Este documento presenta el Teorema de la Altura y el Teorema del Cateto para triángulos rectángulos. Explica que si se traza una altura desde el vértice del ángulo recto, se dividen el triángulo y la hipotenusa en tres triángulos similares. Luego enuncia que, para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenenusa por la proyección del cateto, y el cuadrado de la altura es igual al producto de los segmentos

1. TEOREMA DE
LA ALTURA
TEOREMA DEL
CATETO
Departamento de Matemáticas IES LA ARBOLEDA

2. TEOREMA DE LA ALTURA y
del cateto
Sea un triángulo rectángulo ABC con el ángulo A, recto, arriba. Su hipotenusa a y sus catetos b y c.
Trazamos la altura, h, desde A hasta el punto H dividiendo al lado a en dos segmentos m y n.
Tenemos, pues, tres triángulos rectángulos: ABC (el total), HAC y HBA (los pequeños) .
¿Cómo son los tres triángulos?
A
90º
b
C
h
90º 90º
m n
B H C
a

3. A
LOS TRES TRIÁNGULOS SON
90º
SEMEJANTES
En el azul En el amarillo
b b n
c =
a b
b 2 =a⋅n
En el azul En el verde
C
B a c m
=
Semejantes por tener
A
Semejantes por tener
a c
iguales dos ángulos, iguales dos ángulos,
el B y el recto. el C y el recto.
c 2 =a⋅m
En el verde En el amarillo
c b h n
h h =
m h
90º 90º
h 2 =m⋅n
m n
B H C

4. A
90º
b
C
h
90º 90º
m n
B H C
a
Teorema del cateto: En todo triángulo rectángulo,el cuadrado de un cateto
es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la
hipotenusa. 2 2
b =a⋅n ⇒ b= a⋅n o bien c =a⋅m ⇒ c= a⋅m
Teorema de la altura: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura
sobre la hipotenusa es igual al producto de los segmentos en que la altura
divide a la hipotenusa.
h = m⋅n ⇒ h = m⋅n
2