Este documento presenta una serie de ejercicios sobre vectores en el plano. En la primera sección, se resuelven ejercicios que involucran sumar y restar vectores, calcular el producto escalar y ángulo entre vectores, y hallar la proyección de un vector sobre otro. La segunda sección encuentra el valor de x para que dos vectores sean ortogonales. Las siguientes secciones proponen ejercicios adicionales sobre vectores ortogonales, paralelos, combinaciones lineales y ángulos entre vectores.

1. Colegio Leonés Matemáticas 1º Bachiller
Jesús Maestro Vectores en el plano
VECTORES EN EL PLANO
EJERCICIOS RESUELTOS
I) Si u = ( −2 ,2 ) y v = ( 3 ,−1 ) . Calcula: a) v + u ; b) v + 2u ; c) v · u ; d) Ángulo
que forman v y u ; e) Proyección de v sobre u .
Solución
a) v + u = ( 3 ,−1 ) + ( −2 ,2 ) = ( 3 − 2 ,−1 + 2 ) = ( 1,1 )
b) v + 2u → v + 2u = ( 3,−1 ) + 2( −2 ,2 ) = ( 3 + 2·( −2 ),−1 + 2·2 ) = ( −1,3 )
( −1,3 ) = ( −1 ) 2 + 3 2 = 10
c) v · u = ( 3 ,−1 )·( −2 ,2 ) = 3·( −2 ) + ( −1 )·2 = −8
( 3 ,−1 )·( −2 ,2 ) 3·( −2 ) + ( −1 )·2 −8
d) ϕ = arccos = arccos = arccos =
3 + ( −1 )
2 2
( −2 ) + 2
2 2
10 8 80
−2
arccos = 153,4º
5
v ·u ( 3 ,−1 )·( −2 ,2 ) − 8 −8 −4
e) Proy vu = = = =− = = −2 2
u ( −2 ) + 2
2 2
8 2 2 2
II) Calcula x para que los vectores (3,-x) y (-4,2) sean ortogonales.
Solución
Para que dos vectores sean ortogonales su producto escalar ha de ser 0.
→ ( 3 ,− x )·( −4 ,2 ) = 0 → 3·( −4 ) + ( − x )·2 = 0 → −12 = 2 x → x = −6
EJERCICIOS PROPUESTOS
III) Escribe vectores ortogonales al vector (-3,1) tales que:
a) Su primera componente sea 2.
b) Que su segunda componente sea 4.
c) Que sea unitario.
IV) Halla un vector unitario de igual dirección y distinto sentido que (4,-3).
V) Dados los vectores v = ( 3 ,−4 ) y u = ( 6 , k ) . Calcula k para que: a) sean paralelos; b)
sean perpendiculares.
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Jesús Maestro Vectores en el plano
VI) Calcula el vértice D de un paralelogramo ABCD, sabiendo que A=(0,2); B=(1,3) y
C=(4,2).
VII) Escribe el vector c = ( 5 ,−1 ) como combinación lineal de a = ( 2 ,1 ) y b = ( −1,3 ) .
VIII) Determina un vector paralelo a a = ( −4 ,3 ) y de módulo 10.
IX) Busca un vector ortogonal a a = ( 1,−2 ) y de módulo 20 .
X) Siendo los vectores a = ( −2 ,1 ) , b = ( −3,4 ) y c = ( k ,3 ) . Calcular:
a) El ángulo entre a y b .
b) Un vector unitario según la dirección de b .
c) El valor de k para que los vectores b y c sean perpendiculares.
d) El valor de k para que el módulo de c sea 4.
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
⎛ 1 3 ⎞
III) a) (2,6); b)(4/3, 4); c) ⎜
⎜ , ⎟
⎟
⎝ 10 10 ⎠
IV) (-4/5, 3/5)
V) a) k=-8; b) k=9/2
VI) D=(3,1)
VII) c = 2 a − b → c = ( 2 ,−1 )
VIII) (-8,6)
IX) (4,2) ó (-4,-2)
− 3 4⎞
X) a) 26,6º, b) ⎛
⎜ , ⎟ , c)K=4, d)k= 7 .
⎝ 5 5⎠
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