El documento describe conceptos fundamentales del álgebra vectorial, incluyendo vectores, ecuaciones paramétricas y transformaciones entre sistemas de coordenadas. Explica que el álgebra vectorial estudia sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales. También define vectores geométricamente como segmentos orientados y analíticamente por sus componentes. Finalmente, detalla cómo representar curvas y superficies mediante ecuaciones paramétricas y convertir entre sistemas de coordenadas.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
ESTADO ANZOÁTEGUI
SEDE BARCELONA
ASIGNATURA MATEMÁTICA
Profesor: Alumno:
Pedro Beltrán Mauricio Silva .
C.I: 28.521.169.
20-10-2020
Ecuaciones
Paramétricas

2. EL ALGEBRA VECTORIAL:
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas
encargada de estudiar sistemas de ecuaciones
lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales. Se relaciona con áreas
como ingeniería, resolución de ecuaciones
diferenciales, análisis funcional, investigación de
operaciones, gráficas computacionales, entre otras.
Otra de las áreas que ha adoptado el álgebra lineal es
la física, ya que a través de esta se ha logrado
desarrollar el estudio de fenómenos físicos,
describiéndolos mediante el uso de vectores.

3. GENERALIDADES DEL ALGEBRA
VECTORIAL
• El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
Geométricamente
Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma,
resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos.
Analíticamente
La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes.
Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema
de coordenadas.
Axiomáticamente
Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de
cualquier tipo de representación geométrica.
El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de referencia,
que puede ser en una o más dimensiones.

4. GENERALIDADES DEL ALGEBRA
VECTORIAL
¿Qué son vectores?
Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son
segmentos de recta en los que su extremo final es la punta de una flecha.
Estos son determinados por su módulo o longitud del segmento, su sentido que es
indicado por la punta de su flecha y su dirección de acuerdo con la recta a la que
pertenezca. El origen de un vector es también conocido como el punto de aplicación.
Los elementos de un vector son los siguientes:
Módulo
Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un vector, representada
por un número real junto con una unidad. Por ejemplo: |OM| = |A| = A = 6 cm
Dirección
Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del positivo) y el vector,
así como también se utilizan los puntos cardinales (norte, sur, este y oeste).
Sentido
Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo del vector, indicando hacia
dónde se dirige este.

5. ECUACIONES PARAMÉTRICAS
En matemáticas, un sistema de ecuaciones
paramétricas permite representar una curva o
superficie en el plano o en el espacio, mediante
valores que recorren un intervalo de números
reales, mediante una variable, llamada
parámetro, considerando cada coordenada de un
punto como una función dependiente del
parámetro.
Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando
se usa un parámetro de tiempo {displaystyle
(t)}{displaystyle (t)} para determinar la posición
y la velocidad de un móvil.
¿QUÉ SON?

6. GRAFICAS DE ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
Para definir en forma vectorial una recta en
R3, es suficiente conocer un punto de la
recta y un vector directo que indique la
dirección de la misma, o sea un vector
paralelo a la recta.
Parametrización:
• Se selecciona un parámetro.
• Se reemplaza el parámetro
en algunas de las variables.
• Establece una relación, si
existe, entre la primera
variable y la segunda
variable.
• Deja la ultima variable, en
termino de los anteriores.

7. GRAFICAS DE ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
Ejemplo:
Muestre de manera gráfica la diferencia entre las curvas indicadas de las
siguientes ecuaciones paramétricas:
y=1/4 x^2-1, x=2t, y=t^2-1, -1≤t≤2
Despejando (t) tenemos que:
x=2t
t=1/2 x
Ahora sustituyendo en la otra ecuación el valor de t para eliminar el parámetro:
y=(1/2 x^2) -1
Nos queda de la siguiente forma nuestra ecuación rectangular:
y=1/4 x^2-1
Como resultado nos da
esta grafica:

8. TRANSFORMAR LAS ECUACIONES
PARAMÉTRICAS A CARTESIANAS
Está dada por: Ax + By + D=0, es decir, los puntos del espacio (x,
y, z) que satisfacen la ecuación y formen un plano:
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está
escrita en ecuación paramétrica:
1. Se igualan las coordenadas.
2. Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente.
3. Se eliminan los parámetros para encontrar una única
ecuación lineal variable (x, y, z).
Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a
cada valor del parámetro en la recta numérica. x= x + λp + μq
y= y + λp + μq z= z + λp + μq c) λ=0, μ=0 d) λ=0, μ=1 e)
λ=2, μ=2.

9. TRANSFORMAR LAS EDUCACIONES
PARAMÉTRICAS A CARTESIANAS
Ejemplo:
Dado el plano de ecuación vectorial determinar su ecuación cartesiana.
(x, y, z)= (1, 2, 2) +λ (1, 1, 0) + μ (1, 2, 5)
1) Escribir la representación paramétrica del plano.
(x, y, z)= (1+ λ +μ , 2+ λ +2μ, 2+ 5μ)
2) Igualamos las coordenadas que satisfacen la ecuación.
X= 1+λ+ μ ; Y=2+λ+ 2μ; Z=2 + 5μ
3) Eliminar parámetros para determinar la relación entre x, y, z.
X= 2+λ+ 2μ ; Y= Y=1+λ+ μ
Restando a la segunda ecuación la primera quedaría.
Y-X= 2-1+λ- λ+ 2μ-μ
El sistema se reduce a:
Y-X=1 + μ ; Z= 2 + 5μ
5y-5x= -5 –μ ; z= 2 + 5μ ; 5x - 5y + z = -3
Por lo tanto la ecuación cartesiana del plano es: 5x - 5y + z = -3

10. LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
La longitud del arco, también llamada rectificación de una curva, está
medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o
dimisión lineal.
Para poder encontrar la longitud de una curva, construimos una
integral de la forma:
√(𝑑𝑥)2
+(𝑑𝑦)2
Los términos dx y dy representan el pequeño cambio de los valores de
x e y desde el principio hasta el final del segmento.
Cuando x y y son funciones de una nueva variable, el parámetro t.
Para poder usar la integral de longitud de arco, primero se calculan
las derivadas de ambas funciones y obtenemos dx y dy en términos de
dt.

11. LONGITUD DE ARCO EN ECUACIÓN
PARAMÉTRICAS
Hallar la longitud de arco mediante las ecuaciones paramétricas:
Solución. Derivando la ecuación paramétrica “x”:
Derivando la ecuación paramétrica “y”:
Entonces los parámetros a utilizar en la fórmula de la longitud de arco:
Sustituyendo:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12 1
3
14 15
16
17