VAN HIELE ESTRATEGIAS.docx

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FACULTAD DE EDUCACIÓN
Programa Académico de Maestría en
Ciencias de la Educación - PRONABEC
ESTRATEGIA DIDÁCTICA BASADA EN EL
MODELO VAN HIELE PARA LOGRAR
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS EN
GEOMETRÍA
Tesis para optar el grado académico de Maestro en
Educación mención Didáctica de la enseñanza de las
matemáticas en educación secundaria
BACHILLER: RAMOS PAUCAR CELSO
ASESOR : Dr. FELIPE AGUIRRE CHÁVEZ
Línea de Investigación
Proyectos de Aprendizaje y Desarrollo de
Competencias Matemáticas
Lima – Perú
2015

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APROBACIÓN DEL TRIBUNAL DE GRADO
Los miembros del Tribunal de Grado aprueban la tesis de graduación, el mismo
que ha sido elaborado de acuerdo a las disposiciones reglamentarias emitidas por
la EPG- Facultad de Educación.
Lima, diciembre del 2015
Para constancia firman
Mg. Miguel Rimari Arias
Presidente
Mg. RobertCaballero Montañez Dr. Felipe Aguirre Chavez
Secretario Vocal
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UNIVERSIDAD SAN IGNACIO DE LOYOLA
ESCUELA DE POSTGRADO
Facultad de Educación
DECLARACIÓN DE AUTENTICIDAD
Yo, Celso Ramos Paucar, identificado con DNI Nº 23276285 estudiante del Programa
Académico de Maestría en Ciencias de la Educación de la Escuela de Postgrado de la
Universidad San Ignacio de Loyola, presento mi tesis titulada: “Estrategia didáctica
basada en el Modelo de Van Hiele para desarrollar competencias matemáticas en
geometría”.
Declaro en honor a la verdad, que el trabajo de tesis es de mi autoría; que los datos,
los resultados y su análisis e interpretación, constituyen mi aporte a la realidad
educativa. Todas las referencias han sido debidamente consultadas y reconocidas en
la investigación.
En tal sentido, asumo la responsabilidad que corresponda ante cualquier falsedad u
ocultamiento de información aportada. Por todas las afirmaciones, ratifico lo
expresado, a través de mi firma correspondiente.
Lima, diciembre de 2015
…………………………..…………………………..
Celso ramos Paucar
DNI N° 23276285
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“Los Van Hiele han formulado su teoría
partiendo de la consideración de las
matemáticas como actividad y del proceso
de aprendizaje como proceso de
reinvención”.
Anónimo
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DEDICATORIA
A mi esposa por sus
desvelados sacrificios en mi
formación profesional y a mis
hijos por su apoyo
incondicional
A mis amores: Nathaniel, Elvis,
Alex, Kevin y Vladimir, por su
paciencia y comprensión.
v

6
AGRADECIMIENTO
A mi alma Mater la Universidad San
Ignacio de Loyola, por la oportunidad de
acogerme en su seno.
A mi asesor Dr. Felipe Aguirre Chávez,
por el asesoramiento en la elaboración del
presente estudio.
A mis profesores de la Escuela de
Posgrado Universidad San Ignacio de
Loyola, por sus enseñanzas y contribución
en mi Especialización.
A mis compañeros, cuyos argumentos,
críticas y profesionalismo fueron aporte en
esta tarea.
De igual manera, expreso mi
reconocimiento y gratitud a todas aquellas
personas, que me brindaron su apoyo y
colaboración desinteresada.
vi

7
Índice
INTRODUCCIÓN 12
CAPITULOI: MARCO TEÓRICO 18
Competencias Matemáticas, estrategiasdidácticas enel modelode VanHiele 18
Enseñanzayaprendizaje de lageometríaysuimportancia 20
Teorías cognitivas y aprendizaje de las matemáticas 23
Competencias matemáticas 25
Capacidades matemáticas 27
Estrategiadidáctica 27
ModeloVanHiele 28
Niveles de VanHiele 29
Fasesde aprendizaje y 32
Propiedades delModelode VanHiele 34
Factibilidad delModelode VanHiele enlaenseñanzade lageometría 36
CAPITUL II: DIAGNÓSTICOOTRABAJODE CAMPO 37
Procesode categorización 38
Instrumentos utilizados enel trabajode campo 39
Triangulación 44
CAPITULOIII :Propuestade laEstrategiaDidáctica 37
Proposito 48
Fundamento socioeducativo 48
Fundamento pedagógico 49
Fundamento curricular 50
Diseño 52
Desarrolloo implementacion 55
CONCLUSIONES 64
RECOMENDACIONES 66
REFERENCIAS 67
ANEXOS
vii

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Índice de tablas
Tabla 1. Articulación de los Niveles de Van Hiele y fases de aprendizaje
y actividades 51
Tabla 2. Matriz de la programación anual 55
Tabla 3. Cuadro de criterios de los especialistas 58
Tabla 4. Valoración 59
Tabla 5. Criterios de Validez interna 60
Tabla 6. Promedio parcial de la valoración 61
Tabla 7. Criterios de valoración externa 61
Tabla 8. Promedio parcial de la valoración externa 62
Tabla 9. Cuadro de sumatoria de valoraciones 63
Tabla 10. Cuadro de valoración consolidado 63
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9
Índice de figuras
Figura 1. Ítem 1 de la prueba pedagógica 39
Figura 2. Ítem 4 de la encuesta para docentes 41
Figura 3. Pregunta de cuaderno de campo 42
Figura 4. Diseño analógico de la modelación 53
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Índice de anexos
Anexo 1. Matriz de consistencia.
Anexo 2. Portafolio del trabajo de campo.
Anexo 3. Resultados del trabajo de campo.
Anexo 4. Portafolio de modelación.
Anexo 5. Ficha de validación instrumentos.
Anexo 6. Base de datos.
Anexo 7. Fotos.
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Resumen
La investigación propone desarrollar competencias matemáticas en polígonos de los
estudiantes del cuarto grado de la institución Educativa La Victoria de Ayacucho
región Huancavelica. Metodológicamente la tesis corresponde al enfoque cualitativo
educacional de tipo aplicada proyectiva. La muestra de estudio estuvo conformada
por 26 estudiantes, seleccionados mediante la técnica de muestreo intencional
criterial. Como parte del diagnóstico pedagógico integral se utilizaron diferentes
instrumentos que revelaron prácticas tradicionales de enseñanza aprendizaje en el
desarrollo de las competencias matemáticas. Sustentada en el enfoque por
competencias, socio formativo y los resultados del trabajo de campo con fines de
revertir el problema se propone una estrategia didáctica basada en el modelo de Van
Hiele, que al abordar objetivamente el desarrollo de las competencias matemáticas en
polígonos pretende constituirse en alternativa pertinente e innovadora de la práctica
educativa concordante con las demandas y necesidades de la sociedad actual.
Palabras claves.- Competencias matemáticas, estrategia didáctica, polígonos, Modelo
de Van Hiele.
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Abstract
This research proposes to develop skills in mathematics polygons, in fourth grade
students at La Victoria de Ayacucho School in Huancavelica. Methodologically, it
corresponds to educational qualitative approach, projected applied type. The study
sample consisted of twenty-six students selected through the technique of intentional
sampling. As part of the comprehensive educational diagnosis, various tools were used
that reveal traditional teaching and learning practices and mathematics skill
development deficiency. Based on the skill-based approach, the social and educational
approach, and the results of the fieldwork with the purpose of reversing the problem, it
is proposed a teaching strategy based on the model of Van Hiele. Treating the
development of skills in mathematics polygons objectively, it pretends to constitute in a
relevant and innovative alternative according to the demands and needs of today's
society.
Keywords. Math skills, teaching strategy, polygons, Van Hiele Model.
xii

13
INTRODUCCIÓN
La educación es un proceso activo, de carácter socio-histórico y cultural que presenta
aspectos esenciales, multilaterales y dialécticamente vinculados: es reproductivo
(garantiza la transmisión y la continuidad de la cultura humana) y transformativo
(asegura el perfeccionamiento y la potenciación del patrimonio cultural, abriendo
nuevas vías para el desarrollo del hombre).
Está normado que la educación es inherente a la persona, y su finalidad es la
formación integral del ser humano. En el marco de esta consideración, el Ministerio de
Educación, promueve educación de calidad, inclusiva, abierta desde las teorías
constructivistas de Piaget, Ausubel y Bruner, y la teoría socio cultural de Vygotsky. El
Proyecto Educativo Nacional, Minedu (DCN), las Rutas de Aprendizaje (2015)
propone educación basada en el enfoque por competencias y en particular en el
área de matemática, propone trabajar desde el desarrollo de las capacidades
matemáticas en polígonos a través de la resolución de problemas desde los
referentes teóricos del Modelo Van Hiele.
Entre los antecedentes empíricos más importante en el plano internacional se
tiene a Gutiérrez, Jaime y Cáceres (1992), quienes realizaron un estudio sobre la
enseñanza de la geometría de sólidos en el E.G.B., llegando a las siguientes
conclusiones; La enseñanza de sólidos permiten desarrollar varias habilidades como
visualización, imaginación, razonamiento con lo cual el estudiante pueda diferenciar
analíticamente figuras en dos y tres dimensiones. Pérez y Ruíz (2010) realizó un
estudio cuyo propósito fue modelar estrategias lúdicas orientado por el modelo de Van
Hiele para la enseñanza aprendizaje de Geometría. El estudio concluyó que las
actividades programadas en las unidades didácticas que incluyen juegos, llevaron a
los estudiantes hacer representaciones visuales en el plano y en el espacio.
Entre los antecedentes nacionales se tiene a Maguiña (2013) su propósito
principal de su trabajo fue presentar una propuesta didáctica, aplicando el modelo Van

14
Hiele y empleando como recurso el software GeoGebra, el estudio se realizó en el
cuarto de secundaria de la I. E. P. Buenas Nuevas – UGEL 03 ubicada en el distrito de
San Miguel, Lima – Perú.
En los trabajos consignados se evidencia antecedentes sobre la importancia
del Modelo de Van Hiele como una teoría abordada desde las estrategias,
pedagógicas, didácticas y metodológicas en distintas áreas de estudio de la
geometría.
En definitiva existen sustentos teóricos-metodológicos y antecedentes que
buscan formar ciudadanos competentes: hombres y mujeres que no se adaptan
pasivamente a la realidad sino que desarrolle la capacidad crítica, emprendedor, líder
y transforme creativamente su entorno real. En ese sentido, el enfoque socio
formativo, el enfoque constructivista y la didáctica desarrolladora constituyen
centrales en la presente investigación. Sin embargo en la parte de diagnóstico en la
institución educativa “La Victoria de Ayacucho” región Huancavelica, se apreció que
los estudiantes del Área de Matemática del cuarto año secciones “C” y “D” de
educación secundaria presentan desarrollo deficientes de las competencias
matemáticas en polígonos y entre los factores más importantes destaca el descuido
de la estimulación y razón por el cual se plantea la pregunta científica ¿Cómo
propiciar el desarrollo de las competencias matemáticas en polígonos, en los
estudiantes del cuarto grado del nivel secundario de la Institución Educativa La
Victoria de Ayacucho, región Huancavelica?.
El objeto es el proceso de enseñanza aprendizaje de los polígonos y se
define como campo de investigación el desarrollo de las competencias matemáticas
en polígonos; el objetivo fue diseñar una estrategia didáctica basada en el modelo de
Van Hiele, para desarrollar las competencias matemáticas en polígonos en los
estudiantes del cuarto grado del nivel secundario de la Institución Educativa La
Victoria de Ayacucho, región Huancavelica.
Para desarrollar el objetivo el investigador plantea las preguntas científicas:
¿Cómo se encuentra actualmente el desarrollo de las competencias matemáticas de
geometría en los estudiantes?; ¿Cuáles son los fundamentos teóricos que
sustentarán la estrategia didáctica para lograr el desarrollo de competencias
matemáticas de geometría?; ¿Cuáles son las potencialidades de la estrategia

15
didáctica para lograr mayor desarrollo de competencias matemáticas de geometría
para en los estudiantes del cuarto grado nivel secundario?; ¿Cómo evaluar la
factibilidad de la estrategia didáctica para desarrollar las Competencias Matemáticas
de Geometría en los estudiantes?.
Las tareas u objetivos específicos de investigación: Conocer el estado actual
del desarrollo de competencias matemáticas de geometría en los estudiantes;
fundamentar teóricamente la estrategia didáctica para desarrollar las competencias
matemáticas de geometría; identificar los criterios que se asumirán en el diseño de la
estrategia didáctica basado en el modelo de Van Hiele para el logro de las
competencias matemáticas de geometría en los estudiantes; Valorar la factibilidad de
la estrategia didáctica para desarrollar las competencias matemáticas de geometría
mediante el método de validación de criterio de expertos.
Metodológicamente el trabajo de investigación corresponde al enfoque
cualitativo educacional de tipo aplicada proyectiva. Nivel y diseño descriptivo, en tanto
busca recoger, evaluar, valorar datos sobre aspectos, dimensiones de las
competencias matemáticas. Al respecto afirma (Hernández y Fernández, 2003:118)
“Los estudios descriptivos pretenden medir o recoger información de manera
independiente o conjunta sobre los conceptos o las variables a los que se refieren”
Así, los estudios descriptivos buscan especificar propiedades, características y rasgos
importantes de cualquier fenómeno que se analice.
Se define como categorías fundamentales de la presente tesis: estrategia
didáctica basada en el Modelo de Van Hiele y desarrollo de competencias
matemáticas en polígonos.
Las dimensiones e indicadores en resolver problemas que relacionan figuras
planas, polígonos, solidos; representa, razona, argumenta y comunica los procesos de
solución y resultados utilizando lenguaje matemático; se concretan a partir de los
postulados del enfoque socio formativo, epistemológico. Este último desde la
perspectiva de Sergio Tobón,(2013:93) propone que las competencias matemáticas
son actuaciones integrales ante actividades y problemas del contexto con idoneidad y
compromiso ético. En tal perspectiva, están constituidas por procesos subyacentes

16
(cognitivo- afectivo) así como también por procesos públicos y demostrables en tanto
implican siempre una acción de si para los demás y/o el contexto.
La población estuvo conformada por 54 estudiantes del cuarto grado del
nivel secundario de la Institución Educativa La Victoria de Ayacucho, región
Huancavelica. La muestra de 26 estudiantes de las secciones “C” y “D” con
deficiencias en el desarrollo de las competencias matemáticas en polígonos;
“muestra dirigida por teoría o muestra por criterios” Sampieri, (2003, p. 330). Los
sujetos seleccionados presentan los atributos del problema, es decir, los 26
estudiantes del cuarto grado secciones “C” y “D” presentan índices de deficiencia
del desarrollo de competencias matemáticas.
Entre los métodos teóricos más importantes destacan: El Analítico-sintético
para abordar los fundamentos teóricos de la estrategia didáctica dirigida al desarrollo
de las competencias matemáticas en polígono, interpretar los resultados derivados del
diagnóstico del estado actual del desarrollo de las competencias matemáticas de
estudiantes del cuarto grado de educación secundaria en el proceso de enseñanza
aprendizaje polígonos y establecer las conclusiones generales del estudio. Método
de inducción y de deducción en el proceso de estructuración de la introducción,
sistematización del marco teórico y el diseño de la estrategia didáctica para el
desarrollo de las competencias matemáticas en polígonos. Sistémico-estructural para
la elaboración de la estrategia didáctica dirigida al desarrollo de las competencias
matemáticas. Además el método facilita establecer las relaciones interactivas entre
sus componentes, relaciones de dependencia, jerarquía, coordinación y subordinación
entre las etapas, niveles, acciones y entre los componentes que conforman la
estrategia.
El método histórico-lógico contribuyó a la explicación de la evolución histórica
de las competencias matemáticas y en el deslinde de las concepciones de origen y
desarrollo hasta la actualidad y cómo fueron respondiendo a las necesidades
matemáticas de su época. El método de modelación básicamente es de modelación
teórica y analógica sirvieron para ensayar y modelar la propuesta teórica de la
estrategia didáctica dirigida al desarrollo de las competencias matemáticas centrada
en contradicciones de estudiantes del cuarto año de secundaria en la enseñanza y
aprendizaje de polígonos.

17
Los instrumentos utilizados como la Prueba pedagógica: Estructurada
mediante el instrumento prueba pedagógica para recoger datos sobre el estado actual
de desarrollo de las competencias matemáticas.
Encuesta con el instrumento cuestionario de preguntas cerradas para determinar el
estado actual de las competencias matemáticas de los estudiantes.
El método de consulta a especialistas para valorar las potencialidades de la estrategia
didáctica en el desarrollo de las competencias matemáticas en polígonos. Asimismo
en el presente estudio se utilizaron métodos matemáticos para establecer las
frecuencias y análisis porcentual de los resultados del diagnóstico, del estado actual
del desarrollo de las competencias matemáticas, de los estudiantes del cuarto grado
del nivel secundario en la enseñanza aprendizaje del área Matemática.
Otro método importante fue el de la triangulación de datos, cualitativos y cuantitativos,
las mismas que fueron valoradas con la ayuda del método de la triangulación de dato
y fuente.
La novedad científica del presente estudio estriba en la utilización de los
referentes teóricos de Van Hiele y Sergio Tobón de las competencias matemáticas en
el Área de Matemática para el desarrollo de las competencia matemáticas en
estudiantes del nivel secundaria del sistema educativo peruano y la significación
práctica se expresa en que el docente puede contar con un material didáctico
alternativo que podría incorporar a su labor docente en el desarrollo de las
competencias matemáticas en la enseñanza aprendizaje del área de Matemática.
En ese sentido la estrategia didáctica centrada en el desarrollo de las competencias
matemáticas presenta posibilidades de contribución al desarrollo integral del
estudiante y de mejoramiento de las capacidades matematiza situaciones, comunica y
representa ideas matemáticas, razona y argumenta, elabora y usa estrategias como
elementos importantes del desarrollo de competencias matemáticas.
La estructura de la tesis consta de una introducción, dos capítulos,
conclusiones, recomendaciones bibliografía y anexos
El Capítulo 1, el primer capítulo trata del fundamento teórico, donde se realizó
comparaciones, deslindes de posiciones y análisis de contenido de los referentes
teóricos. Además contiene la fundamentación filosófica, sociológica, psicológica y
pedagógica de la investigación, a través del análisis de los conceptos fundamentales y
relaciones que permiten fundamentar la investigación.
El Capítulo 2, explica los resultados obtenidos con el desarrollo de la
investigación, entre los cuales se destacan, los resultados del diagnóstico.

18
El capítulo 3, está referido a la propuesta del autor para la solución del
problema planteado. Asimismo, los resultados de la validación por el criterio de
especialistas.
Además, se evidencia las rreferencias y en páginas anexas se muestran los
instrumentos empleados, y otros documentos que dan validez científica al trabajo
desarrollado.

19
CAPITULO I
MARCO TEÓRICO
Competencias Matemáticas, estrategia didáctica basada en el Modelo de Van
Hiele
En esta parte de la investigación se muestra los fundamentos de carácter teórico e
histórico sobre la enseñanza de la matemática, el concepto y las características de la
geometría, la competencia matemática, y los fundamentos teóricos que explican su
desarrollo en el proceso pedagógico de la enseñanza aprendizaje del área de
matemáticas.
Qué es la Geometría.
La geometría es una herramienta creado por el hombre para representar y entender
su contexto real, desde la observación de los hechos simples hasta las relaciones
más complejas; que sirven para descubrir propiedades, representar, modelar y su
ejecución en la solución de situaciones reales en la naturaleza es fundamental.
Verástegui (2003) afirma que la geometría viene a ser una de las partes de la
matemática, se ocupa del estudio de los objetos de la realidad teniendo en cuenta su
forma, tamaño y posición. A estos objetos los denomina cuerpos; y la parte del
espacio que lo limita es el área.
Asociación fondo de investigación y Editores (2006) indica que estudiar la
geometría no es suficiente con presentar y conocer todas las geometrías construidas
por el hombre desde hace 2 500 años, pero estas han ido cambiando constantemente
en función a la evolución cultural del hombre.

20
En un inicio para Euclides únicamente representaba la ciencia de la
extensión y de la medida (Geo = tierra; metrón = medida), además en el siglo
XVII, preocupados con el inicio del álgebra, los geómetras de aquellos tiempos
antiguos como Fermat y Descartes descubren la Geometría Analítica, en el siglo
XIX a la Geometría Infinitesimal que se basó en los trabajos realizados por el
Monge quién fue el inventor de la Geometría Descriptiva. Asimismo con
Poncelet inicia la geometría sintética y la mixta es desarrollada por Gergonne
y Steiner. Más adelante aparecen las geometrías no euclidianas.
Barrantes (2002) refiere que la enseñar geometría está centrado en
construir conceptos de manera empírica y memorística; ello impide que el
estudiante pueda conceptualizar de acuerdo a sus capacidades.
En esta investigación cuyo propósito es desmenuzar los contenidos que
anteceden y entender el modelo de Van Hiele, ello plantea de una forma
diferente examinar el grado de razonar geométricamente en los estudiantes del
nivel secundario, a la vez que apoya al docente en la planificación y la
sistematización del currículo para que la tarea de aprender eficaz y duradero
para el estudiante. Además, con el propósito de estudiar algunas semejanzas y
diferencias que existe, se compara el modelo del Van Hiele con el fundamento
teórico desarrollado por Piaget.
Didáctica de la Matemática.
Desde el punto de vista didáctico en las matemáticas se ha logrado gran
desarrollo. Actualmente existen diversas propuestas didácticas. Sobre el
tema de investigación destacan los de Brousseau (1993) La didáctica es una
de las ciencias pedagógicas que estudia la generación y comunicación de los
conocimientos. Además, el objetivo principal de la didáctica es saber qué es lo
que realmente se logra en una determinada situación de enseñanza aprendizaje.
En la misma línea, Freudenthal (1991) manifiesta que el arte de enseñar la
matemática es la sistematización de acción pedagógica; es decir los didactas
son organizadores, desarrolladores del proceso educativo, en este caso se
consideran a los autores de libros, docentes de matemática, inclusive los propios
alumnos como organizadores de su aprendizaje de forma individual o grupal.

21
De Pablos (2006), manifiesta para que la enseñanza de la matemática sea
efectivo es necesario utilizar los métodos, técnicas adecuadas en el proceso
mismo de la enseñanza, integrando con las demás ciencias experimentales la
química, física, y biología; además dinamizando el trabajo de actividades
comunes tales como el cálculo, análisis, deducción, y el método experimental, de
esta forma transformar el enfoque teórico y abstracto de las Matemáticas y
mostrar su utilidad práctica en un determinado contexto real.
Por otro lado, se debe considerar, los recursos tecnológicos necesarios
en la actualidad; para cumplir la tarea de la motivación, visualizar mejor de una
forma interactiva, construcción del conocimiento, experimentar y solucionar
problemas prácticos del contexto, por ejemplo calcular el área de un hexágono
utilizando el geogebra.
La enseñanza aprendizaje de la geometría y su importancia
En cuanto a este aspecto de la tesis abordaremos algunas consideraciones de
carácter histórico y teórico acerca de la enseñanza aprendizaje de la geometría
en el tema en particular de los polígonos.
La Geometría es una de las partes de la matemática la más antiguas que
existe en la humanidad, sus orígenes se remontan a la cultura egipcia,
Babilónica, India, Siria e incluso China; la enseñanza aprendizaje de la
geometría egipcia fue netamente práctico para resolver problemas de cálculo de
áreas, que nace de la necesidad de medir las tierras antes y después de las
crecidas del rio Nilo, aproximadamente en el año 1500 a.c. la cultura egipcia es
la que adquiere mayor esplendor en la llamada época de las pirámides bajo el
reinado del faraón Amenhotep II. Para Heródoto en esta época nace la
Geometría como ciencia, de ahí en adelante se inicia a organizar, sistematizar
los conocimientos de la geometría; hacia el año 330 a.c. Euclides en su obra
“Elementos” recoge todos los conocimientos geométricos y los sistematiza.
En la actualidad la geometría estudia las propiedades de los objetos
teniendo en cuenta su forma, tamaño y posición. En cuanto a la aplicación del
tema de polígonos se da en la ingeniería, arquitectura, en el diseño de
máquinas, en el campo de la construcción. De ahí es imprescindible el
aprendizaje de la geometría como indica Guzmán (1995. p.7), citado por Sordo

22
(2005) “La enseñanza de la geometría es una de las tareas imprescindibles en el
área de matemática que se enseñan en las instituciones educativas en relación
muy directa con la vida cotidiana y nuestras experiencias”.
La enseñanza aprendizaje del tema de polígonos, está considerado en los
documentos normativos del Ministerio de educación, en el Diseño Curricular
Nacional (2009), indica que “La Geometría y la medición le permiten al
estudiante comprender los diferentes atributos o propiedades innatas de los
objetos, así como las unidades, sistemas de medición a través de la aplicación
de técnicas, instrumentos y propiedades apropiados para obtener medidas”
(p.318).
En las rutas de aprendizaje del Ministerio de educación (2015) indica la
importancia de la enseñanza aprendizaje de los polígonos, el cual refiere
“aprender geometría está relacionada a situaciones (descubrimiento de la doble
hélice de Watson de la estructura del ADN, y satélites con sistemas de
posicionamiento), es decir permite desarrollar habilidades en el estudiante para
comprender, representar y modelar en diversos contextos haciendo uso de la
matemática” (p.24).
Para mejorar el logro de las capacidades matemáticas, tomamos en
cuenta la importancia de los polígonos, por qué y para qué se enseñaba desde
las diferentes culturas hasta la actualidad, al observar cuan imprescindible es la
geometría y su aplicabilidad en el tema de polígonos, desde la propuesta del
Ministerio de educación coincidimos que el aprendizaje de la geometría permite
al estudiante comprender, representar y modelar en la realidad.
Dificultades en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría
En educación secundaria, el estudio de los contenidos de la geometría presenta
dilemas en el proceso enseñanza aprendizaje. Específicamente estos se
manifiestan en las concepciones y creencias de los estudiantes y de los
docentes, que manifiestan en las aulas de aprendizaje. Según Barrantes y
Blanco (2004), el profesor en función a sus experiencias y conocimientos
científicos adquiridos en la universidad, planifica sesiones de aprendizaje y

23
emplea medios y materiales similares que empleó como estudiante. En su
mayoría la experiencia laboral del profesor dificulta generar aprendizajes que
orienten al alumno a descubrir de la geometría como instrumento de adquisición
de nuevos conocimientos.
La enseñanza aprendizaje de la geometría estaba limitada a conocer solo
los conceptos básicos de las figuras geométricas y representarlas en forma
teórica y abstracta, lejos de su contexto real; por tal razón, existe la necesidad
de diseñar e implementar nuevas estrategias de enseñanza aprendizaje
permitan al grupo de estudiantes desarrollar su razonamiento geométrico.
(Goncalves, 2006, p. 96).
La enseñanza de la matemática según las propuestas del DCN.
El DCN de 2009, se fundamenta en diferentes planteamientos teóricos de las
tendencias cognitivistas y socio formativos del proceso enseñanza; en la cual se
propone el desarrollo de competencias en base a las capacidades, habilidades,
actitudes y valores.
La fundamentación en el área de Matemática el DCN indica que es
imprescindible el desarrollo del pensamiento matemático, el razonamiento
geométrico en los estudiantes, siguiendo una secuencia de las operaciones
objetivas a niveles superiores de abstracción, que permitirá al estudiante una
formación académica competente. Asimismo en el DCN, el desarrollo de
competencias matemáticas moviliza habilidades para emplear conocimientos
con una cierta flexibilidad; aplicando propiedades en la resolución de problemas
en diferentes contextos.
Las capacidades matemáticas abarcan aspectos transversales del razonar
geométricamente, probar teóricamente, información matemática y la solución de
problemas los cuales están organizadas en: números, relaciones, operaciones,
medición, y estadística.
El Documento Curricular Nacional del 2009 presenta vacíos de precisión y
claridad para los docentes del área de matemática según los diversos estudios
realizados del tema.
El Sistema Nacional de Desarrollo Curricular de nuestro país está
compuesto por los instrumentos que a continuación se muestra: El documento

24
Marco Curricular Nacional, Diseños Curriculares Regionales, Mapas de
Progreso y Rutas de aprendizaje.
El Marco Curricular Nacional es un documento oficial y guía del
Ministerio de Educación que considera ocho aprendizajes fundamentales, entre
ellos el aprendizaje matemático, ésta debe ser lograda por el estudiante al
finalizar la educación básica regular.
Los Mapas de Progreso es el recorrido típico de la secuencia de los niveles de
aprendizaje que efectúa un estudiante durante su trayectoria escolar en una
determinada competencia o dominio en cada área; ofrecen criterios bien
definidos para hacer el seguimiento y verificar los aprendizajes
correspondientes. (Instituto Peruano de Evaluación, Acreditación y Certificación
de la Calidad de la Educación Básica. IPEBA, 2013).
En el área de Matemática está establecido cuatro mapas de progreso en
función a cantidad de temas de estudio que son: Numéricos y operacionales,
intercambio y funciones, geometría, estadística y probabilidades. (IPEBA, 2012)
Las Rutas del Aprendizaje es uno de los documentos que orientan el trabajo
pedagógico del docente y propone las estrategias didácticas de enseñanza
aprendizaje con el propósito de mejorar el aprendizaje, asimismo plantea un
enfoque socio formativo orientado en la resolución de problemas centrado en
una matemática funcional y su aplicación como parte de su rol social para que
desarrollen completamente sus capacidades y habilidades. Las competencias y
capacidades matemáticas que deberán lograr los alumnos durante el periodo de
su formación académica. Las capacidades propuestas es cuatro y se desarrollan
iniciando de situaciones reales. (Minedu ,2013).
En cuanto al enfoque resolución de problemas debo manifestar que es
similar al modelo funcional del aprendizaje de matemática y lograr las
competencias matemáticas en los alumnos, además los dos inician de una
situación problemática real, que propone la operatividad de las capacidades
del alumno.
Teorías cognitivas y aprendizaje de la matemática.
El alumno del nivel secundario es un ser proactivo que está en permanente
progreso y su formación físico, social, emocional e intelectual se evidencia que
es un proceso gradual y continuo.

25
Las teorías consideradas para esta investigación, nos facilitará a entender
cómo aprenden los estudiantes, prever algunas problemas en el aprendizaje
del alumno y emplear nuevas estrategias para mejorar y lograr los aprendizajes
previstos. Desde luego nos permitirá utilizar un vocabulario y un lenguaje
conceptual adecuado para encontrar alternativas prácticas en la solución de las
dificultades en el aprendizaje de la matemática.
Teoría del desarrollo de Piaget.
Las competencias matemáticas tiene una relación directa con el avance
progresivo del pensar geométricamente en los estudiantes, porque hay un
proceso de avance en cada uno de los niveles de abstracción del pensamiento
que se presenta mediante las obtenciones consecutivas de las estructuras
geométricas cada vez más complejas, por lo tanto es necesario considerar a
Jean Piaget y su propuesta como un aporte valioso en el entendimiento del
logro del pensamiento geométrico matemática.
Teoría del aprendizaje significativo de David Ausubel.
Obtener un aprendizaje, es importante y necesario que exista un equipamiento
cognitivo adecuado en el estudiante, que apertura afrontar a las informaciones
que provienen del exterior, la implementación está compuesta por los saberes
previos que tienen los alumnos y de su nivel de dominio cognitivo o experiencia
cognitiva. (Gómez, 1999).
Ausubel, indica que el conocimiento es una serie de conceptos,
proposiciones, teorías, hechos, datos disponibles y organizados en forma
piramidal; es decir los conceptos centrales necesarias que viene a ser el
resultado del entendimiento y comprensión que realizamos; el cual viene a ser
estructura cognitiva.
Ausubel indica que aprendizaje significativo existe cuando hay la relación
entre la estructura cognitiva previa y la nueva información. Entonces el
aprendizaje es una actividad de reorganización, procesamiento de la
información y no solo se limita a situaciones mecánicas. (Flores, 2000).
Condiciones para un aprendizaje significativo.
Flores, (2000) menciona condiciones para un aprendizaje significativo:

26
El nuevo conocimiento debería tener una relación directa, no arbitraria
con saber del estudiante ya conoce, es decir el conocimiento como producto del
aprendizaje tiene la suficiente funcionalidad.
Tener una mejor predisposición en el aspecto motivacional y actitudinal por
parte del alumno por aprender, al margen de tener un material bueno y
significativo, si no existe la predisposición del estudiante el aprendizaje será
mecánico y por repetición.
Tipos de aprendizaje significativo.
Ausubel, (1978; citado por Flores, 2000) menciona claramente que el
aprendizaje significativo son de tres tipos: aprendizaje de representaciones, de
conceptos, proposiciones; donde las representaciones son muy elementales que
los conceptos porque están más cercanos a lo rutinario, pero los proposiciones
son muy amplios, y es la relación de varios conceptos. (Flores, 2000).
Ausubel, (1978; citado por Flores, 2000) plantea la definición del concepto
como objeto, evento, características o situaciones, que tienen un sentido lógico,
para ello hay dos maneras diferentes de aprender: abstracción inductiva
partiendo desde las actividades prácticas concretas, un aprendizaje por
descubrimiento, y el segundo como producto del nexo que existe los saberes
conocidos y los nuevos conocimientos que viene a ser el aprendizaje por
asimilación.
Finalmente el aprendizaje de conceptos conduce a otro tipo de aprendizaje
significativo que refiere adquirir nuevos conocimientos en una determinada
proposición que tiene dos o más significados. (Flores, 2000).
Competencia Matemática
Al realizar el estudio epistemológico de las competencias matemáticas, partimos
que es una competencia; el cual en los últimos 5 años viene a ser un tema
más difundidos a nivel nacional e internacional, con una diversidad de
conceptos y criterios desde diferentes puntos de vista; según Lasnier (2000) “La
competencia es un saber hacer, que moviliza un conjunto de capacidades,

27
habilidades y de conocimientos utilizados positivamente en situaciones
similares” (p.34).
La competencia, según DeSeCo (2006) “es más que un conjunto de
conocimientos y destrezas. Integra habilidades frente a las demandas
complejas, apoyándose en la movilización de una serie de recursos
psicosociales incluyendo habilidades, destrezas y actitudes en un contexto en
particular” (p. 3).
Antonio Bolivar (2010), manifiesta que la competencia es “un saber actuar
que genera la movilización efectiva de recursos individuales y del medio
empleando la reflexión, para resolver tareas que pueden ser juzgadas como
complejas”. (p.34)
El Marco Curricular Nacional del MINEDU (2014), considera las
competencias como la “forma de actuar de toda persona sobre la realidad; para
resolver problemas, cumplir algún propósito para ello utiliza algunos recursos
(conocimientos, habilidades, destrezas, información). La competencia es el
resultado de un proceso complejo (aprendizaje), que implica integrar un conjunto
de recursos necesarios para entender, representar, generar cambios para lograr
un determinado propósito en un contexto en particular.” (p.14).
En el campo educativo encontramos diversas aseveraciones sobre
competencia matemáticas entre ellas destacan:
En el 2006 el organismo internacional PISA define a la competencia
matemática como “una capacidad del individuo para identificar y entender la
función que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios fundados y
utilizar y relacionarse con las matemáticas de forma que puedan satisfacer las
necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos constructivos,
comprometidos y reflexivos” (p.74).
Bolivar (2010) “La competencia matemática se refiere a las capacidades de
los estudiantes para analizar y comunicar eficazmente cuando resuelven o
enuncian problemas matemáticos en una variedad de situaciones y dominios”.
(p.97)

28
En el fascículo general de matemáticas en las Rutas de Aprendizaje el
MINEDU (2015) sostuvo que “las competencias matemáticas se describen como
actuar y pensar matemáticamente, lo que debe entenderse como usar la
matemática para describir, comprender y actuar en diversos contextos; una de
las características en ellas es el plantear y resolver problemas” (p. 18).
A partir de estas consideraciones podemos decir que las competencias
matemáticas son las capacidades, habilidades (cognitivo, afectivo, psicomotor o
sociales) y actitudes del estudiante, que le permitan resolver problemas de su
entorno o contexto matemático. Para que ello suceda las Instituciones
Educativas deben de asegurar que todos los estudiantes no diferenciar la raza,
sexo, edad o situación económica, etc. Desarrollen sus capacidades
matemáticas, considerados imprescindibles en la actualidad que sea un
elemento competente y líder en su contexto social.
En las rutas de aprendizaje del Ministerio de educación (2015) plantea 4
competencias matemáticas; para el presente trabajo de investigación
abordaremos la competencia matemática referida a la construcción de ángulos
en el plano el cual es: “actúa y piensa matemáticamente en situaciones de
forma, movimiento y localización, el cual implica desarrollar progresivamente el
sentido de la ubicación en el espacio, la interacción con los objetos, la
comprensión de propiedades de las formas y cómo estas se interrelacionan, así
como la aplicación de estos conocimientos al resolver diversas problemas” (p
23).
Capacidades matemáticas.
La capacidad matematiza situaciones, consiste en integrar diversos problemas
relacionado con sus propiedades: forma, ubicación y movimiento en la
realidad; del mismo modo la segunda capacidad comunica y representa ,
consiste en expresar , en forma hablado o literal, utilizando un lenguaje
matemático sencillo; la capacidad elabora y usa estrategias consiste en la
planificación , ejecución y la valoración de estrategias y las distinta actividades;
la capacidad razona y argumenta generando ideas matemáticas, consiste en
justificar y validar resultados, posibles respuestas e hipótesis de sus principales
propiedades; finalmente la capacidad elabora y usa estrategias consiste en

29
planear, llevar a la práctica, valorar las estrategias y su funcionalidad practica
en la solución de problemas diversos. (MINEDU,2015, p.24)
Para contribuir en la mejora de las competencias matemáticas en
polígonos en los estudiantes de educación básica regular del nivel secundario,
los docentes deben utilizar estrategias didácticas, para orientar, facilitar y
mejorar los aprendizajes en los alumnos. Por tanto, existe la necesidad de hacer
estudio epistemológico del término estrategia didáctica.
Estrategias Didácticas
Es el conjunto de acciones que se proyectan y deben ser ejecutan para alcanzar
un determinado propósito planificado. En una sesión de clase la estrategia
didáctica viene a ser actividades planificadas por el docente, lo cual se pone en
práctica en forma sistemática para mejorar los propósitos planificados en los
estudiantes. (Docencia Estratégica).
Díaz y otros (2002) indica que las estrategias instruccionales es un
conjunto de pasos y procedimientos que el estudiante adquiere y utiliza de
forma directa con el propósito de aprender objetivamente a solucionar los
diferentes problemas en función de las demandas académicas.
El uso de este tipo de estrategias en la docencia, debe orientarse al
cambio de la enseñanza aprendizaje tradicional, dando apertura a las nuevas
metodologías que oriente al desarrollo de la formación del estudiante autónomo,
crítico, capaz de transformar su realidad.
El Modelo de Van Hiele
La enseñanza de la geometría y los Niveles de Van Hiele
Crowley (1987) y Jaime (1993), refieren que la teoría de Van Hiele nace como
producto de una investigación a nivel doctoral realizado en la Universidad
Utrech, por dos docentes holandeses de la especialidad de Matemática; para el
proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría de los estudiantes del
cuarto Grado del nivel secundario. Pierre M. Van Hiele y Dina Van Hiele-Geldof,
quienes plantean una nueva forma de enseñanza aprendizaje de los diferentes
temas de la geometría.

30
La propuesta como una forma de razonamiento geométrico de Van Hiele
indica la forma práctica de desarrollar el aprendizaje de la contenidos temáticos
de la geometría; los cuales están divididos en 5 niveles de orden ascendente:
0,1,2,3,4 , éstos se repiten siempre con la presencia de un nuevo aprendizaje.
El alumno parte de un determinado nivel al inicio del aprendizaje y, de acuerdo
a su desarrollo va experimentando un proceso, para alcanzar al siguiente nivel
superior. Asimismo la teoría de Van Hiele establece una forma práctica;
mejorar el nivel de razonamiento en los alumnos de educación secundaria;
además propone la forma como organizar el campo del currículum educativo
y facilita al estudiante a pasar de un nivel a otro nivel superior.
El Razonamiento Geométrico con el Modelo de Van Hiele
Según Jaime (1993), el modelo de Van Hiele comprende dos aspectos básicos
muy fundamentales:
 A través de la descripción se identifican las diversas maneras de
desarrollar el razonamiento geométrico de los alumnos y permite valorar
logros obtenidos.
 Instructivo: en este aspecto plante la metodología a seguir por los
docentes de matemática para coadyuvar la mejora de los estudiantes.
La teoría Van Hiele facilita comprender cómo, proceso de enseñanza
aprendizaje de los polígonos, razonamiento geométrico de los alumnos pasan
progresivamente por los cinco niveles secuenciales. Para tener un dominio
completo del nivel en que se ubica y así lograr ascender al siguiente nivel
superior, el alumno debe cumplir algunos procedimientos para su aprendizaje.
Esta teoría fragmenta el saber gradualmente en los cinco niveles de
razonamiento, siguiendo un orden secuencial y ordenado. En cada nivel plantea
fases de aprendizaje; en donde los alumnos deben seguir una secuencia para
pasar de un nivel al siguiente nivel que constituye la parte instructiva de la
teoría.

31
Los cinco niveles de conocimiento en geometría de Van Hile
El modelo de Van Hiele está compuesto por cinco niveles, respecto a ello
existen autores que hablan de los niveles 0 al 4 y otros los enumeraran de 1 a
5. Pero para efectos de esta investigación con la finalidad de evitar
confusiones se tomó la primera numeración.
Según Van Hiele los niveles de razonamiento geométrico son cinco:
 Visualización o reconocimiento : Nivel 0
 Análisis : Nivel 1:
 Deducción informal u orden : Nivel 2
 Deducción : Nivel 3:
 Rigor : Nivel 4
A continuación se caracterizan cada uno de estos niveles:
Nivel 0: Visualización o reconocimiento
Este nivel logran la mayoría de los estudiantes en los primeros grados de
Educación Básica Regular EBR; las figuras geométricas reconoce según su
forma, no distingue sus elementos ni características del objeto geométrico o
sea perciben de manera global. Los alumnos reconocen las figuras y las
nombran fijándose sus características visuales como: aspecto físico, color,
forma, tamaño etc. Por ejemplo cuando se le pide que describa la gráfica e una
circunferencia; el estudiante dirán que es redondo tiene forma de una rueda, es
de espesor grueso etc. El resultado del pensamiento en este caso son clases o
agrupaciones que parecen ser similares.
Nivel 1: Análisis
El estudiante ya puede reconocer y analizar los elementos, propiedades
individuales de las figuras geométricas; en este nivel ya utilizan un lenguaje
simple, además se inicia en el razonamiento de inducción realizando sus
primeras experiencias con ciertas limitaciones, porque todavía no han logrado
desarrollar su capacidad para relacionar las propiedades entre las distintas
figuras geométricas. Las características de los objetos matemáticos son

32
establecidas de forma directa, mediante las pruebas y manipulaciones, y el
resultado del pensamiento en este caso son las propiedades de las formas.
Nivel 2: Ordenación y clasificación
Este es el nivel donde los estudiantes reconocen las distintas figuras
geométricas según sus propiedades, características. Asimismo entienden con
facilidad cómo algunas propiedades derivan de otras; generando la integración y
las relaciones entre las diferentes propiedades de las figuras geométricas;
establece las condiciones necesarias y suficientes para reconocer en una
determinada clase de figuras geométricas. En esta etapa desarrollan la
capacidad de razonamiento inductivo, al establecer comparaciones entre las
características comunes de las figuras, luego generaliza para definir de manera
más apropiada los objetos geométricos. Sin embargo a pesar de los logros
obtenidos, tienen dificultades en el desarrollo del razonamiento deductivo. En
suma los resultados del pensamiento de este nivel son las relaciones entre
propiedades de los objetos geométricos.
Nivel 3: Deducción formal
En esta etapa el estudiante realiza deducciones, demuestra propiedades con un
sentido lógico y formal; entiende y relaciona entre las diferentes propiedades,
luego ordena y formaliza la naturaleza axiomática de las Matemáticas. Entiende
de qué manera se puede lograr un mismo resultado iniciando de enunciados
verdaderos o premisas distintos, que facilita comprender que es posible realizar
distintas operaciones para encontrar la misma respuesta. Es evidente que,
logrado este nivel, al poseer un avanzado nivel de razonamiento geométrico,
logran entender de una forma global los conocimientos de las Matemáticas. El
estudiante desarrolla deducciones identificando algunas propiedades para
luego demostrar, sin embargo, tiene las limitaciones a llegar al nivel del rigor
en los razonamientos.
Nivel 4: Rigor
El alumno en este nivel está en la capacidad de analizar con un grado de rigor
de uno o varios objetos matemáticos y distinguir las diferencias entre sí.

33
Asimismo entiende la complejidad, consistencia e independencia y de las
distintas leyes, teoremas; los cuales son el fundamento de la geometría.
Además entiende la geometría de forma teórica. El presente nivel, como es
avanzado el nivel de asimilación y comprensión, está ubicado en el nivel
superior. Alsina, Fortuny y Pérez (1997) y Gutiérrez y Jaime (1991) indican este
nivel desarrollan los estudiantes universitarios, con una capacidad y preparación
avanzada en geometría.
FASES DE APRENDIZAJE DEL MODELO DE VAN HIELE.
Las fases de aprendizaje planteados por Van Hiele, tiene como propósito de
orientar al docente; en cuanto a la planificación, diseño, y organización de las
experiencias de aprendizaje de los estudiantes y generar el cambio de un nivel
a otro.
En este Modelo, las fases del aprendizaje no son exclusivas de un nivel sino, en
los distintos niveles los estudiantes comienzan con tareas de la primera fase y
continua así en forma ascendente, de manera que al terminar la quinta fase
debe lograr el nivel de razonamiento previsto (Jaime, 1993).
Modelo de Van Hiele considera cinco fases del aprendizaje:
1. Información : Fase 1
2. Orientación dirigida : Fase 2.
3. Explicitación : Fase 3
4. Orientación libre. : Fase 4
5. Integración : Fase 5.
Las fases de aprendizaje y su descripción según Jaime (1993) y Fouz y De
Donosti (2005):
Primera Fase: Preguntas / Información.
Es la fase en que el estudiante se encuentra con el tema nuevo materia de
estudio; es en ésta el profesor identifica lo saberes previos de los alumnos y su
correspondiente nivel de razonamiento. Fouz y De Donosti (2005) citan a Azubel

34
(1978) para confirmar que la fase 1 es el reconocimiento inicial a los nuevos
saberes del estudiante “Si habría la necesidad de reducir la Psicología
Educativa a un principio indicaría lo siguiente: el factor más importante que
influye en el aprendizaje; es lo que el estudiante sabe o conoce” (p. 72).
Segunda Fase: Orientación dirigida.
Es la fase cuyo objetivo principal es que los alumnos descubran, comprendan y
aprendan correctamente los conceptos y propiedades de las figuras
geométricas. El docente debe elegir con mucho cuidado los problemas y las
actividades; para luego obtener un resultado deseado. Según Jaime (1993), es
en la presente fase se determinan los componentes necesarios de la red. Van
Hiele (1986), indica la respecto "(…) las actividades (de la segunda fase), si se
seleccionan cuidadosamente, constituyen la base adecuada del pensamiento de
nivel superior" (p. 10). La tarea del docente es fundamental en esta fase, porque
planifica las diferentes tareas que permiten a los alumnos asimilar propiedades,
conceptos, definiciones necesarias para obtener un nuevo nivel de
razonamiento. Corberán, Gutiérrez, Huerta, Jaime, Margarit, Peñas y Ruiz (1994)
manifiestan sobre la organización de la fase 2 que “(…) una planificación
adecuada de las actividades estará orientado obtener logros que estimulen su
autoestima y favorezcan una actitud positiva hacia las matemáticas” (p. 36).
Fase 3: Explicitación.
Los estudiantes expresan en forma verbal o por escrito las conclusiones a los
cuales hayan llegado, socializar sus experiencias e intercambiar ideas con
participación del docente y el resto de los demás alumnos, con el propósito de
reconocer las características y las relaciones existentes a través de un lenguaje
específico y técnico del tema objeto de estudio. En esta fase no generan
aprendizajes de nuevos saberes; y el tipo de trabajo que realizan es de
discusión y comentarios sobre la estrategia empleada para resolver los
problemas anteriores.
Fase 4: Orientación libre.
Es la etapa de consolidación de los aprendizajes obtenidos en las etapas
precedentes. Los alumnos deben emplear sus saberes adquiridos en la

35
solución de las diferentes tareas o situaciones problemáticas más complejos.
La parte esencial de esta fase está compuesta por tareas de uso y combinación
de las nuevas características, conceptos y las diferentes formas de
razonamiento; es decir, es el momento de aplicación y la combinación de
nuevos conocimientos obtenidos para resolver otras nuevas tareas. Según los
planteamientos de Van Hiele (1986), citado por Jaime (1993), “(…) los alumnos
aprenden a seguir la ruta de relaciones por sí mismos, mediante actividades
generales” (p. 11).
Fase 5: Integración.
Es la fase de generalizan de todos los conocimientos aprendidos sobre la
situación problemática; es decir en esta fase el docente fomenta el trabajo
impartiendo conocimientos generales, teniendo en cuenta que estas saberes no
son nuevos conceptos o propiedades para los alumnos; solo debe ser una
acumulación, combinación o comparación de aspectos que ya conoce el
estudiante. El docente plantea tareas en el que no hay la presencia de nuevos
saberes, sino solo la sistematización de los conocimientos ya obtenidos.
El procedimiento en cada fase y la respectiva observación del mismo,
fortalece en el estudiante avanzar gradualmente de un nivel a otro logrando con
éxito sus capacidades de razonamiento.
Propiedades del Modelo de Van Hiele.
Es necesario realizar un estudio de análisis tomando en cuenta sus principales
características, para entender mejor el modelo de Van Hiele, (Beltrametti,
Esquivel y Ferrarri, 2005; Jaime, 1993; Jaime y Gutiérrez 1990):
Recursividad: El logro de un nivel obtenido por el estudiante es el producto del
empleo de una estrategia en la etapa anterior: El propósito de una etapa en
materia de estudio para el posterior; en este caso se vuelven explícitos algunos
saberes que fueron implícitos en la etapa precedente. Van Hiele (1986), citado
por Jaime (1993), sostiene "(…) el pensamiento del segundo nivel no es posible
sin el del nivel básico; el pensamiento del tercer nivel no es posible sin el
pensamiento del segundo nivel" (p. 14).

36
Secuencialidad: La probabilidad es incierta lograr un determinado nivel sin
desarrollar de manera secuencial las etapas precedentes, cada nivel posterior
de razonamiento se sostiene en el nivel inferior, por tanto es necesario
mantener una precaución, en vista de que una mala indicación en un nivel
anterior puede confundir al ascender al siguiente nivel superior, si realmente
no es verdad. Van Hiele manifiesta, la edad no son factores que implican el
salto de un nivel a otro.
Especificidad del lenguaje: Son las distintas habilidades de las formas del
razonamiento para cada uno de los niveles de Van Hiele no solo muestran los
procedimientos de la resolución de los problemas planteados, sino por la forma
como se comunican y por el significado que asigna a cada término. En este
caso para cada nivel esta signado un lenguaje, significado en especial de
algunos términos matemáticos; por tanto, los profesores debe adecuarse al
nivel en que se ubican los alumnos.
Continuidad: Indica la manera de cómo el estudiante logra el paso de un
nivel al siguiente nivel superior. El ascenso por los niveles de Van Hiele es
secuencial y continuo, este proceso puede demorar varios años entre los
niveles cuatro y cinco. En educación secundaria se da el caso de que el
estudiante no llega lograr el nivel cinco (5).
Localidad: La localidad de los niveles indica que un estudiante desarrolla sus
habilidades de razonamiento en distintos niveles al realizar las tareas en el
campo geométrico. En su mayoría, un alumno no tiene el mismo ritmo de
razonamiento en los diferentes componentes de la geometría, asimismo los
saberes previos, los conocimientos y habilidades y el nivel de razonamiento
que posee el estudiante son distintos. Una vez logrado algún concepto en un
área de la geometría, será más sencillo para el estudiante lograr ese mismo
nivel en otros conceptos.

37
Factibilidad del Modelo de Van Hiele en La Enseñanza Aprendizaje de la
Matemática en Educación Secundaria
La estrategia didáctica basada en el modelo de Van Hiele para desarrollar
competencias matemáticas en polígonos; está diseñado respondiendo a los
requerimientos y los parámetros planteados por el Ministerio de Educación;
fundamentalmente siguiendo los criterios del modelo Van Hile. La factibilidad del
modelo en el desarrollo de capacidades geométricas es alta. Asimismo, sus
potencialidades de aplicabilidad a través de la estrategia didáctica presentan
amplias perspectivas. En esa línea, desde el punto de vista del investigador la
propuesta elaborado recoge por una lado, los fundamentos teóricos y por otro,
los indicadores que persigue el enfoque por competencias en función de las
necesidades de los estudiantes; desarrollar las capacidades matemáticas:
comunicar, representar, razonar, argumentar, desde la perspectiva del Modelo
de Van Hiele .
Junto a los fundamentos teóricos y la factibilidad en la enseñanza
aprendizaje del área de matemáticas, la propuesta recoge, también, la
experiencia docente del investigador por más de dos décadas en el área de
matemática y en concordancia con el enfoque por competencias propuesto del
Ministerio de educación en el presente estudio adquiere integración creativa.
Otro aspecto importante relacionado con las potencialidades del modelo
está la necesidad de cambiar o transformar la forma tradicional del desarrollo
del proceso enseñanza aprendizaje de la geometría, de forma muy particular en
educación secundaria. Con ese propósito basada en la teoría y soporte
didáctico del Modelo de Van Hiele las fases de aprendizaje y niveles
secuenciales de desarrollo de capacidades geométricas.
En síntesis, se considera favorable la viabilidad y su aplicación de esta
propuesta. La propuesta presenta coherencia entre sus metas, dirigidas a dar
resultados puestas a las demandas concretas de los profesores y alumnos en
interacción dinámica en un contexto, utilizando los medios y los recursos de su
entorno.

38
CAPITULO II
DIAGNOSTICO O TRABAJO DE CAMPO
Análisis del contexto de las competencias matemáticas
Las competencias matemáticas alcanzados según el informe de Pisa 2012 muestra
que los resultados globales del rendimiento académico de los estudiantes
participantes de los diferentes países del mundo se encuentran ubicados
relativamente por debajo del promedio de la OCDE examinados en las tres áreas,
lectura, matemática, y ciencias.
La situación en que se encuentran nuestros estudiantes según el proceso de
evaluación PISA 2012; como en todos los países los estudiantes evaluados están
ubicados a lo largo de los seis niveles; nuestros representantes no alcanzan ser
ubicados en ninguno de estos niveles; en el nivel 4 (2.1%) o posteriores al nivel 5
(0.5%) y nivel 6 (0.0%). Por el contrario, el 47% de los estudiantes participantes en
esta evaluación se encuentran por debajo del nivel 1. Informe Pisa (2012).
En cuanto a la realidad educativa huancavelicana marcada por la diversidad
cultural, la dispersión y la pobreza demanda educación de calidad; que garantice no
sólo el desarrollo de capacidades básicas, sino que haga de la educación un medio
que posibilite efectivamente desarrollar las capacidades matemáticas fundamentales.
Precisamente estos resultados muestran fortalecen la práctica pedagógica bajo el
enfoque por competencias; es decir, desarrollar en el estudiante el pensar
matemáticamente y aplicar esos pensamientos en contextos diversos, enfatizando y
contextualizando los las metodologías y recursos considerados en las rutas de
aprendizaje.
Análisis pedagógico
El diagnóstico o trabajo de campo es una de las fases del proceso de la investigación;
en esta etapa el investigador realizó el recojo de datos, procesamiento y análisis por

39
cada categoría, dimensión, e instrumentos, con la propósito de dar mayor argumento
y corroborar al problema planteado. Este trabajo se cumplió de forma planificada,
organizada, hasta la obtención de los resultados finales. A continuación se presenta
las acciones ejecutadas:
Proceso de categorización
La categoría como objeto del diagnóstico de la investigación se estableció a partir del
objetivo general; diseñar una estrategia didáctica basada en el Modelo de Van Hiele
para desarrollar las competencias matemáticas en polígonos en los estudiantes de
cuarto grado. Para tal efecto, utilizamos los métodos: análisis síntesis, encuesta y
observación para el recojo de datos; estadístico para el procesamiento e interpretación
de los datos; y triangulación para procesar los resultados por cada instrumento. Las
técnicas: observación, encuesta, análisis documental; los instrumentos que se
aplicaron fue la prueba pedagógica para estudiantes, encuestas a los docentes y
ficha de análisis de cuadernos de trabajo.
Los instrumentos elaborados han sido validados por especialistas pasando un
proceso de evaluación por los expertos y especialistas quienes han sido designados
por la universidad teniendo en cuenta su trayectoria profesional.
En el procesamiento de datos se cumplió las siguientes acciones:
Para el primer instrumento prueba pedagógica se elaboró una base de datos en el
Software Excel para el procesamiento cuantitativo y cualitativo, luego los datos
cuantitativos se procesaron con el programa SPSS 22 y los datos cualitativos de
manera manual con Word y Excel; obteniendo de esta forma el resultado requerido.
El segundo instrumento cuestionario de encuesta aplicado a los docentes. Este
instrumento se aplicó con la finalidad de identificar los elementos de la estrategia de
enseñanza y la consistencia lógica de las actividades propuestas como estrategia de
aprendizaje.
En la ficha de análisis de los cuadernos de trabajo. Este instrumento se aplicó con
la finalidad de observar la pertinencia de actividades propuestas por parte del docente,
si realmente están orientadas a desarrollar las competencias matemáticas en los
estudiantes; luego se estableció las relaciones con las dimensiones, finalizando con
la interpretación cualitativa.

40
Organización de las categorías y surgimiento de las primeras conclusiones
aproximativas
Instrumentos utilizados en el trabajo de campo
Prueba pedagógica
La prueba pedagógica aplicada a los estudiantes fue de respuestas abiertas; por tanto
el procesamiento de datos de este instrumento se ejecutó de la siguiente forma:
las respuestas obtenidos de los ocho ítems planteados en este instrumento; para el
análisis se ha organizado en tres tipos de calificación, inicio, proceso y logro
considerando la escala de calificación según DCN 2009.
En inicio cuando el estudiante está empezando a desarrollar los aprendizajes
previstos o evidencia dificultades para el desarrollo de éstos y necesita mayor tiempo
de acompañamiento e intervención del docente de acuerdo a su ritmo y estilo de
aprendizaje.
En proceso es cuando el estudiante está en camino de lograr los aprendizajes
previstos, para lo cual requiere acompañamiento durante un tiempo razonable para
lograr.
En logro cuando el estudiante evidencia el logro de aprendizaje previsto en un tiempo
programado, demostrando incluso un manejo solvente y muy satisfactorio en todas las
tareas propuestas.
Los datos se procesaron de la siguiente manera:
Se ha realizado el análisis de manera cualitativo, para ubicar en la escala de
calificación. A continuación se muestra una de las respuestas del estudiante: Elías
RAMÍREZ VILLACRISIS. Ítem 1
Figura. Ítem N°1 de la Prueba pedagógica.

41
Esta pregunta conlleva al estudiante observar la figura, utilizando su esquema
perceptual reconoce el triángulo, cuadrado, y pentágono, para lo cual utiliza primero la
observación y para comunicar el resultado escribe en forma literal, como se observa
en el resultado del estudiante.
Analizando la respuesta del alumno Elías, identifica algunos polígonos, de igual
forma justifica por qué identificó esos polígonos, indicando sus nombres respectivos,
esta respuesta matemáticamente es aceptable por estar dirigido al ítem 1 a la
dimensión 1; de la misma forma entiende que los polígonos tienen número de lados
diferentes; el resultado es suficiente para esta dimensión. En conclusión ubicamos la
respuesta emitida por Elías en el nivel proceso.
Este proceso de análisis se realizó para los 26 estudiantes, para cada uno de los
ocho ítems y dimensiones correspondientes. Llegando establecer la base de datos
en función al tipo de respuestas y por dimensiones, de esta forma el análisis cualitativo
se convierte en datos cuantitativos, porque la finalidad fue determinar el de desarrollo
de las competencias matemáticas en polígonos a través del logro de las capacidades;
los resultados obtenidos del procesamiento de datos fueron las siguientes:
En inicio, las respuestas promedios corresponden al 49%, este promedio indica
que el desarrollo de las competencias matemáticas en polígonos es bajo; porque el
grado de desarrollo de las capacidades en esta, es elemental muy básico utiliza un
lenguaje simple, uso de los modelos, propiedades, acción de justificar, validar se
encuentran en un estado inicio en las cuatro dimensiones, por lo que hay la necesidad
de mejorar en este aspecto ya que en esta escala están concentradas el mayor
porcentaje de los estudiantes; esto indica aún falta trabajar en esta aspecto.
En proceso, las respuestas promedios corresponden al 39%, la cual indica un grado
de adquisición aceptable, al grupo de estudiantes que se encuentran en esta escala
aún faltan desarrollar las capacidades: matematizar situaciones en contextos reales, y
razonar y argumentar generando ideas matemáticas.
Logro para esta escala, las respuestas promedios corresponden solo el 12%, la cual
indica que el grupo de estudiantes que se encuentran en esta escala son pocas ya que
el mayor porcentaje se encuentran en las escalas inicio y en proceso.

42
Encuesta para docentes.
En esta parte del trabajo de campo se realizó un análisis cualitativo y cuantitativo, en
dos partes: en estrategias de enseñanza y estrategias de aprendizaje, esto por la
misma naturaleza del instrumento; muestra de ello se presenta la respuestas del
docente: Julián CURIPACO GOMEZ
Figura 2. Ítem N°4 de la encuesta para docentes.
El propósito de esta pregunta es para identificar los elementos de la estrategia
de aprendizaje, porque los métodos propuestos por el docente para resolver
problemas son aplicados por los estudiantes, analizando la respuesta del profesor
Julián, a la pregunta: ¿Usted menciona los métodos a emplear durante la resolución
de problemas del polígono?, la respuesta es siempre positivo. Esta respuesta indica
que el docente al desarrollar una sesión de clase, menciona los métodos necesarios
para que los estudiantes puedan utilizar en la resolución de problemas sobre
polígonos, esta respuesta se cataloga como eficiente.
Este mismo proceso de análisis se realizó para los 4 docentes encuestados,
llegando al siguiente resultado:
Respecto a la estrategia de enseñanza, se arribó a las siguientes conclusiones:
Eficiente, se ubican en el 38%, cuyas características son: Los docentes intervienen
cuando hay dificultades y errores de los estudiantes y se preocupa en mejorar el
caso; los docentes generan el uso y manejo correcto de medios y materiales durante
el proceso de enseñanza; asimismo promueven la discusión pero no realizan la
conclusión final; realizan resúmenes pero de modo tradicional, utilizan pocas veces
organizadores visuales y recursos tecnológicos.
Poco eficiente, se ubican el 55%, presentan las siguientes características: Los
docentes realizan preguntas del tema a tratar, y esto le sirve para identificar
conocimientos previos, pero no explora otros factores como afectividad, emotividad;
enuncian los tipos de problemas y los métodos, pero al desarrollar no demuestran;

43
hacen entrega de materiales, módulos y orienta su uso, los módulos diseñados no
garantizan el desarrollo de las capacidades matemáticas.
En la estrategia de aprendizaje se arribó a los siguientes resultados:
Eficiente, se ubican el 40%, presentan las siguientes características: los docentes
generan la correcta manipulación de materiales, producto de ello los resultados
académicos son buenos y los recursos facilitan el aprendizaje; promueven la
discusión, llegando establecer la conclusión final; propician en realizar resúmenes
utilizando organizadores visuales; generan la discusión contextualizada del tema,
llegando a conclusiones finales con la participación de todos los alumnos.
Poco eficiente, se ubican el 60%, presenta las siguientes características: Los
docentes generan la correcta manipulación de materiales, pero durante el proceso de
aprendizaje los estudiantes no se orientan con el fin del material; promueven la
discusión, pero dejan suelto la conclusión final; propician realizar resúmenes, pero no
utilizan organizadores visuales
Ficha de Análisis documental.
En esta parte se realizó el análisis cualitativo, para observar la forma de trabajo que
realiza; como parte de la muestra presentamos la observación realizadas al cuaderno
de trabajo del estudiante: Roger GARCIA RAMOS.
Figura 3. Ítem 4 de la encuesta para docentes.
El análisis de esta tarea es para ubicar el nivel de desarrollo de las capacidades:
elabora y usa estrategias; razona y argumenta generando ideas matemáticas;
comunica y representa adecuadamente ideas matemáticas; porque el trabajo grupal y
de domicilio promueve el intercambio de ideas y experiencias de los estudiantes. Por
otro se analizó el orden, secuencia de temas desarrollados, responsabilidad y
cumplimiento de sus obligaciones del estudiante reflejado en el cuaderno de trabajo.
Este mismo proceso se realizó para los 4 estudiantes más representativos, y
facilitó obtener los siguientes resultados:

44
Matematiza situaciones:
Entre las tareas no realizadas se tienen: los docentes no exploran los
conocimientos previos, requisito indispensable para desarrollar un nuevo tema; los
docentes no presentan los materiales a utilizar, esto se observa en el análisis donde
no se evidencia las orientaciones para el uso del material, tampoco el instructivo para
los auto instructivos; asimismo el docente no presenta qué tipos de problemas se va a
desarrollar y en qué contexto.
Entre las acciones realizadas se muestran: Proyección sin planificación y
organización en descubrir el nivel de razonamiento geométrico que tienen los
estudiantes, esto se evidencia en el análisis del cuaderno de trabajo, donde el
estudiante no se orienta sobre la intención del tema a desarrollar.
Comunica y representa ideas matemáticas.
Entre las acciones no ejecutadas: el docente no genera que los estudiantes
descubran, comparen y aprendan cuáles son los conceptos y propiedades, de los
polígonos. Esto se evidencia en el análisis de la ficha documental, los materiales
presentados tienen un contenido de temas de carácter memorístico y algorítmico.
Las acciones cumplidas: tendencia de desarrollar aprendizajes significativos, pero
sin ninguna orientación pedagógica.
Elabora y usa estrategias:
Entre las acciones no cumplidas se tienen: en el cuaderno de trabajo no presentan
resúmenes, esto hace pensar que no se llevó a cabo trabajos en grupos; las respuesta
emitidas por el estudiantes no concuerdan con los enunciados de los problemas, el
estudiante no explica cómo ha resuelto el problema y qué es lo que busca como
resultado, estos problemas corresponden a los conocimientos previos; en la resolución
de los problemas siguen presentando el uso de un lenguaje básico.
Entre las acciones cumplidas tenemos: el docente desarrolla problemas como
repaso, pero no diagnóstica como está en cuanto al uso del lenguaje matemático,
como está en cuanto al razonamiento en sí del problema.

45
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Acciones no cumplidas se tienen: El docente debe plantear problemas que conllevan a
diagnosticar situaciones nuevas, a que el estudiante plantea diversos caminos para la
resolución. Asimismo no generaliza propiedades determinadas de los temas en
estudio; no realiza evaluación integral.
Entre las acciones cumplidas se evidencias: los problemas planteados por los
docentes en su mayoría presentan situaciones rutinarias, de un solo camino y no
conllevan a los estudiantes desarrollar las competencias matemáticas en geometría.
Esto evidencia cuando el estudiante resuelve por su propia iniciativa y sin orden lógico.
El docente realiza una evaluación sólo para registrar las notas.
Triangulación.
La triangulación con fines de encontrar coincidencias y discrepancias entre los datos
de los tres instrumentos aplicados arrojaron los siguientes resultados:
Según la repuesta entregado por los alumnos, las respuestas promedios
corresponden a la dimensión 1, con un grado de adquisición del 49%, obteniendo
Adquisición baja. Presentando las siguientes características; uso de un lenguaje
básico, reconocimiento de figuras en forma global, identificación de propiedades
informalmente. Visualización global de la figuras.
Según la repuesta entregado por los alumnos, las respuestas promedios
corresponden a la dimensión 2, con un grado de adquisición del 39%, obteniendo la
adquisición medio. Presentando las siguientes características; Identificación de
algunas propiedades de las figuras de manera informal. Reconocen los polígonos
cómo ha sido generado, esto a falta del desarrollo de las capacidades matemáticas.
Según la respuesta entregado por los alumnos, las respuestas promedios
corresponden a la dimensión 3, con un grado de adquisición del 12%, obteniendo
adquisición mínima, presentando las siguientes características; realiza algunas
demostraciones informales, no utiliza propiedades matemáticas para determinar el
perímetro y el área de los polígonos.
Según la repuesta entregado por los alumnos, las respuestas promedios corresponden
a la dimensión 4, con un grado de adquisición 4%, obteniendo adquisición muy bajo,

46
presentando las siguientes características; aún falta desarrollar la capacidad de razona
y argumenta generando ideas matemáticas.
La estrategia de enseñanza de los docentes que muestran trabajos con poca
eficiencia, presentan las siguientes características:
Los docentes realizan preguntas del tema a tratar, para identificar conocimientos
previos, pero no explora otros factores, como: afectividad, emotividad. Asimismo
enuncian los tipos de problemas y sus métodos, pero al desarrollar no lo muestran.
También entregan materiales, módulos diseñados que ello no garantiza el desarrollo
de las capacidades matemáticas en polígonos. Los docentes actúan cuando hay
errores de parte de sus alumnos y no realizan el análisis exhaustivo del caso.
Los docentes que muestran trabajos con eficiencia presentan las siguientes
características:
Los docentes realizan preguntas del tema a tratar, para identificar conocimientos
previos, explorando otros factores la afectividad, emotividad etc. Asimismo enuncian
los tipos de problemas y sus métodos, pero al desarrollar no lo muestran. También
hacen entrega de materiales, módulos y orienta su uso, los módulos diseñados
garantizan el desarrollo de las capacidades matemáticas en polígonos. Finalmente
los docentes actúan cuando hay errores de parte de sus alumnos y se preocupa en
registrar.
En cuanto a la estrategia de aprendizaje, los docentes que presentan un trabajo
poco eficiente, tienen las siguientes características:
Los docentes generan la correcta manipulación de materiales, pero durante el proceso
de enseñanza aprendizaje los estudiantes no se orientan con el fin del material, los
docentes promueven la discusión, pero dejan suelto la conclusión final. Asimismo,
promueven a realizar resúmenes, pero no utilizan organizadores visuales. También
promueven la discusión contextualizada del tema, sin llegar a una conclusión.
Los docentes con trabajo eficiente, presentan las siguientes características:
Los docentes generan uso y manejo correcto de materiales, cuyos resultados
académicos son buenos y los recursos facilitan el aprendizaje. Asimismo los docentes
promueven la discusión, llegando establecer la conclusión final. También promueven
en realizar resúmenes utilizando organizadores visuales. Además promueven la

47
discusión contextualizada del tema, llegando a conclusiones finales con la
participación de todos los alumnos.
De acuerdo al análisis de la ficha documental se obtuvo los siguientes resultados:
Matematiza situaciones
Los docentes no exploran los conocimientos previos, requisito indispensable para
desarrollar un nuevo tema. Asimismo no presentan que materiales se van a utilizar,
esto se evidencia en el análisis donde no se evidencia las orientaciones para el uso
del material, tampoco el instructivo para los módulos auto instructivos. También no
presenta qué tipos de problemas se va a desarrollar.
Comunica y representa ideas matemáticas
El docente no conlleva a que los estudiantes descubran, comparen y aprendan cuáles
son los conceptos y propiedades, de los objetos matemáticos. Esto se evidencia en el
análisis de la ficha documental, donde los materiales presentados contienen temas de
carácter memorístico y algorítmicos.
Elabora y usa estrategias
En el cuaderno no presentan resúmenes, esto hace pensar que no se llevó a cabo
trabajos en grupos. Las respuesta emitidas por el estudiantes no concuerdan con los
enunciados del problemas, esto hace pensar que el estudiante no explica cómo ha
resuelto el problema y qué es lo que busca como resultado, estos problemas
corresponden a los conocimientos previos. Además en la resolución de los problemas
siguen presentando el uso de un lenguaje básico.
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
El docente debe plantear problemas que conllevan a diagnosticar situaciones nuevas, a
que el estudiante plantea diversos caminos para la resolución. Además no generaliza
propiedades determinadas de los temas en estudio. También no realiza evaluación
integral.

48
Las conclusiones aproximativas abordadas en párrafos anteriores conducen a la
conclusión final. Existen dificultades en el desarrollo de las competencias matemáticas
en polígonos en los estudiantes del cuarto grado del nivel secundario de la institución
educativa “La Victoria de Ayacucho”. Desde los datos cuantitativos; las tendencias más
importantes están referidas a la necesidad de implementación de un plan o estrategias
para mejorar la resolución de problemas matemáticos. Asimismo en razonamiento
lógico, geométricos, mecanismo operacional, falta de comprensión y explicación de la
solución del problema. Además, los datos cualitativos, procesados a través de tablas de
reducción se obtienen las categorías emergentes: competencias matemáticos y
estrategia didáctica, factores relacionados con el proceso enseñanza aprendizaje. Los
cuales son la partida para modelar la propuesta de la estrategia didáctica basada en el
Modelo de Van Hiele para desarrollar las competencias matemáticas en polígonos.
En resumen, a través del proceso de diagnóstico pedagógico, se llega a conocer la
información objetiva sobre el desarrollo de las competencias matemáticas de temas
geométricos vinculados al estudio de los polígonos; además permitió conocer la
metodología tradicional de enseñanza de la geometría, uso de los recursos pedagógicos
en el aprendizaje y recabar información sobre las impresiones, valoraciones y su
aplicación de las estrategias didácticas en el proceso de enseñanza aprendizaje de la
matemática.

49
CAPITULO III
PROPUESTA ESTRATEGIA DIDACTICA PARA DESARROLLAR LAS
COMPETENCIAS MATEMATICAS EN POLIGONOS
En este capítulo se presenta la propuesta de la estrategia didáctica para desarrollar las
competencias matemáticas en polígonos en sus tres aspectos: la modelación,
implementación y resultados de valoración desde la aplicación del método de
valoración de especialistas.
Propósito
El propósito del presente estudio es contribuir al desarrollo de las competencias
matemáticas en polígonos desde la configuración de capacidades, habilidades,
actitudes, hábitos de autorrealización abierto a la experiencia y en continuo
aprendizaje. Asimismo, constituye ayuda didáctica que permitirá al estudiante
solucionar problemas matemáticos potenciando sus destrezas físicas y mentales
necesarias en el desempeño ciudadano que demanda el país.
Fundamento socioeducativo.
Teniendo en cuenta que el proceso educativo es social y debe estar orientada hacia el
desarrollo de la personalidad eso implica conseguir competencias matemáticas
necesarias coadyuven a asumir los retos de la sociedad actual.
Desde la geometría se puede desarrollar competencias matemáticas en los
estudiantes para resolver problemas de su contexto real y afrontar los retos de la
sociedad moderna. Para lo cual proponemos desarrollar las competencias
matemáticas en polígonos, como una alternativa de interacción entre el sistema
educativo y la sociedad, producto de ello se tendrá generaciones competentes y con
capacidades para desarrollar trabajos en el nivel que requiere la sociedad actual.
El contexto social y geográfico, donde se ejecutará esta propuesta, es la
Institución Educativa “La Victoria de Ayacucho” región Huancavelica, nivel secundaria;
modalidad de educación básica regular, está ubicado en el Jr. Hildauro Castro S/N, del

50
distrito de Ascensión, pertenece a la UGEL y Dirección Regional de Educación de
Huancavelica. Esta institución educativa atiende en las tres modalidades: Educación
Primaria, Educación Secundaria de Menores EBR y Educación Básica Alternativa
EBA. La ubicación de los estudiantes en las diferentes secciones es por edad y por
el rendimiento académico. La muestra para la investigación está conformada de 26
estudiantes de las secciones C y D del cuarto grado de educación secundaria y cuatro
docentes del área de matemática.
Fundamento pedagógico.
El fundamento pedagógico entendido como proceso educativo de enseñanza
aprendizaje; la enseñanza un proceso en el que el docente ejerce acción intencional
y planificada sobre el estudiante con la finalidad de lograr que este adquiera nuevos
conocimientos, capacidades, habilidades y actitudes en función de su propia actividad.
En cuanto al aprendizaje se han ocupado ampliamente conductistas, cognitivistas, y
los aportes de Vigotsky, Luria, Leontiev, Galperin, puntos de vista cualitativamente
superiores respecto a los conductista y cognoscitivistas y plantean que el aprendizaje
es un proceso de adquisición de habilidades, competencias, conocimientos y
procedimientos a través de la práctica concreta.
La propuesta, bajo las consideraciones anteriores tiene el propósito de mejorar el
desarrollo de las competencias matemáticas en polígonos, a partir del desarrollo de
las capacidades. Para consolidar este propósito, también tomamos como referentes
Pisa (2009) y OCDE (2009), quienes realizaron un estudio amplio sobre las
competencias matemáticas, concluyeron que las competencias matemáticas es la
capacidad del individuo para resolver situaciones prácticas cotidianas, utilizando para
este fin los conceptos y procedimientos matemáticos.
En consecuencia en esta propuesta se asume los Niveles y las fases de
aprendizaje por Van Hiele (1957); entre los niveles son: reconocimiento o
visualización, análisis, clasificación, deducción formal y rigor; y las fases de
aprendizaje tenemos: información, orientación dirigida, explicación, orientación libre e
interpretación. Con el desarrollo de estos niveles y fases de manera pedagógica se
logra desarrollar las competencias matemáticas en polígonos un aspecto importante
dentro del proceso de enseñanza de la geometría.

51
Referente al desarrollo de las competencias matemáticas en polígonos,
tomamos como referente teórico a García López (2008), quien concluye en sus
estudios que hay dos tipos de razonamientos; Razonamiento como proceso discursivo
natural y como proceso discursivo teórico. Para esta investigación se tomará en
cuenta las dos, porque los temas a modelar por su naturaleza requieren de ambos
razonamientos.
En esta propuesta nuestro referente principal es el Modelo de Van Hiele, porque
en este modelo matemático consta y trata sobre los niveles de razonamientos
geométricos y las fases de aprendizaje que orientará a la estrategia didáctica, y el
software GeoGebra se utilizará como recurso educativo para facilitar el desarrollo de
las competencias matemáticas en polígonos.
Sobre la base de los fundamentos teóricas mencionadas anteriormente, y por la
experiencia docente del investigador durante más de dos décadas en el área de
matemática y pedagógicamente asumimos la efectividad de la estrategia didáctica
dentro del proceso de enseñanza aprendizaje, con el cual se responde a la necesidad
que se tuvo en la Institución Educativa La Victoria de Ayacucho región Huancavelica.
Fundamento curricular.
En este aspecto, cabe mencionar que por estar inmerso dentro del sistema educativo y
los propósitos de esta investigación es, insertar la propuesta dentro del currículo
asumiendo en función a los enfoques propuestos, para tal efecto tomamos las Rutas
de Aprendizaje 2015 como instrumento curricular del cuál determinaremos las
competencias, las capacidades y los indicadores con los cuales desarrollaremos las
diferentes actividades de las sesiones de aprendizaje.
El Ministerio de educación como ente rector encargada de la administración y
dirección de las acciones educativas; a través de las Rutas de Aprendizaje 2015,
propone aprendizajes por competencias, en este marco diseñamos las trayectorias o
rutas a seguir con las fases de aprendizaje del Modelo Van Hiele y los momentos de
las sesiones, que en líneas siguientes se detallan:
En la fase de interrogación o Información, se trabajará como el primer momento
como una forma de motivación del proceso pedagógico y recuperación de los saberes

52
previos y el conflicto cognitivo, correspondiente a la caracterización de la visualización.
La fase de orientación dirigida se trabajará en el proceso de la estructuración figural.
La fase de explicación se trabajará el razonamiento discursivo natural. La fase de
orientación libre se trabajará el registro discursivo y el razonamiento discursivo teórico.
La fase de integración se trabajará el proceso de evaluación.
En ese mismo marco, las Rutas de Aprendizaje se orienta bajo la
fundamentación teórica del enfoque por competencias y el enfoque centrado en la
resolución de problemas en el área de matemática.
En cuanto a los niveles de Van Hiele, se trabajará de la siguiente manera:
Tabla 1
Articulación entre los niveles de Van Hiele, fases de aprendizajes y actividades para la
sesión de aprendizaje
Niveles del
razonamiento
geométrico
Fases de aprendizaje Actividades Planificación
Nivel 0
Reconocimiento o
visualización
Pregunta/Información
Orientación dirigida
Explicación
Orientación libre
Integración
Actividad:
1, 2, 3
Sesión de aprendizaje, Taller.
Nivel 1
Análisis
Actividad;
1, 2, 3
Nivel 2
Clasificación o
abstracción
Actividad:
1, 2, 3
Nivel 3
Deducción formal
Actividad:
1, 2, 3
Fuente: Elaboración propia.
El cuadro presentado describe, como los niveles de razonamiento se concatena
con las fases y estas con las actividades. Siguiendo con el enfoque por competencias,
se parte de situaciones significativas, la cual indica que los conocimientos son medios
para lograr el producto propuesto. En este proceso se trabaja con capacidades e
indicadores propuestos en las Rutas de Aprendizaje 2015. De la misma forma
diversificaremos algunos indicadores que no están plasmados en las Rutas de
Aprendizaje.

53
Con ello damos muestra, que la Institución Educativa con gran facilidad pueda
incluir en el PEI, la propuesta de esta investigación, e inclusive técnicamente será
operativo en los insumos pedagógicos como el Plan anual de programación, la
unidades didácticas y las sesiones de aprendizaje. Cabe precisar que la estrategia
didáctica estará planificada de acuerdo a los aspectos anteriormente citados.
Diseño
En esta parte presentamos el diseño en sí, de la modelación de la estrategia didáctica
basada en el Modelo de Van Hiele para desarrollar las competencias matemáticas en
polígonos en los estudiantes de cuarto grado de la Institución Educativa “La Victoria de
Ayacucho” región Huancavelica.
Este modelo analógico, representa la articulación de los componentes, etapas,
propósitos y finalidad de la propuesta, en concordancia con el marco teórico y
diagnóstico.

54
MODELACIÓN ANALÓGICA TEÓRICO FUNCIONAL DE LA PROPUESTA
Fuente: Elaboración propia

55
El gráfico de la modelación analógicamente, representa un sistema que tiene
entrada, procesamiento y salida. Por cuestiones metodológicas se lee de abajo
hacia arriba. Desde la base y los fundamentos teóricos científicos. El
investigador asume, en esta investigación, la categoría fundamentos
equivalentes al conjunto de aspectos teóricos, entendiéndose por este último,
enfoques, teorías, definiciones que sustentan la propuesta.
Sobre el eslabón de fundamentos teóricos científicos se erigen las
subcategorías tomados del enfoque por competencias: fundamento socio
educativo, fundamento pedagógico y fundamento curricular. Estas constituyen
el núcleo de las sesiones de aprendizaje que a su vez viene a ser el factor
esencial de la propuesta. No obstante, la estrategia didáctica presenta un
marco didáctico tomado de los aportes del Modelo de van Hiele desde la
valoración crítica e interrelación con los planteamientos de los fascículos de
Rutas de aprendizaje en cuanto respecta al desarrollo de competencias
matemáticas en polígonos.
Sin perder de vista el esquema el desarrollo de las competencias
matemáticas en los estudiantes está en función a la planificación de las
sesión de aprendizaje, en esta se presenta planes generales donde se muestra
competencias del área, capacidades e indicadores generales y precisados a
partir de los cuales, se formularon aprendizajes esperados que en este estudio
conforma la categoría rectora que determina las secuencias didácticas de las
sesiones enmarcadas en las fases de aprendiza y niveles del modelo de Van
Hiele.
Otra categoría de importancia es la evaluación concebida como
evaluación de la estrategia que también podría denominarse meta evaluación
que tiene como función salvaguardar la direccionalidad del proceso hacia el fin
último de la estrategia: estudiantes con capacidades óptimas para resolver y
formular problemas aritméticos tanto en el proceso de enseñanza aprendizaje
como en su vida diaria.

56
Orientaciones metodológicas
La implementación de la estrategia didáctica conlleva como aspectos básicos
propiciar un clima afectivo favorable, estimular la toma de decisiones en el desarrollo
de las acciones, fomentar y monitorear el intercambio de ideas, argumentos,
propuestas durante el desarrollo de actividades, propiciar la expresión y ensayos de
alternativas frente a situaciones problemáticas, orientar actividades de extensión
dirigidas al reforzamiento de los aprendizajes y la aplicación en nuevas situaciones,
tener en cuenta los momentos didácticos para el diseño de las actividades a través de
la contradicción y propiciar la meta cognición después del desarrollo de las
actividades.
Desarrollo o implementación
Según las consideraciones en el fundamento anterior, presentamos el desarrollo de la
estrategia didáctica, la cual contiene como elementos la programación anual, la unidad
didáctica y la sesión de aprendizaje, donde se evidencia la estrategia didáctica en la
enseñanza aprendizaje basada en el modelo de Van Hiele articulado los niveles de
razonamiento geométrico, las fases de aprendizaje, las capacidades matemáticas y es
como sigue:
Tabla 2
Matriz de Programación Anual
UNIDAD
SITUACIÓN
SIGNIFICATIVA
DURACIÓ
N
SEMANA
S /
SESIOEN
S
ACTÚA Y PIENSA
MATEMÁTICAMENTE
EN SITUACIONES DE
FORMA, MOVIMIENTO
Y LOCALIZACION
CAMPO
TEMÁTIC
O
PRODUCTO TRIMESTRE
Matematiza
situaciones
Comunica
y
representa
ideas
matemáticas
Elabora
y
usa
estrategias
Razona
y
argumenta
generando
ideas
matemáticas
I II III
UNIDAD 8
Reconociendo con
GeoGebra los elementos y
propiedades de los
polígonos.
x x x x

57
SITUACIÓN
SIGNIFICATIVA
La geometría desde sus
orígenes se ocupa del
estudio de los polígonos,
para su comprensión es
necesario conocer la
relación de sus elementos
y propiedades de los
polígonos, de allí surgen las
siguientes preguntas:
¿Qué conocimientos son
necesarios para el
reconocimiento de los
polígonos?
¿Qué estrategias y recursos
permiten el reconocimiento
de los elementos y
propiedades, de polígonos
de forma práctica?
Polígonos
Texto
matemático
“Reconociend
o polígonos”
6
sesiones
¿Es posible utilizar
demostración de las
propiedades de los
polígonos a partir de otro
polígono?
x x x x
UNIDAD 9
“Construyendo el parque
de nuestro distrito”
SITUACIÓN
SIGNIFICATIVA
El estudio de los polígonos
a veces queda rezagado sin
aplicabilidad, los estudios
posteriores descubrieron
que los polígonos se
pueden ampliar ,
generalizar y aplicar a
contextos reales,
respondiendo a las
necesidades anteriores
planteamos las siguientes
preguntas;
2
sesiones
Polígonos
Maqueta del
parque de la
plaza principal
del distrito.
¿En qué situaciones se
aplica las propiedades de
los polígonos?
Vínculos con otras áreas:
UNIDAD 8. Se vincula con las siguientes áreas:
Arte, en el trazado de polígonos, circunferencia y cubo utilizando el GeoGebra,
Comunicación, al organizar información para la producción del texto matemático.
EPT, al utilizar como recurso didáctico el software GeoGebra.
UNIDAD 10. Se vincula con las siguientes áreas:
Arte, al levantar una maqueta del parque de la plaza principal.
EPT, al utilizar el recurso didáctico de GeoGebra.

58
Valoración de las potencialidades de la estrategia por consulta a especialistas
Para evaluar la propuesta interventiva diseñada dirigida a la solución del problema
objeto de la investigación se empleó el método de criterio de valoración de
especialistas medir los aspectos internos y externos del producto científico. Este
método tiene diferentes requerimientos para su aplicación, por ello se diseñaron dos
fichas de valoración y se eligieron los especialistas teniendo en cuenta los siguientes
criterios: deben poseer el grado de maestro o doctor en ciencias de la educación o
afines y que hayan trabajado o trabajen en el área de Matemática o áreas afines al
desarrollo de competencias matemáticas o ejerzan la dirección pedagógica en una
institución educativa.
Caracterización de los especialistas.
Los especialistas seleccionados para avalar la propuesta fueron tres: una mujer y dos
varones que cuentan con los grados académicos y científicos requeridos, la
experiencia profesional y la autoridad para la valoración del resultado científico de la
propuesta de la tesis.
En el siguiente cuadro se detalla los criterios que se han tenido en cuenta para la
selección del especialista: grado académico, especialidad profesional, ocupación y
años de experiencia.
Tabla 3
Cuadro del criterio de especialistas
Nombres y
apellidos
Grado académico Especialidad
profesional
Ocupación Años de
experiencia
Segundo Lizardo
Zumaeta Arista
Doctor
Ciencias Matemáticas
Docente de
Matemática de
la I.E.
Emblemática
“San Juan de la
Libertad”.
Chachapoyas
Dieciocho
Ismael Villa
Machuca
Magister Matemática yFísica
Docente de
Matemática de
la I.E. Los
Ángeles de
Ccarahuasa.
Yauli-Hvca.
Quince
Fuente: Elaboración propia.
El Licenciado Segundo Lizardo Zumaeta Arista, es Doctor en Administración de
la Educación, y dieciocho años de experiencia docente en el área de Matemática.

59
El Licenciado Ismael Villa Machuca es Magister en la mención de
Administración de la Educación; tiene quince años de experiencia docente en el área
de Matemática.
Valoración interna y externa.
Para la concepción de la validación interna ( anexo 18) y externa ( anexo 19) se
diseñaron dos fichas de validación con diez criterios de evaluación e indicadores
cuantitativos y cualitativos.
Desde el punto de vista cuantitativo los validadores marcaron su apreciación
en cada uno de los diez criterios que se encuentran en la ficha de validación. La
evaluación que le asignaron a cada una de ellas fue: deficiente (puntaje 1), bajo
(puntaje 2), regular (puntaje 3), buena (puntaje 4) y muy buena (puntaje 5). De
manera general en cada ficha de validación se obtuvo un puntaje máximo de cincuenta
puntos que sumados hacen un total general de cien puntos y que en la tabla de
valoración se representa de la siguiente manera:
Tabla 4
Puntaje de la ficha de valoración.
TABLA DE VALORACIÓN
0-25 : Deficiente
26-59 : Baja
60-70 : Regular
71-90 : Buena
91-100 : Muy buena
Para analizar el punto de vista cualitativo se solicitó una apreciación crítica del
objeto examinado teniendo en cuenta las dimensiones: positivos, negativos y
sugerencias.
La primera ficha corresponde a la valoración interna, es decir, el especialista
juzga el contenido de la propuesta. Los aspectos valorables desde el punto de vista
interno obedecen a diferentes criterios, en este caso constituyen: factibilidad de
aplicación del resultado que se presenta, claridad de la propuesta para ser aplicado
por otros; posibilidad de la propuesta de extensión a otros contextos semejantes;
correspondencia con las necesidades sociales e individuales actuales; congruencia

60
entre el resultado propuesto y el objetivo fijado, novedad en el uso de conceptos y
procedimientos de la propuesta; la modelación contiene propósitos basados en los
fundamentos educativos, curriculares y pedagógicos, detallado; preciso y efectivo; la
propuesta está contextualizada a la realidad en estudio; presenta objetivos claros,
coherentes y posibles de alcanzar y contiene un plan de acción de lo general a lo
particular.
Para valorar los criterios de la validez interna se ha elaborado la ficha en la que
se presenta los criterios, el puntaje a escala correspondiente y los aspectos positivos,
negativos y sugerencias que amerite.
Tabla 5
Cuadro de criterios de validación interna
PUNTAJE
CRITERIOS ASPECTOS
POSITIVOS NEGATIVOS SUGERENCIAS
1
Factibilidad de aplicación del resultado
2 3 4 5
que se presenta.
Claridad de la propuesta para ser
aplicado por otros.
Posibilidad de la propuesta de
extensión a otros contextos
semejantes.
Correspondencia con las necesidades
sociales e individuales actuales.
Congruencia entre el resultado
propuesto y el objetivo fijado.
Novedad en el uso de conceptos y
procedimientos de la propuesta.
La modelación contiene propósitos
basados en los fundamentos
socioeducativos, curriculares y
pedagógicos detallado, preciso y
efectivo.
La propuesta está contextualizada a la
realidad en estudio.
Presenta objetivos claros, coherentes y
posibles de alcanzar.
Contiene un plan de acción de lo
general a lo particular.
Fuente: Universidad San Ignacio de Loyola.

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