1) El documento describe el flujo angular entre dos cilindros concéntricos, conocido como flujo de Couette, que se usa para medir viscosidades. 2) Se presenta la ecuación de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas para este problema. 3) Tras resolver la ecuación, se obtiene una expresión para la velocidad angular en función de los parámetros del sistema, y se iguala con la ecuación que relaciona el torque aplicado con la viscosidad, para así poder determinar ésta en función de las mediciones.

1. Flujo angular entre dos cilindros concéntricos
Este flujo se conoce como Couette y es ampliamente usado para medir viscosidades.
Cilindro externo rotatorio, a velocidad angular ω
Cilindro interno fijo: Se mantiene así al
aplicar un torque de resistencia al giro T
Fluido de viscosidad a determinar
ri El equipo se diseña de modo que no haya efectos en los
extremos de los cilindros, al hacer que el
r0 cilindro interno sea muy largo y de pequeño diámetro.
Se desea medir la viscosidad del fluido en función de los parámetros del equipo y las mediciones de ω y
el torque.
En este caso el modelo es cilíndrico con vr = vz = 0
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
vr = vz = 0 y son constantes
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
= 0
vθ = vθ(r) y vr = 0
Tomando la ecuación de Navier-Stokes para vθ en coordenadas cilíndricas.
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑧
= −
1
𝜌𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝜃
+ 𝑔 𝜃 +
𝜇
𝜌
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝑟2
+
𝜇
𝜌𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
−
𝜇𝑣 𝜃
𝜌𝑟2
+
𝜇
𝜌𝑟2
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝜃2
+
𝜇
𝜌
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝑧2
Eliminando términos llegamos a la expresión:
0 =
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
−
𝑣 𝜃
𝑟2

2. En este paso podrían cambiar todas las derivadas parciales a derivadas totales.
𝑑
𝑑𝑟
[
1
𝑟
𝑑(𝑟𝑣 𝜃)
𝑑𝑟
] =
𝑑
𝑑𝑟
{
1
𝑟
[𝑟
𝑑𝑣 𝜃
𝑑𝑟
+ 𝑣 𝜃
𝑑𝑟
𝑑𝑟
]} =
𝑑
𝑑𝑟
[
𝑑𝑣 𝜃
𝑑𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
]
=
𝑑2
𝑣 𝜃
𝑑𝑟2
+
1
𝑟
𝑑𝑣 𝜃
𝑑𝑟
−
𝑣 𝜃
𝑟2
por lo que puede sustituirse toda la ecuación simplificada de Navier-Stokes por:
0 =
𝑑
𝑑𝑟
[
1
𝑟
𝑑(𝑟𝑣 𝜃)
𝑑𝑟
]
Integrando,
1
𝑟
𝑑(𝑟𝑣 𝜃)
𝑑𝑟
= 𝑐1
Separando variables e integrando de nuevo
∫ 𝑑(𝑟𝑣 𝜃) = 𝑐1 ∫ 𝑟𝑑𝑟 + 𝑐2
𝑟𝑣 𝜃 =
𝑐1
2
𝑟2
+ 𝑐2
Las condiciones frontera para este sistema son:
C.F.1. En r = ri, vθ = 0;
C.F.2. En r = r0, vθ = ω r0
Aplicando la primera condición frontera 0 =
𝑐1
2
𝑟𝑖
2
+ 𝑐2
Aplicando la segunda 𝜔𝑟0
2
=
𝑐1
2
𝑟0
2
+ 𝑐2
Restando ambas ecuaciones: 𝜔𝑟0
2
=
𝑐1
2
(𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
)
𝑐1 =
2𝜔𝑟0
2
(𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
)
que al sustituir en la ecuación de la primera condición frontera:
0 =
2𝜔𝑟0
2
(𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
)
2
𝑟𝑖
2
+ 𝑐2
𝑐2 = −
𝜔𝑟0
2
𝑟𝑖
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
Sustituyendo las constantes de integración,

3. 𝑟𝑣 𝜃 =
𝜔𝑟0
2
(𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
)
𝑟2
−
𝜔𝑟0
2
𝑟𝑖
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
Haciendo común denominador
𝑣 𝜃 =
𝜔𝑟0
2
𝑟
𝑟2
− 𝑟𝑖
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
𝑣 𝜃 =
𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
𝑟2
− 𝑟𝑖
2
𝑟
=
𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2 (𝑟 −
𝑟𝑖
2
𝑟
)
La pregunta original sin embargo, no era el perfil de velocidad, sino cómo obtener la viscosidad. La
ecuación de Newton en cilíndricas es:
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇 [𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(
𝑣 𝜃
𝑟
) +
1
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
]
Que considerando que vθ = vθ(r) y vr = 0
Se reduce a
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇𝑟 [
𝑑
𝑑𝑟
(
𝑣 𝜃
𝑟
)]
Sustituyendo vθ y derivando
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇𝑟 [
𝑑
𝑑𝑟
{
𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
1
𝑟
(𝑟 −
𝑟𝑖
2
𝑟
)}]
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇𝑟
𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2 [
𝑑
𝑑𝑟
(1 −
𝑟𝑖
2
𝑟2)]
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇𝑟
𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2 [
2𝑟𝑖
2
𝑟3
]
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇
2𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2 [
𝑟𝑖
𝑟
]
2
Evaluando el esfuerzo en ri: (donde se aplica el torque para inmovilizar ese cilindro)
(𝜏 𝑟𝜃)𝑖 = −𝜇
2𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
Por su parte, el torque requerido para que no gire el cilindro interior es equivalente a Fuerza x brazo de
palanca
𝑇𝑖 = 𝐹𝑟𝑖
Y el esfuerzo cortante en esa posición:
(𝜏 𝑟𝜃)𝑖 = − (
𝐹
𝐴 𝑟
)
𝑖
= −
𝐹
2𝜋𝑟𝑖 𝐿

4. Sustituyendo la ecuación de Ti en esta última
(𝜏 𝑟𝜃)𝑖 = −
𝑇𝑖
𝑟𝑖
⁄
2𝜋𝑟𝑖 𝐿
= −
𝑇𝑖
2𝜋𝑟𝑖
2
𝐿
Igualando esta expresión con la obtenida por Navier-Stokes:
−
𝑇𝑖
2𝜋𝑟𝑖
2
𝐿
= −𝜇
2𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
Y finalmente:
𝜇 =
𝑇𝑖
4𝜋𝑟𝑖
2
𝐿
(
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
𝜔𝑟0
2 )