2. magnitudes fisicas vectores

1
MATERIAL PREPARADO
PROF. C. RIOS y E. MIRANDA
Universidad Tecnológica Metropolitana de Chile,
Facultad de Ciencias Naturales, Matemáticas y de Medioambiente,
Departamento de Física

Magnitudes físicas
Asociadas a propiedades que
pueden ser caracterizadas a
través de una cantidad
Asociadas a propiedades que se
caracterizan no sólo por su cantidad
sino por su dirección y su sentido
ESCALARES VECTORIALES
Longitud, masa, tiempo,
densidad, temperatura, energía,
rapidez , trabajo, etc
Velocidad, fuerza, desplazamiento,
posición, cantidad de movimiento,
aceleración, torque, etc.

4
Gráficamente, un vector es
representado por una flecha. La
magnitud o módulo del vector es
proporcional a la longitud de la
flecha.
• La magnitud o módulo del
vector se indica por o
simplemente A.
r
A
A
r
A
r
• Un vector se acostumbra
a denotar por una letra con
una flecha sobre ella.

Ángulo  representa la dirección
del vector
Punta de la flecha indica el
sentido del vector.
Inicio de la flecha indica el origen
o el punto de aplicación.

DIRECCION
SENTIDO

5
r r r r r r
Dados A y B, si A = B entonces A = B
Propiedades de Vectores
Todo vector se puede desplazar
paralelamente a si mismo
A
r
B
r
C
r
 
rr r
A B C
y la dirección de A debe ser igual a la de B

6
Suma de Vectores (FORMA GEOMETRICA)
Ley del polígono
El vector resultante es aquel que vector que va desde el
origen del primer vector hasta el extremo del ultimo
A
r
B
r
C
rA
r
B
r
C
r
R
r

Entonces si se tiene los siguientes vectores
A

B

C
 D

El vector resultante de la suma de todos ellos será:
A
 B

C

D

   
rr r r r
R A B C D
R


8
Ley conmutativa (Método paralelogramo)
Los vectores A y B pueden ser desplazados
paralelamente para encontrar el vector suma
r
A
r
B r
B
r
A
r
A
r
B
Ley Conmutativa R =A +B = B+A
Ley Asociativa      R A (B C) (A B) C

9
r
B
r
A
 Para calcular el módulo del vector
suma se puede recurrir al teorema
del coseno,
S    
r r r
2 2 2
2 cosS A B AB   
 Además haciendo uso del
teorema del seno se puede
encontrar la dirección
S A B
sen sen sen  
 




10
Dado dos vectores A y B
r r
Se dicen que son paralelos si A k·B
r r
si k 0 A B  
r r
si k 0 A B  
r r
si k 1 A B  
r r
Multiplicación de un escalar por un vector
• Algunas consecuencias
y k : escalar
Cuando un vector se multiplica por un escalar,
resulta otro vector en la misma dirección y de
módulo igual a tantas veces el escalar por el
módulo del vector dado.

11
A

B

AB

2
1

A

B
 AB

4
1

Ejemplos:

12
Propiedades de Vectores
A
Opuesto
-A
Nulo 0 = A + ( )-A
Vector unitario μ
A
A

ˆA A 

13
R
Resta de Vectores
 
r r r r r
R A-B= A+ -B
A B
r
A
B
rSean:

14
Ejercicios
La resultante de los vectores en las figuras es:

Cualquier vector puede siempre considerarse como la
suma de dos o más vectores, siendo el número de
posibilidades infinito.
A cualquier conjunto de vectores que al sumarse den
un vector se les llama las componentes de .
15
A
r
A
r

2 2
 
r
x yA A A
La magnitud de cada componente está dada por:
Ax = A cos  y Ay = A sen 
El módulo o magnitud del vector es:

0
Al considerar un sistema cartesiano XY,
cualquier vector en el plano puede ser
considerado como la suma de 2 vectores en
las direcciones x e y, que se llaman
componentes rectangulares del vector.
1  
   
 
y y
x x
A A
tgθ = tg
A A
La dirección del vector es:
x
y
A
ur
xA
yA

17
  
r r r r
x y zA A A A
z
x
y
zA

xA

yA

A
r
r r r
x y zA , A , A
 Si se considera un sistema
cartesiano XYZ, cualquier vector en
el espacio puede ser considerado
como la suma de 3 vectores en la
dirección x,y,z que se llaman
respectivamente.
De modo que

18
2 2 2
  x y zA A A A
  
r
x y z
ˆ ˆ Â A i A j A k
Si se llaman a los tres vectores
unitarios en las direcciones x, y, z
respectivamente, entonces:
ˆ ˆ î, j, k



r
r
r
x x
y y
z z
Â A i
Â A j
Â A k
z
x
y
zA

xA

yA

iˆ
kˆ
jˆ
A
r
El vector A escrito en cordenadas rectangulares es:
El módulo o magnitud del vector es:

19

r r
r ( r ; )
Su forma es:
x r cosθ
y r sen θ
1  
   
 
y y
tgθ = tg
x x

2 2
 r x y
Con

20
A (3unid ; 130º ) 
r
A (3unid ; 230º )
r
230º
x
y

21
N
S
EO

22
a.) Representar la posición de
un objeto que se encuentra en el
punto P ubicado a 5 Km del
origen y a 30º del Norte al Oeste.
b.) Representar la posición de un objeto que se encuentra en
el punto Q ubicado a 4 Km del origen y a 50º al Este del Sur.
c.) Representar la posición de un objeto de magnitud 3 km y
que se encuentra en el punto R, Oeste 20º Sur.
N
S
EO
P
30º

50º
Q

R
20º
d.) Representar la posición de los tres objetos en forma polar

23
SUMA DE VECTORES (FORMA ANALITICA
COORDENADAS RECTANGULARES)
x y z
ˆ ˆ ˆA A i A j A k ;  
r
x y z
ˆ ˆ ˆB B i B j B k ;  
r
kˆCjˆCiˆCC zyx 

CBAR


kˆ)CBA(jˆ)CBA(iˆ)CBA(R zzzyyyxxx 

El vector suma o resultante de dos o más vectores, es un
vector cuyas componentes equivalen a la suma de cada una
de las componentes de los vectores, esto es:
y
Sean
2 2 2ˆˆ ˆx y z x y zR R i R j R k R R R R      
r

24
Multiplicación de un escalar por un vector
kÂjÂiÂA zyx 

x y z
ˆ ˆ ˆk·A kA i kA j kA k  
r
Sea k : escalar y
Entonces,

El producto escalar de los vectores
representado por el símbolo ,
se define como el producto de las
magnitudes de y con el coseno
del ángulo entre los dos vectores.
Se llama escalar, porque el resultado
por definición es una magnitud
escalar, o sea un número.
Con
25
A
r
B
r
 
r r

A
r
B
r
r r
g θA B = ABcos( )
0 180  

26
x y z
ˆ ˆ Â A i A j A k  
r
x y z
ˆ ˆ ˆB B i B j B k  
r
x x y x z x y x y y y z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Â•B (A B )i • i (A B )j• i (A B )k• i (A B )j• i (A B )j• j (A B )j•k      
r r
z x z y z z
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(A B )k • i (A B )k • j (A B )k •k  
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î • i j • j k • k 1  
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î • j j • k i • k 0  
x x y y z zA •B (A B ) (A B ) (A B )  
r r
entonces:
Pero el producto de los vectores unitarios
además,
Luego,
Sean
A • B
r r
B
r
A
r
Esto es equivalente a establecer que es una magnitud
escalar igual al producto de la magnitud de y a la
proyección de sobre .B
r

El producto vectorial de los vectores es
representado por el símbolo
Se llama vectorial, porque el resultado
es un vector
Su magnitud se define como el
producto de las magnitudes de y ,
con el seno del ángulo entre los dos
vectores.
Con:
27
a
r
b
r
a b
r r
0 180  
 a b a b sen    
r r

El producto vectorial es siempre perpendicular
al plano que forman los vectores (es decir,
perpendicular tanto a como )
Regla de la mano derecha
Imagine que gira el vector sobre el plano,
hasta alinearlo con . Eligiendo el ángulo más
pequeño entre ello. Gire los dedos de su mano
derecha sobre la perpendicular, con las puntas
señalando en la dirección de la rotación; el
pulgar señalará en la dirección de
28
a
r
b
r
a b
r r
a
r
b
r
a b
r r

29
Sean
x y z
ˆ ˆ ˆB B i B j B k  
r
x y z
ˆ ˆ ˆA A i A j A k  
r
x y z
x y z
ˆ ˆ ˆi j k
A B A A A
B B B
 
r r
y z z y x z z x x y y x
ˆ ˆ ˆC A xB i(A B A B ) j(A B A B ) k(A B A B )      
r r r
Al resolver el determinante se
obtiene el siguiente vector:
El módulo del producto cruz:
  2 2 2
x y zC C C CC A xB ABsen( A,B) 
r r
R

30

31
POSICIÓN, VECTOR POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO.
POSICION: Es un punto del espacio que indica el lugar
donde se encuentra una presunta partícula. En coordenadas
rectangulares, corresponde a un trío ordenado de números
de la forma (x,y,z).
Para dos dimensiones tiene la
forma (x,y), llamada par
ordenado.

32
VECTOR POSICION ( ): es el vector que une el origen
del sistema de referencia escogido, con la posición
donde se encuentra la partícula. En dos y tres
dimensiones se denota por .
r
r
r
r
r
x y
rPara los movimientos en una dimensión se denotan por
( movimiento horizontal) e (movimiento vertical).

33
ˆ ˆ ˆr x i y j zk  
r
ˆ ˆ ˆr (2 i 3 j 5k )m  
r
NOTA: En general, al hablar de POSICION, nos referimos
implícitamente al VECTOR POSICION, ya que una posición
dada en la forma (x,y,z) es un vector que se puede escribir
en coordenadas rectangulares como
Por ejemplo, el vector posición de una partícula colocada en
la posición (2, -3, 5) m es simplemente el vector

34
f ir r r  
r r r
DESPLAZAMIENTO ( ) :
r r
d o Δr
Es el vector que define la posición de un punto o partícula
en relación a un origen o con respecto a una posición
previa. El vector se extiende desde el punto de referencia
hasta la posición actual. En general se traza desde la
posición inicial hasta la posición final y equivale a la
diferencia vectorial entre la posición final y la posición inicial,
es decir:

35
EJEMPLO 1:
; b)
Un barco se dispone a zarpar hacia un punto A
situado a 124 km al norte del punto de partida (O).
Una tormenta inesperada empuja al barco hasta un
punto B a 72,6 km al norte y 31,4 km al este del
punto O. Luego el barco navega en aguas tranquilas.
a) Escriba el vector posición del punto B, tomando
como origen el punto O. b) Escriba el vector
desplazamiento desde B hacia A. c) ¿Qué distancia y
en qué dirección debe navegar desde B a A para
llegar a su destino?
Resp.: a) (31,4i +72,6j)km ; b) (-31,4i+51,4j)km;
c) 60,2 km ; 31,4° al oeste del norte.

36
Una hormiga camina en la dirección N 30º O con una rapidez
constante de 2 cm/s. Al cabo de 15 s cambia de rumbo
dirigiéndose en dirección S 37º O con una rapidez constante
de 3 cm/s, durante 20 s. a) Determine la posición final de la
hormiga con respecto a su posición inicial . Exprese su
respuesta en términos rectangulares y en términos
geográficos. b)¿En qué dirección y con qué rapidez debe
marchar la hormiga para volver directamente al punto de
partida demorando en ello 10 s?
Resp:.: a) (-51,1i-21,9j)cm ; b) (55,6cm S66,8ºO) c) (5;56
cm; N66,8E)
EJEMPLO 2:

37
Dos botes parten simultáneamente desde el mismo punto de un
muelle ubicado en el borde de un río, cuyas aguas corren a 2 m/s.
El primer bote parte “aguas abajo” en una dirección que forma un
ángulo de 30º con la ribera. El segundo bote parte “aguas arriba”
en una dirección que forma un ángulo de 120 º con esa misma
ribera (ver figura). Si ambos botes viajan a la misma rapidez de 6
m/s respecto al agua, entonces: a) ¿cuál es vector posición del
primer bote luego de 1 minuto?; b) ¿cuál es el vector posición del
otro bote luego de 1 minuto?; c) ¿cuál es la distancia (en metros)
entre ambos botes en ese instante?
Resp: a) (431i+180j)m ;b) (-60i+311,8j)m ; c)509,1 m
EJEMPLO 3:
30º60º

38
VECTORES
APLICADOS AL
CONCEPTO DE
FUERZA Y ESTATICA
DE LA PARTICULA

39
FUERZA :
El concepto nace de una
noción intuitiva derivada de la
experiencia diaria. Representa
la acción de un cuerpo o
partícula y puede ser ejercida
desde la distancia o por
contacto.
La fuerza se caracteriza por
su intensidad (magnitud)
por el punto de aplicación,
y por su dirección, luego es
UNA MAGNITUD
VECTORIAL

40
Dos hombres tiran horizontalmente de cuerdas
atadas a un poste, las cuales forman entre si un
ángulo de 45º. Si el hombre A ejerce una fuerza
de 750 N y el de B 500 N. Resuelva gráficamente
por el método del paralelogramo y del triángulo;
en ambos casos, 2 cm = 250 N. Determine
analíticamente el módulo de la fuerza resultante
y el ángulo que forma con la fuerza ejercida por
A.
Resp: 116 N; 17º 8’
EJEMPLO 1

41
EJEMPLO 2
Dos fuerza, F1 y F2 actúan en un punto. El valor de
F1 = 80 N y su dirección forma un ángulo de 60º
por encima del eje x en el primer cuadrante. El
valor de F2 = 50 N y su dirección forma un ángulo
de de 53º por debajo del eje x en el cuarto
cuadrante. Determine:
a) las componentes horizontal y vertical de la
fuerza resultante.
b) La magnitud de la fuerza resultante.
c) La magnitud del vector diferencia F1–F2.
Resp: a) 70 N , 29 N b) 76 N c) 110 N

42
EJEMPLO 3
La resultante de cuatro fuerzas concurrentes es
de 1000 N en la dirección 30º al oeste del norte.
Tres de las fuerzas son 400 N con una dirección
de 60º al norte del este; 200 N al sur y 400 N con
una dirección de 53º al oeste del sur. Determine
la magnitud y dirección de la fuerza desconocida.
Resp: 1032.6 N con una dirección de
231º 70’.

43
EJEMPLO 4: EQUILIBRIO DE PARTICULA
Una cuerda ABCD cuelga de los puntos fijos A y D. En B
hay un peso de 12 Kp y en C un peso desconocido. Si el
ángulo que hace AB con la horizontal es de 60º, BC es
horizontal y CD hace un ángulo de 30º con la horizontal.
Calcular el valor que debe tener P para que el sistema se
encuentre en equilibrio estático.
Resp: 4 Kp A
P
60º 30º
D
B
C
Se recomienda dibujar las fuerzas en un diagrama de
fuerzas y luego escribir las componentes rectangulares
de cada una de las fuerzas

44
Determinar la tensión en cada cuerda de las figuras, si el peso
del cuerpo suspendido es 200 Kp.
EJEMPLO 5
b) 60º
60º
A
B
C
a)
45º
A
B
C
c)) A B
E 37º D
C
53º
37º
53º

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