realice la serie exponencial de fourier donde se muestren los tres primeros términos de la serie para un tren de pulso rectangular de altura 5 unidades y de ancho 7 unidades cuyo periodo sea 8 unidades.

1. EJERCICIOS DE
SERIES DE FOURIER
Judith Montilla
C.I.: 18.263.657
Análisis de Señales
Prof: Francisco Olivares
Saia A
2016

2. EJERCICIOS DE SERIES DE FOURIER
1
Autor: Judith Montilla
Tarea #3 Ejercicios
Realice la serie exponencial de fourier donde se muestren los tres primeros términos de la
serie para un tren de pulso rectangular de altura 5 unidades y de ancho 7 unidades cuyo
periodo sea 8 unidades.
𝒇(𝒕) = {
𝟎 − 𝟒 < 𝒕 < −𝟑. 𝟓
𝟓 − 𝟑. 𝟓 < 𝒕 < 𝟑. 𝟓
𝟎 𝟑. 𝟓 < 𝒕 < 𝟒
La serie exponencial de Fourier:
𝐹(𝑡) = 𝐶0 + ∑ 𝐶 𝑚 𝑒−𝑖𝑚𝑤0 𝑡
∝
𝑚=0
𝐶0 =
1
𝑇
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑇+𝑇0
𝑇
𝐶 𝑚 =
1
𝑇
∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝑚𝑤0 𝑡
𝑑𝑡
𝑇+𝑇0
𝑇
tomamos el intervalo −3.5 < 𝑡 < 3.5, ya que en los otros intervalos la función 𝑓(𝑡) es cero.
𝐶0 =
1
8
∫ 5𝑑𝑡
3.5
−3.5
=
1
8
[(5 × 3.5) − (5 × (−3.5))] = 4.375
𝑪 𝟎 = 𝟒. 𝟑𝟕𝟓

3. EJERCICIOS DE SERIES DE FOURIER
2
Autor: Judith Montilla
Se calcula el termino 𝐶 𝑚, para el cual sabemos que
𝑤0 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
8
=
𝜋
4
𝐶 𝑚 =
1
8
∫ 5𝑒−𝑖
𝑚𝜋
4
𝑡
𝑑𝑡 =
5
8
∫ (cos
𝑚𝜋
4
− sin
𝑚𝜋
4
) 𝑑𝑡
3.5
−3.5
3.5
−3.5
5
8
∫ cos
𝑚𝜋
4
𝑡 𝑑𝑡 =
5
𝜋𝑚
sin (
𝑚𝜋7
8
)
3.5
−3.5
5
8
∫ −sin (
𝑚𝜋
4
𝑡) 𝑑𝑡 = 0
3.5
−3.5
𝑪 𝒎 =
𝟓
𝝅𝒎
𝐬𝐢𝐧 (
𝒎𝝅𝟕
𝟖
)
Para m=1, -1, 2, -2, 3, -3:
𝑪 𝟏 = 𝑪−𝟏 =
𝟓
𝝅
𝐬𝐢𝐧 (
𝟕𝝅
𝟖
) = 𝟎, 𝟎𝟕𝟔𝟑𝟑
𝑪 𝟐 = 𝑪−𝟐 =
𝟓
𝟐𝝅
𝐬𝐢𝐧 (
𝟕𝝅
𝟒
) = 𝟎, 𝟎𝟕𝟔𝟐
𝑪 𝟑 = 𝑪−𝟑 =
𝟓
𝟑𝝅
𝐬𝐢𝐧 (
𝟐𝟏𝝅
𝟖
) = 𝟎, 𝟎𝟕𝟔𝟏
Entonces la ecuación para los 3 primeros términos es:
𝑓(𝑡) = ∑ 𝐶 𝑚 𝑒 𝑖𝑤0 𝑡
3.5
−3.5
𝑓(𝑡) = 0,07633𝑒 𝑖
𝜋
4
𝑡
+ 0,07633𝑒−𝑖
𝜋
4
𝑡
+ 0,0762𝑒 𝑖
𝜋
2
𝑡
+ 0,0762𝑒−𝑖
𝜋
2
𝑡
+ 0,0761𝑒 𝑖
3𝜋
4
𝑡
+ 0,0761𝑒−𝑖
3𝜋
4
𝑡
+ 4.375

4. EJERCICIOS DE SERIES DE FOURIER
3
Autor: Judith Montilla
Conocemos que las ecuaciones de Euler son:
𝑒−𝑖𝜔𝑡
= cos 𝑤𝑡 − 𝑗 sin 𝑤𝑡
𝑒 𝑖𝜔𝑡
= cos 𝑤𝑡 + 𝑗 sin 𝑤𝑡
Entonces:
𝒇(𝒕) = 𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟕 𝐜𝐨𝐬
𝝅𝒕
𝟒
+ 𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟒 𝐜𝐨𝐬
𝝅𝒕
𝟐
+ 𝟎, 𝟏𝟓𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬
𝟑𝝅𝒕
𝟒
+ 𝟒. 𝟑𝟕𝟓