Este documento presenta información sobre triángulos rectángulos especiales, incluyendo los triángulos de 45°, 30° y 60°. Explica cómo calcular las seis funciones trigonométricas para estos ángulos especiales usando los triángulos rectángulos. También discute cómo calcular las funciones trigonométricas para cualquier ángulo en el plano cartesiano usando triángulos coterminales y cómo las coordenadas de puntos en los ejes cuadrantales se relacionan con las funciones trigonométricas.

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Unidad TR.2: El triángulo recto en trigonometría
Tema 1: Razones trigonométricas
Lección 1.2: Triángulos especiales
Triángulo especial 𝟒𝟓° =
𝝅
𝟒
Un triángulo rectángulo especial de 45° incluye dos ángulos iguales y su
ángulo recto. Esto quiere decir que el triángulo especial 45°- 45° - 90° es
isósceles.
𝑠𝑒𝑛 45° =
𝑜𝑝.
ℎ𝑖𝑝.
=
1
√2
Recuerda: Toda raíz en el denominador se racionaliza.
1
√2
∙
√2
√2
=
√2
√4
=
√2
2
Por tanto, 𝑠𝑒𝑛 45° =
√2
2
Como hemos aprendido anteriormente, podemos por definición y relación
de cofunciones encontrar las seis razones trigonométricas.
𝑠𝑒𝑛 45°
√2
2
𝑐𝑜𝑠45°
√2
2
𝑡𝑎𝑛 45°
1
𝑐𝑜𝑡45°
1
𝑐𝑠𝑐45°
√2
𝑠𝑒𝑐45°
√2

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Triángulo especial 𝟑𝟎° =
𝝅
𝟔
y 𝟔𝟎° =
𝝅
𝟑
Un triángulo especial de 30°, incluye dos ángulos iguales y su ángulo recto.
Esto quiere decir, que el triángulo especial 30°- 60°- 90°.
𝑠𝑒𝑛 30° =
𝑜𝑝𝑝
ℎ𝑖𝑝
=
1
2
𝑠𝑒𝑛 60° =
𝑜𝑝𝑝
ℎ𝑖𝑝
=
√3
2
Recuerda, para calcular las razones trigonométricas para los ángulos de
30° y 60° utilizamos el mismo triángulo especial. Debes tener precaución al
escoger el lado opuesto y el adyacente al ángulo. La tabla a continuación
presenta las seis razones trigonométricas para ambos ángulos, toma unos minutos
para analizarla.
𝑠𝑒𝑛30°
1
2
𝑐𝑜𝑠30°
√3
2
𝑡𝑎𝑛30°
√3
3
𝑐𝑜𝑡30°
√3
𝑐𝑠𝑐30°
2
𝑠𝑒𝑐30°
2√3
3
𝑠𝑒𝑛60°
√3
2
𝑐𝑜𝑠60°
1
2
𝑡𝑎𝑛60°
√3
𝑐𝑜𝑡60°
√3
3
𝑐𝑠𝑐60°
2√3
3
𝑠𝑒𝑐60°
2

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Recuerda, no tienes que memorizar todos los valores de las seis razones
trigonométricas para cada ángulo: 30°, 45° y 60°. Solo con recordar los dos
triángulos especiales y las definiciones de las razones es suficiente.
Triángulos en el plano cartesiano
Cuando tenemos un triángulo en un círculo las definiciones de sus razones
trigonométricas permanecen iguales. Es decir, tenemos un triángulo formado a
partir de un ángulo dado en el plano cartesiano. Observa la relación.
Debemos formar un triángulo que incluya un ángulo de algún triángulo
especial, usamos su ángulo coterminal.

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Trazamos un triángulo con el ángulo coterminal dado, que es 45°. Y así
podemos encontrar las seis razones de las funciones trigonométricas.
Como podemos ver, encontrar las seis razones es sumamente accesible a
cualquier ángulo dentro del plano cartesiano. Hay un detalle con el que tenemos
que ser cuidadosos. El plano cartesiano varía en sus signos de coordenadas. De
esa misma manera van a variar los signos de las razones trigonométricas
dependiendo del cuadrante donde se encuentre el triángulo. Veamos el ejemplo
anterior.

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En la siguiente tabla, comparamos las seis razones trigonométricas de
ambos ángulos: 𝛽 = 45° y 𝛼 = 135° (ángulo coterminal de 45°). Observa en
detalle los signos.
𝛽 = 45°
Cuadrante I
𝛼 = 135°
Cuadrante II
𝑠𝑒𝑛 45° =
√2
2
𝑠𝑒𝑛 135° =
√2
2
𝑐𝑜𝑠 45° =
√2
2
𝑐𝑜𝑠 135° = −
√2
2
𝑡𝑎𝑛 45° = 1 𝑡𝑎𝑛 135° = −1
𝑐𝑜𝑡 45° = 1 𝑐𝑜𝑡 135° = −1

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𝑠𝑒𝑐 45° = √2 𝑠𝑒𝑐 135° = −√2
𝑐𝑠𝑐 45° = √2 𝑐𝑠𝑐 135° = √2
Ángulos en los ejes cuadrantales
En adición a los ángulos dentro de triángulos en el plano cartesiano,
tenemos ángulos que corresponden a los ejes de los respectivos cuadrantes.
Observa la figura y te facilitará el aprendizaje de estos ángulos.
Movemos un punto
sobre el eje, en
contra de las
manecillas del reloj.

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Es así que las coordenadas de un punto en cada eje cuadrantal guardan
una relación estrecha con las razones trigonométricas.
𝑃(1,0) → 𝑥 = 1, 𝑦 = 0
Entonces, 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝜃
Es decir, 𝑐𝑜𝑠 0° = 1 y 𝑠𝑒𝑛 0° = 0
Esta relación entre las razones trigonométricas y las coordenadas en un
círculo forman el Círculo Unitario Trigonométrico.

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Lo más fascinante, es que todo sale de los 2 triángulos especiales y los ejes
cuadrantales.
Para ver que todo tiene conexión, te recomiendo que realices las
actividades de cada lección. Verás cómo podemos aplicar los conceptos
estudiados en esta unidad.

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Si deseas conocer más sobre las lecciones puedes pulsar en los siguientes
enlaces:
Razones trigonométricas y el triángulo recto
- http://tube.geogebra.org/m/1335057
- http://tube.geogebra.org/m/129423
- http://tube.geogebra.org/m/96112
Referencias
Dugopolski, M. (2011). Trigonometry. USA: Pearson Educación (3er edition).
Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (2007). Precálculo: Matematicas para el
cálculo. México: Cengage Learning Editores, S.A. (5ta edición).
Sullivan, M. (2006). Algebra y Trigonometría. México: Pearson Educación (7ma
edición).