
1
a
a
2

54. Si : Tan(x + 45º) = n ; 0
n  ,
calcular : E = Sec2x  Tan2x
a) 1
n
b) 2n c) 2
n
d) 1
n
2 
e) 2
n
55. La expresión :



Sen
1
Cos
es equivalente a:
a) 




 


4
Tan b) 




 


4
Tan
c) 




 


4
Tan
2 d) 




 


4
2
Tan
e) 




 


4
2
Tan
56. Hallar el valor de :
4
5
Tan
B
2
Tan
A
2
Tan 


Sabiendo que :
TanA  TanB = 1
A
Sen
4
2
A
2
Sen 2



a) 2 b) 1 c) 0
d) 1 e) 2
57. Reducir la expresión :
)
º
150
(
Sen
)
º
150
(
Sen
Sen
2
1
S 2
2
2









a) )
2
º
30
(
Cos 
 b) )
2
º
30
(
Sen 

c) 
2
Sen d) 
2
Cos
e) )
2
º
60
(
Sen 


98. Trigonometría
108
58. Calcular :
8
Cos
2
1
16
3
Sen
16
Sen
E 4
4 






8
3
Cos
2
1 
a)
2
2
b)
2
2
 c)
4
3
d)
2
1
 e)
2
3
59. La siguiente suma :
......
2
x
Tan
2
1
2
x
Tan
2
1
F
2
2


























n
n
2
x
Tan
2
1
....
Es igual a :
a) Cotx
2
x
Cot
2
1
n
n









b) Cotx
2
x
Cot
2
1
n









c) Cotx
d) Cotx
2
x
Cot
2
1
n









e) Cotx
)
x
2
(
Cot
2 n
n

60. Si :
º
2
Tan
º
1
Tan
Cos 


º
4
Tan
º
1
Tan
Cos 


º
6
Tan
º
1
Tan
Cos 


Halle :
2
Tan
2
Tan
2
Tan
R




a)
º
1
Sen
º
7
Sen
b)
º
1
Cos
º
7
Cos
c)
º
1
Tan
º
7
Tan
d)
º
2
Sen
º
9
Sen
e)
º
3
Cos
º
7
Cos

99. TRILCE
109
Claves
Claves
a
a
a
d
a
b
b
a
a
a
a
a
d
b
b
c
b
b
d
a
d
d
a
c
d
c
e
d
c
b
e
c
a
b
c
c
a
b
d
d
a
b
d
c
c
b
e
c
b
e
c
a
a
c
b
a
b
e
b
e
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

100. TRILCE
111
Capítulo
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE LA VARIABLE TRIPLE
11
x
Tan
3
1
x
Tan
Tanx
3
x
3
Tan
2
3



Cosx
3
x
Cos
4
x
3
Cos 3


x
Sen
4
Senx
3
x
3
Sen 3


Seno de 3x Coseno de 3x Tangente de 3x
FÓRMULAS ESPECIALES:













1
x
2
Cos
2
1
x
2
Cos
2
Tanx
x
3
Tan
)
1
x
2
Cos
2
(
Cosx
x
3
Cos
)
1
x
2
Cos
2
(
Senx
x
3
Sen
DEGRADACIONES:
x
3
Cos
Cosx
3
x
Cos
4
3


x
3
Sen
Senx
3
x
Sen
4
3


PROPIEDADES :
x
3
Tan
)
x
º
60
(
Tan
)
x
º
60
(
Tan
Tanx 



x
3
Cos
4
1
)
x
º
60
(
Cos
)
x
º
60
(
Cos
Cosx 



x
3
Sen
4
1
)
x
º
60
(
Sen
)
x
º
60
(
Sen
Senx 



Tanx + Tan(60º+x) + Tan(120º+x) = 3Tan3x

101. Trigonometría
112
EJERCICIOS PROPUESTOS
01.Señala el equivalente de la expresión:
x
Cos
x
Cos
x
Sen
x
3
Sen
3
3
3


a) Tgx b) Secx c) Cscx
d) Ctgx e) N.A.
02. Simplificar:
E = (Tg2A+TgA)(Cos3A+CosA)Csc3A
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
03. La expresión que da Cos3x en términos de Cosx es:
a) 3Cosx+4Cos3x b) 4Cosx3Cos3x
c) 3Cosx-4cos3x d) 4Cos3x-3Cosx
e) 3Cos3x-4Cosx
04. El valor de la expresión:
Cosa
a
3
Cos
Sena
a
3
Sen  es:
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
05. Si:
11
1
Tgx  . Calcular: Tg3x.
a) 3,07 b) 0,27 c) 3,27
d) 32 e) 0,21
06. Sen2a = Cos3a, 0<a<
2

Calcular el valor de: Sena
a)
5
5
1
b)
4
1
5 
c)
3
1
5 
d)
4
1
5 
e) N.A.
07. Si: SenA = 2/3, entonces Sen3A es:
a) 1 b) 19/23 c) 27/22
d) 21/29 e) 22/27
08. Calcular el valor de:
)
º
40
Sen
2
1
)(
º
10
Sen
4
3
(
F 2
2



a) 1 b) -1 c) 1/2
d) -1/2 e) 1/3
09. Simplificar:









Sen
3
Sen
Sen
Cos
3
Cos
Cos 3
3
a) Cos  b) Sen  c) 1
d) 3 e) 0
10. Del gráfico mostrado, hallar: "x".
A
E
D
C
B



x
4
3
a) 4 b) 7 c) 17
d) 8 e) 7
2
11. Simplificar:
º
40
Cos
º
20
Cos
º
40
Cos
º
20
Cos 3
3


a) 3 b) 4 c) 4/3
d) 3/4 e) 3/2
12. Reducir:
2Cos6x . Sen3x + Sen3x
a) Sen6x b) 3Sen6x c) Sen9x
d) Cos9x e) 3Cos6x
13. La siguiente igualdad es una identidad:






 KCosK
2
Cos
3
Cos
Sen
3
Sen
Hallar: "K".
a) 0 b) 1 c) 2
d) 4 e) 3
14. Calcular: º
36
Cos
º
18
Sen 3
3

a)
2
5
b)
8
5
c)
4
5
d)
6
5
e) 
4
5
15. Calcular: Cot18º(4Cos18º-3Sec18º)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

102. TRILCE
113
16. Calcular:
Tan9º+Cot9º-Tan27º-Cot27º
a) 2 b) 4 c) 6
d) 0 e) 8
17. Calcular:
Cos85º(1+2Sen80º)
a)
2
3
b)
2
1
c)
4
2
6 
d)
4
2
6 
e)
4
1
5 
18. Simplificar:
Tan3  (2Cos2  -1)-(2Cos2  +1)Tan
an 
a) Tan  b) Cot  c) 0
d) Tan3  e) Cot3 
19. Calcular:
3Cos2
10º.Sec2
50º.Sec2
70º
a) 64 b) 9/64 c) 1/64
d) 192 e) 64/9
20. Calcular:
9
2
Cos
8
9
2
Sec 2 


a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
21. Siendo : 2
2
Cot 
 ; "  " agudo.
.
Calcular : 
3
Sen
a)
9
7
b)
9
7
 c)
27
23
d)
27
23
 e)
27
17
22. Si :
3
1
x
2
Cos  ,
hallar : Cos6x
a)
27
22
b)
27
23
c)
27
22

d)
27
17
e)
27
23

23. Hallar : Sen 111º
a)
125
8
b)
125
108
c)
125
117
d)
125
107
e)
125
9
24. Sabiendo que :
IIC
;
2
2
Cot 



 ,
calcular :


 Sec
3
Sen
C
a)
36
2
17
b)
36
2
17
 c)
36
2
23
d)
36
2
23
 e)
36
2
7

25. Siendo :
3
2
Sen 

Calcular :



Cos
3
Cos
C
a)
3
1
b)
9
2
c)
9
7

d)
3
1
 e)
9
2

26. Sabiendo que :
2
3
1
Cos 
 ,
calcular : 

 Csc
3
Sen
P
a)
9
2
b)
9
4
c)
9
7

d)
9
2
 e)
9
4

27. Señale el valor de "Senx", si :
Sen2x = Cos3x
a)
4
1
5 
b)
4
1
5 

c) 1

d) a y c son respuestas.
e) a, b y c son respuestas.
28. Reducir :
Cosx
x
3
Cos
Senx
x
3
Sen
A 

a) Cosx b) Sen2x c) Sen4x
d) 4Cos2x e) 2

103. Trigonometría
114
29. Siendo :
3
1
Sen 
 ,
calcular :



Cos
3
Cos
L
a)
3
11
b)
2
7
c)
3
11

d) 2 e)
9
5
30. Reducir :
C = (Cos3x + 2Cosx) Tanx
a) Sen3x Cosx b) Tan3x
c) Sen3x d) Cos3x Senx
e) Cot3x
31. Si : Sen3x = 0,25 Senx,
calcule : 1
x
Tan
5
K
2


a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 12
32. Si : Tan3x = 5Tanx,
calcule : |Tan2x|
a) 7 b) 14 c)
5
2
d)
3
7
e) 5
33. Al calcular el valor de :
º
10
Cos
3
º
10
Sen
1
F 
 ,
obtenemos :
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 4
34. El valor de :
E = Cos80º Cos20º Cos40º es:
a) 2 b)
4
3
c) 4
d)
2
1
e)
8
1
35. Simplificar :
º
20
Sen
3
1
º
20
Sen
E


a) 2Tan20º b) Tan40º c) 2Tan40º
d) Tan20º e) Sec20º
36. Simplificar :
x
3
Cos
Senx
2
x
3
Sen
C 

a) Tanx b) Tanx c) Cotx
d) Cotx e) x
Tan
2

37. Siendo :
3
1
x
Cos
x
3
Cos
x
Sen
x
3
Sen
3
3



,
calcular : L = Tan3x Cotx
a)
13
6
b)
13
3
 c)
13
12

d)
13
3
e)
13
6

38. Calcular el máximo valor de :
x
Cot
.
x
3
Tan
M 3
 ;
2
;
0
x


a) 2
12
17  b) 2
12
17 
c) 2
17
12 d) 2
17
12 
e) 2
5 
39. Si :
4
1
5
º
18
Sen 
 ,
hallar el valor de M,
si :
MSec15º Sec9º = Sen15º Sen9º
a)
8
5
8
1

b)
1
5
8

c)
4
5
4
1

d)
8
1
5 
e)  
1
5
4 
40. Al simplificar la expresión :
E = Sen6º Sen54º Sen66º
Obtenemos :
a) Sen12º b) 2Sen6º
c) Sen18º d) 2Sen12º
e)
4
º
18
Sen
41. Calcular el valor aproximado de la expresión :
S = Csc27º  Sec27º
a) 5
3  b) 5
3 

104. TRILCE
115
c) )
5
3
(
2  d) 5
5 
e)
2
5
3 
42. El valor de :
3
º
20
Cos
4
1
x


Es igual a :
a) Cot10º b) Tan10º c) Cot20º
d) Tan20º e) 2Tan10º
43. Calcular el valor de ,.
2
2
2
)
Cos
Sen
(
Cos
Sen
3
Cos
Sen
Cos
3
Sen









a) 1 b)  1 c) 2
d)  2 e)
2
1
44. En el triángulo de la figura, hallar el ángulo  , para
que a sea doble de b.
x y z
a a
b b
  
a)
2
3
ArcCos b)
3
2
ArcCos
c)
4
1
ArcCos d)
2
1
ArcCos
e)
4
3
ArcCos
45. Calcule:
º
13
Cos
º
17
Sen
º
13
Cos
º
17
Sen
M
3
3



a)
2
1
b)
4
3
c)
8
3
d)
2
3
e)
4
1
46. Si :
Sen3x Cscx + Cos3x Secx = K Cosp . x,
calcular : K + p
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
47. Si : Cos39º = nCos13º,
halle : º
13
Tan
2
en términos de "n"
a)
n
1
n
3


b)
n
1
n
2


c)
n
1
n
3


d)
n
1
n
2


e)
n
3
n
1


48. Si :
1
n
1
n
Tanx
x
3
Tan


 ,
halle :
x
3
Sen
Senx en términos de "n"
a) n + 1 b) 1
)
1
n
( 
 c)
n
2
d) n  1 e) 1
)
1
n
( 

49. Sabiendo que : n
Senz
z
3
Sen
Seny
y
3
Sen
Senx
x
3
Sen 

 ,
hallar : Cosz
z
3
Cos
Cosy
y
3
Cos
Cosx
x
3
Cos
L 


a) n + 3 b) n  3 c) n + 6
d) n  6 e) 2n  6
50. Del gráfico, hallar la medida del ángulo "  "

a
4a
43º
17º
13º
a) 39º b) 17º c) 36º
d) 51º e) 48º
51. El valor de :
º
70
Sec
º
50
Sec
º
10
Sec
2
2
2
2
es :
a)
3
128 b)
64
9
c)
64
1
d) 192 e)
9
64
52 El valor de :
G = Cot24º Cot57º  Cot24º Cot33º
a) 2 b) 3 c)  2
d) 1 e) 1

105. Trigonometría
116
53. Hallar el valor de la expresión :
º
80
Tan
º
40
Tan
º
20
Tan
M
2
2
2



a) 12 b) 9 c) 21
d) 24 e) 33
54. En el gráfico :
84
95
S
S
2
1  ,
calcular "  "
S1
S2
3
2
A
B
C
D
a)
7
6
ArcCos b)
9
8
ArcCos
c)
10
9
ArcCos d)
11
10
ArcCos
e)
6
5
ArcCos
55. Del gráfico, calcular : 
3
Sen
A
C
D
E
F
4
2
3
2

2
a)
4
3
b)
8
3
c)
3
1
d)
3
2
e)
6
1
56. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de una torre;
con un ángulo de elevación "  ". Si nos acercamos
una distancia igual a la altura de la torre, el ángulo de
elevación es " 
2
º
90 ".
Calcular el valor de :



 Tan
2
Sec
L
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
57. Calcular :
L = Tan130º Tan10º + Tan70º Tan130º
Tan10º Tan70º
a) 3 b)  3 c) 2
d) 2 e) 6
58. Del gráfico, hallar : y
x
A
B
C
5º 45º 80º 20º
D E
x y
a) º
5
Csc
2 b) º
10
Csc
2
c) º
5
Csc
2
2 d) º
10
Csc
2
2
e) º
5
Csc
4
2
59. Del gráfico, hallar : x
2

A B
C
D
m
n
x
a)
m
n
m
2
m 
b)
m
n
m
2
n 
c)
m
n
m
2
n 
d)
n
n
m
2
n 
e)
n
n
m
2
m 
60. Del gráfico, hallar la longitud de CD
24º 36º
16
A
B
C
D
E
6º
a) 1,23 b) 2,23 c) 1,36
d) 3,23 e) 2,32

106. TRILCE
117
Claves
Claves
a
b
d
d
b
b
e
c
d
d
d
c
c
c
b
b
d
c
a
e
c
e
c
d
c
c
a
e
e
c
c
d
e
e
b
b
d
a
a
e
c
c
c
e
b
d
e
b
d
a
a
c
e
a
a
a
a
e
c
a
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

107. TRILCE
119
Capítulo
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
12
IDENTIDADES PARA LA SUMA Y PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS
CASO I : Para la suma o diferencia de dos Senos o Cosenos a producto.





 





 







 





 







 





 







 





 


2
B
A
en
S
2
B
A
Sen
2
CosA
CosB
2
B
A
Cos
2
B
A
Cos
2
CosB
CosA
2
B
A
Cos
2
B
A
Sen
2
SenB
SenA
2
B
A
Cos
2
B
A
Sen
2
SenB
SenA
Demostración :
Conocemos :



















(4)
........
..........
SenxSeny
CosxCosy
)
y
x
(
Cos
(3)
........
..........
SenxSeny
CosxCosy
)
y
x
(
Cos
(2)
........
..........
CosxSeny
SenxCosy
)
y
x
(
Sen
(1)
........
..........
CosxSeny
SenxCosy
)
y
x
(
Sen
Si sumamos (1) + (2) obtenemos :
Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ........... (*)
Hacemos un cambio de variable :
Sea:







B
y
x
A
y
x
obtenemos :
2
B
A
y
2
B
A
x 




Luego en (*) :





 





 


2
B
A
Cos
2
B
A
Sen
2
SenB
SenA
Las restantes identidades pueden verificarse en forma análoga.
CASO II
Para el producto de dos términos, Senos y/o Cosenos a suma o diferencia.
Siendo : x  y
2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x y)

2 Seny Cosx = Sen(x + y) Sen(x y)
 
2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x y)

2 Senx Seny = Cos(x y) Cos(x + y)
 

108. Trigonometría
120
SERIES TRIGONOMÉTRICAS :
Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos están en progresión aritmética.







 

















n
1
K







 

















n
1
K 2
U
P
Cos
2
r
Sen
2
nr
Sen
)
r
)
1
K
(
(
Cos
2
U
P
Sen
2
r
Sen
2
nr
Sen
)
r
)
1
K
(
(
Sen
Donde :
n : # de términos
r : razón de la P
.A.
P : primer ángulo
U : último ángulo
Propiedad


 Z
n
2
1
1
n
2
n
2
Cos
....
1
n
2
6
Cos
1
n
2
4
Cos
1
n
2
2
Cos 












2
1
1
n
2
)
1
n
2
(
Cos
....
1
n
2
5
Cos
1
n
2
3
Cos
1
n
2
Cos 














Productorias 

 Z
n
2
1
n
2
1
n
2
n
Sen
....
1
n
2
3
Sen
1
n
2
2
Sen
1
n
2
Sen
n
1
n
2
1
n
2
n
Tan
....
1
n
2
3
Tan
1
n
2
2
Tan
1
n
2
Tan 









2
1
1
n
2
n
Cos
....
1
n
2
3
Cos
1
n
2
2
Cos
1
n
2
Cos
n




















109. TRILCE
121
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Reducir:
x
2
Cos
Senx
x
5
Sen
E 

a) 2Sen3xCos2x b) 2Sen3x+1
c) 2Sen3x d) 2
e) 2Cos3x
02. Reducir:
xCosx
3
Sen
x
2
Sen
x
4
Sen
E 

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03. Reducir:
º
10
Cos
º
20
Sen
º
40
Sen
E 

a) 1 b) 1/2 c) 1/4
d) 2Sen10º e) Cos10º
04. Reducir:
Cosx
.
x
2
Cos
Cosx
x
3
Cos
E 

a) 1 b) 2 c) Sen3x
d) Sen2x e) Cosx
05. Reducir:
xCosx
6
Sen
x
5
Sen
x
7
Sen
E 

a) 1 b) 2 c) 3
d) Senx e) Cosx
06. Reducir:
xCosx
4
Cos
2
x
3
Sen
x
5
Sen
E 

a) 1 b) 2 c) Senx
d) Tanx e) Cotx
07. Reducir:
º
10
Sen
º
7
Sen
2
º
3
Sen
º
17
Sen
E 

a) 1 b) 2 c) Tan10º
d) Cot10º e) Tan3º
08. Reducir:
º
80
Sen
º
50
Cos
º
20
Sen
E 

a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) 3
09. Reducir:
º
80
Cos
º
20
Cos
º
20
Sen
º
80
Sen
E



a) 1 b) 2 c) Tan50º
d) 3 e)
3
3
10. Reducir:
E = (Sen70º+Cos70º).Sec25º
a) 1 b) 2 c)
2
2
d) 1/2 e) 2
11. Simplificar:
Cosx
x
3
Cos
Senx
x
3
Sen
E



a) Tanx b) Cotx c) Tan2x
d) Cot2x e) 2
12. Simplificar:
x
7
Cos
x
3
Cos
x
3
Sen
x
7
Sen
E



a) Tan2x b) Cot2x c) Tan4x
d) Cot4x e) 1
13. Simplificar:
x
2
Sen
x
3
Cos
Cosx
E 

a) Senx b) -Senx c) 2Senx
d) -2Senx e) Cos2x
14. Simplificar:
x
5
Cos
x
3
Cos
Cosx
x
5
Sen
x
3
Sen
Senx
E





a) Tanx b) Tan2x c) Tan3x
d) Tan4x e) Tan5x
15. Transformar a producto:
E = Sen2x + Sen4x + Sen6x + Sen8x
a) Sen5xCos2xCosx b) 4Sen5xCos2xCosx
c) 4Cos5xCos2xCosx d) Cos5xCos2xCosx
e) 4Sen2xCos3xCosx
16. Reduzca:
º
10
Cos
º
70
Cos
º
10
Sen
º
70
Sen
G



a) Tan40º b) Cot40º c) 3
d)
3
3
e) Tan20º

110. Trigonometría
122
17. Reduzca :
x
7
Cos
Cosx
Senx
x
7
Sen
H



a) Tan3x b) Cot3x c) Tan4x
d) Cot4x e)  Cot4x
18. Simplifique :
º
50
Cos
º
30
Cos
º
10
Cos
º
60
Sen
º
40
Sen
º
20
Sen
G





a) º
40
Sen
3 b) º
40
Sen
2
3
c) º
40
Sen
3
2 d) 2Sen40º
e) º
40
Sen
4
3
19. Transforme a producto :
R = Sen3x + Sen5x + Sen9x + Sen11x
a) 4 Cosx . Cos3x . Sen7x
b) 2 Cosx . Cos3x . Sen7x
c) 4 Cos2x . Cos3x . Sen7x
d) 2 Cos2x . Cosx . Sen7x
e) 2 Cos2x . Cos3x . Sen7x
20. En un triángulo ABC; reducir :
)
B
A
(
Sen
B
2
Sen
A
2
Sen
L



a) 2CosC b)  2CosC c) 2SenC
d)  2SenC e)  CosC
21. La expresión :
Cosy
Cosx
Seny
Senx


Es igual a :
a) 




 
2
y
x
Tan b) 




 
2
y
x
Sen
c) 




 
2
y
x
Cos d) 




 
2
y
x
Cot
e) )
y
x
(
Cos
)
y
x
(
Sen


22. La expresión :
x
4
Sen
x
2
Sen
x
3
Sen
Senx


es igual a :
a)
x
6
Sen
x
4
Sen
b) 1
c)
x
3
Sen
x
2
Cos
d)
x
3
Sen
x
2
Sen
e) Sen2x
23. La expresión :
Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x
es igual a :
a) Sen4x + Sen12x
b) Sen16x
c) 4Senx Sen2x Cos4x
d) Sen4x
e) 4Cosx Cos2x Sen4x
24. Transformar en producto la siguiente expresión :
x
Sen
4
2
x
8
Cos
x
4
Cos
2



a) Cos2x Cos3x b) x
3
xSen
2
Cos
4
2
c) x
2
xSen
2
Cos
2
2
d) x
3
xCos
2
Cos
4
2
e) x
2
xCos
4
Cos
4
2
25. Transformar en producto la expresión :
E = SenA + Sen2A + Sen3A
a) CosA
2
A
Cos
2
A
3
Sen
4
b)
2
A
3
SenACos
c)
2
A
SenASen
2
A
3
Cos
2
d)
2
A
SenASen
2
A
3
Cos
4
e) ACosA
2
Cos
2
A
3
Cos
3
26. La expresión :
TanxSenx
Cosx
Senx
CosxSenx
x
2
Sen
x
4
Sen
2



es igual a :
a) Tanx b) Cos2x Cos3x
c) 2Senx Cos3x d) Sen2x Sen3x
e) 2Sen3x Cosx
27. Reducir:
E = 2Sen3xCos2x - Senx
a) Senx b) Sen3x c) Sen4x
d) Sen5x e) Sen6x

111. TRILCE
123
28. Simplificar:
E = 2Sen5xCos3x-Sen8x
a) Senx b) Sen2x c) Sen3x
d) Sen4x e) Sen5x
29. Reducir:
E = 2SenxCos3x+Sen2x
a) 1 b) -1 c) Sen2x
d) Sen4x e) Cos2x
30. Reducir:
E = 2Sen5xCosx-Sen6x
a) Sen2x b) Sen4x c) 0
d) 1 e) Senx
31. Reducir: E = 2Cos40ºCos20º-Sen70º
a) 1 b) 1/2 c)
2
3
d) 3 e) 0
32. Reducir: E = 2sen4xCos2x-Sen6x
a) Senx b) Sen2x c) Sen3x
d) Sen5x e) Sen4x
33. Reducir: A = 2Cos5xCosx-Cos6x
a) Cos2x b) Cos3x c) Cos4x
d) Cos5x e) Cos8x
34. Reducir: E = 2Sen5xSen3x+Cos8x
a) Sen2x b) Cos2x c) Cos3x
d) Cos4x e) Cos6x
35. Reducir:
E = 2Cos50ºCos10º-Cos40º
a) 1/2 b)
2
3
c) 1
d) 3 e) 2 3
36. Reducir:
E = 2Sen3xSenx+Cos4x
a) Cosx b) Cos2x c) Cos3x
d) Cos4x e) Cos6x
37. Calcular:
x
6
Sen
x
4
cos
x
2
Sen
2
x
4
Sen
xCosx
3
Sen
2
E



a) 1 b) -1 c) 0
d) Sen6x e) Sen4x
38. Calcular:
º
80
Cos
2
º
70
Sen
º
80
Cos
4
1
E 

a) -1 b) 1/2 c) 1
d) -1/2 e) 0
39. Simplificar:







2
Sen
2
Cos
5
Cos
3
Cos
4
Cos
E
a) Sen2  b) Sen  c) Cos 
d) Cos2  e) Sen4 
40. Reducir:
x
3
Sen
Cosx
.
x
4
Sen
2
Senx
x
3
Cos
.
x
2
Sen
2
E



a) 1 b) -1 c) Sen5x
d)
Senx
x
5
Sen
e) Cosx
41. Reduzca :
x
9
Cos
x
4
xCos
5
Cos
2
x
4
Sen
xCosx
3
Sen
2
H



a) 2Senx b) 2Cosx c) Senx
d) Cosx e) Cosx
2
1
42. Si :
P(x) = Sen3x Cos2x + Sen3x Cos4x  Senx Cos6x
Calcule :





 
30
P
a) 1 b)
2
1
c) 2
d) 3 e)
2
3
43. Halle el valor de la expresión :
º
25
Cos
º
10
Cos
º
35
Cos
2
º
20
Sen
º
20
Cos
º
40
Sen
2
R





a)
4
2
b)
4
3
c)
2
6
d)
3
6
e)
6
2

112. Trigonometría
124
44. Si se define la función :





 







 

 x
9
Cos
x
9
2
Cos
f
)
x
( ,
halle : )
x
(
fmáx
a) 1 b)
2
1
c)
2
3
d)
4
3
e)
4
1
45. Del gráfico, calcule "x"
(Cos40º = 0,766)
50º
10º
A B
C
D
4
x
a) 2,532 b) 3,156 c) 2,216
d) 3,108 e) 2,748
46. Si el ángulo A mide rad
13
 ,
hallar el valor de :
A
4
Cos
A
2
Cos
A
10
CosACos
F


a) 1 b)
2
1
 c)
3
2
d)
2
1
e)
2
3

47. Dada la expresión x
2
Cos
2
x
Sen
2 




 ,
indicar si es igual a :
a) 












2
x
3
Sen
2
x
5
Sen
b) 












4
x
3
Sen
4
x
5
Sen
c) 












2
x
3
Sen
2
x
5
Sen
d) 












4
x
3
Sen
4
x
5
Sen
e) 












4
x
3
Cos
4
x
5
Cos
48. Cuál de las siguientes expresiones equivale a : 2Cos6x
Senx
a) Cos7x + Sen5x
b) Cos7x + Senx
c) Sen7x + Sen5x
d) Sen7x + Cosx
e) Sen7x  Sen5x
49. La suma de los senos de tres arcos en progresión
aritmética de razón
3
2
es :
a) 1 b) 0 c)  1
d)
3
2
e) No se puede determinar.
50. Si :
a
Sen
Sen 



b
Cos
Cos 



)
0
b
a
( 2
2


Calcular : )
(
Cos 


a) 2
2
b
a
ab
2

b) 2
2
b
a
ab
2

c) 2
2
2
2
b
a
b
3
a


d) 2
2
2
2
a
b
a
b


e)
ab
2
a
b 2
2

51. Si :
Senx + Seny = a
Cosx Cosy = b
calcular :
)
y
x
(
aCos
)
y
x
(
Sen
a
)
y
x
(
Cos
)
y
x
(
aSen
1
M









a) 1
a
b  b) ab c) b
a 
d)
a
b
 e)
b
a
52. Si : Sen2x + Sen2z = 0 y
4
x
z 

 ,
los valores de x
Cos
z
Cos
2
2
 serán :
a)
2
2
2 
,
2
1
2 
b)
2
2
1
 ,
2
2
1
c)
2
2
1 , 2
1

113. TRILCE
125
d)
2
2
1 , 2
1
e)
2
2
1 ,
2
2
2 
53. Transforme a producto :
)
(
2
Cos
2
Cos
2
Cos
2
Cos
W












a) )
(
Cos
)
(
Cos
)
(
Cos
2 








b) )
(
Cos
)
(
Cos
)
(
Cos
4 








c) )
(
Cos
)
(
Cos
)
(
Sen
2 








d) )
(
Cos
)
(
Sen
)
(
Cos
4 








e) )
(
Cos
)
(
Cos
)
(
Cos
4 








54. Si : Cos2x Cos4x Cos8x = 0,5,
calcule :
x
9
Tan
x
7
Tan
A 
a) 0,6 b) 0,8 c) 1,6
d) 1,8 e) 2,4
55. Calcular el valor de la siguiente expresión:
º
70
Sen
2
º
80
Sec
2
1 
a) Tan10º b) Cot10º c)  1
d) 1 e) º
10
Cot
2
1
56. La función trigonométrica :
x
2
Cos
Cosx
x
2
Tan
Tanx
)
x
(
f



es equivalente a :
a)
)
x
2
CosxCos
)(
x
2
Cos
Cosx
(
x
2
SenxSen

b)
)
x
2
CosxCos
(
x
2
3
Sen 





c)












2
x
xCos
2
CosxCos
x
2
3
Sen
d)
x
2
3
Sen
2
x
xCosxCos
2
Cos












e)
x
2
Cos
Cosx
x
2
xCos
2
Sen

57. Si : Seny = 2Sen(2x + y),
entonces : Tan (x + y) es igual a :
a) 2Tanx b)  4Tanx c)  5Tanx
d)  3Tanx e)  Tanx
58. Si : 2Sen5x = 3Sen3x,
hallar :
x
Cot
x
4
Cot
25
M
2
2


a)  2 b)  1 c) 2
d) 1 e) 0
59. Simplificar :
º
20
Sen
3
1
º
20
Sen
E


a) 2Tan20º b) Tan40º
c) 2Tan40º d) Tan20º
e) Sec20º
60. Calcular el valor aproximado de la expresión :
S = Csc27º  Sec27º
a) 5
3  b)  
5
3
2 
c)
2
5
3  d) 5
3 
e) 5
5 

114. Trigonometría
126
Claves
Claves
c
b
a
b
b
d
d
a
d
b
a
b
c
c
b
a
d
c
a
b
a
d
e
d
a
e
d
b
d
b
b
b
c
b
a
b
b
c
b
a
a
b
c
d
a
b
c
e
b
d
d
e
b
a
d
c
d
e
b
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

115. TRILCE
127
Capítulo
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES
DE VARIABLE REAL
13
INTRODUCCIÓN
Dentro del análisis matemático, el concepto de función es materia de un largo estudio debido a su flexibilidad para
representar vía modelos matemáticos una cierta realidad que se desea investigar, ya sea para prevenir u optimizar.
En ese contexto las funciones trigonométricas, debido a sus características de periodicidad, juegan un rol importante en la
representación de fenómenos periódicos, como las transmisiones radiales por ejemplo; por ello su estudio es imprescindible.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
F.T. = {(x ;y) / y = R.T. (x) ; x D(F.T.)}

Por ejemplo :
}
D(Tan)
x
;
Tanx
y
/
)
y
;
x
{(
Tangente)
.(
T
.
F 


Si queremos algunos pares ordenados :











 






 





 
 ...
,
3
;
3
2
,
3
;
3
,
1
;
4
,
0)
;
(0
)
Tangente
.(
T
.
F
CONSIDERACIÓN I :
Para el análisis de cada una de las funciones trigonométricas, tendremos que recordar las representaciones, en la circunferencia
trigonométrica, de las Razones Trigonométricas, así como algunas propiedades adicionales.
Sen
Sen
Sen
Sen
A
A’
x
B
B’
y
Cos
Cos
Cos
Cos
A
A’
x
B
B’
y
A
A’
x
B
B’
y
 


 
 


Tan
Tan
Cuadro de Variaciones I
0
0
0
0
Tan
1
0
0
1
1
0
0
1
Cos
0
1
1
0
0
1
1
0
Sen
2
2
3
2
3
2
2
0






































116. Trigonometría
128
Además, no olvide que en la C.T. mostrada, los arcos con extremo en :
Z
n
;
2
3)
(4n
forma :
la
de
es
B'
Z
n
;
1)
(2n
:
forma
la
de
es
A'
Z
n
;
2
1)
(4n
:
forma
la
de
es
B
Z
n
;
n
2
:
forma
la
de
es
A











A’ A
B
B’
x
y
Pero si debido a alguna condición; puede estar ubicado en :
A o A' ; es de la forma : 
n ; Z
n
B o B' ; es de la forma :
2
)
1
n
2
( 
 ; Z
n
A,A' ; B o B' ; es de la forma :
2
n ; Z
n
Por ejemplo : si nos pidiesen hallar "  " que cumple :
0
Sen 
  "  " tiene su extremo en A o A'  

 n ; Z
n 
1
Sen 
  "  " tiene su extremo en B  2
)
1
n
4
( 


 ; Z
n
0
Cos 
  "  " tiene su extremo en B o B'  2
)
1
n
2
( 


 ; Z
n
1
Cos 

  "  " tiene su extremo en A'  


 )
1
n
2
( ; Z
n 
0
2
Sen 
  " 
2 " tiene su extremo en A o A'  

 n
2 ;
2
n

 ; Z
n
ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
I. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO
F.T.(Sen) = {(x ;y) / y = Senx ; x D(Sen)}

Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos :
2
x
1
x
2
Senx
1
Senx
2
5
2
3
2


 1
0
2


2 3 x
y
1
Gráfica que recibe el nombre de sinusoide; desde el cual podemos afirmar :

117. TRILCE
129
* D(Sen) = R
* 1
Senx
1
]
1
;
1
[
R(Sen) 





mín
máx
* Es una función continua en R.
* Es una función creciente y decreciente.
* Es una función periódica : 
 2
T (periodo principal)
* Es una función impar : Sen(x) =  Senx
* No es inyectiva.
II. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO
F.T.(Cos) = {(x ;y) / y = Cosx ; x D(Cos)}

Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos :
2
x
1
x
2
Cosx
1
Cosx
2
5
2
3
2


 1
0
2


2
3
x
y
1
Gráfica que recibe el nombre de cosinusoide; desde el cual podemos afirmar :
* D (Cos) = R
* 1
Cosx
1
]
1
;
1
[
R(Cos) 





mín
máx
* Es una función continua en R.
* Es una función creciente y decreciente.
* Es una función par : Cos(x) = Cosx
* Es una función periódica : 
 2
T (periodo principal)
* No es inyectiva.
III. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TANGENTE
F.T.(Tan) = {(x ; y) / y = Tanx ; x D(Tan)}

De acuerdo a la representación en la C.T. y el cuadro de variaciones; y con el detalle adicional que la tangente no se
define para todo arco cuyo extremo coincide con B o B', (en la C.T.), es decir, los arcos de la forma Z
n
,
2
)
1
n
2
( 

 no
pertenecen al dominio de la función.
2
5
2
3
2

 0
2
  2 x
y
Tan
Tan


3
Asíntotas

118. Trigonometría
130
A la curva se le va a denominar tangentoide; y de allí podremos afirmar :
*





 



 Z
n
;
2
)
1
n
2
(
R
)
Tan
(
D
* 





 Tanx
R
)
Tan
(
R
* No se define en
2
)
1
n
2
( 
 ; Z
n
* Es una función creciente en cada cuadrante.
* Es una función impar : Tan(x) =  Tanx
* Es una función periódica : 

T (período principal)
* No es inyectiva.
CONSIDERACIÓN II :
A
A’
x
B
B’
y
A
A’ x
B
B’
y




Sec
Sec

 

 
Cot Cot
Csc
Csc
A
A’
x
B
B’
y


Nótese de los gráficos, aparte de las representaciones de las R.T.; que la cotangente, secante y cosecante no se definen
respectivamente, para arcos cuyo extremo coincide con :
A y A'  
n ; Z
n
B y B' 
2
)
1
n
2
( 
 ; Z
n
A y A'  
n ; Z
n
Cuadro de variaciones II :
0
Csc
1
1
1
Sec
0
Cot
2
2
3
2
3
2
2
0































 1



1


0 0 

 


 1
1 


 1

IV. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COTANGENTE
}
D(Cot)
x
;
Cotx
y
/
y)
;
x
{(
)
Cot
.(
T
.
F 



119. TRILCE
131
De acuerdo a lo visto en la representación y en el cuadro de variaciones, tendremos :
2
3
2

 0
2
  x
y
Cot
Cot

 2
Asíntotas

Curva que recibe el nombre de cotangentoide; de donde podemos afirmar :
* }
Z
n
;
n
{
R
)
Cot
(
D 



* 




 Cotx
R
)
Cot
(
R
* No se define en 
n ; Z
n 
* Es una función decreciente en cada cuadrante.
* Es una función impar : Cot(x) =  Cotx
* Es una función periódica : 

T (periodo principal)
* No es inyectiva.
V. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SECANTE
}
D(Sec)
x
;
Secx
y
/
y)
;
x
{(
)
Sec
.(
T
.
F 


Según la representación y variación, tendremos :
2
3
0
2
  x
y
2
Asíntota
2


 1
1
2
5 3
Curva denominada secantoide, de donde afirmamos :
*





 



 Z
n
;
2
)
1
n
2
(
R
)
Sec
(
D
*   1
Secx
o
1
Secx
;
1
1
;
)
Sec
(
R 










* No se define en Z
n
;
2
)
1
n
2
( 


* Es una función creciente y decreciente
* Es una función par : Sec(x) = Secx
* Es una función periódica : 
 2
T (período principal)
* No es inyectiva.

120. Trigonometría
132
VI. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSECANTE
 
D(Csc)
x
;
Cscx
y
/
y)
;
(x
)
Csc
(
T
.
F 


2
3
0
2
  x
y
2
Asíntota
2


 1
1
2
5

Curva a la que se denomina cosecantoide, de la cual afirmaremos :
* }
Z
n
;
n
{
R
)
Csc
(
D 



*   1
Cscx
o
1
Cscx
;
1
1
;
)
Csc
(
R 










* No se define en Z
n
;
n 

* Es una función creciente y decreciente
* Esunafunción par : Csc(x) =  Cscx
* Es una función periódica : 
 2
T (periodo principal)
* No es inyectiva.

121. TRILCE
133
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Halle la suma del máximo y mínimo valor de la función:
f(x) = 3+Senx
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
02. Indique el mínimo valor que asume la función:
g(x) = 4-Cos2x
a) 1 b) 3 c) 5
d) 6 e) 7
03. Determine el dominio de la función: 2
Senx
4
)
x
(
f 

a) }
Z
n
/
2
n
{
R 

 b) R
c) R - {0} d) }
Z
n
/
n
{
R 


e) }
Z
n
/
3
)
1
n
2
{(
R 



04. Determine el dominio de la función: )
x
1
(
Cos
4
)
x
(
H 
a) R b) R - {0} c) R - {1}
d) }
Z
n
/
n
{
R 

 e) R - {2}
05. Graficar la función:
y = F(x) = 2Senx; ]
2
;
0
[
x 

a) b)
y
x
-1
1
/2
2
3 /2

y
x
-1
1

2
c) d)
y
x
-2
2
2

y
x
-2
2
2
e)
y
x
2

1
0
06. Graficar: y=f(x) = |Senx|; ]
2
;
0
[
x 

a) b)
y
x
-1
1
2
y
x
1
 2
0
c) d)
y
x
2
y
x
-1
1

2

0
e) N.A.
07. Dadas las funciones f y g definidas por: f(x)=2Cosx y
g(x) = 1+Cosx.
Hallar un intervalo donde f(x) < g(x)
a) <0;
2

> b) <0;> c) <;2>
d) <
2

;
2
3
> e) <0;2>
08. Determine el rango de la función: H(x)=3+3Cos
2
x
a) [2,5] b) [2,4] c) [3,6]
d) R e) [0,3]
09. Determine el rango de la función: F(x)=4-2Sen2
x
a) [1,2] b) [2,4] c) [3,7]
d) [-1,1] e) R
10. Determine el rango de: g(x)=8Sen2
x-1
a) [-2,5] b) [-1,7] c) [2,4]
d) [-3,3] e) R
11. Determine el periodo de: y=f(x)=4Cos3x+7
a) 2 b)
3
2
c) 3
d)
2
3
e) 

122. Trigonometría
134
12. ¿Cuál es el dominio de la función: f definida por:
1
)
x
(
Sen
2
)
x
(
f 
 ?
a) R b) R-{1} c) [-1;1]
d) R-{0} e) [0;+  >
13. ¿Cuál es el dominio de la función g definida por:
2
)
x
1
(
Cos
3
)
x
(
g 
 ?
a) R b) R+{0} c) [-1;1]
d) R-{1} e) <0;+  >
14. Determine el rango de la función f definida por:
1
Cosx
x
Cos
2
)
x
(
f 2



 .
a) ]
8
9
;
2
[ b) ]
16
7
;
2
[ 
 c) ]
8
7
;
4
[ 

d) ]
4
7
;
4
[ 
 e) ]
8
7
;
2
3
[ 

15. Si f es una función definida por:
2
5
Senx
2
x
Sen
)
x
(
f 2 


Determine el valor de: mín
máx
f
4
f
2
E 

a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18
16. Graficar: y = |Sen4x|
Indicar su periodo.
a) 8

b) 4

c) 2

d)  e) 2
17. Determine la extensión de la función:
Tanx
Senx
CosxTanx
)
x
(
H 

a) [-2;2] b) [-1;1] c) [1;2]
d) [-1;5] e) R
18. Si:
1
x
Sen
1
|
Senx
|
)
x
(
F
2


 . Determine el rango de F.
.
a) <-  ;-1] b) <-1;1> c) [0;1>
d) <1;+  > e) R-{0}
19. Si: |
Cosx
|
2
)
x
(
g 
 . Determine el rango de g.
a) ]
2
;
0
[ b) ]
2
;
2
[ c) ]
3
;
2
[
d) [-1;1] e) ]
3
;
1
[
20. Hallar el rango de la función f definida por:
]
2
;
0
[
x
;
3
Senx
2
Senx
)
x
(
f 




a) ]
2
/
1
,
0
[ b) ]
4
/
3
,
2
/
1
[ c) R
d) ]
2
,
0
[ e) ]
1
,
1
[
21. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda
en :
I. La función : y = f(x) = Senx, posee un máximo en

;
0
II. La función y = f(x) = Senx, es inyectiva en
2
;
2



III. La función : y = f(x) = Senx, es impar.
a) VVV b) VVF c) FVV
d) VFV e) VFF
22. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda
en :
I. La función : y = f(x) = Cosx, es inyectiva en

 2
;
II. La función : y = f(x) = Cosx, es creciente en 
;
0
III. La función : y = f(x) = Cosx, es par.
a) VVV b) VFV c) VVF
d) VFF e) FVV
23. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda
en :
I. La función : y = f(x) = Tanx, tiene dominio :





 


 Z
n
;
2
)
1
n
2
(
R
II. La función : y = f(x) = Tanx, es creciente en
2
3
;
2


III. La función : y = f(x) = Tanx, es impar.
a) VVV b) VVF c) FVV
d) VFV e) VFF
24. Se define la función :
y = f(x) = Tan2x + 1
¿Cuál será su dominio?
a)





 

 Z
n
;
2
n
R
b)  
Z
n
;
)
1
n
2
(
R 



c)





 


 Z
n
;
4
)
1
n
2
(
R
d)  
Z
n
;
n
R 



123. TRILCE
135
e)  
Z
n
;
n
2
R 


25. Señale el dominio de la función :
Z)
(n
;
1
Cosx
1
Senx
)
x
(
g
y 




a) R b)





 


2
)
1
n
2
(
R
c)  

 n
R d)  


 )
1
n
2
(
R
e)





 

2
n
R
26. Señale el rango de la función :
x
Cos
3
x
Sen
2
)
x
(
h
y 2
2



a) [0 ; 2] b)  
13
;
3

c)  
13
;
0 d) [2 ; 3]
e)  
13
;
2
27. Determine el rango de "F".
F(x) = 3 + SenxCosx
a) [2 ; 4] b) [3 ; 4]
c) 





2
7
;
2
5
d) 





2
5
;
2
3
e) [5 ; 7]
28. Dada la función :
Senx
x
Cos
h(x) 2


Determine su rango
a)






2
7
;
2
3 b)  
2
;
1

c)






2
7
;
2 d)






2
7
;
4
5
e)






4
5
;
1
29. Se define la función :
y=f(x) = 2Csc3x  1
¿Cuál es su dominio?
a)  
Z
n
;
n
3
R 


b)





 

 Z
n
;
3
n
R
c)





 

 Z
n
;
6
n
R
d)





 


 Z
n
;
3
)
1
n
2
(
R
e)





 


 Z
n
;
6
)
1
n
2
(
R
30. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la función :
f(x) = Sen(x  90º) en el intervalo [0 ; 72º]?
a) Sen ( 20º) b)  1
c)
2
1
 d)  0,55
e)  Sen 18º
31. Si consideramos M el valor máximo que asume la
función :
f(x) = (3 Senx) (3 + Senx)
y N el valor mínimo que asume la función:





 





 

3
1
Cosx
3
1
Cosx
)
x
(
g
Luego : M . N resulta :
a) 8 b) 8 c) 1
d)  1 e) 0
32. Para qué valores de x, 

 2
x
0 se cumple Senx >
Cosx
a)
4
x
0 

 b)
4
3
x
0 


c)
4
5
x
0 

 d)
4
7
x
0 


e)
4
5
x
4




33. Si f es la función definida por :
SenxCosx
1
1
SenxCosx
2
)
x
(
f



0
;
2
x


 entonces el rango de f es :
a)
3
4
; 

 b) 1
;
3
5 

c) 

 ;
3
4 d) 



3
4
;
1
e) 



 1
;
3
4
34. ¿Cuál o cuáles de las funciones dadas son inyectivas?
I. f(x) = Senx 

 x
0
II. g(x) = Cosx 

 x
0
III. h(x) = Cotx 

 x
0
a) Sólo I b) Sólo II
c) Sólo III d) II y III
e) I y II

124. Trigonometría
136
35. Si f(x) = aSen(kx) ; g(x) = aCos(kx) son funciones
cuyas gráficas se muestran en la siguiente figura.
Calcular las coordenadas del punto P
.
f(x)
g(x)
P
 2
2
2
3
a) 




 

2
;
3
b) 




 

2
;
12
5
c) 









2
2
;
3 d) 









2
2
;
12
5
e) 




 

2
;
3
5
36. Determinar el dominio máximo de la función :
4
1
x
Sen
x
Sen
2
)
x
(
f
4
2




a)





 


 Z
n
;
4
n
b)





 


 Z
n
;
2
n
c)





 


 Z
n
;
4
n
d)





 

 Z
n
;
4
)
1
n
2
(
e)





 

 Z
n
;
2
)
1
n
2
(
37. Dadas las proposiciones :
I. La función Senx es creciente en 
;
0
II. La función Cosx es decreciente en 
;
0
III. La función Tanx es creciente en
2
;
0 
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
a) Sólo I b) Sólo II
c) Sólo III d) I y II
e) II y III
38. El valor máximo que toma la función :
x
Cos
4
x
Sen
3
)
x
(
f 2
2

 , R
x  , es :
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
39. El mayor valor que toma la función :
f(x) = Cos2x + 3Sen2x + 2 es :
a) 10
2  b) 6
c) 10
3  d) 10
1 
e) 5
40. Hallar el mínimo valor de :
Senx
x
Cos
9
10
M
2



a)
18
17
b)
36
35
c)
28
27
d)
46
45
e)
24
23
41. Hallar el rango de f(x) = | Cotx| Senx
a) 1
;
1
 b)  
1
;
1

c) 
1
;
1
 d)  1
;
1

e) 1
;
1
R 

42. Si m y M son los valores mínimo y máximo
respectivamente, de la función :
x
Cos
x
Sen
)
x
(
f 6
6


Entonces m + M es :
a)
2
1
b) 1 c)
2
3
d) 2 e)
4
5
43. Si P = (x ; 1a) es un punto que pertenece a la gráfica
de la función Seno,
hallar :
A = Senx (1  Senx) (Cscx)
a) 1  a b)
2
a
c)
a
1
d) a e) a  1
44. El mínimo valor de la función :





 



6
5
;
3
x
;
x
Tan
)
x
(
f
2
a) 0 b)
3
1
c) 3
d) No existe el mínimo valor de f
e) 1

125. TRILCE
137
45. Dadas las funciones :
y = f(x) = Sen2x |Senx| + Cos2x |Cosx|
y = g(x) = Senx
Se afirma :
I. En
2
;
0
 , sus gráficas se intersectan en 1 punto.
.
II. En
2
3
;

 , sus gráficas se intersecan en 1 punto.
.
III. En 

2
;
2
3 , sus gráficas se intersectan en 2 pun-
tos.
IV. El periodo principal de "f" es  .
¿Cuántas son verdaderas?
a) 1 b) 2 c) 3
d) Todas e) Ninguna
46. Dada la función :
Z
n
;
Cosx
Senx
)
x
(
h 


Señale el dominio.
a)  


 1)
(2n
;
n
2
b) 




 


 1)
(2n
;
2
)
1
n
4
(
c) 




 



 2
2n
;
2
)
3
n
4
(
d) 




 


2
1)
(4n
;
n
2
e) 




 



2
3)
(4n
;
2
1)
(4n
47. Señalar cuál es la proposición falsa:

R
R
Secx
)
e
1]
;
1
[
R
Cosx
)
d
R
n
R
Cotx
)
c
R
2
)
1
n
2
(
R
Tanx
b)
1]
;
1
[
R
Senx
)
a
RANGO
DOMINIO
FUNCIÓN








 



( Z
n )
48. En el intervalo ]
2
;
0
[  el siguiente gráfico corresponde
a :
 3
2

2
3
3
2
2 x
y
a) Senx + 2Cosx
b) 4Cosx + 3Senx
c) 2(Senx + Cosx)
d) 3Senx + 2Cosx
e) 3(Senx + Cosx)
49. La diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo
de la función :
f(x) = |Senx| + |Cosx|
Es aproximadamente igual a :
a) 0,41 b) 0,42 c) 0,44
d) 0,46 e) 0,91
50. Hallar el máximo valor de :
Cosx
Senx
Cosx
Senx
E



Para : 






4
;
4
x
a)  2 b)  1 c) 0
d) 1 e) 2
51. Si : f(x) = 1  Sen|x|
Indicar Verdadero (V) o Falso (F) para las siguientes
proposiciones:
I. f(x) es creciente en
2
3
;
2


II. f(x) es decreciente en
2
;
2
3 



III. f(x) tiene como rango [0 ; 2]
a) VFF b) VFV c) VVF
d) VVV e) FVV
52. Si R es el rango de la función f y
Senx
2
x
7
Sen
x
2
Cos
x
4
Cos
x
6
Cos
)
x
(
f 



Entonces, podemos afirmar :
a) 1
;
0
R  b) 0
;
1
R 

c) 






2
1
;
0
R d) R
1
;
1 

e) R
1
;
0 

126. Trigonometría
138
53. Hallar el valor de :
mín
máx
f
f
E 

Si : f(x) = 2Cosx (Cosx - Senx) - 1





 


8
5
;
2
x
a) 2
2
 b)  1 c) 2
d) 2
2 e) 1
54. Hallar los valores x en el intervalo 
;
0 para los
cuales existe f, si :
x
Cos
2
Senx
1
1
)
x
(
f
2



a) 




 

3
2
;
3
b) 




 

6
5
;
6
c)
3
2
;
3

 d)
6
5
;
6


e)
6
5
;
3


55. Señale : Rg
Rf  , si :
 
Cosx
3
Senx
Sen
)
x
(
f 

 
Cosx
3
Senx
Cos
)
x
(
g 

a) [Sen2 ; 1] b) [1 ; Sen2]
c) [Cos2 ; 1] d) [1 ; Cos2]
e) [Cos2 ; Sen2]
56. Determine el rango de la función f definida por:
f(x)=|Senx|+|Cosx|.
a) ]
2
;
0
[ b) ]
2
;
2
1
[ c) ]
2
;
1
[
d) ]
1
;
0
[ e) ]
1
;
2
1
[
57. Dada la función f definida por:
f(x)=Sen2x+|Senx+Cosx|
Hallar: fmáx + fmín
a) 2 b) 2 2 c)
2
2
3
d) 3 e) )
2
1
(
2 
58. Determinar el periodo de:
4
x
Sen
3
x
Sen
2
x
Sen
)
x
(
f 


a) 12 b) 18 c) 24
d) 48 e) 52
59. Si f es una función definida por:
Cotx
Tanx
Cosx
Senx
)
x
(
f 


 ; halle el dominio de
dicha función, Z
k 
 .
a) R b) ]
1
;
1
[ c) }
Z
k
/
{
R
2
k 
 
d) }
Z
k
/
k
2
{
R 
 e) ]
1
;
0
[
60. Dada la función :
g(x) = Senx (Cosx + |Cosx|)
Señale su gráfico.
a)
x
y
b)
x
y
c) x
y
d)
x
y
e)
x
y

127. TRILCE
139
Claves
Claves
b
c
d
b
c
b
d
c
b
b
b
e
e
a
d
b
a
a
c
b
a
b
a
c
d
d
c
e
b
e
d
e
e
d
b
d
e
b
a
b
a
e
d
b
c
d
e
d
a
c
d
b
e
d
c
c
b
c
c
b
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

128. TRILCE
141
Capítulo
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS
14
OBJETIVO
El objetivo del presente capítulo es analizar las funciones inversas de las funciones trigonométricas básicas; así como
familiarizarnos con las notaciones ArcSenx, ArcCosx, ArcTanx, etc; de modo que las interpretemos y operacionalicemos
correctamente según las propiedades que se darán convenientemente.
INTRODUCCIÓN
Según el análisis de funciones; la condición suficiente para que una función posea inversa, es que debe ser inyectiva :
y
x
y
x
y
x
f
f no es inyectiva g no es inyectiva h si es inyectiva
g
h
Las funciones trigonométricas; debido a su carácter periódico no son inyectivas :
y
x
y
x

2
 
2

0
1
1
3
2
y=Senx

2
 
2

0 3
2
y=Tanx
Según este comentario, las funciones trigonométricas no poseen inversa. Sin embargo; es posible redefinir la función
trigonométrica, restringiendo su dominio (sin alterar su rango), a un intervalo donde sea inyectiva y en consecuencia se
pueda obtener su inversa.
OBTENCIÓN Y ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
I. F
.T. SENO INVERSO O ARCO SENO
De la función : y = Senx
Tomamos el dominio : 




 


2
;
2
El rango no cambia :  
1
;
1

Luego para hallar la inversa; hacemos en :
Seny
x
Senx
y




Esto es : "y es un ángulo arco o número cuyo Seno vale x".
Lo cual se denotará : y = ArcSenx
Finalmente, como el dominio y rango se intercambian con el de la función original; tendremos :

129. Trigonometría
142





 











 




2
;
2
:
*
Rang
1
;
1
:
*
Dom
ArcSenx
)
x
(
*
f
y
1
;
1
:
Rang
2
;
2
:
Dom
Senx
)
x
(
f
y
*
f
f
Cumpliéndose : ArcSen( x) = ArcSenx
 
II. F
.T. COSENO INVERSO O ARCO COSENO
De la función : y = Cosx
Tomamos el dominio :  

;
0
Sin cambiar el rango :  
1
;
1

Luego para hallar la inversa procedemos igual que en el caso del "ArcSenx"; obteniéndose :






:
*
Rang
1
;
1
:
*
Dom
ArcCosx
)
x
(
*
f
y
1
;
1
Rang :
:
Dom
Cosx
)
x
(
f
y
*
f
f

;
0

;
0
Cumpliéndose : ArcCos( x) = ArcCosx
 
III. F
.T. TANGENTE INVERSO O ARCO TANGENTE
De la función : y = Tanx,
tomamos el dominio :
2
;
2



sin cambiar el rango : 

 ;
Luego, para hallar la inversa de la función Tangente, procedemos igual que en los casos anteriores, obteniéndose :




:
*
Rang
:
*
Dom
ArcTanx
)
x
(
*
f
y
Rang :
:
Dom
Tanx
)
x
(
f
y
*
f
f







;
2
;
2



 ;



2
;
2
Cumpliéndose : ArcTan( x) = ArcTanx
 
IV. F
.T. COTANGENTE INVERSA O ARCO COTANGENTE




:
*
Rang
:
*
Dom
ArcCotx
)
x
(
*
f
y
Rang :
:
Dom
Cotx
)
x
(
f
y
*
f
f



 ;



 ;

;
0

;
0

130. TRILCE
143
Cumpliéndose : ArcCot( x) = ArcCotx
 
V. F
.T. SECANTE INVERSA O ARCO SECANTE




:
*
Rang
:
*
Dom
ArcSecx
)
x
(
*
f
y
Rang :
:
Dom
Secx
)
x
(
f
y
*
f
f








2
;
0





 


2
;
0





 ;
1
1
;





 ;
1
1
;
Cumpliéndose : ArcSec( x) = ArcSecx
 
VI. F
.T. COSECANTE INVERSA O ARCO COSECANTE




:
*
Rang
:
*
Dom
ArcCscx
)
x
(
*
f
y
Rang :
:
Dom
Cscx
)
x
(
f
y
*
f
f
}
0
{
2
;
2






 


}
0
{
2
;
2






 


  



 ;
1
1
;
  



 ;
1
1
;
PROPIEDADES
1.   F.T.)
Dom(Arc
n
;
n
(n)
F.T.
Arc
.
T
.
F 

Esto es :
 
 
 
 











































;
1
1
;
n
,
n
))
n
(
ArcCsc
(
Csc
;
1
1
;
n
,
n
))
n
(
ArcSec
(
Sec
R
n
,
n
))
n
(
ArcCot
(
Cot
R
n
,
n
))
n
(
ArcTan
(
Tan
1
;
1
n
,
n
))
n
(
ArcCos
(
Cos
1
;
1
n
,
n
))
n
(
ArcSen
(
Sen
Por ejemplo :
3
1
3
1
ArcSen
Sen 






Tan(ArcTan4) = 4
2.   F.T.)
Rang(Arc
;
)
(
F.T.
.
T
.
F
Arc 





Esto es :
 
 





















 


















































 








}
0
{
2
;
2
,
)
ArcCsc
(
Csc
2
;
0
,
)
Sec
(
ArcSec
;
0
,
)
Cot
(
ArcCot
2
;
2
,
)
Tan
(
ArcTan
;
0
,
)
Cos
(
ArcCos
2
;
2
,
)
Sen
(
ArcSen

131. Trigonometría
144
Por ejemplo :
5
5
Sen
ArcSen







  ; pues :
2
5
2






ArcCos(Cos1) = 1 ; pues : 

 1
0
2
)
2
Tan
(
ArcTan  ; pues





 



2
;
2
2
En este caso, se le busca un equivalente a "Tan2" en el intervalo correspondiente al rango del ArcTan, asi :
MA' = NA =   2; entonces : AN = 2 
Note que : Tan2 = Tan(2) luego :
ArcTan(Tan2) = ArcTan[Tan(2  )]
ArcTan(Tan2) = 2
ya que :
2
2
2







3.
 
  





















;
1
1
;
;
2
ArcCscx
ArcSecx
R
;
2
ArcCotx
ArcTanx
1
;
1
;
2
ArcCosx
ArcSenx x
x
x
4.




























1
n
;
0
x
,
1
xy
:
Si
1
n
;
0
x
,
1
xy
:
Si
0
n
;
1
xy
:
Si
n
xy
1
y
x
ArcTan
ArcTany
ArcTanx
5.




























1
n
;
0
x
,
1
xy
:
Si
1
n
;
0
x
,
1
xy
:
Si
0
n
;
1
xy
:
Si
n
xy
1
y
x
ArcTan
ArcTany
ArcTanx

132. TRILCE
145
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Calcule :
2
2
ArcCos
2
3
ArcSen
E 

a)
12
5
b)
12
7
c)
9

d)
8

e) 
02. Calcule:









2
5
ArcSec
Sen
E
a)
2
1
b)
3
2
c)
5
5
d)
5
5
2
e)
10
5
03. Halle el valor de: 





3
2
ArcTan
2
Cos
a)
5
2
b)
5
3
c)
13
5
d)
13
12
e)
8
15
04. Halle "x", si : 4ArcSenx = ArcCosx
a)
2
1
b)
4
1
c)
2
3
d)
4
1
5 
e)
4
1
5 
05. Resolver :
2
x
ArcSec
1
x
2
x
ArcTan 


a) 1 b) 2 c) 0
d)  1 e)  2
06. Si :
3
2
ArcSenx
ArcCosy 

 ,
calcule: M = ArcSeny + ArcCosx
a)
2

b)
3

c)
4

d)
5

e)
6

07. La suma de :








2
3
ArcSen , 







2
2
ArcSen , ArcTan0 y








3
2
ArcSec es :
a) 0 b)
4
3
c)
2
3
d)
3
2
2
2
2
3 
 e)
3
4
08. Reducir: )
4
ArcCot
(
Csc
)
3
ArcTan
(
Sec
M 2
2


a) 7 b) 13 c) 15
d) 27 e) 12
09. El resultado de :



















2
3
ArcSen
2
1
2
3
ArcCos es :
a) 120º b) 150º c) 60º
d) 30º e) 240º
10. Calcular : Sec(Arc Tanb)
a) 1
b
 b) 2b
c) No se puede determinar
d)
2
b e) 2
b
1
11. Determinar el valor de la expresión :




















3
1
ArcTan
5
1
ArcSen
Cos
P
a)
10
5
1
5
4 
b)
10
6
1
5
5 
c)
10
6
1
5
5 
d)
10
5
1
6
6 
e)
10
5
1
6
6 
12. La expresión trigonométrica ArcCosu=z significa
Cosz = u.
Suponiendo : ]
;
0
[
z 
 .
Hallar : 





2
1
ArcCos
Sen
2
a)
2
1
b)
4
3
c) 3
d)
3
3
2
e)
3
3

133. Trigonometría
146
13. Dada la ecuación: ArcTan(x+1)ArcTan(x1)=ArcTan1
Indicar la suma de las soluciones
a)  2 b)  1 c) 0
d) 1 e) 2
14. Si: 3
ArcTan
2
3
ArcTan
3
ArcTan 


 ,
entonces :
a) 2
3
9 2




b)
3
1


c) 2
3
9
2




d)
3
1
ó
3
2 




e)
3
1
ó
3
2 




15. Si : Tan(ArcTan2x) + Cot(ArcCotx) = 6,
calcule :








1
x
x
ArcCos
Tan
K
a) 2 b)
2
2
c)
4
2
d)
3
3
2
e)
2
3
16. Dada la función : 




 

3
1
x
2
ArcSen
3
2
)
x
(
g ,
halle : g
Dom
a)  
3
;
2
 b)





 2
;
2
1
c) 





2
1
;
1 d)  
2
;
1

e)  
1
;
2

17. Dada la función :





 

7
5
x
6
ArcCos
6
5
)
x
(
h ,
halle :
h
Dom
a) 





3
4
;
1 b) 




 2
;
3
1
c) 





3
1
;
2 d) 




 2
;
6
5
e) 





6
5
;
3
1
18. Dada la función :



2
x
ArcSen
2
)
x
(
g ,
halle :
g
Rango
a)  


 3
; b)  


 ;
c)  
0
;
2
 d)





 


2
3
;
2
e)  

2
;
0
19. Dada la función :
4
3
x
4
ArcCos
4
1
)
x
(
h 

 ,
halle :
h
Rango
a) 




 
4
;
0 b) 




 

;
4
3
c) 




 

8
7
;
8
5
d) 




 

;
2
e) 




 

2
3
;
4
5
20. Graficar : 


 )
1
x
(
ArcSen
4
y
a)
y
x
b)
y
x
c)
y
x
d)
y
x
e)
y
x
21. Grafique la función :
4
ArcCosx
2
y 


a)
y
x
b)
y
x
c)
y
x
d)
y
x

134. TRILCE
147
22. Calcule :






 






 


6
5
Sen
ArcSen
6
Sen
ArcSen





 
6
7
Sen
ArcSen
a) 0 b)
6

 c)
6

d)
3

e)
2

23. Calcule: )
4
Cos
(
ArcCos
)
2
Cos
(
ArcCos 


a) 1
2 
 b) 1
2 

c) )
1
(
2 
 d) )
1
(
2 

e) )
2
(
2 

24. Calcular el valor de:
2
1
ArcTan
1
2
1
2
ArcTan
x 



a) 22º30' b) 45º c) 67º30'
d) 30º e) 60º
25. Hallar x, sabiendo que: ArcSenx
3
8
ArcCos 








a) 30º b)
9
8
c)
2
1
d)
3
1
e) 15º
26. El valor o valores que verifican :
2
3
)
ArcCosx
(
Sen
)
ArcSenx
(
Cos 

Son :
a)
4
7
y
4
5
b) Sólo
4
7
c)
4
7
y
4
7  d)
4
7

e)
4
5
y
4
5 
27. Hallar : x
ArcCscx
5
3
ArcCos
2
ArcCot
2 







a) 0 b)
5
4
c)
5
24
d)
25
7
e)
24
25
28. Señale el rango de la función :
y = f(x) = ArcSenx+ArcCosx+ArcTanx
a) 




 

2
3
;
2
b) 




 

4
3
;
4
c)
2
3
;
2


d)
4
3
;
4


e) 
;
0
29. Calcule : 









85
13
ArcSen
5
3
ArcSen
17
15
ArcSen
a)
4

b)
2

c)
4
3
d)
6
5
e) 
30. Al resolver la ecuación :
0
)
2
ArcTan
(
Sen
x
1
ArcSen
Tan 2










 ,
tenemos :
a)
3
5
x 
 b) x no existe.
c)
5
5
x 
 d) x = 1
e)
65
33
x 
31. Si : 2
1
1
ArcSen
1
2
ArcSen 























,
el valor de "  " es :
a) 1

 ; 0

 b)
3
2


c) 1
0 

 d) 1

 ; 2


e) 1


32. Evaluar la expresión :















 

4
11
27
ArcTan
2
11
1
ArcTan
3
Sen
a) 0 b) 1 c) 3
d) 11 e) 27
33. Calcular el valor de la siguiente expresión:













12
5
ArcTan
)
4
(
ArcCot
2
Sen

135. Trigonometría
148
a)
100
9
b)
200
19
c)
221
21
d) 0 e)
10
1
34. Si 1
x
0 
 , entonces, podemos afirmar que
)
1
x
2
(
ArcCos 2
 es igual a :
a) Arc Cosx b) Arc Senx
c) 2Arc Senx d) 2 Arc Cosx
e) Arc Cos2x
35. Resolver la ecuación:
3
ArcSenx
x
2
ArcSen 


a)
7
3
2
1
x  b)
7
3
2
1
x 

c) 1 d)
7
3
3
1
x 

e)
7
3
3
1
x 
36. Si : 


 Sec
ArcTan
Sec
ArcCot
x y Cosx > 0, el
valor de Senx es :
a)
2
Tan2 
b) 




 

2
Cot
2
c)
2
Tan2 
 d) 
2
Tan
e) 




 
2
Cot
2
37. Calcular el valor de "m", para que se cumpla la siguiente
igualdad: Sen(ArcTanm) = Tan(ArcSenm)
a) 1 b) 0 c)  1
d) 2 e) 2
38. Resolver: 2
3
2
1
x
ArcCos
ArcCosx
2
1
x
ArcCos


















a)  
0 b)  
1
;
0
;
1

c)  
1
;
0 d)






4
1
;
0
e)






4
1
;
0
;
4
1
39. Si : c
b
a 


 ,
halle :
ab
c
ArcTan
ac
b
ArcTan
bc
a
ArcTan 






a) 0 b)
4

c)
6

d)
3
2
e) 
40. Reduzca: 











2
x
1
x
2
ArcSen
ArcTanx
2
Para : 
1
;
x 



a)  b) 2ArcTanx
c) 4ArcTanx d) 

e) 0
41. Señale el número de raíces de la ecuación:





 





 2
2
x
ArcCos
2
x
6
2
x
2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) Ninguna
42. Acerca de la función: 









3 2
x
1
ArcSen
)
x
(
f
Podemos afirmar que :
I.  
2
2
;
0
:
Dom
f
II.





 
2
;
0
:
Ran
f
III. "f" es decreciente 1
;
0
x 

Luego, es correcto :
a) Sólo I b) Sólo II
c) Sólo III d) I y II
e) II y III
43. Si : 







2
1
;
2
3
x , determine el rango de la
función:




ArcCosx
6
3
)
x
(
g
a)  
2
;
1 b) 




 1
;
2
1
c) 





3
;
7
3
d) 





2
3
;
2
1
e) 





2
3
;
5
3
44. Calcular el valor de :





 

4
1
ArcSen
2
1
2
Cos
a) 






 

4
3
5
b) 






 

4
3
5

136. TRILCE
149
c)
4
3
5 
d)
4
2
5 
e) 






 

4
2
5
45. Señale el dominio de la función :





 

4
|
x
|
x
3
ArcCos
4
1
)
x
(
h
a)  
2
;
2
 b)  
1
;
1

c)  
2
;
1
 d)  
1
;
2

e)  
3
;
0
46. Obtenga el valor de la expresión :
1
x
ArcCsc
1
x
2
ArcCot
2
x
ArcTan
ArcCosx
)
2
x
(
ArcSen
A
2








a) 0 b)
3
2
 c)
3
5
d)
3
1
 e)
5
3

47. Reduzca :







 


12
5
15
2
ArcSen
3
2
ArcSen
J
a)
6
1
ArcSen b)
5
2
ArcSen
c)
4
1
ArcSen d)
7
2
ArcSen
e)
3
1
ArcSen
48. Halle el valor de la expresión :






















3
2
ArcSen
4
Cos
3
1
ArcCos
4
Sen
N
3
3
a)
18
6
7
b)
18
6
5
c)
9
3
7
d)
9
2
5
e)
4
2
7
49. Si: ArcSenx + ArcSeny + ArcSenz =  ,
calcule:
xy
z
1
zx
y
1
yz
x
1
H
2
2
2






a) 1 b) 2 c) 2
d) 4 e) 4
50. Calcule :







 








 


3
1
2
2
ArcTan
3
1
3
1
2
ArcTan
2
1 3
3
a)
10

b)
18

c)
36

d)
40

e)
72

51. Resolver :
6
5
x
x
1
ArcTan
x
1
x
ArcTan







 








a) 3
5
3
b) 4
4
3
c) 4 6
d) 4
5
4
e) 3 2
52. Al resolver la ecuación : 0
1
x
3
x
3


 ,
se obtiene como raíces :
1
x ,
2
x ,
3
x
Calcule el valor de :








3
1
k
k
x
2
1
ArcSen
a)
9

 b)
10

c)
18

d)
9
13
e)
9
26
53. Del gráfico mostrado, halle :
a + 3b c
y
x
2
2
y=a+b.ArcCos(cx)
y=ArcSenx
a)
12

b)
6

c)
4

d)
3

e)
12
7
54. Se define la función :
3
ArcTanx
4
x
ArcTan
)
x
(
f
2



Halle el dominio de dicha función :

137. Trigonometría
150
a) 
Tan1
;

 b)  

;
1
Tan
c) R d)  
Tan1
;
1
Tan

e)  
Tan1
;
0
55. Qué valor de "x" maximiza :
)
ArcCosx
(
)
ArcSenx
(
)
x
(
f
y 5


a)
2
1
3 
b)
2
1
3 
c)
4
2
6 
d)
4
2
6 
e)
3
6
56. Del gráfico, calcular :



 Tan
Tan
K
y
x


y=ArcCosx
y=2ArcSenx
a)
2
1
b)
4
1
c) 2
d) 4 e)
4
3
57. Dada la función "f" definida por :
ArcCotx
ArcSenx
)
x
(
f 
 ,
halle :





 
2
fmín
fmáx
a)
4

 b)
2

 c) 0
d)
4

e)
2

58. Calcule :










1
º
10
Csc
3
ArcTan
M
a)
10

b)
9

c)
5

d)
18

e)
20

59. Graficar :











2
x
1
x
2
ArcSen
)
x
(
f
y
a)
y
x
1
1

2

2

b)
y
x
c)
y
x
1
1

2

2

60. Si :
)
2
Sec
ArcCsc
(
Sen
)
2
Cos
ArcTan
2
(
Tan 


p
mCsc
n



Calcule : W = m + n  p
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

138. TRILCE
151
Claves
Claves
b
c
c
d
b
b
b
d
a
e
e
c
c
b
b
d
b
c
b
c
b
c
d
b
d
c
e
b
b
a
a
a
c
d
a
a
b
a
e
d
a
c
b
c
c
d
c
a
b
c
b
c
b
a
d
a
b
b
a
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

139. TRILCE
153
Capítulo
ECUACIONES E INECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
15
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son igualdades condicionales donde la variable (x) o arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectados de algún operador
trigonométrico como el seno, coseno, etc.
Es de la forma : F.T. (ax + b) = N ............... (*)
Donde el valor principal (Vp) es el valor del ángulo o arco (ax + b) definido en el "rango" de la función trigonométrica
inversa.
De (*) : Vp = Arc F
.T. (N)
Además N debe pertenecer al dominio de la función trigonométrica; a y b son constantes reales con 0
a  .
Ejemplo : De las ecuaciones trigonométricas elementales, con sus respectivos valores principales :
*
3
2
3
ArcSen
Vp
2
3
x
3
Sen 












*
3
2
2
1
ArcCos
Vp
2
1
4
x
2
Cos 
















 

*
4
)
1
(
ArcTan
Vp
1
8
5
x
3
Tan













 

EXPRESIONES GENERALES DE TODOS LOS ARCOS QUE TIENEN LA MISMA FUNCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
ECUACIÓN SOLUCIÓN
Z
k
;
Vp
1)
(
K
x
N
Senx
:
Si K








Obs : Vp = ArcSen(N)
ECUACIÓN SOLUCIÓN
Z
K
;
Vp
2K
x
N
Cosx
:
Si 




 
Obs : Vp = ArcCos(N)

140. Trigonometría
154
ECUACIÓN SOLUCIÓN
Z
K
;
Vp
K
x
N
Tanx
:
Si 






Obs : Vp = ArcTan(N)
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Inecuación Trigonométrica : Es una desigualdad condicional que involucra funciones trigonométricas por lo menos
una.
Ejemplos :
* Sen2x > Cosx
* Tan2x + Cot2x > Cscx
*
4
1
x
SenxCos
xCosx
Sen 3
3


*
3
1
x
2
Sen 
Inecuación Trigonométrica Elemental : Una inecuación trigonométrica se llamará elemental, cuando es de la forma :
incógnita
:
x
a ,
)
Kx
.(
T
.
F 



Ejemplos :
*
2
1
Senx 
*
2
3
x
2
Cos 
* 1
x
3
Tan 
Resolución de una Inecuación Trigonométrica Elemental :
Se estila seguir dos métodos :
Resolver :
2
1
Senx 

141. TRILCE
155
Método I :
En la circunferencia trigonométrica, ubicamos todos los arcos "x" cuyos senos sean mayores que
2
1
, así :
Z
n
;
n
2
6
5
;
n
2
6
x
Z
n
;
n
2
6
5
x
n
2
6
6
5
x
6
2
1
Senx























El conjunto solución general será :
2
1
y
5
6

6
x +y =1
2 2
Método II :
Graficamos en un mismo sistema coordenado las funciones :
2
1
g(x)
Senx
)
x
(
f 


Los puntos de intersección en un periodo del Senx : osea en  

2
;
0 , se obtienen con :
2
1
Senx
)
x
(
g
)
x
(
f 


6
5
x
6
x 





2
1
y
5
6

6
1
1
2
x
2
1
)
x
(
g 
f(x)=Senx

142. Trigonometría
156
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Sume las dos primeras soluciones positivas de:
2
1
x
2
Sen 
a) 180º b) 360º c) 90º
d) 270º e) 135º
02. Sume las dos primeras soluciones positivas de :
2
1
x
3
Cos 
a) 120º b) 240º c) 300º
d) 260º e) 270º
03. Sume las dos primeras soluciones positivas de :
3
)
º
30
x
2
(
Tan 

a) 170º b) 180º c) 200º
d) 210º e) 150º
04. Si : 1
x y 2
x son los dos primeros valores positivos de
"x" que verifican :
1
Cosx
x
Sen
2
2

 ,
calcule : )
x
x
(
Sen 1
2
 ,
si : 2
1
x
x 
a)
2
3
b)
2
1
c) 1
d)
2
1
 e)
2
3

05. Resolver :
(Sen4x+Cos4x)(Senx+Cosx)=1+Sen5x
Indique la suma de los tres primeros valores positivos
de "x"
a) 
2 b) 
3 c) 
d)
3
7
e) 
4
06. Sume las tres primeras soluciones positivas de la
ecuación :
)
x
3
Cos
x
5
Cos
(
3
x
3
Sen
x
5
Sen 


a) 135º b) 180º c) 165º
d) 160º e) 210º
07. Señale la suma de las dos menores soluciones positivas
de la ecuación :
1
x
Cos
x
Sen
x
Sen
4
4
2



a) 90º b) 180º c) 270º
d) 225º e) 135º
08. Resolver :
1
x
Cot
1
x
Tan
2
x
Sen
1
x
Cos
1
2
2
2
2




Luego, señale la suma de las dos primeras soluciones
positivas.
a) 90º b) 135º c) 180º
d) 225º e) 270º
09. Al resolver la ecuación :


 Cos
2
x
2
Sen
x
4
Sen
x
2
Cos
x
4
Cos
Luego, señale la menor solución positiva.
a)
4

b)
6

c)
3

d)
8

e)
12

10. Resolver :
5
4
SenxCosy  ........... (1)
5
1
SenyCosx  ........... (2)
Para : 90º
;
0
y
,
x 
a) x = 63º30' ; y = 26º30'
b) x = 53º ; y = 37º
c) x = 71º30' ; y = 18º30'
d) x = 67º30º ; y = 22º30'
e) x = 60º ; y = 30º
11. Resolver :
2
1
)
ArcCosx
2
(
Cos 
a)






2
1
b)







2
3
c)








2
3
;
2
1 d)








2
3
;
1
e)







2
2
12. Resolver :
9
Cos
x
2
Sen 
 ; Z
n

143. TRILCE
157
a)





 



18
5
)
1
(
n b)





 



36
7
)
1
(
2
n n
c)





 



18
7
)
1
(
n
n
d)





 



9
)
1
(
n
2
n
e)





 



18
5
)
1
(
2
n n
13. Resolver :
2Cos5x . Cosx - Cos6x = 1 ; Z
n
a)  

n
2 b)  

n
4
c)  

n d)





 
2
n
e)





 
4
n
14. Resolver : Secx = 6Senx ; Z
n
a)









 


6
1
ArcSen
2
)
1
(
n
n
b)









 


6
1
ArcSen
2
)
1
(
2
n
n
c)









 


3
1
ArcSen
2
)
1
(
n
n
d)









 


3
1
ArcSen
2
)
1
(
2
n
n
e)









 


3
2
ArcSen
2
)
1
(
2
n
n
15. Resolver en el intervalo de  

2
;
0 la inecuación :
2
1
Senx 
a) 




6
5
;
6
b) 




 

6
5
;
6
c) 

 

6
5
;
6
d) 




 

3
2
;
3
e) 




3
2
;
3
16. Resolver en el intervalo de 
2
;
0 la inecuación :
2
1
Cosx
2
1 


a)
3
5
;
3
4
3
2
;
3








 

b)








 

6
1
1
;
6
7
6
5
;
6
c)








 

3
5
;
3
4
3
2
;
3
d)
6
1
1
;
6
7
6
5
;
6








 

e)








 

3
5
;
6
7
3
2
;
6
17. Resolver en el intervalo de 
;
0 la inecuación :
0
Tanx
x
Tan
2


a)
2
;
4


b)
4
;
0

c)









2
;
4
d) 

;
2
e)









2
4
3
;
4
18. Resolver :
0
7
Cosx
Senx
2
1
Cosx
2 



Para :  

 ;
0
x
a)
4
3
;
2


b)




 ;
4
c) 



 ;
4
3 d) 

 
4
;
0
e)
4
3
;
4


19. Resolver :
4
1
2
x
Cos
2
x
Sen
2
x
Cos
2
x
Sen 3
3


en el intervalo de 
2
;
0
a)
6
5
;
6


b)
3
2
;
3


c) 




 

6
5
;
6
d) 




 

3
2
;
3
e) 




 





 ;
6
5
6
;
0

144. Trigonometría
158
20. Resolver en 
2
;
0
Sen2x > Cosx
a)
2
;
6


b)
2
3
;
6
5 

c) 

2
;
6
7
d) b
a 
e) c
a 
21. Dada la ecuación :
Cosx + Cos2x + Cos3x = 0,
hallar la suma de todas las soluciones de dicha
ecuación, si estas soluciones están comprendidas entre
0 y 
2 (radianes).
a)  b) 
2 c) 
4
d) 
3 e) 
6
22. Al resolver el sistema :









3
2
Tany
Senx
6
3
4
Tany
3
Senx
2
,
se obtiene que la solución en el primer cuadrante es :
a) x = 45º , y = 45º
b) x = 60º , y = 30º
c) x = 30º , y = 60º
d) x = 60º , y = 45º
e) x = 60º , y = 60º
23. Al resolver la ecuación :
TanxCscx
x
Cos
x
2
Sen
2

 ,
calcular la diferencia entre dos de dichas soluciones :
a)
3
2
b)
6

c)
12

d)
15
2
e)
4
3
24. Resolver la siguiente ecuación :
0
1
Senx
x
2
Cos
2
x
2
SenxCos
2 



a)
8
,
12
,
2



b)
4
,
6
,
2



c)
12
,
6
,
2



d)
6
5
,
6
,
2



e)
12
5
,
12
,
2



25. Hallar "x" en :
Sen40º Senx = Cos40º Cosx - 2Cos20º Cosx
a) 130º b) 150º c) 60º
d) 135º e) 120º
26. Al resolver la ecuación 1
Tan
3 2

 donde



 2
0 , la suma de todas sus soluciones es :
a) 
2 b) 
3 c) 
4
d) 
5 e) 
6
27. La suma de las soluciones, en el intervalo [0º ; 360º]
de la ecuación :
Cosx
Senx
x
2
Sen
2 
 es :
a) 450º b) 495º c) 600º
d) 945º e) 1170º
28. La afirmación que cumple con la siguiente inecuación:
3
Cosx
2
Senx
3 

a) 






5
1
Sen
Arc
x
b) 6
5
2
Cosx 
c)
3
2
Senx 
d) 









 2
5
1
Sen
Arc
x
e)
4
9
x 



29. Si
1
x y
2
x son dos soluciones de la ecuación : 5Cosx
 4Senx = 4,
entonces el valor de :
2
1
2
1
Senx
Senx
Senx
Senx 
 es :
a) 0 b) 1 c) 1
d) 2
1 e)
2
2
1

30. Dada la función f cuya regla de correspondencia es :
f(x) = Cosx  Sen2x
En la que x varía : 



 2
x
El número de intersecciones de la función y = f(x) con
el eje de abscisas es :
a) 3 b) 4 c)5
d) 6 e) 7
31. Resolver la desigualdad :
Sen2x > Senx , 

 x
0
a)


 
3
;
0 b)





 
3
;
0
c)
3
;
0
 d)




3
;
0

145. TRILCE
159
e) 
;
0
32. Calcular la suma de las soluciones de la ecuación
trigonométrica, si 




 



2
;
2
x





 






 


2
x
4
Cos
2
x
4
Sen
2
Cosx
3
a)
2

b)
2

 c)
3


d)
3

e) 
33. Resolver la ecuación :
x
Cos
8
Cotx
x
2
Tan
2


NOTA : K es un número entero.
a)
3
)
1
(
4
K k 



b)
6
)
1
(
4
K k 



c)
12
)
1
(
4
K k 



d)
24
)
1
(
4
K k 



e)
48
)
1
(
4
K k 



34. Hallar el menor ángulo en el intervalo 




 

3
11
;
3
7
que satisface la ecuación :
0
Secx
3
x
Tan
2
2


a)
3
10
b)
3
2
c)
3
4
d) 0 e)
3
8
35. Determinar la suma de todas las soluciones de la
ecuación :
1
Senx
1
2
x
Sen
1







 

Que se encuentran en el intervalo ]
;
0
[ 
a)
2

b)
4

c)
3

d) 0 e) 
36. Resolver la ecuación :
Sen2x + 5Senx + 5Cosx + 1 = 0
a) Z
k
;
k
4




b) Z
k
;
k
2
4





c) Z
k
;
k
2
4
3 



d) Z
k
;
k
4





e) Z
k
;
k
4
3 




37. Resolver la ecuación :
Sen4x + 3Sen2x = Tanx
a) Z
k
;
3
k 

b) Z
k
;
k
2 

c) Z
k
;
3
k 





 


d) Z
k
;
6
k 

e) Z
k
;
4
k 

38. Resolver e indicar el número de soluciones en 
2
;
0
de la ecuación :
Cosx = (2  Tanx) (1 + Senx)
a) 2 b) 3
c) 4 d) 1
e) No existen soluciones.
39. Si k es un número entero, las soluciones de la ecuación:
x
SenxSec
4
x
Sen
2 2






 
 son :
a)
4
k 

 b)
4
k 


c)
3
)
1
(
k k 


 d)
6
)
1
(
k k 



e)
6
k
2 


40. El ángulo  en grados, que satisface la ecuación :
6
Cos
1
2
Cos
2
3 









 
Pertenece al intervalo :
a) 240º
;
º
180



146. Trigonometría
160
b) 135º
;
º
120


c) 300º
;
º
300



d) 120º
;
º
90


e) 270º
;
º
240


41. El número de elementos del conjunto :
 
0
1
Secx
Cos2xSecx
/
]
2
;
0
[
x
F 





es :
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
42. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica :
Cotx
Senx
2
x
Cot 

a) 
 )
1
k
2
(
2
1 b) 
 )
1
k
2
(
3
1
c) 
 )
1
k
2
(
4
1 d) 
 )
1
k
4
(
2
1
e) 
 )
3
k
4
(
2
1
43. Indique una solución general para la ecuación :
4Cosx Cos2x Cos3x = 1
a)
4
k 

 ; Z
k 

b)
2
k 

 ; Z
k 

c)
3
k 

 ; Z
k 

d)
6
k 

 ; Z
k 

e)
8
k 

 ; Z
k 

44. Sea :
2
x
0 

 ;
4
y
0 


Entonces el intervalo en el que x satisface la igualdad :
Tany = 2Senx es :
a)
6
x
0 

 b)
6
x
0 


c)
6
x
0 

 d)
6
x
0 


e)
4
x
0 


45. En el intervalo  
2
;
0 , para qué valores de  , se
cumple la siguiente desigualdad:


 Tan
Sec
a) 







 
4
7
;
2
3
2
;
0
b) 




  2
;
2
3
2
;
0
c) 
 2
;
2
3
d)
2
3
;
2


e) 







 
 2
;
2
3
;
2
46. Para qué valores de 
 ;
0
x , se cumple:
0
3
x
2
Cos
2
x
Cos
2














a) 
;
0 b)
3
;
0 
c)
2
;
0  d)
3
2
;
0

e) 

;
3
2
47. Calcule la mayor solución negativa de la ecuación :





 






 






 


6
x
Tan
9
x
Tan
18
x
Tan
Tanx
a)
9

 b)
9
2
 c)
9
4

d)
9
5
 e)
36
17

48. Resuelva :
6
|
x
2
Cot
x
2
Tan
|
)
x
2
Cot
x
2
Tan
(
2




Z
k 
a)





 


8
4
k
b)





 


8
2
k
c)





 


4
k d)





 


16
k
e)





 


8
8
k

147. TRILCE
161
49. Resolver :
2
x
3
Sen
2
x
9
Sen
2
x
3
Cos
2
x
9
Cos 4
4
4
4



Z
k 
a)





 

2
)
1
k
4
( b)





 
6
k
c)





 

2
)
1
k
2
( d)





 
12
k
e)





 

12
)
1
k
4
(
50. Halle el menor valor positivo que resuelve la ecuación
trigonométrica :
x
2
Cos
4
3
x
6
Cos
2


a)
15

b)
12

c)
5

d)
4

e)
6

51. Resuelva la ecuación :
|
Cosx
|
9
28
x
Cos
3
1 2


e indique la suma de soluciones en el intervalo de

2
;
0
a) 
5 b) 
4 c) 
6
d)
2
9
e)
2
7
52. Si :
14
Sen
x
1

 es una raíz de :
n
x
4
x
4
x
8
)
x
(
f 2
3



 ,
calcule "n"
a) 1 b) 2 c) 7
d) 1 e) 7

53. Resolver la ecuación :
x
3
xTan
2
Tan
x
2
Tan
3
x
3
Tan
2
2


Z
n
a)





 


3
n b)





 


6
n
c)





 


6
n
2 d)  

n
e)  

n
2
54. Resolver :
Tan5x Tanx = Tan2x Tan3x
Z
k 
a)





 


24
6
k
b)





 


18
3
k
c)





 


24
3
k
2
d)





 


9
3
k
2
e)





 


12
2
k
55. Si :
2
1
x
x  son las dos menores soluciones positivas
de la ecuación :
)
x
Tan
3
5
(
x
5
Tan
x
Tan
5
3 2
2
2



Tal que : 2
1
x
x  ,
halle :
1
2
x
x
a) 3 b) 6 c) 4
d) 8 e) 5
56. Resolver :
27
23
x
Cos
x
Sen 3
2


Z
k 
a)





 

3
1
ArcCos
k
2
b)





 

3
2
ArcCos
k
2
c)





 


3
2
ArcSen
)
1
(
k
k
d)





 


3
1
ArcSen
)
1
(
k k
e)





 

3
1
ArcTan
k
2
57. Resolver :
x
4
Cos
x
Sen
8
4
 ; Z
n
a)





 

4
3
ArcCos
n
b)





 

4
3
ArcCos
2
1
n
c)





 

4
3
ArcCos
2
n

148. Trigonometría
162
d)





 

4
3
ArcCos
2
1
2
n
e)





 

4
3
ArcCos
2
1
4
n
58. Si el determinante de la matriz :











1
1
1
x
6
Sen
x
4
Sen
x
2
Sen
x
5
Sen
x
3
Sen
Senx
C
Es : 0,5Sen2x
Hallar "x" ( Z
n )
a)





 
2
n
b)





 



6
)
1
(
n
n
c)





 



6
)
1
(
n n
d) a y b
e) a y c
59. Resolver :
13(1 + Senx + Cosx) + Sen2x = 0
Z
n
a)





 



4
)
1
(
n
n
b)





 



4
)
1
(
n
n
c)





 



2
)
1
(
n n
d)





 





4
4
)
1
(
n n
e)





 





4
4
)
1
(
n n
60. Resuelva :
0
4
x
Sen
2
x
Sen2


e indique como respuesta la suma de soluciones en

8
;
0
a) 
12 b) 
16 c) 
20
d) 
15 e) 
28

149. TRILCE
163
Claves
Claves
c
a
b
d
e
c
b
c
b
a
b
b
d
d
b
c
c
e
c
d
e
e
a
d
e
c
b
d
b
c
c
c
d
e
d
d
a
a
b
c
b
a
c
d
b
c
c
a
b
b
b
a
d
b
c
b
b
c
d
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

150. TRILCE
165
Capítulo
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
16
¿Qué es resolver un triángulo?
Dado el triángulo ABC, oblicuángulo; resolverlo significa determinar las medidas de sus elementos básicos; es decir, sus tres
lados (a, b y c) y sus tres ángulos (A, B y C); a partir de ciertos datos que definan el triángulo.
¿Cómo resolver un triángulo?
Una vez que reconocemos los datos del triángulo y verificamos que se encuentra definido; para resolverlo, se utilizarán
algunas propiedades geométricas, relaciones trigonométricas ya conocidas y otras propias del capítulo como las siguientes:
I. TEOREMA DE LOS SENOS :
"En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos"
SenC
c
SenB
b
SenA
a 

A
B
C
b
a
c De donde :
aSenB = bSenA
bSenC = cSenB
cSenA = aSenC
Corolario :
"En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos; siendo la
constante de proporcionalidad, el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo".
SenC
c
SenB
b
SenA
a 

R : Circunradio
De donde :
a = 2RSenA
b = 2RSenB
c = 2RSenC
A
B
C
R
c
a
b
2R
II. TEOREMA DE LOS COSENOS :

151. Trigonometría
166
"En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes
de los otros dos lados, menos el doble del producto de los mismos multiplicados por el Coseno del ángulo formado por
ellos".
A
B
C
a
b
c
a = b + c 2bc CosA
2 
2 2
b = a + c 2ac CosB
2 
2 2
c = a + b 2ab CosC
2 
2 2
De donde podemos deducir fácilmente :
ab
2
c
b
a
CosC
ac
2
b
c
a
CosB
bc
2
a
c
b
CosA
2
2
2
2
2
2
2
2
2









III. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES :
"En todo triángulo, la longitud de un lado es igual a la suma de los productos de cada una de las otras dos longitudes con
el Coseno del ángulo que forman con el primer lado":
a = bCosC + cCosB
b = aCosC + cCosA
c = aCosB + bCosA
A
B
C
b
a
c
IV. TEOREMA DE LAS TANGENTES :
"En todo triángulo se cumple que la suma de longitudes de dos de sus lados, es a su diferencia; como la Tangente de la
semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados, es a la Tangente de la semidiferencia de los mismos ángulos".
A
B
C
b
a
c





 





 








 





 








 





 



2
A
C
Tan
2
A
C
Tan
a
c
a
c
2
C
B
Tan
2
C
B
Tan
c
b
c
b
2
B
A
Tan
2
B
A
Tan
b
a
b
a
ALGUNAS LÍNEAS NOTABLES

152. TRILCE
167
abCosC
2
b
a
m
4
acCosB
2
c
a
m
4
bcCosA
2
c
b
m
4
2
2
2
c
2
2
2
b
2
2
2
a









m : Mediana relativa a “a”
a
A
B C
M
a
ma
V : Bisectriz interior del “A”
A
A
B C 2
C
Cos
b
a
ab
2
VC



2
B
Cos
c
a
ac
2
VB



2
A
Cos
c
b
bc
2
V
A



D
VA
V’ : Bisectriz exterior del “A”
A
A
B C
V’A
2
C
Sen
|
b
a
|
ab
2
'
V
C



2
B
Sen
|
c
a
|
ac
2
'
V B



2
A
Sen
|
c
b
|
bc
2
'
V
A



RADIOS NOTABLES
2
B
Cos
2
A
Cos
2
C
RSen
4
r
c

2
C
Cos
2
A
Cos
2
B
RSen
4
r
b

2
C
Cos
2
B
Cos
2
A
RSen
4
r
a

r : Exradio relativo al lado “a”
a
r : inradio
2
C
Sen
2
B
Sen
2
A
Rsen
4
r 
A
B C
r
ra
A
B
C

153. Trigonometría
168
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. En un triángulo ABC: º
30
  ; º
135
B̂  y a = 2.
Calcular : "c"
a) 2
6 
b)
2
2
6 
c)
2
2
6 
d)
4
2
6 
e) 1
3 
02. En un triángulo ABC : a = 3 ; b = 2
º
60
Ĉ  .
Calcular : "c"
a) 2
3
b) 6
2
c) 6
d) 13
e) 7
03. En un triángulo ABC, se tiene que :
4
SenC
3
SenB
2
SenA 

Halle el valor de :
2
2
2
2
a
b
c
b
J



a)
12
25
b)
7
25
c)
7
13
d) 5
e)
5
12
04. En un triángulo ABC:
7
c
5
b
3
a 

¿Cuál es la medida de Ĉ ?
a) 60º
b) 30º
c) 120º
d) 150º
e) 127º
05. En un triángulo ABC; simplificar :
2
2
2
2
2
2
c
b
a
b
c
a
J





a) TanA
b) CotA
c) TanB . TanC
d) TanC CotB
e) A
Tan
2
06. En un triángulo ABC, se sabe que :
ac
2
1
b
c
a 2
2
2



Calcular :
2
B
Cos
a) 125
,
0
b) 625
,
0
c) 0,25
d) 0,125
e) 0,625
07. En un triángulo ABC, se cumple :
aCotA = bCotB = cCotC
¿Qué tipo de triángulo es?
a) Isósceles.
b) Equilátero.
c) Acutángulo.
d) Obtusángulo.
e) Rectángulo.
08. En el prisma rectangular mostrado, calcular: 
Sec
2
3

4
a)
3
2
5

154. TRILCE
169
b)
15
2
26
c)
29
2
26
d)
13
2
15
e)
11
2
13
09. En un triángulo ABC, reducir :
SenC
bCosA
aCosB
Q


a) R
b) 2R
c)
2
R
d) 4R
e)
4
R
10. En un triángulo ABC, reducir :
2
2
2
c
b
a
caCosB
bcCosA
abCosC
Q





a) 1
b) 2
c)
2
1
d) 4
e)
4
1
11. En un triángulo ABC, se cumple :
(a c) CosB = b (CosC CosA)
¿Qué tipo de triángulo es?
a) Acutángulo.
b) Rectángulo.
c) Equilátero.
d) Obtusángulo.
e) Isósceles.
12. En un triángulo ABC, simplificar :
(p : Semiperímetro)





SenB
cSenB
bSenC
SenA
bSenA
aSenB
Q
SenC
aSenC
cSenA 
a) p
b) 2p
c) 3p
d) 4p
e) 8p
13. En un triángulo ABC, reduzca :
G = (aCosC + cCosA) CosC + (aCosB +
bCosA) CosB
a) a
b) b
c) c
d) 0
e) a + b + c
14. En un triángulo ABC, reduzca la expresión
c
b
a
c
SenC
SenB
SenB
SenA
G






a)
2
1
b) 1
c) a
d) b + c
e) 1
c
a 
15. En un triángulo ABC, se tiene que :
2a = 7b  º
60
C
m 

Halle el valor de :





 
2
B
A
Tan
a)
3
3
5
b)
9
3
5
c)
5
3
9
d)
2
3
7
e)
7
3
2

155. Trigonometría
170
16. En un triángulo ABC, se cumple :
2
2
2
c
b
bc
2
3
a 


Halle :
2
A
Tan
a) 7
b)
7
7
c)
2
5
d)
5
5
e)
7
5
17. Si en un triángulo ABC; 3
aCosC
b
bCosC
a 


Calcular :





 

2
B
A
Tan
2
C
Tan
G
a) 1
b) 2
c) 4
d)
2
1
e)
4
1
18. En un triángulo ABC :
ab
2
1
c
b
a 2
2
2



Calcular :
2
C
Tan
a) 2
,
0
b) 3
,
0
c) 4
,
0
d) 5
,
0
e) 6
,
0
19. En el triángulo equilátero ABC; BP = 5AP AN = 2NC.
Calcular : 
Sec
M
P
A
B
C

N
a) 9 b) 91
2 c) 91

d) 91
2
 e) 71
2

20. Dado el triángulo ABC, hallar el ángulo "B".
A
B
C
30°
30°
2
3
a) 3
3
ArcSen
b) 3
ArcTan
c) ArcTan3
d) 3
3
ArcSec
e) 3
3
ArcTan
21. En la figura, G es el centro del cuadrado ABCD. Hallar
la suma de los cuadrados de las distancias de los vértices
del cuadrado de la recta XY, si el lado del cuadrado es
L.
A B
C
D
20°
x
y
G
a) 2
L
b)
2
L
2
c) 2
L
3
d)
2
L
4
e) 2
L
5

156. TRILCE
171
22. El producto Sen2B . Sen2C del triángulo ABC es igual
a :
A
B
C
10 15
20
a)
256
105

b)
18
15
c)
125
86
d)
256
105
e)
125
86

23. Sea el triángulo ABC y sean a, b y c las longitudes de
los lados opuestos a los vértices A, B y C,
respectivamente.
Si se cumple la relación :
CosC
c
CosB
b
CosA
a 

Entonces el triángulo ABC es :
a) Acutángulo.
b) Obtusángulo.
c) Isósceles.
d) Equilátero.
e) Rectángulo.
24. Las diagonales de un paralelogramo miden "a" y "b",
forman un ángulo agudo C. El área del paralelogramo
es :
a) abSenC
b) abCosC
c) abCscC
2
1
d) abSenC
2
1
e) abCosC
2
1
25. Hallar el área del triángulo OB'C', si AB=4=BC,
4
AB
O
M
1
 , AC=6.
1
M y
2
M puntos medios en AC
y BC respectivamente '
OC
//
AC y '
C
'
B
//
BC
AO=OC'.
A B
C
O
 
M1 M2
B’
C’
a) 7
3
29






b) 7
6
29






c) 7
7
29






d) 7
2
29






e) 7
24
29






26. Si en un triángulo, donde a, b, c son los lados opuestos
a los ángulos A, B, C se cumple que :
2
C
B 

 y 2
a
c
b 

Entonces :
2
A
B  es igual a :
a)
8

b)
4

c)
2

d) 0
e)
3

27. En un triángulo ABC, el ángulo C mide 60º y los lados
2
3
2
a 
 y 2
3
2
b 
 .
Entonces, la medida del ángulo A es :
a) 









2
2
ArcTan
3
2
b)










2
2
ArcTan
3

157. Trigonometría
172
c)










2
2
ArcTan
2
3
d)










2
2
ArcTan
3
2
e)










2
2
ArcTan
4
28. En un triángulo ABC, se cumple :
)
B
A
(
Sen
2
SenC 

6
2
3
3
TanB 

Hallar el valor del ángulo BAC.
a)
3

b)
6

c)
3
2
d)
12
5
e)
10
3
29. En un triángulo ABC, se cumple que :
º
90
C
m
B
m 


 ; 2
a
c
b 

Hallar la medida del ángulo B.
a) 110º
b) 105º
c) 127º
d) 120º
e) 125º
30. Sea el triángulo ABC de lados AB = AC y 2
BC  . Si
la bisectriz del ángulo B corta al lado opuesto en D y
BD = 1.
Entonces, los ángulos A y B son:
a) 60º ; 60º
b) 90º ; 45º
c) 100º ; 40º
d) 120º ; 30º
e) 150º ; 15º
31. En un triángulo ABC, C = 60º y a = 3b.
Determinar el valor deE= T
an(A B)
a) 3
4
b) 3
2
c)
2
3
d) 3
e) 1
32. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide "c"
unidades y la longitud de la bisectriz de uno de los
ángulos agudos es
3
3
c
unidades.
Hallar el área de la región delimitada por el triángulo
rectángulo dado.
a)
4
3
c2
b)
8
3
c2
c)
6
3
c2
d)
6
c
3 2
e)
2
c
3 2
33. En un triángulo ABC con lados a, b y c, respectiva-
mente; se tiene : 1
2
A
Tan  y
4
3
2
B
Tan  .
Determinar :
b
a
b
a


a) 50
b) 16
c) 49
d) 9
e) 25
34. Una diagonal de un paralelepípedo rectángulo forma
con las tres aristas concurrentes a un mismo vértice los
ángulos  ,  y  . El valor de :




 2
2
2
Sen
Sen
Sen es :
a)
2
3
b) 2
c)
2
5
d) 3
e) 4

158. TRILCE
173
35. En la figura, se muestra un triángulo en el que se cumple:
2
C
Sen
4
CosB
CosA 2


Luego el valor de a + b es :
A
B
C
a
b
c
a) 3c b)
2
c
3
c) 2c
d) c
3
5
e) c
2
5
36. En la figura mostrada, el triángulo ABC está inscrito en
una circunferencia de radio R. Si se cumple que :
2
2
2
R
2
a
c 
 y la medida del ángulo B es 30º, los
valores de los ángulos A y C son respectivamente:
A
B
C
a
c
R
a) 45º y 105º
b) 35º y 115º
c) 60º y 90º
d) 30º y 120º
e) 25º y 125º
37. Dos circunferencias de radios 2u y 3u, tienen sus
centros separados una distancia igual a 4u. El Coseno
del ángulo agudo que forman las tangentes a ambas
circunferencias en un punto de corte, es igual a :
a)
2
1
b)
2
3
c)
2
1
d)
3
1
e)
4
1
38. En un triángulo ABC, se cumple :
2
5
5
2
2
3
2
2
3
abcR
2
)
b
a
(
)
c
a
(
b
)
c
b
(
a 





Donde :
R : Circunradio del triángulo ABC
Calcule :
P = SenA Sen2A + SenB Sen2B
a) 1 b) 2 c)
4
3
d)
2
1
e)
2
3
39. Del gráfico, ABC es un triángulo isósceles recto en "B" y
DBE es un triángulo equilátero.
Si : AC = 6
Calcular : 2
2
2
CP
BP
AP 

P
A D E C
B
a) 18 b) 19 c) 9
d) 81 e) 27
40. En un triángulo ABC :





 




2
C
A
Cot
2
B
Tan
4
c
a
c
a
Calcular :
TanC
TanA
TanC
TanB
TanA



a)
4
3
b)
3
4
c)
6
7
d)
7
6
e)
5
2
41. En el triángulo equilátero mostrado, calcular :



 Sec
)
3
º
15
(
Cos
J
A
B
C

2
45º

159. Trigonometría
174
a)
2
1
6 
b) 1
3 
c)
2
1
3 
d)
2
1
3 
e)
3
1
2 
42. Si en un triángulo ABC :
5
3
cCosA
b
bCosA
c 


Calcular :
2
A
Tan
2
C
B
Tan
L





 

a)
5
2
b)
7
3
c)
7
4
d)
5
3
e)
4
1
43. En un triángulo ABC :
Cos2A + Cos2B + Cos2C =  n
Las distancias del ortocentro a los lados del triángulo
son x ; y ; z.
Hallar : xyz
J  , si el circunradio mide 2
a) 2n  1
b) 2(n  1)
c) 2(1  n)
d) n 1
e) )
1
n
(
2
4 
44. Los lados de un cuadrilátero son a = 7; b = 8; c = 9;
d = 11.
Si su superficie es S = 33, calcular la tangente del
ángulo agudo formado por las diagonales.
a) 2 b) 2,3 c) 2,4
d) 1,8 e) 1,6
45. Dado un cuadrilátero ABCD, determine el valor de la
expresión.
2
2
2
2
)
d
a
(
)
c
b
(
2
A
adCos
2
C
bcCos
E

















a)
4
1
b)
12
1
c)
3
1
d) 0 e)
6
1
46. Siendo A, B y C los ángulos internos de un triángulo,
para el cual se cumple :
2SenB SenA = Sen(A+B+C)+SenC
Calcule el valor de :
1
2
C
Cot
2
A
Cot
1
2
C
Cot
2
A
Cot
A



























a)  1 b)
2
1
 c)
2
1
d) 1 e) 2
47. En un triángulo acutángulo ABC, la circunferencia
descrita tomando como diámetro la altura relativa al
lado a, intercepta a los lados b y c, en los puntos P y Q
respectivamente.
Exprese el segmento PQ en función de los ángulos del
triángulo y del radio R de la circunferencia circunscrita
al triángulo.
a) 2RSenA SenB SenC
b) R SenA SenB SenC
c) R CosA CosB CosC
d) 3R CosA CosB CosC
e) R TanA TanB TanC
48. En un triángulo ABC, reducir :
SenB
SenA
)
B
A
(
Sen
c
SenA
SenC
)
A
C
(
Sen
b
SenC
SenB
)
C
B
(
Sen
a
P
2
2
2









a) SenA SenB SenC
b) CosA CosB CosC
c) Sen (A + B + C)
d) Cos (A + B + C)
e) 2Cos (A + B + C)

160. TRILCE
175
49. En el triángulo ABC, se tiene : AB = 2, 6
AC 
Calcular : '
b
'
b
V
V
Donde : (V'b y Vb son bisectrices exterior e interior
respectivamente, relativo al lado b)
45º
A
B
C
D
a) 3
2  b) 3
1
c) 3
2  d) 1
3 
e) 2
50. Dado un triángulo ABC, si : º
30
C
m 
 y
2
5
b
a 
Calcular :  
Â
B̂
2
1 
a) 30º
b) 




 


3
ArcTan
c)  







 2
3
7
3
ArcTan
d)  




 

 3
2
7
3
ArcTan
e)  






 3
2
7
3
ArcTan
51. En el cuadrilátero ABCD de la siguiente figura, calcular:


 Cos
2
Sen
Si : 2AD = AB = 3AC

A
B C
D
a)
7
1
b)
4
3
c)
2
3
d)
3
2
e)
3
1
52. Los ángulos de un cuadrilátero ABCD están en
progresión geométrica de razón 3.
Calcular :
P = CosA CosB + CosB CosC +
CosC CosD + CosD CosA
a) 1 b)
2
1
c)
4
1
d)
4
5
e)
2
5
53. En un triángulo ABC, se cumple que :
b
2
c
a
CosA 
 ;
c
2
b
a
CosB 

Calcular :
TanA + TanB + TanC
a) 7
 b) 3
2 c) 13
d) 11 e) 5
2
54. En la figura R, 1
R ,
2
R y
3
R son los radios de las
circunferencias circunscritas a los triángulos ABC, ABP
,
BCQ y ACS respectivamente.
Hallar "R".
1
R1
 ; 2
R2
 ; 4
R
3

P
Q
S
B
A
C



a) 2 b) 1 c) 3
d) 2 e) 4
55. Los lados de un triángulo oblicuángulo ABC, miden :
b = (SenA + CosA)u
c= (SenA CosA)u
Además : u
2
6
a 
Hallar la medida del mayor valor de A.
a) 60º b) 72º c) 54º
d) 65º e) 45º

161. Trigonometría
176
56. En un triángulo ABC, reducir :
C
2
BSen
2
ASen
2
Sen
)
aCosC
b
)(
cCosB
a
)(
bCosA
c
(
M




a) R b) 3
R
8 c) 3
R
4
d)
3
R e) 2
R
6
57. En un triángulo ABC, se cumple que :
)
B
A
(
Cos
3
B
2
Sen
A
2
Sen 







 






 
2
B
A
Tan
3
2
B
A
Tan
Hallar la medida del ángulo "B"
a) 30º
b)
5
3
ArcTan
c)
2
3
ArcTan
d) a o b
e) a o c
58. En un triángulo ABC, se cumple que :
CotA + CotC = 2CotB
Luego se cumple que :
a) a + c = 2b
b) ac
b
2
2

c) 2
2
2
b
2
c
a 

d) c
a
b
2


e) 2
2
2
c
a
b
4 

59.Siendo ABC un triángulo de lados a, b y c, entonces
respecto a"K" podemos afirmar que :






















bCosC
a
cCosB
a
c
b
a
c
b
a
K
2
2
2
2
2
2
a) K = 1 b) K = 2 c) K = 4
d) 2
K  e) 4
K 
60. En un cuadrilátero inscriptible ABCD, de lados AB = a,
BC = b, CD = c y AD = d.
Calcular :
SenB
SenA
R 
a)
bd
ad
cd
ab


b)
bd
ac
cd
ab


c)
bc
ad
cd
ab


d)
cd
ab
bd
ac


e)
abcd
d
c
b
a 



162. TRILCE
177
Claves
Claves
a
e
d
c
d
b
b
e
b
c
e
d
a
b
b
a
b
e
b
e
a
a
d
d
e
a
b
a
b
d
a
b
c
b
c
d
e
d
e
b
d
e
e
c
a
c
a
c
a
c
d
b
a
d
b
d
d
c
d
c
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

163. Í N D I C E
TRIGONOMETRÍA
Primer Bimestre Pág.
Capítulo 01
Razones Trigonométricas de un ángulo agudo I ............................................................. 9
Capítulo 02
Razones Trigonométricas de un ángulo agudo II ............................................................. 19
Capítulo 03
Ángulos Verticales - Ángulos Horizontales ........................................................................ 31
Capítulo 04
Sistema Coordenado Rectangular ..................................................................................... 41
Capítulo 05
Razones Trigonométricas de un ángulo en posición normal ......................................... 51
Capítulo 06
Reducción al primer cuadrante ........................................................................................... 61
Capítulo 07
Circunferencia Trigonométrica ......................................................................................... 71
Segundo Bimestre
Capítulo 08
Identidades Trigonométricas de una variable .................................................................. 83
Capítulo 09
Identidades Trigonométricas de la suma y diferencia de variables ................................. 91

164. Tercer Bimestre
Capítulo 10
Identidades Trigonométricas de la variable doble ............................................................. 101
Capítulo 11
Identidades Trigonométricas de la variable triple ............................................................. 111
Capítulo 12
Transformaciones Trigonométricas .................................................................................... 119
Capítulo 13
Funciones trigonométricas reales de variable real ............................................................ 127
Cuarto Bimestre
Capítulo 14
Funciones trigonométricas inversas ..................................................................................... 141
Capítulo 15
Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas ...................................................................... 153
Capítulo 16
Resolución de Triángulos Oblicuángulos ............................................................................ 165