Vectores

2. En tres dimensiones, o espacio tridimensional, se construye un sistema de coordenadas rectangulares utilizando
tres ejes mutuamente perpendiculares. El punto en el cual estos ejes se intersecan se denomina origen O. Estos
ejes, que se muestran en la FIGURA 1, se marcan de acuerdo con la llamada regla de la mano derecha: Si los
dedos de la mano derecha, apuntando en la dirección del eje x positivo, se curvan hacia el eje y positivo, el pulgar
apuntará entonces en la dirección del nuevo eje perpendicular al plano de los ejes x y y. Este nuevo eje se
denomina eje z.

3. Fórmula de la distancia Para determinar la distancia entre dos puntos y en el espacio tridimensional, vamos a
considerar sus proyecciones sobre el plano xy. Como puede observar en la FIGURA, la distancia entre y sigue de la
fórmula usual de la distancia en el plano y es: En consecuencia, del teorema de Pitágoras
aplicado al triángulo rectángulo P1P3P2 tenemos
𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
𝑃1𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2 + 𝑧1 − 𝑧2
2
𝑑 = 𝑟 = ∆𝑥1
2
+ ∆𝑥2
2
+ ∆𝑥3
2
+ ∆𝑥4
2
… + ∆𝑥𝑛
2
=
𝑖=1
𝑛
∆𝑥𝑛
2
𝑃1𝑃2 = ∆𝑥2 + ∆𝑦2 + ∆𝑧2
Haciendo un cambio de variable, por ejemplo: x = x1, y = x2 y z = x3, por lo tanto, ∆𝑥 = ∆𝑥1, ∆𝑦 = ∆𝑥2, ∆𝑧 = ∆𝑥3
la ecuación de la distancia la podemos escribir en términos de deltas de las nuevas variables. En la forma general, la
distancia para n dimensiones se calcula de la siguiente manera:

4. Vectores en el espacio tridimensional Un vector a en el espacio tridimensional es cualquier triada ordenada de
números reales
𝑎 = 𝑎1𝑒1 + 𝑎2𝑒2 + 𝑎3𝑒3
Donde a1, a2, a3 son las componentes del vector. Similar a un vector posición
cuyas componentes son (x, y, z) en el espacio tridimensional.
Las definiciones de componentes de la adición, sustracción y multiplicación por
un escalar, etc., son generalizaciones naturales de las que se dieron para
vectores en el espacio bidimensional.

5. Producto punto: se conoce también como producto interior o producto escalar. El producto punto de dos vectores
a y b se denota mediante a∙b y es un número real, o escalar, definido en términos de las componentes de los vectores.
Propiedades El producto punto posee las siguientes propiedades.

7. Interpretación física del producto punto Se sabe que cuando una fuerza constante de magnitud F mueve un
objeto a una distancia d en la misma dirección de la fuerza, el trabajo realizado es simplemente
W = 𝐹∙𝑟
Sin embargo, si una fuerza constante F aplicada a un cuerpo actúa en un
ángulo u respecto a la dirección de movimiento, entonces el trabajo realizado
por F se define como el producto de la componente de F en la dirección del
desplazamiento y la distancia
𝑊 = 𝐹 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃
Para cuando =0, significa que el vector fuerza y el vector desplazamiento son paralelos
W= 𝐹𝑟