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1. Dr Félix Aucallanchi Velásquez

2. RAZONES TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS RREECCÍÍPPRROOCCAASS
Una razón trigonométrica es recíproca de otra si su valor es el
recíproco (inverso) de aquel.
Sea: x/y una razón trigonométrica, entonces su
recíproca es y/x, tal que:
x ´ y =
1
y x
Aplicando esta propiedad en cualquier triángulo
rectángulo, se obtienen los siguientes resultados:
sen a· csc a = 1 cos a· sec a = 1 tan a· cot a = 1
b
c
c
b
a
c
c
a
b
a
a
b
Al multiplicar estas fracciones se obtiene 1 en todos los casos.

3. Ejemplo 1.- Las siguientes son aplicaciones de razones
recíprocas:
1) sen 20º· csc 20º = 1
2) cos 35º· sec 35º = 1
3) tan 40º· cot 40º = 1
Ejemplo 2.- Determinar a en cada caso:
1) sen 35º· csc a = 1
2) cos a· sec 28º = 1
3) tan (a – 10º)· cot 10º = 1
Rpta: a = 35º
Rpta: a = 28º
Rpta: a = 20º

4. RAZONES TRIGONOMÉRICAS CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARRIIAASS
Para las razones trigonométricas: seno, tangente y secante; se definen
respectivamente sus co- razones: coseno; cotangente y cosecante.
Luego establecemos que dos razones trigonométricas son
complementarias si una de ellas es la razón trigonométrica de un
ángulo y la otra es la co-razón del ángulo complementario.
Según esta definición, se verifica que la razón de un ángulo y la
co-razón del ángulo complementario tienen valores iguales.
R a z ó n ( ) = c o - r a z ó n ( )
Si a + b = 90º

5. Ejemplo 1.- Indique V o F según la igualdad sea verdadera o falsa
respectivamente:
sen 40º = cos 50º
tan 36º = cot 64º
sec 28º = csc 62º
Rpta. V
Rpta. F
Rpta. V
Ejemplo 2.- Calculemos «x» en cada caso:
sen 2x = cos 3x ® 2x + 3x = 90º ® x = 18º
tan 2x = cot 60º ® 2x + 60º = 90º ® x = 15 º
sec 6x = csc 4x
® 6x + 4x = 90º ® x = 9º

6. Prob. 02 (LIBRO)
Simplificar la expresión: E = tan 25º ´tan 65º + 3 sen 40º ´3 sec 50º
Transformamos, convenientemente, las razones a sus co-razones, así:
tan 65º = cot 25º Ù sec 50º = csc 40º
Reemplazamos en la expresión dada y aplicamos la propiedad
de las razones recíprocas:
E tan 25º cot 25º + 3 sen 40º csc 40º
= ´ ´ 1442443 144424443
1 1
Efectuando: E = 1 + 3 1
E = 2

7. Prob. 04 (LIBRO)
Sabiendo que q y a son ángulos agudos complementarios, tales que:
tan x 1
a = - Ù cot 1
Calcular: sen q.
3
x 1
q =
+
Si q y a son ángulos complementarios, se cumplirá que:
tan a = cot q ® 1 1
= ®
3 1
x
x
-
+ x2 = 4 ®
De donde:
x = 2
cot + 1
q = = 1 x 1 3
A partir de esta razón construimos un
triángulo rectángulo:
De donde: sen q = 3
10
= 3 10
´ ®
10 10
3 10
10
senq =

8. Prob. 05 (LIBRO)
Calcular (a + b) si se cumplen las siguientes relaciones:
sen b · sec 4 a = 1 . . . (1)
tan a · cot 2 b = 1 . . . (2)
De (1) convertimos sec 4a a su co-razón, así:
De: sen b· sec 4a = 1 ®
sen b· csc (90º – 4a) = 1
recíprocas
b = 90º – De donde deducimos que: 4a ® 4a + b = 90º . . . (3)
De (2) se cumple: tan a· cot 2b = 1
recíprocas
De donde: a = 2b . . . (4)
Resolviendo (3) y (4): a = 20º Ù b = 10º a + b = 30º

9. Prob. 06 (LIBRO)
Si: sen x = cos 56º, calcular el valor de: 3 tan2 (x – 4º) – sec (x +
26º)
De: sen x = cos 56º
Por ser R.T complementarias: x + 56º = 90º ® x = 34º
Reemplazando el valor de «x» en la expresión dada, se tiene:
3 tan2 (x – 4º) – sec (x + 26º) ® 3 tan2 30º – sec 60º
( ) - =
2 3 3 (2) Reemplazando el valor de cada R.T: 3 ( ) - 3 3 2 9 = -1

10. Prob. 13 (LIBRO)
Si: a y b son complementarios, y además se cumple que 16 sen a = sec b,
calcula el valor de:
E = 15 tan a + sec b
Sabemos que: a + b = 90º ® sec b = csc a
Reemplazamos en: 16 sen a = sec b ®
16 sen a = csc a
Reemplazando el 2do miembro por la recíproca, se tiene:
16 sen a = 1 sen a ®
sen2 a = 1 16 ® sen a = 14
Con este valor construimos un triángulo rectángulo:
Luego: E = 15 tan a + sec b= 15 ´ 1 + 4
15
E = 5