2. Ejemplo 1
Definición
Una función de la forma y=ax se denomina una función exponencial. Cuando
a>1, se llama función exponencial creciente y cuando a<1 se llama función
exponencial decreciente.
y
1 x
(1,b)
(1,a)
y=bx
y=ax
(0,1)
Funciones Exponenciales
3. Si a>0, ax>0 para todos los valores de x, positivos, negativos y cero.
El número a que aparece en la función exponencial ax se le conoce como la
base. La base puede ser cualquier número real positivo excepto el 1.
También es frecuente utilizar el número irracional denotado por e y su función
y=ex se le denomina función exponencial natural.
Funciones Exponenciales
4. Definición
Si x es un número positivo, entonces el logaritmo de x, base b (b>0 y diferente
de 1), denotado como logbx, es el número y tal que by=x, es decir:
0
log >
=
Û
= x
para
x
b
x
y y
b
1000
log10
32
log2
÷
ø
ö
ç
è
æ
125
1
log5
1000
10
3
1000
log 3
10 =
= que
ya
32
2
5
32
log 5
2 =
= que
ya
125
1
5
3
125
1
log 3
5 =
-
= -
que
ya
Funciones Logarítmicas
Ejemplo 2 Ejemplo 3
Ejemplo 4
6. Sean u y v son cualesquiera números positivos, se tiene
Sea b (b>0 y diferente de 1) cualquier base logarítmica. Entonces
1
log
0
1
log =
= b
y b
b
v
u
v
u b
b =
Û
= log
log
Regla de la igualdad
( ) v
u
uv b
b
b log
log
log +
=
Regla del producto
Â
Î
"
= r
u
r
u b
r
b log
log
Regla de la potencia
v
u
v
u
b
b
b log
log
log -
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Regla del cociente
Propiedades de los Logaritmos
7. Las gráficas de y=logbx y y=bx son la imagen una de la otra respecto a un
espejo colocado en la recta y=x. Por lo tanto, la gráfica de y=logbx se puede
obtener reflejando la gráfica de y=bx en la recta y=x.
Relación entre Logaritmos y Exponentes
8. Es decir, la función x=lny es la inversa de la función y=ex.
También podemos formar logaritmos con base e. Éstos se denominan
logaritmos naturales. Se denominan con el símbolo ln y su definición es:
y
y
x
e
y e
x
ln
log =
=
=
Como todos los logaritmos, ln y está definido sólo para y>0. Si y>1, entonces ln y
es positivo, mientras que si y<1, ln y es negativo.
Sus propiedades son:
.
ln
)
ln(
ln
1
ln
ln
ln
ln
ln
ln
)
ln(
1
ln
0
1
ln
u
n
u
v
v
v
u
v
u
v
u
uv
e
n
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
=
=
( ) x
x
e
y
y
e
x
y
"
=
>
"
=
ln
0
ln
Logaritmos Naturales
12. ( ) ( ) 2
2
3
log
)
;
10
ln
2
25
12
1
ln
2
2
ln
2
) =
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+ x
b
x
x
a x
( )
( )
( )
( ) ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
×
+
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
×
=
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+
25
12
1
100
ln
2
2
ln
2
2
2
2
25
12
1
100
ln
2
2
ln
10
ln
25
12
1
ln
2
2
ln
10
ln
2
25
12
1
ln
2
2
ln
2
)
x
x
e
e
x
x
x
x
x
x
a
Solución
( )
( ) ( )
( )( ) 0
12
2
0
24
10
48
100
4
8
4
12
4
100
2
2
25
12
1
100
2
2
2
2
2
2
=
-
+
®
=
-
+
+
=
+
+
×
+
=
+
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
×
=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Pero x=-2 no es solución, ya que ln(2x+2)=ln(-
2), por lo tanto, la única solución es x=12.
Logaritmos Naturales
Ejemplo 10
Resolver las siguientes ecuaciones para x
13. ( ) 2
2
3
log
) =
- x
b x
( )
( )
( )( ) 1
3
0
1
3
0
3
2
2
3
2
2
3
log
2
2
2
2
3
log
=
-
=
®
=
-
+
=
-
+
=
-
=
=
-
-
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Pero en la ecuación original, x es la base, y no puede ser
igual a 1 ni negativa. Por lo tanto, no tiene soluciones.
Logaritmos Naturales
Ejemplo 10 (Continuación)
15. Bibliografía
1. Jagdish C., Arya Lardner, R. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía.
Prentice Hall 5a. Ed. México, 2009.
2. Hauessler, Ernest F., Paul, Richard S. y Wood R.J. (2015), Matemáticas para la Administración
y Economía, CENGAGE Learning.
3. Tan, Soo Tang (2017) Matemáticas Aplicadas a los Negocios, las Ciencias Sociales y de la Vida.
CENGAGE Learning.
